10-RLC krugovi.pdf

Samoindukcija, meñuindukcija i RLC krugovi

Samoindukcija-električni krug na slici-zatvaranjem sklopke S, struja ne postiže trenutnovrijednost ε/R – zbog elektromagnetske indukcije-porastom struje u krugu, raste mag. tok kroz krugi inducira se ems (napon) u krugu čiji je smjersuprotan uzroku svog nastanka (bateriji) – zbogtoga je smjer inducirane struje takav da se njenomag. polje opire promjeni toka mag. polja krozkrug – struja postepeno raste do max. iznosa-ova pojava naziva se samoindukcija-ems inducirana na taj način naziva sesamoinducirana ems (ε L )

Pokus: Ostvarimo strujni krug prema slici.Što se dogaña kada uključimo struju krozžarulje?Žarulja 2 se upali s malim zakašnjenjem!Zašto?Za to je odgovorna zavojnica.Objašnjenje:Prolaskom struje kroz zavojnicu stvara se mag. polje oko nje.Mijenjanjem jakosti struje (uključenje – isključenje) Mijenja se i mag.polje oko zavojnice. Zakon elektromagn. indukcije (zavojnica upromjenjivom mag. polju). U zavojnici se inducira EMS. Pojava sezove samoindukcija.Smjer inducirane struje je takav da ona svojim poljem nastoji spriječitipromjenu mag. toka.

Inducirana EMS samoindukcije je:εLdΦ= −N dtMagnetsko polje oko zavojnice je proporcionalno jakosti struje kroz nju.Budući su Φ i B takoñer proporcionalni (Φ = SB) Magnetski tok je takoñer proporcionalan jakosti struje kroz zavojnicu.Φ = LIL = koeficijent samoindukcije (samoinduktivitet)Za zavojnicu od N namotaja NΦ = LINdΦ = LdtdIεL= −L dtdIdtL[ L]εL= −dIdtVs= = H henriA

NΦ =LIPrimjer:Izračunaj koeficijent samoindukcije torusnezavojnice.Od prije:NI NIB = µ = µ2rπlTok kroz presjek zavojnice S NΦ = LIL=LNI=NΦINIµlSNIΦ = BS = µlL = µ2N SlS

Meñuindukcija2 zavojnice, jedna blizu druge Promjena struje u prvoj (primarnoj)uzrokuje induciranu elektromotornu silu u drugoj (sekundarnoj). Pojavase zove meñuindukcija ili uzajamna indukcija.Kako odrediti iznos induciranog napona u drugoj zavojnici?

Kako odrediti iznos induciranognapona u drugoj zavojnici?Neka je:l = duljina prve zavojniceS = Površina presjeka prve zavojniceN 1 = Broj namotaja prve zavojniceN 2 = Broj namotaja druge zavojniceµ = Permeabilnost jezgre zavojnicePromjenjiva struja I 1 stvara mag. tok koji prolazi i kroz drugu zavojnicu. U drugoj zavojnici se inducira EMS: dΦ2ε2= −N2dtN1I1Tok = ? Φ2= Φ1= Φ = BS Φ = µ Sld N1I1ε2= −N⎛2µ S⎞ µ SN1N2 dI1dI1⎜ ⎟ = − ε2∼dt ⎝ l ⎠ l dtdt

µ SN N dIl dt1 2 11ε2= −2dIε ∼ dI1εdt2= −M dtM = Koeficijent meñusobne indukcije (meñuinduktivnost)M= −ε2dIdt1Meñuinduktivnost je jednaka omjeru EMS inducirane u jednom krugu ibrzine promjene struje u drugom krugu.MV[ M ] = = H (henri)A/sµ SN1N2= Meñuinduktivnost – Ovisi isključivo olgemetriji zavojnica.

Struja u LR kruguPromjena jakosti struje kroz zavojnicu. Inducirana EMS samoindukcije:dIεL= −L dtIε L Uključivanje struje u strujnom krugu sazavojnicom nije trenutno.Promatramo strujni krug u kojem se nalaze otpornik R i zavojnicainduktivnosti L.Zatvaranje strujnog kruga. Porast struje (od 0 do I). U zavojnicise inducira EMS (suprotnog smjera od ε).2. Kirchoffovo pravilo dIε − L = RIdtε + ε L= RIdILdt= ε − RI : R(Uz pretpostavku R L = 0)L dIR dtε= −RI

L dI ε= − IR dt RεdxUvodimo supstituciju: x = − I= −Rdtdx R= − dt ∫x LGranice integracije? t = 0 ⇒ I = 0 ⇒ x = ε / Rt = t ⇒ I = I ⇒ x = ε / R − IdIdtL dx− =R dtxε / R−Idx R= − dtx Lε / R0tRR − I − R = − tL∫ ∫ ln ( ε / ) ln ( ε / )ε / R − I R ε / R − Iln = − t= eε / R L ε / RRI − t IL1− = e= 1−eε / Rε / R−R tL−R tL

Iε / RR− tLε ⎛= 1− e I = ⎜1−eR ⎝Nakon dovoljno dugo vremena −R tL⎞⎟⎠EXPR− tL= e =t = 0 I = I 0 = ε/R I I ⎛01 e − L= ⎜ −⎝tt⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞L / RI = I0 ⎜1− e ⎟ = I0⎜1−e τ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠1R tLeza t → ∞ ⇒ EXP → 0R t⎞⎟⎠τ = L/R = vremenska konstanta= vrijeme potrebno da strujadostigne 63,2% svoje konačnevrijednosti (t = τ)( − 1)I = I 1− e = 0,632 I0 0

tt⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞L / RI = I0 ⎜1− e ⎟ = I0⎜1−e τ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠τ = L/R = vremenska konstantaKoliko vremena treba da strujapadne na polovicu prvobitnevrijednosti?It1/ 2−0I = = I0 ⎜1−e τ2t−e τ⎛⎝1/ 21= 1−2⎞⎟⎠t−e τt1/ 21− = ln t1/ 2τ 21/ 212I02= ln1τ ln 2t 1/ 2= − t = −τ( − )t1/ 2= τ ⋅ln 2 t1/ 2= 0,693⋅τ1/ 2ln1 ln 2Polovičnovrijeme porasta

Utjecaj induktivnosti na prekid struje u LR kruguIsključimo prekidač. Otpor postajebeskonačno velik. Kako se mijenja struja?Promatramo situacije kada zatvorimo P 2 ! Prekid struje s izvorom jer je on kratko spojen.2. Kirchoffovo pravilo ε =LRIdI− L = RI L dI− = dt∫dtR III− L dIR I=t0 0dtln∫ ∫ I0II= −RLtln II0= −R tL0R tI I e − L=t−L / R0 0t−I = I e = I e τ

t−L / R0 0t−I = I e = I e ττ = L/R= vrijeme potrebno da strujapadne na 37% svoje početnevrijednosti (t = τ)Isključimo prekidač svjetla. Iskrenje(Zbog Lenzova pravila). Nastaje induciranastruja koja nastoji "zadržati" struju prijeisključenja.Odakle zavojnici sposobnost stvaranja struje?Zavojnica kojom teče struja ima energiju.Energija zavojnice je pohranjena u njenom magnetskom polju.I 0/2t 1/ 2Inducirana struja će teći sve dok postoji mag. polje.0,37·I 0

Zadatak:a) Odredi vremensku konstantu kruga na slici.b) Izračunaj struju u trenutku t=2ms i nacrtaj grafovisnosti I(t).c) Usporedi pad napona na otporniku i zavojnici.a)b)

c)-u trenutku t=0 kada zatvorimo prekidač, krugom još ne teče struja i stoga je pad naponana otporniku V R=0, a pad napona na zavojnici (induktoru) jednak je naponu baterije(ems baterije=12 V) jer se zavojnica opire promjeni mag. toka-s prolaskom vremena, inducirana ems na zavojnici slabi i krugom poteče struja koja sveviše raste; stoga je i pad napona na otporniku sve veći (V R) dok pad napona na zavojnicibiva sve manji (V L)-vrijedi: V R+ V L= ε (=12 V)

Energija u magnetskom polju zavojniceInducirana struja će teći sve dok postojimag. polje.ε + ε L= RI(II Kirch. pravilo)dIε − L = RI ⋅ Idt = dqdt2ε Idt = RI dt + LIdIEnergija koju daje izvor za vrijeme dt.Dio energije pretvoren u Jouleovu toplinu.Energija magnetskog polja zavojnice.dE = dQ + dEiL

2ε Idt = RI dt + LIdIdE = dQ + dEiLEnergija magnetskog polja zavojnice.Ukupna energija spremljena u mag. polju kruga struje, kad se strujapovećala od 0 = do I dobiva se inetgracijom:dEL= LIdI ∫E =LLI22Prekidanjem strujnog kruga, mag. energija zavojnice se pretvara uunutrašnju energiju (toplinu) u otporniku sve dok ne iščezne i strujapostane nula.

Gustoća energije u magnetskom polju zavojnice2LIEL= Energija magnetskog polja zavojnice.2Ubacimo izraze za koeficijent samoindukcije i izraz za struju iz mag.polja zavojnice.LE= µL=02N Sµ0l2N SlIB = µ0N l⎛ Bl⎜⎝ µ0N2⎞⎟⎠2IEL==Blµ N012µGustoća energije je energija/volumen 02B Slw=ELSlE =LLI2w2=12µ0Sl2B Slw=2B2µ0Vrijedi općenito za bilo koje mag. poljeu prostoru!

Nabijanje kondenzatora u RC kruguKako će se ponašati strujni krug gdje su zajedno kapacitet i zavojnica?Prije toga, pogledajmo ponašanje kondenzatora u str. krugu. Da li jenabijanje kondenzatora trenutno?Nabijanje kondenzatora:Zatvorimo prekidač: ε = Uc + URqUc= ; UR= IR;I =Cqε = + RCdqdtdqRC = εC − qdt⋅Cdqdtuz x = εC − qdx dq= −dt dtdx− RC = xdtdx 1= − dtx RC

uz x = εC − qdxxt = 0 ⇒ q = 0 ⇒ x = εC1= − dtx∫2ln xRCxVremenska konstanta11= − tRCt = t ⇒ q = q ⇒ x = εC − q ε 1ln C − q = − tεCRCτ = RCεCεC⎛q = εC ⎜1−e⎝1− q − t1=RC−etRC1− tRC⎞⎟⎠εC − q = εCet0q = εC − εCe1− tRCt⎛ − ⎞q = εC ⎜1−e τ⎟⎝ ⎠

t⎛ − ⎞q = εC ⎜1−e τ⎟⎝ ⎠I=dqdtd ⎛I = εC ⎜1−edt ⎝t1 −I = εC e ττt−τ⎞⎟⎠I 0I=0t−I e τ

Izbijanje kondenzatora u RC kruguDa li je izbijanje kondenzatora trenutno?Nabijemo kondenzator, a zatim zatvorimoprekidač P 2 .Izbijanje kondenzatora preko otpora. 0 = Uc + URqUc= ; UR= IR;I =Cdqdtq dq0 = + R ⋅CC dtdqRC q 0dt + =dqq1= − dt ∫qln qRCq0= −1RCtt0ln qq0= −1RCt1− tRC0 0t−q = q e = q e τ

1− tRC0 0t−q = q e = q e τOvisnost struje izbijanja?Idqdttd ⎛ − ⎞τ= ⎜ q e ⎟dt ⎝ ⎠= I0I = −q0τt−e τI0t−= −Ie τ

Energija pohranjena u kondenzatoruEnergiju daje izvor. Troše je R i C.ε = UC+ UqR ε = + IRCq dqε = + R ⋅ Idt = dqC dtε Idt = RI dt + dqC2 qEnergija kondenzatoraEnergija koju daje izvor za vrijeme dt.Dio energije pretvoren u Jouleovu toplinu.Ukupna energija? Kada naboj dostigne konačnuvrijednost, struja pada na nulu dQ = 0dE = dQ + dEidECECCq= dq∫ C2q=2C

Izbijanje kondenzatora u LC strujnom kruguEnergiju daje izvor. Troše je L i C.Nakon nabijanja kondenzatora, strujaprestane teći.Zatvorimo prekidač P 2 Nabijeni kondenzator šalje struju krozzavojnicu. Inducirana EMS u zavojnici.dI qεL= UC− L = dt Cuz2dI d dq d q⎛ ⎞= ⎜ ⎟ =dt dt ⎝ dt ⎠ dt22d q q+ = 02dtLCDiferencijalna jednadžba drugog reda.Da li smo nešto slično već vidjeli?Isti tip jednadžbe kao kod harmoničkog oscilatora:2d x+ ωx= 02dt

2d q q+ = 02dtLC2d x+ ωx= 02dtIsti tip jednadžbe kao kodharmoničkog oscilatora:Rješenje:x = AcosωtRješenje našeg problema :q q cos t= 0LCq = q cosωt10 uz ω =LCNaboj se mijenja periodički (sinusoidalno)!Dobili smo oscilatorni krug gdje se energija električnog poljakondenzatora pretvara u energiju mag. polja zavojnice i obrnuto.Koliko dugo traju te oscilacije?Da nema otpora vodova (žica), trajalo bi vječno. Zbog otpora, oscilacijesu gušene. Takoñer, sistem zrači energiju u obliku elektromagnetskihvalova (za dovoljno velike frekvencije).

2d q q+ = 02dtω =LC1LCTq q cos t= 0LCν =12πLC1= = 2πLC Period titranja.νFrekvencija titranja LC kruga.(svojstvena, vlastita, prirodna)tzv. THOMSONOVA FORMULA (FREKVENCIJA)Kako se mijenja struja izbijanja?dq d ⎛i q cos t ⎞= =0dt dt⎜ ⎟⎝ LC ⎠q0 ti = − sin = −imsinLC LCStruja se mijenja po zakonu kosinusa izmjenična struja(obilježavamo malim slovom i)tLC

q q cos t= 0LCqu = uCGrafički:ti = − imsin = −imsinωtLC= q 0tcos = uC LCcos mωtPomak u fazi izmeñu struje i napona za π/2:i = −i sinωti = i cos ( ωt+ π / 2)mu = u cosωtmmStruja brza za π/2 ispred napona!

Usporedba elektromagnetskog i mehaničkog titranjaLC strujni krugelastična oprugabez trenjaTitranje energije izmeñu kondenzatora(E) i zavojnice (B) analogno je titranjuelastične opruge (pretvorbapotencijalne u kinetičku energiju iobratno).E=⇒B=⇒

-ukupna energija pohranjena u LC strujnom krugu je konstantnaQ = Q ωtI = −Isinωtmaxmax cosU = const. =-sva energija na C ili L

Izbijanje kondenzatora u RLC strujnom kruguNakon nabijanja kondenzatora,zatvorimo prekidač P ε = iR + ULCεULCdi= −L dtq=Cuz2di d dq d q⎛ ⎞= ⎜ ⎟ =dt dt ⎝ dt ⎠ dt2d 2q + R dq + q = 02dt L dt LCDiferencijalna jednadžba drugog reda.Teorija diferencijalnih jednadžbi daje rješenje:R 2− t ⎡ 1 R ⎤2Lcos ⎢2⎥q = qme t −⎢⎣LC4L⎥⎦

1LCR 2− t ⎡ 1 R ⎤2Lcos ⎢2⎥q = qme t −⎢⎣LCSlučaj 1:>2R4L2Tko uzrokuje gušenje?4L⎥⎦Argument funkcije kosinus je realan Oscilacije naboja su gušene, amplituda eksponencijalnoopada. PRIGUŠENO titranjeKutna frekvencija titranja:21 Rω = −LC 4LU ovisnosti vrijednosti unutar uglatezagrade imamo 3 slučaja:LC krugu smo dodali otpornik R Koeficijent gušenja je R/2L. Dodani otpornikigra ulogu trenja u mehaničkim sistemima.221 RT = 2π−2LC 4LSlučaj R

Rt2− ⎡ 1 R ⎤2Lq = qme cos ⎢t−2⎥⎢⎣LC 4L⎥⎦2Slučaj 1: 1 R>2LC 4LGrafički prikaz oscilacija naboja i struja u RLC krugu:Amplitude naboja (crno) i struje(crveno) opadaju po envelopama.

1=LCRt2− ⎡ 1 R ⎤2Lcos ⎢2⎥q = qme t −⎢⎣LCSlučaj 2:R4L224L⎥⎦Naboj više ne oscilira, nema titranja.Naboj monotono pada prema: 2q = q e −Struja pada po istom zakonu.mRtLTzv. KRITIČNO APERIODIČNO izbijanje.Q = Q e −0Rt2L

1LC