C - Bakı Dövlət Universiteti

AZЯRBAYCAN RESPUBLИKASЫ TЯHSИL NAZИRLИYИBAKЫ DЮVLЯT UNИVERSИTETИFиzиka fakцltяsиИstiqamяtin шifri vя adы:Иxtisasыn шifri vя adы:TEM 030000 FizikaTEM 030012 Атом вя молекул физикасы“Nanomateriallarыn kimyяvi fizikasы ” кафедрасынын маэистрантыSadыqova Kюnцl Rafaиl qыzыnыn(маэистр елми дяряжяси алмаг цчцн)«QRUP nяzяriyyяsinin molekullarыn elektron quruluшunun π elektronluyaxыnlaшmada юyrяnilmяsinя tяtbiqlяri»мювзусундаDИSSERTASИYASЫ ИШИКафедра мцдири: f.-r.e.n. dosent М.Я.РамазановElmi rяhbяr: f.-r.e.n. dosent M.R VahabovaBAKЫ-2009

МЦНДЯРИЖАТ2сящGiriш.................................................................................................................. 3I ФЯСИЛ. молекулларын бирелектронлу йахынлашмасынын щесаблама методлары1.1 Molekulyar orbitallar metodu.....................................................................51.2 Hцkkel metodu...........................................................................................8II ФЯСИЛ π електрон йахынлашмасында бензол молекулунунсимметрикляшдирилмиш молекулйар орбиталларынын щесабланмасы..........................2.1 Benzol molekulunun mяnsub olduьu C6v nюqtяvi simmetriya qrupuнунπ -elektronlu tяsvirinin qurulmasы ......................................................................... 132.2 C6v qrupunun gяtirilя bilmяyяn tяsvirlяrinin matrislяrinin qurulmasы........ 252.3 Benzol molekulunun mяnsub olduьu C6v qrupunun π -elektronluyaxыnlaшmada baxыlan tяsviri цчцn gяtirяn matrisin elementlяrininщesablanmasы.................................................................................................... 412.4 Gяtirяn matrisя яsasяn benzol molekulunun π -orbitallarыnыn qurulmasы... 52III ФЯСИЛ π - електрон йахынлашмасында бензол молекулунун енеръисявиййяляринин щесабланмасы................................................................................3.1 Gяtirяn matrisdяn istifadя etmяklя benzol molekulunun π -elektron enerjisяviyyяlяrinin tapыlmasы..................................................................................... 55Nяticяlяr...........................................................................................................58Резюме.............................................................................................................59Summary..........................................................................................................60Яdяbiyyat.........................................................................................................61

GİRİШ3Mövzunun aktuallığı: Molekullarыn fiziki vя kimyяvi xassяlяrinin mцasirnяzяriyyяsi mцxtяlif metodlarla чoxelektronlu sistemlяrin tяdqiq olunmasыnaimkan verяn kvant mexanikasыnыn яsasыnda qurulmuшdur. Belя ki, kvantmexanikasы metodlarыndan istifadя etmяklя atom vя molekullarda elektronsыxlыьыnыn paylanmasы, enerji sяviyyяlяrinin yerlяшmяsi, spektrlяrdя zolaqlarыn vяxяtlяrin intensivliyi, reaksiyaya girmя qabiliyyяti vя s. kяmiyyяtlяr haqqыndainformasiya almaq mцmkцndцr.Bu mяqsяdlя molekullar цчцn Шredinger tяnliyini hяll etmяk lazыmdыr.Lakin чoxmяrkяzli, чoxelektronlu sistemlяr цчцn Шredinger tяnliyi dяqiq hяlledilmяdiyinя gюrя, mцяyyяn fiziki model яsasыnda qurulmuш mцxtяlif yaxыnlaшmametodlarыndan istifadя olunur. Hazыrda bu modellяrdяn яn geniш yayыlanыbirelektronlu modeldir vя ya birelektronlu yaxыnlaшmadыr.Birelektronlu yaxыnlaшma metodunun mцxtяlif variantlarы mюvcuddur.Onlar iki bюyцk qrupa bюlцnцr: qeyriempirik (sыrf nяzяri) metodlar vяyarыmempirik metodlar. Birinci halda hesablama zamanы sistemin bцtцnelektronlarы nяzяrя alыnыr vя tяcrцbяdяn alыnmыш яlavя mяlumat olmadan dяqiqhesablamalar aparыlыr. Иkinci halda bцtцn elektronlar, yaxud onlarыn bir hissяsiцчцn matris elementlяrinin hesablanmasы zamanы bir sыra uyьun tяcrцbifaktlardan istifadя edilir.Hяlяlik qeyriempirik hesablamalar nisbяtяn az saylы elektron vя nцvяlяrdяnibarяt olan sistemlяrdя, ilk nюvbяdя ikiatomlu molekullarda tяtbiq edilmiшdir.Mцrяkkяb sistemlяr yarыmempirik metodlarla tяdqiq edilir.Molekullarыn elektron quruluшunun hesablanmasы яsasяn molekulyarorbitallar (MO) metodu ilя atom orbitallarыnыn xяtti kombinasiyasы (LCAO)yaxыnlaшmasыnda (MO LCAO metodu) aparыlыr. Variasiya prinsipindяn istifadяetdikdя yцksяk tяrtibli яsri tяnliklяr meydana чыxыr. Bu tяnliklяrlяrin hяlli bюyцkriyazi чяtinliklяrlя яlaqяdardыr. Lakin bir чox molekulyar sistemlяr bu vя ya digяrsimmetriya xassяlяrinя malikdirsя, onda qrup nяzяriyyяsini tяtbiq etmяklя

4baxыlan sistemin dalьa funksiyasыnыn vя enerjisinin tяyin edilmяsi prosesini xeylisadяlяшdirmяk mцmkцn olur.Tədqiqatın əsas məqsədi və vəzifələri: Baxыlan molekulun hяr hansы nюqtяvisimmetriya qrupuna malik olmasы mяlum olduqda qrup nяzяriyyяsimetodlarыndan istifadя edяrяk Шredinger tяnliyini hяll etmяdяn bu molekulundalьa funksiyalarы haqqыnda mцяyyяn mяlumat яldя etmяk mцmkцndцr. Dahadяqiq desяk, bu zaman molekulyar dalьa funksiyalarыnыn qurulmasыna vя enerjisяviyyяlяrinin xarakterini mцяyyяn etmяyя imkan yaranыr.Tədqiqatın obyekti və predmeti:Tədqiqat obyekti kimi benzol molekuluseçilmişdir.Bu molekul doymamış karbohidrogenlərə aiddir və onun bu xüsusiyyətiimkan verir ki,bu molekula molekulyar orbitallar metodununnun sadяləşdirilmişvariantы olan Hцkkel metodunu tətbiq etmək.Bu zaman hesaablamalar π - elektronyaxınlaşmasında aparılır.Bu məqsədlə baxılan molekulun mənsub olduğu simmetriyaqrupuna daxil olan simmetriya çevrilmələrinin təsiri öyrənilir və bunun əsasındaqrupun gətirilə bilən təsviri qurulur.Tədqiqatın informasiya bazası və işlənməsi metodları: Tяqdim olunanmagistr dissertasiyasыnda molekulyar orbitallar metodunun sadя variantы olanHцkkel metodu ilя,qrup nяzяriyyяsi metodunu tяtbiq edяrяk,benzolmolekulunun π -elektronlarыnыn molekulyar orbitallarы vя enerji sяviyyяlяritapыlmышdыr. Bu mяqsяdlяHцkkel metodunun яsas mцddяalarы яtraflы шяrholunmuш, benzol molekulunun mяnsub olduьu C6v nюqtяvi simmetriya qrupununπ -elektronlu yaxыnlaшmada tяsviri, bu qrupun gяtirilя bilmяyяn tяsvirlяrininmatrislяri qurulmuш, C6v qrupunun baxыlan tяsviri цчцn gяtirяn matrisinelementlяri hesablanmыш vя bu matrisя яsasяn benzol molekulunun π -orbitallarыqurulmuшdur. Hцkkel tяnliklяr sisteminin matris шяklindя yazыlmыш xarakteristiktяnliyini gяtirяn matris vasitяsilя oxшar чevirmяyя uьradaraq benzol molekulununπ - enerji sяviyyяlяri tapыlmышdыr.Dissertasiya işinin aprobasiyası: Dissertasiya işinin nəticələri “LEVLANDAU –100 –2008”, “FİZİKA VƏ ASTRONOMİYA PROBLEMLƏRİ –2009”

5elmi konfranslarında, BDU-nun “Nanomaterialların kimyəvi fizikası” kafedrasınınelmi seminarlarında müzakirə edilmiş və çap edilmişdir

I ФЯСИЛ6МОЛЕКУЛЛАРЫН БИРЕЛЕКТРОНЛУ ЙАХЫНЛАШМАСЫНЫНЩЕСАБЛАМА МЕТОДЛАРЫ1.1 Molekulyar orbitallar metoduYuxarыda qeyd etdiyimiz kimi,molekullarыn elektron quruluшununnяzяriyyяsndя molekulyar orbitallar metodu яslindя atom orbitallarы metodununmolekullar цчцn цmumilяшdirilmяsindяn ibarяtdir.Molekulyar orbitallar metodu 1927-1929cu illяrdя Hund Molliken vяLenard-Cons tяrяfindяn tяklif olunub iшlяnmiшdir.Metodun яsas ideyasы ondan ibarяtdir ki,molekulda hяr bir elektronnцvяlяrin vя digяr elektronlarыn yaratdыьы mцяyyяn effektiv xarici sahяdя hяrяkяtedir vя onun halы molekulyar orbital adlanan dalьa funksiyasы ilя tяsvir olunur.Molekulun яsas halыnыn tam elektron dalьa funksiyasыnы qurmaq цчцn, hяrbir molekulyar orbitalda Pauli prinsipinя gюrя яn чoxu iki elektron olmaqla, яnaшaьы enerji sяviyyяsinя uyьun molekulyar orbitaldan baшlayararaq,bu molekulunbцtцn elektronlarы onun molekulyar orbitallarыnda yerlяшdirilir vя moleku luntam elektron dalьa funksiyasы elektronlar tяrяfindяn tutul muш molekulyar spinorbitallardandцzяldilmiш sleyter determi nantы kimi yazыlыr.Bu цsul mяrkяzi sahяyaxыnlaшmasыnda atomun elektron quruluшunu izah etmяk цчцn istifadя olunanqurma prinsipinя tamamilя oxшardыr.Molekulyar orbitallarы qurmaq цчцn adяtяn molekulu tяшkil edяn atomlarыnbirelektronlu dalьa funksiyalarыnыn, yяni atom orbitallarыnыn xяtti kombinasiyasыyaxыnlaшmasыndan istifadя olunur. Hяmin yaxыnlaшmaya gюrя baxыlan molekulцчцn molekulyar orbitallar hяmin molekulu tяшkil edяn atomlarыn atomorbitallarы nыn xяtti kombinasiyasы yaxыnlaшmasыnda molekulyar orbitallar(MOLCAO) metodu adlanыr.Belяliklя, MOLCAO metoduna gюrя

7N∑ψ = C μϕ μ(1.1)μ = 1Cμnamяlum яmsallarы tapmaq цчцn variasiya metodundan istifadя edilir.Mяlumdur ki,∫∗ψ HψdτE = >>∗∫ ψ ψ dτE 0(1.2)E0- яsas halыn enerjisidir.(1.1) bяrabяrliyini (1.2)-dя nяzяrя alaq.∑∑μ∑∑μννC∗μCC∗μνC∫ν∫∗μμ∧ψ Hψdτννϕ ϕ dτϕ funksiyalar ortoqonaldыr, лakin normal deyil.∑∑∗CμCνHμνμ νE =(1.3)C C S∑∑μν∗μνμνBuradaΗμν=∫∗μ∧ϕ H ϕ dτ; S = ∫ϕ∗ ϕ dτюrtmя inteqrallarыdыr.(1.3) ifadяsini baшqa шяkildя yazaq:νμνμν∗∗∑∑ CνHμν−E∑∑ CμCνSμν=C (1.4)μ0μ ν μ ν∂E∂C μ= 0μ = 1,2,...N

8(1.4)-dяnCμ-yя gюrя tюrяmя alaq.∂E−∗∂Cμ∗∑CμCνS μν −E∑CνS μν + ∑ CνH μν=μ ν ν0∂E−∂C∗μ∗∑∑ CμCνS μν =μν0Enerjinin minimum шяrtindяn istifadя edirik.Onda ∑ C ( H −ES) =(1.5)νν μν μν0Ημν−ES = 0(1.6)μν(1.6) шяrti юdяnsя, yяni determinant sыfra bяrabяr olsa, (1.5) xяtti tяnliklяrsisteminin hяlli sыfыrdan fяrqli ola bilяr.(1.5) tяnliyi яsri tяnlik adlanыr. (1.6)determinantыnы aшaьыdakы шяkildя yazmaqolar:ΗΗ1121−ES−ES1121....................Η−n1ES n 1ΗΗ1222−ES−ES1222.....................Η−n2ES n 2ΗΗΗ1n2nnn−ES−ES−ES1n2n......................nn=0Determinantыn hяlli enerji цчцn n qiymяt verir,onlarы (1.5) ifadяsinя yazыbCνяmsallarыnы yazыb uyьun molekulyar orbitallarы (MO) tapыrыq.яmsallarыnы hesablamaq цчцnbilmяk lazыm gяlir.CνnamяlumHμνvя Sμνmatris elementlяrinin яdяdi qiymяtlяrini

1.2 Hцkkel metodu9Molekulyar orbitallar metodunu sadяlяшdirmяk цчцn Hцkkel σ vя πrabitяlяri ayыrmaq vя hesablama zamanы yalnыz π rabitяlяri nяzяrя almaьы tяklifetmiшdir. Иki fяrziyyя tяklif olunmuшdur:1.Bцtцn π orbitallarыn bir dцyцn mцstяvisi vardыr.2.Bцtцn rabitяlяrin uzunluьu bяrabяrdir.Hцkkel metodu doymamыш karbohidrogen molekullarыnыn hesablanmasыndatяtbiq olunur.π -rabitяlяri yaradan karbon atomlarыnыn 2Pz orbitallarы цчцn xяttikombinasiya qurulur. Bu metodda hidrogen atomlarыna baxыlmыr. Яsri tяnliyi hяlletmяk цчцn Hцkkel tяrяfindяn aшaьыdakы yaxыnlaшmalar qяbul edilmiшdir.1.Qonшu atomlarыn atom orbitallarыnыn юrtmя inteqrallarы sыfra bяrabяrdir.S μν=⎧⎨⎩01μ ≠νμ = ν(1.8)∗ ∧∗2. = ∫ ϕ H ϕ dτ= αH < 0μνμμα (1.9)Bu inteqrallar bцtцn atomlar цчцn bяrabяr qяbul edilir vя Kulon inteqrallarыadlanыr.α -nыn qiymяti яks iшarя ilя karbon atomlarыnыn p valent halыnыn ionlaшmapotensialыnыn qiymяtinя bяrabяr gюtцrцlцr.3. Hμνinteqrallarы yalnыz qonшu atomlar цчцn bяrabяr gюtцrцlцr.Ημν∧∗= ∫ ϕμH ϕνdτ= β ( β

10olur. Hцkkelin tяklif etdiyi yaxыnlaшmalar nяzяrя alыndыqda (1.5) tяnliklяr sistemiaшaьыdakы шяkildя yazыla bilяr:C ( α − E)+ C β + ... + C β = 01C β + C1..............................................................121n122n2212C β + C β + ... + Cnnn1n( α − E)+ ... + C β = 02n( α − E)= 0⎫⎪⎬⎪⎪⎭(1.12)α − Eββ21n1β12α − Eβn2.........ββ1n2n( α − E)=0 (1.13)(1.12) sistemini aшaьыdakы kimi yazmaq olar:∑C ( α − E)+ β = 0(1.14)μC νμ > να − Eχ = яvяzetmяni qяbul edirik, onda (1.14) ifadяsi aшaьыdakы шяklя dцшцr.β+∑χ C C = 0(1.15)μμ→νν(1.13) determinantыnыn hяlli enerji цчцn n sayda qiymяtlяr verir:E = α + m βμ = 1,2..., nμμBunu qrafik шяklindя gюstяrmяk olar:

Шяkil 1.111α − 2βα − βrabitя yaratmayanαα + βrabitя yaradanα + 2βEnerji цчцn bir sыra qiymяtlяr чoxluьu alыnыr. Enerjinin sыfыr qiymяtiE = αgюtцrцlцr, yяni elektronun sяrbяst karbon atomunun 2Pz atom orbitalыndakыenerjisinя bяrabяrdir.(1.14) Hцkkel tяnliklяrinя daxil olan α vя β kяmiyyяtlяri Hцkkel parametrlяriadlanыrlar vя onlarыn hяr ikisi mяnfi iшarяlidir. Tяyinindяn gюrцndцyц kimi,αkяmiyyяti izolя olunmuш karbon atomunda elektronun enerjisini xarakterizя edir.Rezonans inteqralы β isя nцvяlяrin σ -elektronlar tяrяfindяn ekranlaшmышsahяsindя χ pχqsыxlыьы ilя paylanmыш elektron yцkцnцn enerjisinя tяqribяn bяrabяrolan kяmiyyяtdir.α vя β parametrlяri bilavasitя hesablanmыr vя mцяyyяn mцlahizяlяrяяsaslanan tяcrцbi faktlarla mцqayisя яsasыnda qiymяtlяndirilirlяr.

12Yuxarыda Hцkkel metodunu шяrh edяrkяn belя hesab olunurdu ki,baxыlandoymamыш karbohidrogen molekuluna yalnыz karbon atomlarы daxildir(Hцkkelmetodunda hidrogen atomlarы nяzяrя alыnmыr). Lakin bir sыra цzvi birlяшmяlяrindoymamыш molekullarыnda karbon atomlarыndan baшqa digяr atomlar(heterоatomlar) da iшtirak edir (mяsяlяn,oksigen,azot vя s.).Belя sistemlяrdя heteroatomlar цчцn Kulon vя rezonans inteqrallarыnыnqiymяtlяri α vя β Hцkkel parametrlяrindяn fяrqli olmalыdыr.Hцkkel metodu kobud yaxыnlaшmalara яsaslandыьыndan onun tяtbiqi zamanыyaranan xяtalarы яvvяlcяdяn qiymяtlяndirmяk qeyri-mцmkцndцr. Яgяrmolekulda karbon atomlarыnыn hяr biri цчцn hяndяsi яhatя eynidirsя,yalnыz ondaβ parametrini bir molekul цчцn eyni hesab etmяk olar. Lakin bir molekul цчцneyni olan bu β parametrini digяr nюv molekula aid etmяk olmaz. Hцkkelmetodunun tяtbiqi nяticяsindя yaxшы olmayan nяticяlяrin alыnmasыnыn яsas sяbяbimяhz bu amilin nяzяrя alыnmamasыdыr.Цmumiyyяtlя, belя nяticяyя gяlmiшlяr ki, Hцkkel metodu az vя ya чoxdяrяcяdя qяnaяtbяxш sayыla bilяn kяmiyyяt nяticяlяri almaq цчцn praktik olaraqyararsыzdыr. Lakin,eyni zamanda, qeyd etmяk lazыmdыr ki, Hцkkel metodu heч dяilk baxышdan gюrцndцyц qяdяr dя pis deyildir. Bu metodun diqqяti cяlb edяn яsasyaxшы cяhяti onu tяtbiq etmяklя bir чox kimyяvi faktlarы keyfiyyяtcя, bяzяn isяhяtta qismяn kяmiyyяtcя asanlыqla шяrh etmяyя imkan vermяsidir. Mяsяlяn,Hцkkel metodunun kюmяyi ilя цzvц kimyanыn keyfiyyяtcя цmumi nяzяriyyяsininqurulmasы bu elm sahяsinin inkiшafыn da tarixi bir mяrhяlя kimi mцhцm roloynamышdыr.Hцkkel metodunu qoшma rabitяlяri olan istяnilяn molekula tяtbiq etmяkolar. Lakin bюyцk molekullara Hцkkel metodunun tяtbiqi prinsipial чяtinliklяrlяяlaqяdar olmasa da, bюyцk hesablama чяtinliklяri ilя qarшыlaшыr. Чцnki belяmolekullar цчцn (1.15) tяnliklяr sistemindяki tяnliklяrin sayы vя demяli, busistemin xarakteristik determinantыnыn tяrtibi xeyli bюyцk olur vя onunhesablanmasы чox чяtilяшir. Яgяr baxыlan molekul mцяyyяn simmetriyayamalikdirsя,yяni mцяyyяn nюqtяvi qrupa aid edilя bilяrsя, onda bu simmetriya

13xassяlяrindяn istifadя etmяklя, hяmin molekul цчцn Hцkkel metodu ilяhesablamalarы xeyli sadяlяшdir mяk olar. Bu sadяlяшmя ondan ibarяtdir ki,qrupnяzяriyyяsi metodlarыnы tяtbiq etmяklя baxыlan molekul цчцn (1.15) tяnliklяrsisteminin xarakteristik determinantыnы daha kiчik tяrtibli determinantlarыn hasilikimi gюstяrmяk olur.

II ФЯСИЛπ ЕЛЕКТРОН ЙАХЫНЛАШМАСЫНДА БЕНЗОЛМОЛЕКУЛУНУН СИММЕТРИКЛЯШДИРИЛМИШМОЛЕКУЛЙАР ОРБИТАЛЛАРЫНЫН ЩЕСАБЛАНМАСЫ142.1 Benzol molekulunun mяnsub olduьu C6v nюqtяvi simmetriya qrupuнунπ - elektronlu tяsvirinin qurulmasыQrup nяzяriyyяsinin tяtbiqi hяm dя baxыlan molekulun bцtцnlцkdя юzhallarыnыn vя birelektronlu hallarыnыn tяsnifatыnы vermяyя, Шredinger tяnliyinibilavasitя hяll etmяdяn molekulun simmetriklяшdirilmiш molekulyar orbitallarыnыtapmaьa,mцxtяlif hallar arasыnda keчidlяr цчцn seчmя qaydalarыnы mцяyyяnetmяyя vя s. imkanlar yaradыr.Tяqdim olunan magistr dissertasiyasыnda qrup nяzяriyyяsini tяtbiq etmяklяHцkkel metodu ilя benzol (C6H6) molekulunun π -molekulyar orbitallarы vяπ -enerji sяviyyяlяri hesablanmышdыr. Bizim hesablamalarыmыzda benzol molekulundakarbon atomlarы 2.1 шяklindяki kimi nюmrяlяnmiшdir.σ v3zy5463σv2σd 312σ d1xσ v1σ d 2Шяkil 2.1 Benzol molekulunda karbon atomlarыnыnnюmrяlяnmяsi vя C6v simmetriya qrupunun elementlяriOnda benzol molekulu цчцn Hцkkel tяnliklяr sistemi aшaьыdakы kimi olar:

15XC1 + C2 +C6 =0C1 + XC2 + C3 =0C2 + XC3 + C4 =0C3 + XC4 + C5 =0(2.1)C4 + XC5 + C6 =0C1+ C5+ XC6 =0Namяlum Ck (k=1,6) яmsallarыnы tapmaq цчцn yazыlmыш (2.1) xяtti bircinslitяnliklяr sisteminin xarakteristik (яsri) tяnliyi aшaьыdakы kimi olar:x 1 0 0 0 11 x 1 0 0 00 1 x 1 0 0 = 0 (2.2)0 0 1 x 1 00 0 0 1 x 11 0 0 0 1 xBurada x kяmiyyяti (1.15) kimi tяyin olunur.Benzol molekulunun simmetriya xassяlяrindяn istifadя etmяklя (1.5) яsritяnliyinin hяllini qrup nяzяriyyяsi vasitяsilя xeyli sadяlяшdirmяk vя bu molekulun6∑Ψi= C μϕ μ(2.3)μ = 1

16π - molekulyar orbitallarыnы vя bunlara uyьun εienerji sяviyyяlяrini tapmaqolar.Benzol (C6H6) molekulu C6v nюqtяvi simmetriya qrupuna mяnsubdur.Buqrupa aшaьыda gюstяrildiyi kimi 12 sayda simmetriya elementi daxildir.И-vahid element;C2- molekulun kцtlя mяrkяzindяn keчяn vя molekul mцstяvisinяperpendikulyar olan ox яtrafыnda saat яqrяbi hяrяkяtinin яksi isti qamяtindя 180 º(π ) bucaq qяdяr dюnmя;1C3-hяmin ox яtrafыnda hяmin istiqamяtdя 120 º (2π /3) bucaq qяdяr dюnmя;2C3-hяmin ox яtrafыnda hяmin istiqamяtdя 240 º (4π /3) bucaq qяdяr dюnmя;1C6-hяmin ox яtrafыnda hяmin istiqamяtdя 60 º (π /3) bucaq qяdяr dюnmя;5C6-hяmin ox яtrafыnda hяmin isiqamяtdя 300 º (5π /3) bucaq qяdяr dюnmя;σv1,v2σ , σv3- hяmin oxdan vя bir-birinin qarшыsыnda yerlяшяn karbonatomlarыndan molekul mцstяvisinя perpendikulyar olmaqla keчяn mцstяvilяrdяяks olunmalar;σd1,d 2σ , σd 3-hяmin oxdan vя bir-birinin qarшыsыnda yerlяшяn C-C rabitяxяtlяrinin ortasыndan molekul mцstяvisinя perpendi kulyar olmaqla keчяnmцstяvilяrdя яks olunmalar.Hяr bir simmetriya яmяliyyatы zamanы molekulu tяшkil edяn atomlarыn atomorbitallarы uyьun dekart koordinatlarы kimi чevril mяlidir.

17Hцkkel metodunda hяr bir karbon atomundan yalnыz 2Pz-atom orbitalыnяzяrя alыnыr. Ona gюrя dя z oxunu molekulun kцtlя mяrkяzindяn keчяn vяmolekul mцstяvisinя perpendikulyar olan ox kimi gюtцrsяk, yuxarыda gюstяrilяnhяr bir simmetriya яmяliyyatы zamanы benzol molekulunda karbon atomlarыnыn2Pz- atom orbitallarыnыn чevrilmяlяri sadяcя olaraq altыbucaqlыnыn 1 2 3 4 5 6tяpяlяrinin yerdяyiшmяlяrinя uyьun olacaqdыr.C6v qrupunu tяшkil edяn yuxarыda gюstяrilяn simmetriya яmя liyyatlarыzamanы benzol molekulu цчцn Hцkkel metodunda karbon atomlarыnыn 2Pz bazisatom orbitallarыnыn чevrilmяlяri cяdvяl 2.1-dя verilmiшdir.(Cяdvяl 2.1)Simmetriya elementlяriBazisfunksiyalarыC1(2Pz)1И1 2C2 C3C 31C 65C σ6 V1σV 2σV 3σd1σd 2σ d 3χ χ1χ4χ3χ5χ2χ6χ1χ5χ3χ4χ2χ6C (2P)2 zχ χ2 2 χ5χ4χ6χ3χ1χ6χ4χ2χ3χ1χ5C (2P)3 zχ3χ3χ6χ5χ1χ4χ2χ5χ3χ1χ2χ6χ4C (2P)4 zχ χ4 4 χ1χ6χ2χ5χ3χ4χ2χ6χ1χ5χ3C (2P)5 zχ5χ5χ2χ1χ3χ6χ4χ3χ1χ5χ6χ4χ2C (2P)6 zχ6χ6χ3χ2χ4χ1χ5χ2χ6χ4χ5χ3χ1

18Hesablamalar zamanы qrupun elementlяri цчцn “vurma” cяdvяlini bilmяk lazыmgяlir. Keli kvadratы adlanan bu vurma cяdvяlinin C6v qrupu цчцn aшaьыdakы kimiolduьunu mцяyyяn etmiшik. (2.2 cяdvяli)Keli kvadratы : Cяdvяl (2.2)1Ы C C6 3 21Ы Ы C C6 3 21 12 5C6C C6 3C2 C3 6C3C3 22 5C C3 62 5C2C2 C3 62 2 5C3C3 65 5C6 62 5C C3C σ6 V1σV 2σV 3σd1σd 2σ d 32 5C C3C σ6 V1σV 2σV 3σd1σd 2σ d 3C Ы d 2C Ы1C Ы1C Ы1C Ы1σ σd 3σd1σV 2σV 3σ V 1C σ6 V 3σV1σV 2σd 3σd1σ d 2C C6 3σd1σd 2σd 3σV1σV 2σ V 3C C6 3C2σV 2σV 3σV1σd 2σd 3σ d 12C C6 3C2 C σ3 d 3σd1σd 2σV 3σV1σ V 2σV1σV1σd 3σV 2σd1σV 3 d 2σ Ы 32σV 2σV 2σd1σV 3σd 2σV1σd 3 325 1C C C3 2 C6C6C Ы 32σV 3σV 3σd 2σV1σd 3σV 2σd1C3 315C C C6 2 C6C Ы55 1σd1σd1σV 3σd 2σV1σd 3σV 2C2 C6 6C1C6C6 2C Ы 315 2σd 2σd 2σV1σd 3σV 2σd1σV 3 C C6 2 C6 32C C3C Ы C315 2σd 3σd 3σV 2σd1σV 3σd 2σV1C3 C C6 2 C6C3ЫBurada Г(g)- qrupun g elementinя uyьun matrisini gюstяrir.Bunlar aшaьыdakыlardыr:

1 0 0 0 0 0190 1 0 0 0 00 0 1 0 0 0Ы = 0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 10 1 0 0 0 10 0 1 0 0 00 0 0 1 0 01C = 0 0 0 0 1 060 0 0 0 0 11 0 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 01C = 0 0 0 0 0 131 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0

0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1C = 1 0 0 0 0 020 1 0 0 0 00 0 1 0 0 0200 0 0 0 1 00 0 0 0 0 11 0 0 0 0 02C = 0 1 0 0 0 030 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 0 11 0 0 0 0 00 1 0 0 0 05C = 0 0 1 0 0 060 0 0 1 0 00 0 0 0 1 0

1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 10 0 0 0 1 0σ = 0 0 0 1 0 0v10 0 1 0 0 00 1 0 0 0 0210 0 0 0 1 00 0 0 1 0 00 0 1 0 0 0σ = 0 1 0 0 0 0v 21 0 0 0 0 00 0 0 0 0 10 0 1 0 0 00 1 0 0 0 01 0 0 0 0 0σ = 0 0 0 0 0 1v 30 0 0 0 1 00 0 0 1 0 0

0 0 0 1 0 00 0 1 0 0 00 1 0 0 0 0σ = 1 0 0 0 0 0d 10 0 0 0 0 10 0 0 0 1 0220 1 0 0 0 01 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1σ = 0 0 0 0 1 0d 20 0 0 1 0 00 0 1 0 0 00 0 0 0 0 10 0 0 0 1 00 0 0 1 0 0σ = 0 0 1 0 0 0d 30 1 0 0 0 01 0 0 0 0 0

23Bu matrislяrin, yяni C6v qrupunun baxыlan gяtirilя bilяn tяsvirinin qrupdakыsiniflяr цzrя X(Г/g) xarakterlяri cяdvяl2.3-dя verilmiшdir.Cяdvяl 2.3g И C2 2C3 2C6 3 σv3σdX(Г/g) 6 0 0 0 2 0C6v nюqtяvi qrupunun Гi gяtirilя bilmяyяn tяsvirlяrini X(Гi /g) xarakterlяri cяdvяl2.4-dяki kimidir.Cяdvяl 2.4gЫ C2 2C3 2C6 σvσ3 3dГiA11 1 1 1 1 1Tzα + α , αxxyyzzA21 1 1 1 -1 -1RzB11 -1 1 -1 1 1B21 -1 1 -1 -1 1E1E22 -2 -1 1 0 0(Tx,Ty);(Rx,Ry)( αxz,αyz)2 2 -1 -1 0 0( αxx−αyy,αxy)

24C6v qrupunun baxыlan gяtirilя bilяn tяsvirinin hansы gяtirilя bilmяyяn tяsvirlяrяparчalandыьыnы mцяyyяn etmяk lazыmdыr.Bu mяqsяdlя cяdvяl 2.4-dяki Гi gяtirilя bilmяyяn tяsvirlяrinin hяr birininbaxыlan gяtirilя bilяn tяsvirdя neчя dяfя daxil olduьunu tapaq. Bunun цчцn isя 2.3vя 2.4 cяdvяllяrindяn vя mяlum1mi= ( Гi/g)X ( Г / g)N∑ X+g(2.4)dцsturundan istifadя edяcяyik.Burada N-qrupun tяrtibidir.(baxыlan halda N=12, X + (Гi/g))- Гi gяtirilя bilmяyяntяsvirlяrindя qrupun g elementinя uyьun mat risin xarakterinin kompleksqoшmasыnы gюstяrir vя cяmlяmя qrupun bцtцn elementlяri цzrя aparыlыr.Belяliklя, tapыrыq ki1∑1[+++mA= X ( Г g)X ( Г g)= X ( Г I)X ( Г I)+ X ( Г C ) X ( ГC )1AAA 22111N gN+11+ X ( Г C ) X ( Г C ) +A133+ 2211X ( Г C ) X ( Г C ) + X ( Г C ) X ( Г C )A133+ +A661+ 55+ X ( Г C ) X ( Г C ) + X+ Г σ ) X ( Г σ ) + X Г σ ) X ( Г σ )A166(A v1v11+ ( +A v2v2+ X+ Г σ ) X ( Г σ ) + X+ Г σ ) X ( Г σ ) + +X Г σ ) X ( Г σ )(A v3v31(A d1d111(A d 2d 2+ X+ ( Г σd 3)X ( Г σd 3)] 1= (1 ⋅ 6 + 1⋅0 + 1⋅0 + 1⋅0 + 1⋅0 + 1⋅0 + 1⋅2 +A1121+ 1 ⋅ 2 + 1⋅2 + 1⋅0 + 1⋅0 + 1⋅0)= ⋅ 12 = 1121Hяmin qayda ilя hesablamalar apararaq,

1m = ( ) ( ) = 02 ∑ + AX Г g X Г g ,A2Ng251m = ( ) ( ) = 11 ∑ + BX Г g X Г g ,B1Ng1m = ( ) ( ) = 02 ∑ + BX Г g X Г g ,B2Ng1m = ( ) ( ) = 11 ∑ + EX Г g X Г g ,E1Ng1m = ( ) ( ) = 12 ∑ + EX Г g X Г gE 2Ngolduьunu tapыrыq.Demяli, C6v qrupunun A1 vя B1 birюlчцlц,E1 vя E2 iki юl чцlц gяtirilяbilmяyяn tяsvirlяrinin hяr biri bu qrupun baxыlan gя tirilя bilяn tяsvirinя 1 dяfяdaxil olur, A2 vя B2 birюlчцlц gяtirilя bilmяyяn tяsvirlяri isя daxil olmurlar. Baшqasюzlя,C6v qrupunun baxыlan gяtirilя bilяn 6 юlчцlц Г tяsviri hяmin qrupun gяtirilяbil mяyяn tяsvirlяrinя aшaьыdakы qayda цzrя parчalanыr:Г = A + & + & + &(2.5)1B1E1E2Burada +& iшarяsi gюstяrir ki, baxыlan gяtirilя bilяn tяsvirin tяyin olunduьuxяtti fяza hяr biri mцяyyяn gяtirilя bilmяyяn tяsvirя aid olan invariant altfяzalardan ibarяtdir.Sadя MO LCAO metodunda qrup nяzяriyyяsinin tяtbiqiяslindя hяr bir baxыlan hal цчцn bu metodun (1.5) яsri determi nantыnыkvazidiaqonal шяklя gяtirя bilяn C -1 (H-ES)C oxшar чevirmяsi цчцn yararlы olan Cgяtirяn matrisin aшkar ifadяsinin tapыlmasыndan,yяni hяmin matrisin

26elementlяrinin hesablanma sыndan ibarяtdir. Hцkkel metodunda isя bu mяsяlя(1.12) xяtti bircisli tяnliklяr sisteminin (1.5) tipli яsri determinantыnы kvazidiaqonal шяklя gяtirя bilяn oxшar чevirmяni hяyata keчirmяyя imkan verяn Cgяtirяn matrisin tapыlmasыndan ibarяt olur.2.2 C6v qrupunun gяtirilя bilmяyяn tяsvirlяrinin matrislяrinin qurulmasıhesablamaqdan юtrцHяr hansы bir nюqtяvi qrupun baxыlan tяsviri цчцn gяtirяn matrisinelementlяrini hяmin qrupun gяtirilя bilmяyяn tяsvirinin matrislяrinin aшkarifadяsini bilmяk tяlяb olunur. Qrup nяzяriyyяsinin tяtbiqlяrinя aid olan elmiяdяbiyyat da isя adяtяn nюqtяvi z qruplarыn gяtirilя bilmяyяn tяsvirlяrinin yalnыzxarakterlяri cяdvяl шяklindя (mяsяlяn, 2.4 cяdvяli) verilir.Hяr bir nюqtяvi qrup цчцn gяtirilя bilmяyя tяsvirlяrin xarakterlяrinincяdvяlindяn istifadя etmяklя bu tяsvirlяrin matrislяrini qurmaq mцmkцndцr. Bumяqsяdlя bir sыra mяlum qaydalardan istifadя etmяk lazыmdыr ki, onlarыn dabяzilяri aшaьыdakы kimidir.1.Birюlчцlц gяtirilя bilmяyяn tяsvirlяrin matrislяri onlarыn uyьun xarakterlяrcяdvяlindяki xarakterlяri ilя eynidir. Birюlчцlц tяsvirin matrisi dя birюlчцlцolduьundan bu qayda trivialdыr.2.Nюqtяvi qruplarыn gяtirilя bilmяyяn tяsvirlяrinin xarakterlяri cяdvяllяrindяяksяr hallarda bu gяtirilя bilmяyяn tяsvirlяrin hяr biri цzrя чevrilя bilяnfunksiyalar toplusu gюstяrilir. Bu funksiyalarы X sцtun vektoru kimi yazaraqqrupun elementlяrinя uyьun яmяliyyatlar zamanы X-in чevrilmяsini mцяyyяnedяn matrislяri tapыrlar ki,bunlar da hяmin gяtirilя bilmяyяn tяsvirlяrininmatrislяri olur.Yuxarыda gюstяrilяn funksiyalar toplusu adяtяn aшaьыdakы kimi olur:1.Xarakterlяr cяdvяllяrindя,uyьun olaraq,Tx,Ty vя Tz kimi iшarя olunan x,y vя z;2.Xarakterlяr cяdvяllяrindя αxx, αyy,αzz,αxy,αxzvя αyzkimi iшarя olunan

27x 2 ,y 2 ,xy,xz vя yz;3.Aksial vektorlarыn hяr biri R-in indeksi kimi gюstяrilяn ox яtrafыnda dюnmяyяuyьun olan Rx,Ry,Rz komponentlяri.Bu vektorlar aшaьыdakы kimi yazыla bilяr (шяkil 2.2)kiγyШяkil 2.2xR x i = y j ⋅ zk,Ryj = zk ⋅ xi,R z i = xi ⋅ y j(2.6)Bizim baxdыьыmыz halda yuxarыda gюstяrilяn qaydalarla kifayяtlяnmяk olar.C6v qrupuna z oxu яtrafыnda α bucaьы qяdяr dюnmя яmяliyyatlarы da daxilolduьundan x,y,z dekart koordinatlarыnыn bu яmяliyyatlar zamanы чevrilmяsidцsturlarыnы bilmяk lazыmdыr.Mяlumdur ki, koordinat baшlanьыcы dяyiшmяz qalmaq шяrti ilя aparыlanяmяliyyatlar zamanы dekart koordinatlarыnыn чevrilmяsi цmumi шяkildя aшaьыdakыdцsturlarla ifadя olunur:

x′= x cosα+ y cosβ+ z cosγ1y′= x cosα+ y cosβ+ z cosγ2z′= x cosα+ y cosβ+ z cosγ3132132(2.7)28Buradax ′, y′, z′- r radius-vektorunun yeni, x,y,z isя ilkin koordinant oxlarыцzrя proyeksiyalarы, α1, α2,α 3−x′oxunun, β1, β2,β 3−y′oxunun, γ1, γ2,γ3isя z′oxunun,uyьun olaraq, x,y,z oxlarы ilя яmяlя gяtirdiyi bucaqlardыr.Koordinat sisteminin z oxu яtrafыnda saat яqrяbinin яksi istiqamяtindя ϕbucaьы qяdяr fыrlanmasы (шяkil 2.3) яmяliyyatы цчцn (2.8)fadяlяri aшaьыdakы kimiolur:x′yϕ0 xy′Шяkil 2.3x′= x cosϕ− y sinϕy′= xsinϕ+ y cosϕz′= z(2.8)Bu чevirmя яmяliyyatыna uyьun Г (ϕ ) matrisi⎛cosϕ⎜Г ( ϕ)= ⎜sinϕ⎜⎝0− sinϕcosϕ00⎞⎟0⎟1 ⎟⎠(2.9)

hяmin чevirmя isя,29⎛ x′⎞ ⎛ x ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ y′⎟ = Г(ϕ ) ⎜ y⎟(2.10)⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ z′⎠ ⎝ z ⎠kimi yazыla bilяr. Lakin koordinatlarыn (2.3) чevrilmяsi zamanы z koordinatыdяyiшmяdiyindяn (2.4) vя (2.5)-i, sadяlik naminя,⎛cosϕ− sinϕ⎞Г ( ϕ)= ⎜⎟⎝sinϕcosϕ⎠(2.11)⎛ x′⎞ ⎛ x ⎞⎜ ⎟ = Г(ϕ ) ⎜ ⎟(2.12)⎝ y′⎠ ⎝ y⎠kimi dя yazmaq olar.Cяdvяl 2.4-dяn gюrцnцr ki, C6v qrupunun E1 vя E2 kimi iki ikiюlчцlц gяtirilяbilmяyяn tяsviri vardыr. Demяli, yalnыz onlarыn matrislяrini tapmaq lazыmdыr.Яvvяlcя E1 gяtirilя bilmяyяn tяsvirin matrislяrini tapaq.C6v qrupunun gяtirilя bilmяyяn tяsvirlяrinin xarakterlяri cяdvяlindяn(bax:cяdvяl 2.4) gюrцndцyц kimi, E1 gяtirilя bilmяyяn tяsviri цzrя dяyiшяn funksiyalarcцtц (Tx,Ty), (Rx,Ry) vя ( α , ) kimidir. Biz bunlardan hяr hansы birini, mяsяlяnxxαyy(Tx,Ty)=(x,y) funksiyalar cцtцnц gюtцrяk vя sцtun vektoru kimi yazaq:Koordinat oxlarыnы 1.1 шяklindяki kimi seчяk. Aydыndыr ki,qrupun vahidяuyьun elementi eynilik чevrilmяsini gюstяrdiyindяn bu element цчцn vahid matrisalыnыr:⎛ x ⎞ ⎛ x′⎞Г1( I)X1=Г1(I)⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⇒⎝ y⎠⎝ y′⎠x′= xy′= y(2.13)

⎛10⎞Г1(İ)= ⎜ ⎟⎝ 0 1 ⎠(2.14)301 2 1 5C6v qrupunun C , C , C , C C elementlяri 2.1-dя gюstяrildiyi kimi,uyьun2 3 3 6,6olaraq, ϕ = π , 2π, 4π, π , 5πbucaqlarы qяdяr dюnmяlяrя uyьundur. Ona3 3 3 3gюrя dя (3.6)-ya яsasяn E1 gяtirilя bilmяyяn tяsvirdя bu elementlяrя uyьun gяlяnmatrislяr aшaьыdakы kimi olar:⎛−10 ⎞Г1( C 2) = ⎜ ⎟ ⇒⎝ 0 −1 ⎠x′= −xy′= −y(2.15)Г(С 11 3) =⎛⎜ −⎜⎜⎜⎝12323 ⎞− ⎟2 ⎟1 ⎟⇒− ⎟2 ⎠1x′= − x −2y′=32x −1232yy(2.16)⎛ 1⎜ −3 ⎞⎟Г = ⎜ 2( С 2)2 ⎟1 3⎜ 3 1 ⎟⇒⎜−− ⎟⎝ 2 2 ⎠x′=y′= −1− x +232x −1232yy(2.17)⎛ 1 3 ⎞⎜ − ⎟Г = ⎜ 2( С 11 6)2 ⎟⎜ 3 1 ⎟⇒⎜⎟⎝ 2 2 ⎠x′=y′=12x −32x +3212yy(2.18)

⎛ 1 3 ⎞⎜⎟Г = ⎜ 2( С 5)2 ⎟1 6⎜ 3 1 ⎟⇒⎜−⎟⎝ 2 2 ⎠x′=y′= −1x +232x +3212yy(2.19)311.1 шяklindяn gюrцnцr ki, σv1яmяliyyatы цчцnГ⎛−10 ⎞⎛x ⎞ ⎛ x′⎞σv1)= ⎜ ⎟⎜⎟ = ⎜ ⎟⎝ 0 1 ⎠⎝y⎠⎝ y′⎠1( X1(2.20)Г⎛−10 ⎞σv1)= ⎜ ⎟ ⇒⎝ 0 1 ⎠1( X1x′= −xy′= y(2.21)yazmaq olar. C6v qrupu цчцn Keli kvadratыndan (Cяdvяl 2.2) gюrцnцr ki,1σ = . ,(2.22)v2 σ v 1C3σ = (2.23)2v3 σ v 1. C3kimi yazmaq olar.Ona gюrя dя (2.11), (2.12) vя (2.16)-dяn istifadя etmяklя (2.17)vя (2.18)-я σv2vя σv3elementlяrinя uyьun olan matrislяri tapmaq olar:⎛ 1 3 ⎞⎜ ⎟1= ⋅ = ⎜ 2Г1(σV 2)Г1(σv1)Г1(С3) 2 ⎟ ⇒⎜ 3 1 ⎟⎜ − ⎟⎝ 2 2 ⎠x′=y′=12x +32x −3212yy(2.24)

⎛ 1 3 ⎞⎜ − ⎟2= ⋅ = ⎜ 2Г1(σv3)Г1(σv1)Г1(С3)2 ⎟ ⇒⎜ 3 1 ⎟⎜−− ⎟⎝ 2 2 ⎠x′=y′= −1x −232x −3212yy(2.25)321.1 шяklindяn gюrцnцr ki, σd1яmяliyyatы цчцnГ⎛ 1 0 ⎞⎛x ⎞ ⎛ x′⎞σd1)= ⎜ ⎟⎜⎟ = ⎜ ⎟⎝ 0 −1⎠⎝y⎠⎝ y′⎠1( X1(2.26)Г⎛ 1 0 ⎞σd1)= ⎜ ⎟ ⇒⎝ 0 −1 ⎠1( X1yazmaq olar. 2.2 cяdvяlindяnx′= xy′= −y(2.27)1σ = . ,(2.28)d 2σ d 1C3σ = (2.29)2d 3σ d 1. C3olduьu gюrцnцr.Onda (2.11),(2.12),(2.21),(2.22), (2.23) vя(2.24) ifadяlяrinя яsasяnГ1( σd 2) vя Г1( σd 3)matrislяrini tapmaq olar⎛ 1⎜ −3 ⎞− ⎟1= ⋅ = ⎜ 2Г1(σd 2)Г1(σd1)Г1(С3)2 ⎟ ⇒⎜ 3 1 ⎟⎜−⎟⎝ 2 2 ⎠1x′= − x −2y′= −32x +3212yy(2.30)

⎛ 1⎜ −3 ⎞⎟2= ⋅ = ⎜ 2Г1(σd 3)Г1(σd1)Г1(С3)2 ⎟ ⇒⎜ 3 1 ⎟⎜ ⎟⎝ 2 2 ⎠1x′= − x +2y′=32x +1232yy(2.31)33Иndi isя C6v qrupunun gяtirilя bilmяyяn ikiюlчцlц E2 tяsvirinin matrislяrinitapaq. 2.4 cяdvяlindяn gюrцndцyц kimi bu tяsvir цzrя yalnыz2 2( α −α, α ) = ( x − y , xy)funksiyalar cцtц чevrilir.xxyyxyBu funksiyalarыX2⎛ x − y= ⎜⎝ xy2⎞⎟⎠(2.32)sцtun vektoru kimi yazaq vя hяmin sцtun vektorun C6v qrupu цzrя чevrilmяsinimцяyyяn edяn matrislяri hesablayaq.(2.9)-a яsasяnx′2− y′2= x2− y2x ′ y′= xyolduьundan2 22 2⎛10⎞⎛x − y ⎞ ⎛ x′− y′⎞Г⎟⎜⎟ = ⎜ ⎟2( I)X2=⎜(2.33)⎝01⎠⎝x′y′⎠ ⎝ x′y′⎠⎛10⎞Г2(I)= ⎜ ⎟(2.34)⎝ 01 ⎠

34alarыq. (2.10)-a яsasяn2222yxyx−=′−′xyyx =′′olduьundan⎟⎠⎞⎜⎝⎛= 0110( 2)2 CГ (2.35)olur. (2.11)-dяn222222412343432341yxyxyyxyxx+−=′++=′xyyxyx 3)(21 2222+−= −′−′⇒xyyxyxyxyxyxyxyx21)(4343434143)2123)(2321(2222−−= −+−+= −−−−=′′olduьundan⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=2143321)(12 C 3Г (2.36)alыrыq. (2.12)-dяn

35222222412343432341yxyxyyxyxx++=′+−=′xyyxyx 3)(21 2222−−= −′−′⇒xyyxyxyxyxyxyxyx21)(4343434143)2123)(2321(2222−−=−−+=−−+−=′′⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=2143321)(22 C 3Г (2.37)olduьunu tapыrыq. (2.13)-я яsasяnxyyxyxyxyxyxyx 3)(21412343432341 22222222−−= −−−−+−=′−′xyyxyxyxyxyx21)(4343434143 2222−−=−−+=′′olduьundan⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=2143321)(12 C 6Г (2.38)alыrыq. (2.14)-dяn isяxyyxyxyxyxyxyx 3)(21412343432341 22222222+−= −−+−++=′−′(2.39)xyyxyxyxyxyx21)(4343434143 2222−−= −+−+= −′′

36olduьundan⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=2143321)(52 C 6Г (2.40)alыnыr. (2.15)-я яsasяn2222yxyx−=′−′xyyx−=′′olduьundan⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=10012( 1)Гvσ (2.41)alыrыq. (2.18)-dяnxyyxyxyxyxyxyx 3)(21412343432341 22222222+−= −−+−++=′−′⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=21433212( 2)Гvσ (2.42)(2.19)-dan isяxyyxyxyxyxyxyx 3)(21412343432341 22222222−−= −−−−+−=′−′xyyxyxyxyxyx21)(4343434143 2222+−= −++−= −′′

⎛ 1 ⎞⎜ − − 3 ⎟⎜ 2 ⎟Г 2( σv3)=⎜ 3 1⎟(2.43)⎜ − ⎟⎝ 4 2⎠37olduьunu tapыrыq. (2.20)-dяnx′2− y′2= x2− y2x′y′= −xyolduьu цчцn⎛ 1 0 ⎞Г 2( σd1)= ⎜ ⎟(2.44)⎝ 0 −1⎠alarыq.(2.23) vя (2.24)-я яsasяn isя Г σ ) vя Г σ ) matrislяrini tapыrыq:2( d 22( d 32 2 1 2 3 3 2 3 2 3 1 2 1 2 2x′− y′= x + xy + y − x + xy − y = − ( x − y ) + 3xy4 2 4 4 2 4 2x′y′= −3 222 24x1 3− xy + xy −4 43y4=3( x4− y) +12xy⎛ 1 ⎞⎜ − 3 ⎟⎜ 2 ⎟Г 2( σd 2) =⎜ 3 1⎟(2.45)⎜⎟⎝ 4 2⎠

2 2 1 2 3 3 2 3 2 3 1 2 1 2 2x′− y′= x − xy + y − x − xy − y = − ( x − y ) − 3xy4 2 4 4 2 4 238x′y′= −3 222 24x1 3− xy + xy +4 43y4= −3( x4− y) +12xy⎛ 1 ⎞⎜ − − 3 ⎟⎜ 2 ⎟Г 2( σd 3) =⎜ 3 1⎟(2.46)⎜ − ⎟⎝ 4 2⎠Belяliklя, C6v qrupunun gяtirilя bilmяyяn ikiюlчцlц E1 vя E2 tяsvirlяrininmatrislяrini tapmыш oluruq. 2.4 cяdvяlini vя (2.9)-(2.15), (2.18)-(2.20), (2.23),(2.24), (2.26)-(2.37) ifadяlяrini nяzяrя almaqla C6v qrupunun gяtirilя bilmяyяntяsvirlяrinin matrislяri цчцn 3.1 cяdvяlini yaza bilяrik.

39Cяdvяl 2.4I C21C32C31C65C6σv1σv2σv3σσd 2σd 3d1A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1A 2 1 1 1 1 1 1 - 1 -1 -1 -1 -1 -1B 1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1B 2 1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛E 1⎛10⎞⎜ ⎟⎝01⎠⎛10⎞⎜ ⎟⎝01⎠⎜−⎜⎜⎜⎝1232−−3212⎟⎟⎟⎟⎠⎜−⎜⎜⎜−⎝12323− ⎟2 ⎟1 ⎟− ⎟2 ⎠⎛ 1⎜⎜ 2⎜⎜⎝323 ⎞− ⎟2 ⎟1 ⎟− ⎟2 ⎠⎜−⎜⎜⎜⎝1232−−1232⎟⎟⎟⎟⎠⎛10⎞⎜ ⎟⎝01⎠⎜−⎜⎜⎜⎝1232−−1232⎟⎟⎟⎟⎠⎜−⎜⎜⎜⎝1232−−1232⎟⎟⎟⎟⎠⎛10⎞⎜ ⎟⎝01⎠⎜−⎜⎜⎜⎝1232−−1232⎟⎟⎟⎟⎠⎜−⎜⎜⎜⎝1232−−1232⎞⎟⎟⎟⎟⎠E 2⎛10⎞⎜ ⎟⎝01⎠⎛⎜−⎛10⎞⎜ ⎟⎜⎝01⎠⎜⎜⎝1232−−1232⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜−⎜⎜⎜⎝1232−−1232⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜−⎜⎜⎜⎝1232−−1232⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜−⎜⎜⎜⎝1232−−1232⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛10⎞⎜ ⎟⎝01⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝1232−−−1232⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝1234−−−1232⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛10⎞⎜ ⎟⎝01⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝1232−−−1232⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜−⎜⎜⎜−⎝1234⎞− 3 ⎟⎟1 ⎟− ⎟2 ⎠

2.3 Benzol molekulunun mяnsub olduьu C6v qrupunun π -elektronluyaxыnlaшmada baxыlan tяsviri цчцn gяtirяn matrisin elementlяrinin hesablanmasы40Mяlumdur ki, qrup nяzяriyyяsinin kvant mexanikasы mяsяlяlяrinin hяlli цчцnbir чox tяtbiqlяri zamanы tяsvirlяrin yalnыzkifayяtlяnmяk olur. Lakin heч dяxarakterlяrinin tяdqiqi ilяhяmiшя belя olmur. Belя ki,bяzi hallardaqrupun baxыlan gяtirilя bilяn tяsvirinя bu qrupun hansы gяtirilя bilmяyяntяsvirlяrinin daxil olduьunu deyil, hяm dя gяtirilя bilяn tяsvirin bu gяtirilяbilmяyяn tяsvirlяrя parчalanmasыnы,yяni tяsvirin gяtirilmяsini konkret olaraq necяhяyata keчirmяk lazыm olduьunu bilmяk tяlяb olunur.Gяtirilя bilяn tяsvirin ilkin matrislяrindяn hяr biri gяtirilя bilmяyяn tяsvirlяrяuyьun olan sыfыrdan fяrqli bloklardan tяшkil olunmuш kvazidiaqonal шяkillimatrislяrя keчid, yяni tяsvirin gяtirilmяsi,C − 1Г(g)C oxшar чevirmя vasitяsilяhяyata keчirilir. Bu oxшar чevirmяni hяyata keчirmяk цчцn istifadя olunan Cmatrisi,yяni gяtirяn matris ilkin tяsvirin bцtцn matrislяri цчцn eyni olmalыdыr.Gяtirяn matrisi qurmaq,yяni onun elementlяrini hesablamaq цчцn baxыlanqrupun gяtirilя bilmяyяn tяsvirlяrinin matrislяri mяlum olmalыdыr. C6v qrupu цчцnbu matrislяr 2.2-dя tapыlmышdыr.Mяlumdur ki, gяtirяn matrisinγ C α Гia elementlяri∑γ C αГaiγ ⋅ CαГa′∗ =if( Г )Ni∑γ Г( g) γ ′ ⋅ a Г( g) a′∗(2.47)dцsturu vasitяsilя hesablana bilяr.Burada N elementlяr g ⇒ g1,g2,...,gN olanqrupun tяrtibi, Г i –gяtirilя bilmяyяn tяsvir,f(Г i)- Г i gяtirilя bilmяyяn tяsvirininюlчцsц, Гi(gi)-gi elementinя uyьun matris,〈 a Г ( g ) a′〉− Гi gяtirilя bilmяyяntяsvirindя gi elementinя uyьun matrisin elementlяridir. Г(gi)-Г gяtirilя bilяntяsvirindя gi elemetinя uyьun matris, 〈 γ Г g ) γ ′〉- Г(gi) matrisinin elementlяridir.(iii

41Гi(g) matrislяri,цmumiyyяtlя,gяtirilmiш matrisin bir neчя bloklarыnda tяkrarlanabilяr. Bu faktы qeyd etmяk цчцn gяtirilя bilmяyяn tяsvirin iшarяsinin qarшыsыna αsimvolu yazaraq onu α Г i(g) kimi iшarя edirlяr vя gяtirяn matrisinelementlяrinin 〈 γ C Г a〉iшarяlяmяsindя dя bunu nяzяrя alыrlar: 〈 γ C αГa〉iGюrцndцyц kimi, α sadяcя olaraq tяkrarlanan gяtirilя bilmяyяn tяsvirlяrtoplusunda gяtirilя bilmяyяn tяsvirin nюmrяsini gюstяrяn яdяddir.γ , γ ⋅,a vя a ⋅baxыlan qrupun baxыlan tяsvirlяri цчцn mцmkцn olan bцtцnqiymяtlяri ala bildiyindяn (2.35) яslindя tяnliklяr sistemidir. Bu tяnliklяr sistemiC gяtirяn matrisinin elementlяrinin hasilini gяtirilя bilяn Г tяsvirinin matrislяrininvя gяtirilя bilmяyяn Гi tяsvirlяrinin matrislяrinin ilkin fяrziyyяyя gюrя mяlumolan elementlяrinin hasillяrinin qrupun elementlяri цzrя aparыlan cяmi ilя ifadяedir.γ = γ ′ vя a = a′olan xцsusi halda (2.35) dцsturui2∑ 〈 C αГia〉= ∑〈γ Г(g)γ 〉〈 а Гi(g)а〉аf ( Гi)γ (2.48)Ngшяklinя dцшяr ki,bu da C gяtirяn matrisin hяr bir elementinin modulununkvadratыnы Г(g) vя Гi(g) matrislяrinin diaqonal elementlяri ilя ifadя etmяyяimkan verir.(2.48) bяrabяrliyindяn gюrцnяn maraqlы bir mяsяlяni qeyd edяk.Яgяr verilmiш gяtirilя bilmяyяn tяsvir gяtirilя bilяn tяsvirdя bir neчя dяfяtяkrarlanыrsa ( α = 1,2,K,m ) onda α цzrя cяmlяmя aparыldыьыndan α -nыn hяr brqiymяti цчцn 〈 γ C αГa〉matris elementinin modulunun kvadratыnы tяyin etmяkiolmur. Ona gюrя dя, (2.48)-nin sol tяrяfindяki hяdlяrdяn birini sadяlik naminяsaь tяrяfя, qalan digяr hяdlяri isя sыfra bяrabяr gюtцrmяk olar.Bundan baшqa, (2.48)-dяn gюrцnцr ki, C gяtirяn matrisinin elementlяrimodulu 1-я bяrabяr olan ixtiyari vuruq dяqiqliyi ilя tяyin olunur.

42(2.47), (2.48) vя (2.2) dцsturlarыndan gюrцnцr ki, C6v qrupunun bizim iшdяbaxыlan gяtirilя bilяn tяsviri цчцn C gяtirяn matrisinin цmumi шяkli aшaьыdakыkimidir:C =〈 1C A1〈 2 C A〈 3C A〈 4 C A〈 5C A〈 6 C A1〉111111〉1〉1〉1〉1〉〈 1C B1〈 2 C B〈 3C B〈 4 C B〈 5C B〈 6C B1〉11111〉1〉11〉1〉1〉〈 1C E1〈 2 C E〈 3C E〈 4 C E〈 5C E〈 6C E1〉111〉1〉111〉1〉11〉〈 1C E1〈 2 C E〈 3C E〈 4 C E〈 5C E〈 6 C E2〉112〉2〉112〉2〉12〉〈 1C E2〈 2 C E〈 3C E〈 4 C E〈 5C E〈 6 C E1〉22221〉1〉21〉1〉1〉〈 1C E2〈 2 C E〈 3C E〈 4 C E〈 5C E〈 6C E2〉22222〉2〉22〉2〉2〉(2.49)(2.49) matrisinin 36 namяlum elementinin hяr birinin яdяdi qiymяtihesablanmalыdыr. Bu matrisin яvvяlcя A1 gяtirilя bilmяyяn tяsvirinя uyьunsцtununa aid olan elementlяri hesablayaq.A1 tяsviri цчцn Г1(g)= ГА1(g), f(ГА1)=1, a = a′ = 1, 2.4 cяdvяlinя яsasяn C6vqrupunun bцtцn g elementlяri цчцn 〈 Г А( g)〉 1 vя C6vqrupunun tяrtibi N=12olduьundan (2.48) dцsturuna яsasяn1=1〈 γ C A 1〉21= ∑〈γ Г(g)γ 〉(2.50)12gyaza bilяrik.Burada g цzrя cяmlяmя apararaq vя 2.1-dя tapыlmыш Г(g)matrislяrinin uyьun 〈 γ Г (g)γ 〉 elementlяrinin qiymяtlяrini yerinя yazaraq 〈 γ C A 11〉matris elementlяrini tapmaq olar.Mяsяlяn, γ = 1olduqda[2 1121〈 1CA1 1〉= ∑ 〈 1Г(I)〉 + 〈 1Г(C2)1〉+ 〈 Г(C3)1〉+ 〈 1Г(C3)1〉+ 〈 1Г(C6)1〉125+ 〈 Г(C )1〉+ 〈 1 Г(σ )1〉+ 〈 1 Г(σ )1〉+ 〈 1 Г(σ )1〉+ 〈 1 Г(σ )1〉+ 〈 1 Г(σ ) 1〉16 v1v2v3d1d 2

1113= ⋅ 2 =1212+ Г(σ )1〉= ( 1+0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1+0 + 0 + 0 + 0 + 0)〈d1643alыnыr.Demяli,2 1〈 1C A1 1〉= olur ki,buradan da61iϕ〈 1C A1 1〉= e(2.51)6yazmaq olar. Burada const=e iϕmodulu 1-я bяrabяr olan ixtiyari sabitdir. Cgяtirяn matrisinin bцtцn elementlяri belя bir sabit vuruq dяqiqliyi ilя tяyinolunduьu цчцn C matrisinin elementlяrinin яdяdi qiymяtlяrindя bu vuruьuadяtяn yazmыrlar.Bundan sonrakы hesablamalarda biz dя bunu nяzяrя alaraq hяmin vuruьuyazmayacaьыq.Belяliklя,1⋅〈 1C 1A1 1〉=γ = 2 , γ = 1611〈 2C1A1 1〉〈1C1A11〉= [ 1+0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1+0 + 0 + 0 + 0 + 0]= ⋅ 2 =1212161〈 1C 1A1 1〉= olduьuna gюrя61〈 2C 1A1 1〉=(2.52)6Bu qayda ilя tapыrыq ki,⋅γ = 3 γ = 1 ;〈 3C1A1 1〉=16

⋅γ = 4 γ = 1 ;〈 4C1A1 1〉=1644γ = 5⋅1γ = 1 ;〈 5C1A1 1〉=6γ = 6⋅1γ = 1 ;〈 6C 1A1 1〉=6(2.53)Иndi isя (4.3) gяtirяn matrisindя B1 gяtirilя bilmяyяn tяsvirinя uyьun olansцtunun elementlяrini hesablayaq. Г1=B1=ГB1 birюlчцlц gяtirilя bilmяyяntяsvirlяri цчцn f(ГB1)=1; a = a′ = 1 vя (2.2) dцsturuna gюrя α = 1 olduьundan (4.2)dцsturuna яsasяn2 1〈 γ C B11〉= ∑ 〈 γ Г(g)γ 〉〈 a ГB 1(g)a〉(2.54)12yaza bilяrik. Burada γ = 1gюtцrцb g цzrя cяmi aчaraq Г(g) matrisinin 2.1-dяtapыlmыш ifadяlяrindяn vя 2.4 cяdvяlindяn istifadя edяrяk 〈 C 1B1〉matriselementlяrini tapыrыq:111〈 1C 1B11〉=(2.55)6⋅Burada γ = 2,3,4,5, 6 qiymяtlяrinin hяr biri цчцn yuxarыda gюstяrilяnqaydada hesablamalar apararaq tapыrыq ki,⋅γ = 2 γ = 1;〈 2C1B11〉= −16γ = 3⋅γ = 1;γ = 4⋅γ = 1;1〈 3C1B11〉=61〈 4C1B11〉= −6γ = 5⋅γ = 1;γ = 6⋅γ = 1;〈 5C1B11〉=〈 6C1B11〉= −1616

45(2.31) gяtirяn matrisindя gяtirilя bilmяyяn ikiюlчцlц E1 tяsvrinя uyьunsцtunlarы tяшkil edяn matris elementlяrini tapaq. E1 tяsviri цчцn Г=E1=ГE1,f(ГE1)=2 , a=1,2 vя a . =1,2 olduьundan (2.48) dцsturuna яsasяn2 1〈 γ C E11〉= ∑〈γ Г(g)γ 〉〈 a ГE 1(g)a〉(2.56)6gyaza bilяrik.Burada a=1, γ = 1, 2 gюtцrsяk, (g) matrislяrinin 2.1-dя tapыlmышifadяlяrini vя 2.4 cяdvяlini nяzяrя alsaq〈 1 1E11〉= 0C (2.57)1〈 2C 1E11〉=(2.58)2olar.⋅Yuxarыdakы шяrtlяr daxilindя γ = 2 gюtцrsяk (2.47) dцsturu aшaьыdakы kimi yazыlabilяr:1〈 γ C E11〉〈2C E11〉= ∑ 〈 γ Г(g) 2〉〈1 Г E 1(g)1〉(2.59)6g(2.31)-ни (2.32)-dя nяzяrя alsaq1〈 γ C E11〉= ∑ 〈 γ Г(g) 2〉〈1 Г E 1(g)1〉(2.60)3g⋅olar. Burada γ = 3,4,5, 6 qiymяtlяrinin hяr biri цчцn yuxarыda шяrh olunan qaydaцzrя hesablamalar apararaq,

⋅γ = 3 γ = 1;〈 3C1E11〉=1246⋅γ = 4 γ = 1; 〈 4 C 1E11〉= 0⋅1γ = 5 γ = 1;〈 5C1E11〉= −2⋅1γ = 6 γ = 1;〈 6C 1E11〉= −(2.61)2olduьunu tapыrыq.Иndi isя (2.49) matrisindя gяtirilя bilmяyяn ikiюlчцlц E1 tяsvirinя uyьun olandigяr sцtunun 〈 γ C E 12〉elementlяrini tapaq. Bu mяqsяdlя (2.48) dцsturunda γ = 1,a=2 gюtцrяk. Onda1〈 1 C E212〉= ∑〈1 ( )1〉〈21() 2〉6Г g Г g(2.62)Egyaza bilяrik. Buradan isя1〈 1C E1 2〉=(2.63)3(2.46) dцsturunda α = 1,f(ГE1)=2,N=12,a=a . ⋅=2 vя γ = 1gюtцrsяk1〈 γ C E22〉〈1C E12〉= ∑〈γ Г(g)1〉〈2 Г E 1(g)2〉(2.64)6golar.(2.63)-ц (2.64)-dя yazaraq∑ 〈 γ C E 2 3〉 = ∑〈( )1〉〈2 ( ) 22 1〉6γ Г g Г g(2.65)Eg

47(2.65)-dя γ = 3,4,5, 6 qiymяtlяrinin hяr biri цчцn qrupun g elementlяri цzrяcяmlяmя aparsaq, Г(g) matrisinin 2.1-dя tapыlmыш ifadяlяrini vя ГE1(g) matrisininisя 2.4 cяdvяlindяki ifadяlяrini nяzяrя alaraq, tapыrыq ki,γ = 2⋅γ = 2 ;γ = 3⋅γ = 2 ;γ = 4⋅γ = 2 ;γ = 5⋅γ = 2 ;〈 2C1E12〉=〈 3C1E12〉= −〈 4C1E12〉= −〈 5C1E12〉= −11211213112⋅γ = 6 γ = 2 ;1〈 6C 1E12〉=(2.66)12Eyni qayda ilя (2.62) gяtirяn matrisindя C6v qrupunun gяtirilя bilmяyяn ikiюlчцlцE2 tяsvirinя uyьun olan sцtunlarыn elementlяrini hesablamaq olar. Bu mяqsяdlя(2.48) dцsturunda Г1=E2=ГE2, α = 1, f(ГE2)=2, N=12 gюtцrsяk:2 1〈 1C E22〉= ∑〈γ Г(g)γ 〉〈 a ГE 1(g)a〉(2.67)6gBurada γ = 1aparsaq, a=1 gюtцrяrяk yuxarыda шяrh olunan qaydada hesablama1〈 1C E21〉=(2.68)3alarыq.⋅(2.47)-dя hяmin шяrtlяr daxilindя γ = 1,a=a . =1 gюtцrsяk

1〈 γ C E21〉〈1C E21〉= ∑〈γ Г(g)〉〈 21Г E 2(g)1〉(2.69)6g48vя burada (2.65)-i nяzяrя alsaq∑ 3〈 γ C E 21〉= ∑〈γ Г(g)1〉〈1 Г ( ) 1 E 2g 〉(2.70)6g(2.66)-dя γ = 2,3,4,5, 6 qimяtlяrinin hяr biri цчцn yuxarыdakы шяrh olunanqayda цzrя hesablamalar apararaq,γ = 2⋅γ = 1;γ = 3⋅γ = 1;γ = 4⋅γ = 1;γ = 5⋅γ = 1;〈 2C1E21〉= −〈 3C1E21〉= −〈 4C1E21〉= −〈 5C1E21〉= −11211213112⋅1γ = 6 γ = 1;〈 6C1E21〉= −12(2.71)olduьunu tapыrыq.Иndi isя (2.49) gяtirяn matrisdя gяtirilя bilmяyяn ikiюlчцlц E2 tяsvirinя uyьundigяr sцtunu tяшkil edяn 〈 γ C E 22〉matris elementlяrini hesablayaq. Bu mяqsяdlяяvvяlcя (2.48) dцsturunda a=2 gюtцrsяk:2 1〈 γ C E22〉= ∑〈γ Г(g)γ 〉〈 2 Г E 2(g)2〉(2.72)6gBurada γ = 1, 2 qiymяtlяrinin hяr biri цчцn yuxarыda gюstяrilяn qayda цzrяhesablama apararaq,

49⋅γ = 1 γ = 2 ; 〈 1C1E22〉= 0⋅γ = 2 γ = 2 ;〈 2C1E22〉=12(2.73)⋅olduьunu tapыrыq. (2.47) dцsturunda yuxarыda шяrtlяr daxilindя γ = 2 gюtцrsяk,1〈 γ C E22〉〈2C E22〉= ∑〈γ Г(g)2〉〈2 Г E 2(g)2〉(2.74)6golar.(2.56)-ны burada nяzяrя alsaq,1〈 γ C E 2 2〉 = ∑〈γ Г(g)2〉〈2 Г E 2(g)2〉(2.75)3gyaza bilяrik. (2.75)-dя γ = 3,4,5, 6 qiymяtlяrinin hяr biri цчцn yuxarыda шяrholunmuы qaydada hesablama apararaq,⋅γ = 3 γ = 2 ;1〈 3C1E22〉= −2⋅γ = 4 γ = 2 ; 〈 4 C 1E22〉= 0γ = 5⋅γ = 2 ;γ = 6⋅γ = 2 ;〈 5C1E22〉=121〈 6C 1E22〉= − (2.76)2

50olduьunu tapыrыq. Belяliklя (2.49) matrisinin bцtцn elementrini hesablamышoluruq. Hяmin 〈 γ C αГa〉elementlяri цчцn tapыlmыш qiymяtlяrini (2.49)-dя yazaraqibenzol molekulunun mяnsub olduьu C6v qrupunun π -elektronlu yaxыnlaшmadatяsviri цчцn C gяtirяn matrisinin aшaьыdakы aшkar ifadяsini almыш oluruq:A1 B1 E11 E12 E21 E22161601313016-1612112-11212161612-112-112- 21C=16-160 -13130161612-112-1121216-16- 21112-112- 21(2.76) unitar matris olduьundan onun цчцn

51C -1 =C + =C *T (2.77)шяrti юdяnmяlidir, yяni hяmin matrisin tяrs matrisi onun C + ermit qoшmasыna vяya transponirя olunmuш kompleks qoшmasыna (C *T ) bяrabяr olmalыdыr.(2.76) vя (2.77)-я яsasяn C matrisinin tяrsi olan C -1 matrisini tapыrыq:11111166666616-1616-1616-16C -1 = 012120 - 21- 21111111312123121211111131212312120121201212

52( 2β)α + 0 0 0 0 00 ( 2β)α + 0 0 0 0C -1 H C =0 0 ( α + 2β) 0 0 00 0 0 ( α + 2β) 0 00 0 0 0 ( 2β)α + 00 0 0 0 0 ( α + 2β)2.4 Gяtirяn matrisя яsasяn benzol molekulunun π -orbitallarыnыn qurulmasыMяlumdur ki, molekulun mяnsub olduьu simmetriya qrupunun baxыlan tяsviriцчцn C gяtirяn matrisi tapыldыqdan sonra bu matrisя яsasяn hяmin molekulunsimmetriklяшdirilmiш molekulyar orbitallarыnы ilkin gюtцrцlmцш bazisfunksiyalarыnыn xяtti kombinasiyasы kimi qurmaq olar. Bu, prinsipcя (1.1) kimitяyin olunan ui molekulyar orbitallar toplusundan yeniΨifunksiyalar toplusunakeчmяk demяkdir. Иlkin ϕibazis atom orbitallarыnы vя yeni simmetriklяшdirilmiшΨimolekulyar orbitallarыnы sцtun vektorlarы kimi yazsaq bu keчid C + matrisivasitяsilя edilя bilяr:Ψ = C + ϕ(2.78)

Bu matris tяnliyindяn (1.1)-я oxшar olan53Ψ=n∑iC qiq=1χ (2.79)qifadяlяrini yazmaq olar.Demяli, (2.78), (2.79) vя (2.55)-dяn gюrцndцyц kimi, bu vяya digяrsimmetriya nюvцnя (gяtirilя bilmяyяn tяsvirя) aid olan Ψ isimmetriklяшdirilmiшmolekulyar orbitallarыn (2.78) ifadяlяrindяkiCqiяmsallarы C gяtirяn matrisininhяmin gяtirilя bilmяyяn tяsvirя uyьun olan sцtununun elementlяri olmalыdыr.Belяliklя (2.78), (2.79), (2.55) vя (2.54)-я яsasяn π -elektronluyaxыnlaшmada benzol molekulunun simmetriklяшdirilmiш molekulyar orbitallarыцчцn aшaьыdakы ifadяlяri tapmыш oluruq:1Ψ1= Ψ( A1)= ( χ1+χ2+χ3+χ4+χ5+χ6)61Ψ2= Ψ( B1)= ( χ1−χ2+χ3−χ4+χ5−χ6)61Ψ3= Ψ( E1u) = (2χ 1+χ2−χ3−2χ4−χ5+χ6)12Ψ1Ψ5= Ψ( E2u)= (2χ1−χ2−χ3+2χ4−χ5−χ6)12Ψ1) = ( χ2+χ3−χ5−24=Ψ( E1vχ61E2v)= ( χ2−χ3+χ5−)(2.80)26= Ψ( χ6)Aydыndыr ki,buΨimolekulyar orbitallarыndan istsfadя etmяklя, kvantmexanikasы tяsяvvцrlяrinя яsaslanaraq, benzol molekulunun π - elektronluxassяlяrini xarakterizя edяn fiziki vя kimyяvi parametrlяri hesablamaq olar.

III ФЯСИЛπ - ЕЛЕКТРОН ЙАХЫНЛАШМАСЫНДА БЕНЗОЛ МОЛЕКУЛУНУНЕНЕРЪИ СЯВИЙЙЯЛЯРИНИН ЩЕСАБЛАНМАСЫ543.1 Gяtirяn matrisdяn istifadя etmяklя benzol molekulununπ -elektron enerji sяviyyяlяrinin tapыlmasыBenzol molekulunun π - elektron enerji sяviyyяlяrini tapmaq цчцn (1.26)-nыnяzяrя alaraq (1.34)-ц aшaьыdakы matris tяnliyi kimi yazaq:αβ000ββαβ0000βαβ0000βαβ0000βαββ000βα=ε 1000000ε 2000000ε 3000000ε 4000000ε 5000000ε6(3.1)(2.35) vя (2.37) ifadяlяrindяn istifadя etmяklя (3.1) matris tяnliyiniC -1 H C = C -1 E C (3.2)oxшar чevirmяsinя uьradaq. Matrislяrin vurulmasы qaydasыndaн istifadяedяrяk (3.2) яvяzinя

55α + 2β 0 0 0 0 0 ε10 0 0 0 00 α − 2β0 0 0 0 0 ε20 0 0 00 0 α + β 0 0 0 = 0 0 ε30 0 00 0 0 α + β 0 0 0 0 0 ε40 00 0 0 0 α − β 0 0 0 0 0 ε50 (3.3)0 0 0 0 0 α − β0 0 0 0 0 ε6(3.3) matris tяnliyini alыrыq. Matrislяrin bяrabяrliyi шяrtinя яsasяn (3.3)-dяn benzolmolekulunun π - elektron enerji sяviyyяlяri цчцn, enerjinin artmasы ardыcыllыьыnauyьun olaraq (α vя β kяmiyyяtlяri mяnfi iшarяlidirlяr),ε = α 2βε = α 2βε = ε 4= α + β1+2−3ε = ε 6= α − β5(3.4)qiymяtlяrini tapыrыq. Gяtirяn matrisin (2.35) ifadяsindя sцtunlarыn gяtirilяbilmяyяn tяsvirlяrя uyьunluьuna яsasяn bu enerji sяviyyяlяrinin C6v qrupununbaxыlan gяtirilя bilяn tяsvirinя daxil olan gяtirilя bilmяyяn tяsvirlяri цzrя tяsnifatыaшaьыdakы kimi olar:εA= α 2β, εEα + β , εB= α 2β, εEα − β(3.5)1+1 =1−2 =Bu enerji sяviyyяlяrinin sxemi 3.1 шяklindя gюstяrilmiшdir.Pauli prinsipinя gюrя hяr bir molekulyar orbitalda iki elektron yerlяшяbildiyindяn,benzol molekulunun яsas halыnda,yяni яn aшaьы enerjiyя malik olanhalыnda π - elektronlarыn enerji sяviyyяlяrindя yerlяшmяsi qurma prinsipinя uyьunolaraq, 3.1 sxemindя gюstяrildiyi kimi olacaqdыr.

56α − 2βB1α − βE2α ..............................α + βE1α + 2βA1 Шяkil 3.1Nяhayяt,qeyd edяk ki, qrup nяzяriyyяsinя яsasяn tapыlmыш enerji sяviyyяlяrinincыrlaшma tяrtibi uyьun gяtirilя bilmяyяn tяsvirin юlчцsцnя bяrabяr olur. Mяsяlяn,(3.5) -dя εA1vя εB1enerji sяviyyяlяrinin hяr birinin cыrlaшma tяrtibi 1, εE1vя εE 2enerji sяviyyяlяrinin hяr birinin cыrlaшma tяrtibi isя 2-yя bяrabяrdir ki, bu da enerjisяviyyяlяrinin 3.1 sxemindя gюstяrilmiшdir.

N Я T И C Я L Я R.57- Tяqdim olunan magistr dissertasiyasыnda- molekul fizikasыnыn яsas metodlarыndan biri olan molekulyar orbitallarmetodu vя doymamыш karbohidrogen molekullarы цчцn onun sadяlяшdirilmiш variantыolan Hцkkel metodu яtraflы шяrh olunmuш, benzol molekulu цчцn Hцkkel tяnliklяriqurulmuшdur;- benzol molekulunun mяnsub olduьu C6v nюqtяvi simmetriya qrupunun π -elektronlu yaxыnlaшmada gяtirilя bilяn tяsvirini tяшkil edяn matrislяr qurulmuшdur;- C6v qrupunun gяtirilя bilmяyяn tяsvirlяrinin matrislяri mяlum qaydadanistifadя etmяklя hesablanmышdыr;- C6v qrupunun baxыlan gяtirilя bilяn tяsvirinin matrislяrini oxшar чevirmяvasitяsilя eyni bir kvazidiaqonal шяklя salmaьa imkan verяn gяtirяn matrisin bцtцnelementlяrinin яdяdi qiymяtlяri hesablanmышdыr;- Gяtirяn matrisя яsasяn benzol molekulunun π -orbitallarы qurulmuшdur;- Benzol molekulu цчцn Hцkkel tяnliklяr sisteminin matris шяklindя yazыlmышxarakteristik tяnliyini gяtirяn matris vasitяsilя oxшar чevirmяyя uьratmaqla benzolmolekulunun π - enerji sяviyyяlяri hesablanmышdыr;- Magistr dissertasiyasыnda alыnmыш nяticяlяr mцяyyяn elmi maraq kяsb edir.- Magistr dissertasiyasыnы yerinя yetirяrkяn mяnя gюstяrdiyi qayьы vя kюmяyяgюrя elmi rяhbяrim, BDU fizika fakцltяsi nanomateriallarыn kimyяvi fizikasыkafedrasыnыn dossenti f.r.e.n. M.R.Vahabovaya minnяtdarlыьыmы bildirirяm.

58Садыхова Кенюль Рафаил кызыРасчет π -орбителей и энергетических уровней молекулыбензола с применением теории симметрииРезюмеВ данной магистрской диссертации- подробно изложены метод молекулярных орбиталей, являющийся одним изосновных методов расчета молекул,и его упрощенный вариант-метод Хюккелядля ненасыщенных углеводородов. Построены уравнения метода Хюккеля длямолекулы бензола;- построены матрицы приводимого представления точечной группы симметрииС 6v в π - электронном приближении для молекулы бензола;- используя известные правила, вычислены матрицы неприводимыхпредставлений группы С 6v ;- найдены численные значения всех элементов приводящей матрицы;- построены π - орбитали молекулы бензола;- подвергая, с помощью приводящей матрицы характеристическое уравнениеметода Хюккеля преобразованию подобия, найдены π -электронныеэнергетические уровни молекулы бензола, каждый из которых соответствуетнеприводимому представлению;- результаты, полученные в данной магистерской диссертации представляютопределенный научный интерес.

59Sadigova Kenul RafailCalculation of π -orbitals and power levels of benzene moleculewith application of the symmetry theoryThe summaryIn given master dissertation- Are in detail stated the method of the molecular orbitals which is one of the basicmethods of calculation of molecules and its simplified Hukkel variant-method forunsaturated hydrocarbons. The equations of Hukkel method for a benzol molecule areconstructed;- Matrixes of the reducible representation of dot group of symmetry С 6v -in π -electron approach for a benzol molecule are constructed;- Using known rules, matrixes of the irrducible representations of group C 6v arecalculated;- Are found numerical value of all elements of a reducing matrix;- Are constructed π -orbitals of a molecule of benzol;- Subjecting, by means of a resucing matrix the characteristic equation of Hukkelmethod on similarity transformation, π -electron power levels of a molecule of benzolare found, each of which corresponds to the irreducible representation;- The results received in given master dissertation represent certain scientific interest.

60ЯDЯBИЙЙАТ1. K.R.Sadыqova, M.R.Vahabova. π - еlektronlu yaxыnlaшmada benzolmolekulunun orbitallarыnыn tapыlmasы. Lev Landau-100 Gяnc tяdqiqatчыlarыnrespublika elmi konfransы.Бакы 20082. K.R.Sadыqova,M.R.Vahabova Benzol molekulunun π - elektron enerjisяviyyяlяrinin tapыlmasы. Bakы Dюvlяt Universiteti-90 “Fizika vя Astronomiyaproblemlяri” respublika elmi konfransы.Бакы 20093. А.Б.Болотин, Н.Ф.Степанов.Теория групп и ее применение в квантовоймеханике молекул.М., 1973. стр.3204.В.И.Минкин, Б.Я.Симкин, Р.М.Миняев.Теория строния молекул. М.В5.В. Хейне. Теория групп в квантовой механике. М., ИЛ, 1963. стр.2526.Г.Е.Любарский.Теория групп и ее применение в физике.М.Физматгиз,1958.стр.3557. Г. Эйринг, Дж. Уолтер, Дж. Кимбал. Квантовая химия. М., 1948.стр.5278.Дж.Робертс.Расчеты по методу молекулярных орбит.М., 1963. стр.1509. Дж. Слэтэр. Электронная структура молекул. М., 1965 стр.58810.Е. Вигнер. Теория групп и ее приложения к квантово- механической теорииатомных спектров. М., ИЛ, 1961 стр.38211.И. Б. Берсукер. Строение и свойства координационных соединений.Введение в теорию. М., Химия, 1971. стр.40212.Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Квантовая механика.Глава XII.стр.75213.М. И. Петрашень, Е. Ю. Трифонов. Применение теории групп в квантовоймеханике. М., Наука, 1967. стр.30614.М. Хаммермеш. Теория групп и ее применение к физическим проблемаМ., Мир, 1966. стр.58815. М.Р.Вагабова, Т.М.Мурсалов.Определение молекулярных орбиталеймолекул H2O, H2S,NO2с применением теории групп. Bakы UniversitetininXяbяrlяri, fizika-riyaziyyat.elmlяri seriyasы, 2004, №4sяh 136-142.

6116. Р. Хохштрассер. Молекулярные аспекты симметрии. М., 1968. стр 38417.Т.М.Мурсалов, М.Р.Вагабова. Расчет симметризованных молекульярныхорбиталей молекулы озона. Bakы Universitetinin Xяbяrlяri, fizikariyaziyyat.elmlяriseriyasы, 2003, №2,sяh 116-12118.Э.Стрейтвизер. Теория молекулярных орбит для химиков- органиков. М.,1965. стр.413