Usmeni ispit iz Matematike I

Usmeni ispit iz Matematike I29.01.20021. (a) Definirajte trigonometrijski oblik kompleksnog broja.(b) Izvedite formulu za množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskomobliku.(c) Kako se eksponencijalna funkcija za realne brojeve može proširiti na kompleksnebrojeve? Dokažite da vrijedi formulae z 1+z 2= e z 1e z 2, z 1 , z 2 ∈ C.2. (a) Definirajte transponiranu matricu. Što je transponirana matrica matrice⎡A = ⎣ 1 2 ⎤3 ⎦?4 5 6(b) Definirajte simetričnu i antisimetričnu matricu.(c) Dokažite da se svaka kvadratna matrica može napisati kao zbroj simetričnei antisimetrične matrice.3. (a) Definirajte skalarni, vektorski i mješoviti produkt vektora.(b) Izvedite izraze za skalarni, vektorski i mješoviti produkt vektora za vektorezadane u Kartezijevom koordinatnom sustavu.1

(c) Izvedite formulu za jednažbu ravnine zadane sa tri nekolinearne točke uprostoru.4. (a) Kada kažemo da je funkcija f(x) neprekidna u točki x = a? Definirajteuklonjivi prekid i prekid prve vrste.(b) Definirajte derivaciju funkcije i dokažite da je(cos(x)) ′ = − sin(x).(c) Kako glasi Fermatov teorem? Dokažite ga.5. (a) Definirajte lijevi i desni limes funkcije f(x) u točki x = a.(b) Kako glasi teorem o L’Hospitalovom pravilu? Dokažite ga.6. (a) Kada kažemo da red realnih brojeva konvergira?(b) Kako glasi D’Alambertov i Cauchyev kriterij za konvergenciju reda?(c) Dokažite da je∞∑n=0x n = 1 , |x| < 1.1 − x2