08 - Gravitacija

9. GRAVITACIJA9.1. Newtonov zakon gravitacijePromatranje gibanja nebeskih tijela → gravitacija: privlačna sila meñu tijelimaClaudius Ptolemeus (100 – 170) – geocentrični sustavNikola Kopernik (1473 – 1543) – heliocentrični sustavTycho Brahe (1546-1601)– danski astronom; precizno bilježio putanje nebeskihtijela (planeta i 777 zvijezda → oko + kompas + sekstant)1600. asistent Johannes Kepler (1571-1630); njemački astronom→ Keplerovi zakoni1684. Edmond Halley → gravitacijska sila izmeñu Sunca i planeta opada skvadratom udaljenosti1687. Isaac Newton → Philosophie naturalis principia mathematica(Matematički principi filozofije prirode)- najznačajnije djelo u povijesti znanosti- opisao gibanje nebeskih i zemaljskih tijela pomoću zakona gravitacije

9.2. Odreñivanje gravitacijske konstanteJohn Michell je 1783. konstruirao torzionu vagu s ciljem odreñivanjagustoće Zemlje.Henry Cavendish, 1798. god. izračunao gustoću Zemlje te posrednoodredio univerzalnu gravitacijsku konstantu.- dvije male kugle mase m i dvijevelike kugle mase M- gravitacijsko privlačenje kugli →zakret niti za kut θ + torzionakonstanta → GG=(6.672 ± 0.004)·10 -11 Nm 2 /kg 2Cavendishova torziona vaga.slaba sila

9.2. Keplerovi zakoni1. Planeti se gibaju po elipsama, a Sunce se nalazi ujednom od žarišta.2. Planeti se gibaju tako da radijusvektor (vektor kojispaja središte Sunca i središte planeta) u jednakimvremenskim intervalima opisuje jednake površine,bez obzira na udaljenost planeta od Sunca (zakonploha).3. Kvadrati vremena ophodnje planeta oko Suncaodnose se kao kubovi velikih poluosi njihoviheliptičnih putanja:TTa2 31 1=2 32a2

9.2. Keplerovi zakoniKeplerovi zakoni mogu se izvesti iz Newtonovih zakona i zakonagravitacije.Primjer:Odredi ophodno vrijeme planeta koji kruži oko Sunca na udaljenosti r.Fg2S p2G = M2p= MpωrGTT=S2F22 32 3cpM MMr=∼r2π⎛ 2π⎞= ⎜ ⎟⎝ T ⎠4πGMrω =SrT2vrr3. Keplerov zakon

9.2. Keplerovi zakoniVeza izmeñu 2. Keplerovog zakona i zakona očuvanja zakretnog impulsa.τdL= =dt0

9.3. Gravitacijsko polje Zemlje. Sila teže.Pošto gravitacijska sila (električna, manetska) djeluje na daljinu, korisnoje definirati POLJE kao prostor u kojem djeluje sila.Polje postoji u svakoj točki prostora. Izvor polja je tijelo (m) koje stvaragravitacijsko polje u okolnom prostoru.Prisustvo polja utvrñujemo postavljanjem probnog tijela (m 0 ) u odreñenutočku prostora i mjerenjem sile na to tijelo.Jakost gravitacijskog polja = gravitacijska sila po jedinici mase.J=F gm m 00r 0rm0F g = −G r 020m ⋅ mr F g m J = = −G r2m r0

9.3. Gravitacijsko polje Zemlje. Sila teže.Gravitacijsko polje Zemlje.FMgZJ = = −G r20m0( RZ+ h)- opada s kvadratom udaljenostiGravitacijsko polje na površini Zemlje. F g M JZ= = −G rm R0Z2ZJ = g = 9.81 m / sZ- konstantno uz površinu Zemlje02

9.3. Gravitacijsko polje Zemlje. Sila teže.Sila teže i težinaSila teže → privlačna sila koja djeluje na sva tijela u bliziniZemljine površine;→ rezultanta gravitacijske sile (F g ) i neinercijalne(centrifugalne F cf ) sile zbog Zemljine rotacije ωFG=mgF gF GF gF cfF Gmasaakceleracijasile težeF cfSvim tijelima na istom mjestu na Zemlji koja slobodnopadaju, sila teža daje isto ubrzanje, g.

9.3. Gravitacijsko polje Zemlje. Sila teže.Sila teže i težinaTežina → sila kojom neko tijelo pritišće podlogu na kojoj stojiodnosno ovjesište o koje je ovješeno.Sila teža je sila na tijelo, a težina je sila na podlogu odnosnoovjesište.Ukoliko podloga (ovjesište) miruje ili se giba jednolikopravocrtno spram površine Zemlje, težina tijela jednaka je siliteži: G = mg = F GAko se tijelo giba ubrzano prema Zemljinoj površini, težinaće se razlikovati od sile teže.

- odražava inerciju tijela- odreñujemo je mjerenjem a kojutijelo dobije djelovanjem sile FFmt=m at9.4. Troma i teška masamg- mjera gravitacijske sile- uzrokuje gravitacijsko poljeM mZFg= G R2ZPokusi: sila teža F g=mg jednaka je sili koja ubrzava tijelo kod slobodnogpada F=ma.F = mta = Fg = mggPokusi: a = gZaključak: mt = mg= mJednakost teške i trome mase osnova je principa ekvivalencije: nemožemo razlikovati inercijalni sustav u gravitacijskom polju (a=g) odneinercijalnog sustava koji se giba ubrzanjem a=-g → opća teorijarelativnosti.g

9.5. Gravitacijska potencijalna energija- gravitacijska sila je konzervativna- u polju konzervativne sile tijela imaju potencijalnu energiju- gravitacijska sila je centralna sila:usmjerena je duž radijalne dužine premafiksnom centru (O), a iznos joj ovisisamo o radijalnoj udaljenosti r, F=F(r)- promatramo rad centralne sile naputanji A→B dW = Fdr = F r drradijali( )rf= ∫luk=r( ) , 0W F r dr W- rad ovisi samo o početnom i krajnjemradijalnom položajusvaka centralna sila = konzervativna sila

9.5. Gravitacijska potencijalna energija- rad potreban da tijelo mase m 2 premjestimo iz položaja r 1 u r 2 ugravitacijskom polju tijela mase m 1m 12 2= ∫ g= ∫r1 r1⎛m 2⎜r 1r 2( ) ( )rm1m2W F dr G dr2rrr 21 ⎞⎛ 1 1 ⎞W = Gm1m 2− ⎟ = −Gm1m2 ⎜ − ⎟⎝ r ⎠r1 ⎝ r2 r1⎠W = Epr2 − Epr1 = −Gm1m 2 ⎜ − r2 r1- rad ne ovisi o putu već samo o početnom ikrajnjem položaju tijela mase m → možemoga izraziti razlikom potencijalnih energija1 1⎝m1m2Ep( r) = − G , Ep( r1= ∞ ) = 0r⎛⎞⎟⎠

9.5. Gravitacijska potencijalna energija- na površini Zemlje r 1=R Z, r 2=r ( )Epr = −Gm1M Z ⎜ − r RZ( )ZEpr = Gm1M ZRZ rZZ2Z⎛ 1 1⎝r − Rh = r − R

9.5. Gravitacijska potencijalna energijaPrva kozmička brzina= brzina kojom treba lansirati tijelo da bi kružilo oko Zemlje na udaljenosti R ZFcpmvRZ2==Fgmgv = gR = 7.9 km / sZEnergija tijela m koje kruži oko masivnog tijela M2mv mM r= G / ⋅2r r 22mv mM= G2 2 rmM mM mME = K + Ep= G − G = −G2r r 2rUkupna mehanička energija tijela na zatvorenoj putanji je negativna i konstantna.Kinetička energija je konstantna i dva puta manja od potencijalne energije.Pri gibanju dvaju tijela u gravitacijskom polju, ukupna energija i zakretni impuls suočuvani.

9.5. Gravitacijska potencijalna energijaDruga kozmička brzina= brzina kojom treba lansirati tijelo da bi napustilo Zemljino gravitacijsko polje- rad koji treba uložiti pri udaljavanju tijela spovršine Zemlje u beskonačnost∞∞ZZW = ∫ Fdr = ∫ G dr = G = mgR2ZRRr RZZZmMmM- taj rad dobije se naračun kinetičke energije tijelalansiranog brzinom v 2mv222=mgRv = 2gR = 2v = 11.2 km / s2 Z 1Z

9.6. Crne jameMasivna zvijezda → supernova → jezgram < 1.4 M S → bijeli patuljak1.4 M S < m < 3 M S → neutronska zvijezda(r=10 km)m > 3 M S → crna jamaSchwarzschildov radijus-svi dogañaji unutar R Sostaju nevidljivi vani

Binarni sustav koji se sastoji od normalne zvijezde (lijevo) i crne jame (desno).Materija isčupana iz zvijezde stvara ubrzavajući disk oko crne jame koji sezagrijava do visokih temperatura i zrači x-zrake; time crne jame postaju vidljive.

Domaća zadaća 4

1. Čovjek mase100 kg nalazi se u liftu koji sea) diže konstantnom brzinomb) diže akceleracijom 1 m/s 2c) spušta akceleracijom 1 m/s 2 .Ako čovjek ispusti kuglicu na visini 1 m iznad poda lifta, koliko ćevremena kuglica slobodno padati?2. Koliko bi na Mjesecu skočila Blanka Vlašić, ako na Zemljipreskoči visinu 2.08 m?

3. Dvije zvijezde udaljeneza d gibaju se po kružnim putanjamaoko njihovog centra mase. Pokaži da je period svake zvijezde danrelacijom:Napomena: primijeni Newtonovezakone na svaku od zvijezda.Mr=mr2 1d = r + r1 2