о структуре ÑÐºÑÐ¿Ð¾Ð½ÐµÐ½Ñ†Ð¸Ð°Ð»ÑŒÐ½Ñ‹Ñ Ð¼Ð¾Ð½Ð¾Ð¼Ð¾Ð² на Ð½ÐµÐºÐ¾Ñ‚Ð¾Ñ€Ñ‹Ñ Ð»Ð¾ÐºÐ°Ð»ÑŒÐ½Ð¾ ...

Проблемы анализа Том 1(19), № 1, 2012Issues of Analysis Vol. 1(19), № 1, 2012УДК 517.966С. C. ПлатоновО СТРУКТУРЕ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ МОНОМОВНА НЕКОТОРЫХ ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫХАБЕЛЕВЫХ ГРУППАХАннотация. Получено описание некоторого класса экспоненциальныхмономов на локально компактных абелевых группах.Ключевые слова: топологические группы, экспоненциальныемономыПусть G — локально компактная абелева группа с операцией +и нулевым элементом 0. Экспоненциальной функцией или обобщеннымхарактером на группе G называется произвольный непрерывныйгомоморфизм группы G в мультипликативную группу ненулевых комплексныхчисел. Непрерывные гомоморфизмы из группы G в аддитивнуюгруппу комплексных чисел называются аддитивными функциями.Функция x ↦→ P (a 1 (x), . . . , a m (x)) называется полиномиальной,если P — комплексный полином от m переменных и a 1 , . . . , a m —аддитивные функции. Произведение полиномиальной и экспоненциальнойфункций называется экспоненциальным мономом, а линейнаякомбинация экспоненциальных мономов называется экспоненциальнымполиномом.Приведем некоторые примеры.1 ◦ . Пусть G = R n , n ≥ 1. Любая экспоненциальная функция на R nимеет вид E(x) = e λx , где x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ R n , λ = (λ 1 , . . . , λ n ) ∈ C n ,λx := λ 1 x 1 + · · · + λ n x n . Любой экспоненциальный моном на R n имеетвид f(x) = P (x) e λx , где P (x) = P (x 1 , . . . , x n ) — комплексный полиномот n переменных.2 ◦ . Пусть G = Z n , n ≥ 1. Элементы из Z n имеют вид x = (x 1 , . . . , x n ),x j ∈ Z. Пусть C ∗ = C \ {0}, C n ∗ = C ∗ × · · · × C ∗ — декартово произведениеn экземпляров множества C ∗ . Для любых z = (z 1 , . . . , z n ) ∈ C n ∗c○ Платонов С. С., 2012

4 С. C. Платонови x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ Z n пусть z x := z x 11 . . . zx nn . Любая экспоненциальнаяфункция на группе Z n имеет вид E(x) = z x для некоторогоz ∈ C n ∗ , а экспоненциальный моном имеет вид f(x) = P (x) z x , гдеP (x) = P (x 1 , . . . , x n ) — комплексный полином от n переменных.3 ◦ . Если группа G компактная, E(x) — экспоненциальная функцияна на группе G, то |E(x)| ≡ 1, следовательно E является непрерывнымгомоморфизмом из группы G в группу S 1 = {z ∈ C : |z| = 1},т. е. E является обычным характером группы G. Любая аддитивнаяфункция на компактной абелевой группе тождественно равна 0, поэтомулюбой экспоненциальный моном имеет вид f(x) = λ E(x), гдеλ ∈ C, E(x) — некоторый характер.Важным классом задач, в которых используются экспоненциальныемономы на группах, являются задачи о спектральном синтезе нагруппах. Приведем описание таких задач.Пусть G — локально компактная абелева группа, F — топологическоевекторное пространство, состоящее из комплекснозначных функцийна G. Будем называть пространство F трансляционно инвариантным,если F инвариантно относительно преобразований (сдвигов)τ y : f(x) ↦→ f(x + y), f(x) ∈ F, y ∈ G,и все операторы τ y являются непрерывными операторами в пространствеF.Замкнутое линейное подпространство H ⊆ F называется инвариантнымподпространством, если τ y (H) ⊆ H для любого y ∈ G.Пусть F — трансляционно инвариантное функциональное пространствона группе G, H — инвариантное подпространство в F.Определение 1. Инвариантное подпространство H допускает спектральныйсинтез, если оно совпадает с замыканием в F линейнойоболочки всех содержащихся в H экспоненциальных мономов. В пространствеF справедлив спектральный синтез, если любое инвариантноеподпространство H ⊆ F допускает спектральный синтез.Задачам о спектральном синтезе на группах посвящено много работ(см., например, [1]–[11] ). В этих работах изучаются вопросы справедливости(или несправедливости) спектрального синтеза для различныхконкретных групп G и функциональных пространств F. Важнуюроль в таких задачах играют вопросы о структуре экспоненциальныхмономов.

Экспоненциальные мономы на группах 5Пусть ˜G и G — локально компактные абелевы группы, α : ˜G ↦→ G— сюръективный гомоморфизм группы ˜G на группу G (все гомоморфизмытопологических групп предполагаются непрерывными). Длялюбого топологического пространства X обозначим через C(X) множествовсех непрерывных комплекснозначных функций на X, в частности,возникают множества C(G) и C( ˜G). Пусть Λ : C(G) ↦→ C( ˜G) —отображение, сопоставляющее каждой функции f(x) ∈ C(G), x ∈ GфункциюΛ(f)(t) = ˜f(t) := f(α(t)) ∈ C( ˜G), t ∈ ˜G. (1)Через H обозначим ядро гомоморфизма α, т. е. H = ker α := {t ∈ ˜G :α(t) = 0}. Тогда H является замкнутой подгруппой группы ˜G.Через C H ( ˜G) обозначим множество функций Φ(t) ∈ C( ˜G), удовлетворяющихусловиюΦ(t + h) = Φ(t) ∀h ∈ H, t ∈ ˜G. (2)Очевидно, что Λ(C(G)) ⊆ C H ( ˜G).Если e(x) — экспоненциальная функция на группе G, а a(x) — аддитивнаяфункция на группе G, то функции ẽ(t) = e(α(t)) и ã(t) =a(α(t)) будут соответственно экспоненциальной и аддитивной функциямина группе ˜G. Из этого вытекает, что если f(x) — экспоненциальныймоном на группе G, то функция ˜f(t) = f(α(t)) будет экспоненциальныммономом на группе ˜G и, кроме того, ˜f ∈ C H ( ˜G).Возникает естественный вопрос: верно ли обратное утверждение— если Φ(t) ∈ C H ( ˜G) и Φ(t) является экспоненциальным мономом нагруппе ˜G, то можно ли Φ(t) представить в виде Φ(t) = f(α(t)) длянекоторого экспоненциального монома f(x) на группе G?Как показывает приведенный ниже пример, в общем случае этоутверждение неверно.Пример. Пусть группа G совпадает с группой R с обычной метрическойтопологией, а ˜G совпадает с группой R, которая снабжается дискретнойтопологией. Пусть α : ˜G ↦→ G — тождественное отображениеR на R. Тогда H = {0}, множество C(G) состоит из всех непрерывныхфункций на R, а множество C( ˜G) состоит из всех комплекснозначныхфункций на R. Хорошо известно, что на R существуют аддитивныефункции, которые не являются непрерывными в метрической топологии(но, разумеется, являются непрерывными в дискретной топо-

6 С. C. Платоновлогии). Любая такая функция Φ(t) является экспоненциальным мономомна группе ˜G, но не существует экспоненциального монома fна группе G, для которого Φ(t) = f(α(t)), так как функция f(α(t))непрерывна на R в метрической топологии.Достаточное условие для справедливости обратного утвержденияполучено в следующей теореме.Теорема 1. Пусть ˜G и G — локально компактные абелевы группы,α : ˜G ↦→ G — непрерывный сюръективный гомоморфизм и H — ядрогомоморфизма α. Если α является открытым отображением ˜G наG, то любой экспоненциальный моном Φ(t) на группе ˜G, удовлетворяющийусловию (2), можно представить в виде Φ(t) = f(α(t)) длянекоторого экспоненциально монома f(x) на группе G.Замечание. Для широкого класса топологических групп любой непрерывныйсюръективный гомоморфизм оказывается открытым. Так известно,что если ˜G и G — локально компактные топологические группыи группа ˜G представима в виде счетного объединения компактныхподмножеств, то любой непрерывный сюръективный гомоморфизмα : ˜G ↦→ G является открытым отображением (см. [12, гл. 3,§ 20, теорема 12].Доказательство теоремы 1 является основной целью настоящей работы.Отметим, что для случая, когда ˜G и G — дискретные абелевыгруппы, краткий набросок доказательства теоремы 1 содержится вкниге [6] (см. [6, доказательство теоремы 2.24]). Доказательство теоремы1 настоящей работы годится, в частности, и для дискретныхабелевых групп, но основано на других методах.Предварительно рассмотрим некоторые вспомогательные утверждения.Всюду предполагается, что выполнены условия теоремы 1.Отображение Λ : C(G) ↦→ C H ( ˜G) определено формулой (1).Лемма 1. Λ(C(G)) = C H ( ˜G).Доказательство. Включение Λ(C(G)) ⊆ C H ( ˜G) очевидно. Докажемобратное включение. Пусть Φ(t) ∈ C H ( ˜G). Из условия (2) следует, чтоможно корректно определить функцию f(x) на G равенствомf(x) := Φ(t)∀t ∈ α −1 (x).Тогда Φ(t) = f(α(t)). Проверим, что f(x) ∈ C(G).

Экспоненциальные мономы на группах 7Пусть U — произвольное открытое подмножество в C. Легко видеть,что f −1 (U) = α(Φ −1 (U)). Так как Φ — непрерывная функция, томножество Φ −1 (U) открыто в ˜G, а так как α — открытое отображение,то множество α(Φ −1 (U)) открыто в G. Следовательно подмножествоf −1 (U) открыто в G, откуда вытекает, что f ∈ C(G). ✷Лемма 2. Если e(t) — экспоненциальная функция на группе ˜G, принадлежащаяклассу C H ( ˜G), то e(t) = ε(α(t)) для некоторой экспоненциальнойфункции ε(x) на группе G.Доказательство. По лемме 1 функцию e(t) можно представить ввиде e(t) = ε(α(t)) для некоторой функции ε(x) ∈ C(G). Проверим,что ε(x) — экспоненциальная функция.Пусть x, y ∈ G. Из сюръективности отображения α следует, чтоx = α(t), y = α(s) для некоторых t, s ∈ ˜G. Тогда, пользуясь тем, чтоα — гомоморфизм, а e — экспоненциальная функция, получимε(x + y) =ε(α(t) + α(s)) = ε(α(t + s)) = e(t + s) == e(t)e(s) = ε(α(t))ε(α(s)) = ε(x)ε(y),то есть ε является экспоненциальной функцией на группе G. ✷Лемма 3. Если a(t) — аддитивная функция на группе ˜G и a ∈ C H ( ˜G),то ее можно представить в виде a(t) = b(α(t)) для некоторой аддитивнойфункции b(x) на группе G.Доказательство. По лемме 1 функцию a(t) можно представить ввиде a(t) = b(α(t)) для некоторой функции b(x) ∈ C(G). Проверим,что b — аддитивная функция.Пусть x, y ∈ G и x = α(t), y = α(s) для некоторых t, s ∈ ˜G. Тогдаb(x + y) = b(α(t) + α(s)) = b(α(t + s)) = a(t + s) == a(t) + a(s) = b(α(t)) + b(α(s) = b(x) + b(y).✷Для любой функции f ∈ C( ˜G) обозначим через L(f) линейнуюоболочку всех функций вида (τ s f)(t) = f(t + s) для любых s ∈ ˜G.Очевидно, что если f ∈ C H ( ˜G), то L(f) ⊆ C H ( ˜G).Лемма 4. Пусть f(t) = e(t) p(t) — экспоненциальный моном на группе˜G, где e(t) — экспоненциальная функция, p(t) — полиномиальная

8 С. C. Платоновфункция. Тогда экспоненциальная функция e(t) содержится в множествеL(f).Доказательство. Очевидно, что любая функция из L(f) имеет видg(t) = e(t) Q(a 1 (t), . . . , a m (t)), (4)где Q(u 1 , . . . , u m ) — некоторый полином, a 1 (t), . . . , a m (t) — аддитивныефункции на ˜G. Пусть N = deg Q — степень полинома Q. Средивсех функций из множества L(f) выберем ненулевую функцию g(t),представимую в виде (4) с минимально возможной степенью N. ЕслиN = 0, то e(t) ∈ L(f), и лемма доказана. Предположим, что N > 0.Так как пространство L(f) трансляционно инвариантное, то в L(f)содержится и функцияg(t + s) = e(t + s) q(t + s) = e(t) e(s) Q(a 1 (t) + a 1 (s), . . . , a m (t) + a m (s))для любого s ∈ ˜G. Так как функция q(t) не постоянная, то найдетсяs ∈ ˜G, такое, что q(t+s) ≢ q(t). Тогда в пространстве L(f) содержитсяненулевая функция1g(t + s) − g(t) = e(t) r(t),e(s)где r(t) = R(a 1 (t), . . . , a m (t)), а R(u 1 , . . . , u m ) = Q(u 1 + a 1 (s), . . . , u m +a m (s)) − Q(u 1 , . . . , u m ) — полином степени меньше N, что противоречитпредположениям N > 0 и минимальности N. ✷Следствие 1. Если экспоненциальный моном f(t) = e(t) p(t) (e(t) —экспоненциальная функция, p(t) — полиномиальная функция на группе˜G) принадлежит классу C H ( ˜G), то e(t) ∈ C H ( ˜G) и p(t) ∈ C H ( ˜G).Доказательство. Если f ∈ C H ( ˜G), то L(f) ⊆ C H ( ˜G). По лемме 4e(t) ∈ L(f), поэтому e(t) ∈ C H ( ˜G). Так как функции f(t) и e(t) содержатсяв C H ( ˜G), то и функция p(t) = 1e(t) f(t) содержится в C H( ˜G). ✷Пусть p(t) = P (a 1 (t), . . . , a m (t)) — полиномиальная функция нагруппе ˜G, P (u 1 , . . . , u m ) — комплексный полином. Представим полиномP в виде суммы однородных полиномовP (u 1 , . . . , u m ) =N∑P j (u 1 , . . . , u m ),j=0

Экспоненциальные мономы на группах 9где P j (u 1 , . . . , u m ) — однородный полином степени j. Пусть p j (t) =P j (a 1 (t), . . . , a m (t)). Будем называть функции p j (t) однородными компонентамифункции p(t) степени j.Лемма 5. Если полиномиальная функция p(t) принадлежит классуC H ( ˜G), то и все ее однородные компоненты p j (t) принадлежат классуC H ( ˜G).Доказательство. Очевидно, что если p(t) ∈ C H ( ˜G), то и функцииp(kt) принадлежат C H ( ˜G) для любого k ∈ N (здесь kt = t + · · · + t —сумма k элементов t ∈ ˜G).Подставляя в равенствоp 0 (t) + p 1 (t) + · · · + p N (t) = p(t)kt вместо t и пользуясь однородностью функций p j (t), получимp 0 (t) + kp 1 (t) + · · · + k N p N (t) = p(kt). (5)Пусть 1, α 1 , . . . , α N — произвольные попарно различные натуральныечисла. Подставляя эти числа вместо k в (5), получим систему⎧⎪⎨⎪⎩p 0 (t) + p 1 (t) + · · · + p N (t) = p(t),p 0 (t) + α 1 p 1 (t) + · · · + α1 N p N (t) = p(α 1 t),. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .p 0 (t) + α N p 1 (t) + · · · + αN Np N(t) = p(α N t).Если рассматривать (6) как систему линейных уравнений относительноp 0 (t), . . . , p N (t), то определитель этой системы1 1 . . . 1∆ =1 α 1 . . . α1N . . . . . . . . . . . . . . . . .∣ 1 α N . . . αNN ∣отличен от нуля. Поэтому из системы (6) можно выразить функцииp j (t) как линейные комбинации функций p(t), p(α 1 t), . . . , p(α N t). Следовательноp j (t) ∈ C H ( ˜G) при j = 0, 1, . . . , N. ✷Пусть p(t) = P (a 1 (t), . . . , a m (t)) — полиномиальная функция нагруппе ˜G, где P (u 1 , . . . , u m ) — комплексный полином от m переменных,a 1 (t), . . . , a m (t) — аддитивные функции. Если P (u 1 , . . . , u m ) —(6)

10 С. C. Платоноводнородный полином степени k, то будем говорить, что p(t) — однороднаяполиномиальная функция степени k. Будем использоватьобозначение(∂ j p)(t) := ∂P∂u j(a 1 (t), . . . , a m (t))и будем называть функции ∂ j p производными от функции p.Лемма 6. Пусть p(t) = P (a 1 (t), . . . , a m (t)) — однородная полиномиальнаяфункция, и пусть аддитивные функции a 1 (t), . . . , a m (t) линейнонезависимы. Тогда, если p(t) ∈ C H ( ˜G), то и все производные функции∂ j p(t) принадлежат пространству C H ( ˜G), j = 1, 2, . . . , m.— независимые пере-Доказательство. Пусть u 1 , . . . u m , v 1 , . . . , v mменные. Из формулы Тейлора следует, чтоP (u 1 + v 1 , . . . , u m + v m ) == P (u 1 , . . . , u m ) + ∑ mj=1 v j ∂P∂u j(u 1 , . . . , u m ) + . . . ,где многоточие означает слагаемые степени ≥ 2 по переменным v i . Из(7) следует, что для любого s ∈ ˜G справедливо равенствоp(t + s) = P (a 1 (t) + a 1 (s), . . . , a m (t) + . . . a m (s)) == p(t) + ∑ mj=1 a j(s) ∂ j p(t) + . . . .Так как полиномиальная функция (τ s p)(t) = p(t + s) принадлежитмножеству C H ( ˜G), то по лемме 5 все ее однородные компоненты принадлежатэтому множеству. Если P (u 1 , . . . , u m ) — однородный многочленстепени k, то из (7) и (8) вытекает, что однородной компонентойфункции τ s p степени (k − 1) является функция(τ s p) k−1 (t) =(7)(8)m∑a j (s) ∂ j p(t). (9)j=1Из того, что функция (τ s p) k−1 принадлежит множеству C H ( ˜G), следует(τ s p) k−1 (t + h) = (τ s p) k−1 (t) ∀h ∈ H. (10)С учетом (9), равенство (10) можно переписать в видеm∑a j (s) (∂ j p(t + h) − ∂ j p(t)) = 0 ∀s ∈ ˜G, ∀h ∈ H. (11)j=1

Экспоненциальные мономы на группах 11Так как функции a j (s) линейно независимые, то из (11) следует, что∂ j p(t + h) = ∂ j p(t) ∀h ∈ H,откуда вытекает, что ∂ j p ∈ C H ( ˜G). ✷Лемма 7. Пусть p(t) — однородная полиномиальная функция нагруппе ˜G, принадлежащая пространству C H ( ˜G). Тогда функцию p(t)можно представить в виде p(t) = q(α(t), где q(x) — некоторая полиномиальнаяфункция на группе G.Доказательство. Пусть p(t) = P (a 1 (t), . . . , a m (t)) ∈ C H ( ˜G), гдеP (u 1 , . . . , u m ) — однородный полином степени k, a 1 (t), . . . , a m (t) — аддитивныефункции на группе ˜G. Без ограничения общности можносчитать, что функции a 1 , . . . , a m линейно независимы.Требуется доказать, что существует полиномиальная функция q(x)на группе G, такая, что p(t) = q(α(t). Будем доказывать это утверждениеиндукцией по k. При k = 0 утверждение очевидно. Пусть k ≥ 1 ипредположим, что утверждение верно для однородных полиномиальныхфункций из C H ( ˜G) степени меньше k.Так как P (u 1 , . . . , u m ) — однородный полином степени k, то справедливотождествоm∑j=1u j∂P∂u j(u 1 , . . . , u m ) = kP (u 1 , . . . , u m ). (12)Подставляя в (12) функции a j (t) вместо u j , получимm∑a j (t)∂ j p(t) = kp(t). (13)j=1Из системы функций ∂ 1 p(t), . . . , ∂ m p(t) выберем максимальную линейнонезависимую подсистему. Обозначим эти линейно независимыефункции p 1 (t), . . . , p l (t), тогда каждую функцию ∂ j p(t), j = 1, . . . , m,можно представить в виде линейной комбинации:∂ j p(t) =l∑λ js p s (t), λ js ∈ C.s=1

12 С. C. ПлатоновПодставляя эти линейные комбинации в (13), получим(m∑l∑)a j (t) λ js p s (t) = kp(t). (14)s=1j=1Равенство (14) можно переписать в видегдеl∑A s (t)p s (t) = kp(t), (15)s=1m∑A s (t) = λ js a j (t)j=1— аддитивные функции на группе ˜G. Подставим в (5) t + h вместо t(h ∈ H), тогда, учитывая, что p s ∈ C H ( ˜G) (по лемме 6) и функцииA s (t) аддитивные, получимl∑(A s (t) + A s (h))p s (t) = kp(t). (16)s=1Вычитая из равенства (16) равенство (15), получаем тождествоl∑A s (h)p s (t) = 0 ∀h ∈ H, t ∈ ˜G. (17)s=1Так как функции p s (t) линейно независимые, то из (17) следует, чтоA s (h) = 0 при h ∈ H, т. е. аддитивные функции A s (t) принадлежатклассу C H ( ˜G). Тогда, по лемме 3, A s (t) можно представить ввиде A s (t) = B s (α(t)), где B s (x) — некоторые аддитивные функциина группе G.Так как p s (t) — однородная полиномиальная функция на группе˜G степени меньше k и p s (t) ∈ C H ( ˜G), то по предположению индукцииp s (t) = q s (α(t)), где q s (x) — некоторая полиномиальная функция нагруппе G. Окончательно из (15) получим, чтоp(t) = 1 kl∑B s (α(t))q s (α(t)) = q(α(t)),s=1

Экспоненциальные мономы на группах 13гдеq(x) = 1 kl∑B s (x)q s (x)s=1— полиномиальная функция на группе G. ✷Следствие 2. Если p(t) — полиномиальная функция на группе ˜G иp ∈ C H ( ˜G), то функцию p(t) можно представить в виде p(t) = q(α(t)),где q(x) — некоторая полиномиальная функция на группе G.Доказательство. Представим полиномиальную функцию p(t) в видесуммы однородных полиномиальных функцийp(t) =N∑p j (t), (18)j=1где p j — однородная полиномиальная функция на группе ˜G степениj. Тогда, по лемме 6, p j ∈ C H ( ˜G), откуда, по лемме 7, p j (t) = q j (α(t))для некоторой полиномиальной функции q j (x) на группе G. С учетом(18) получим, что p(t) = q(α(t), гдеq(x) =N∑q j (x).✷j=1Доказательство теоремы 1. Пусть f(t) = p(t)e(t) — экспоненциальныймоном, где p(t) — полиномиальная функция на группе ˜G, e(t)— экспоненциальная функция на группе ˜G. Так как f ∈ C H ( ˜G), то,по следствию 1, функции p(t) и e(t) тоже принадлежат классу C H ( ˜G).По лемме 2 функцию e(t) можно представить в виде e(t) = ε(α(t)),где ε(x) — экспоненциальная функция на группе G. По следствию 2функцию p(t) можно представить в виде p(t) = q(α(t)), где q(x) —полиномиальная функция на группе G. Окончательно получаем, чтоf(t) = q(α(t))ε(α(t)) = g(α(t),где g(x) = q(x)ε(x) — экспоненциальный моном на группе G.✷

14 С. C. ПлатоновСписок литературы[1] Schvartz L. Théorie générale des fonctions moynne-périodiques // Ann. ofMath. (2) 48. (1947). P. 875–929.[2] Gilbert J. E. On the ideal structure of some algebras of analytic functions// Pacif. J. of Math. 35. (1978). № 3. P. 625–639.[3] Платонов С. С. Спектральный синтез в некоторых функциональныхтопологических векторных пространствах // Алгебра и анализ. 22.(2010). № 5. С. 154–185.[4] Гуревич Д. И. Контрпримеры к проблеме Л. Шварца. Функц. анализи его прилож. 9. (1975). № 2. С. 29–35.[5] Schvartz L. Analyse et synthése harmonique dans les espaces dedistributions // Can. J. Math. 3. (1951). P. 503–512.[6] Székelyhidi L. Discrete spectral synthesis and its applications. Berlin:Springer, 2006.[7] Lefranc M. Analyse spectrale sur Z n // C. R. Acad. Sci. Paris. 246. (1958).P. 1951–1953.[8] Székelyhidi L. On discrete spectral synthesis // Functional Equations —Results and Advances (Z. Daroćzy and Zs. Páles), Dordrecht: KluwerAcademic Publishers, 2002. P. 263–274.[9] Bereczky A., Székelyhidi L. Spectral synthesis on torsion groups // J. Math.Anal. Appl. 304. (2005). P. 607–613.[10] Платонов С. С. Спектральный синтез в пространстве функций экспоненциальногороста на конечно порожденной абелевой группе // Алгебраи анализ. 24. (2012). № 4. С. 182–200.[11] Székelyhidi L. Spectral synthesis problems on locally compact groups //Monatsh. Math. 161 (2010). № 2. P. 223–232.[12] Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. М.: Наука, 1973.Петрозаводский государственный университет,математический факультет185910, Петрозаводск, пр. Ленина, 33.E-mail: platonov@petrsu.ru