01 yashar analitit 1-18 (2).pdf 150 Kb

גיאומטריה אנליטיתבפרק זה,‏ העוסק בגיאומטריה אנליטית,‏ נכיר כלים המאפשריםלפתור בעיות גיאומטריות באמצעות אלגברה.‏נדון בנקודות על מערכת צירים,‏ במשוואות של ישרים ובמשוואותשל מעגלים,‏ אליפסות ופרבולות.‏ נדון תחילה בקו הישר.‏הישרפרק זה העוסק בקו הישר נכתב בהנחה שהתלמיד יודע לסמן נקודותבמערכת הצירים ולמד על ישרים ומשוואותיהם.‏המשוואה הכללית של הישרבלימודים קודמים שעסקו בישרים ראינו כי הישר הוא התיאור הגרפישל משוואה ממעלה ראשונה.‏כל ישר ניתן לייצג על ידי המשוואה. ax by c 0משוואה זו נקראת המשוואה הכללית של הישר.‏כמו כן,‏ הגרף של המשוואהשבוax by c 02x 3y 6 למשל,‏ המשוואה 0 .( a b0הוא קו ישר ‏(מלבד המקרהמייצגת ישר.‏נשים לב כי אם ניקח את המשוואה הכללית של ישר ונכפול אותהבמספר ‏(השונה מאפס),‏ נקבל משוואה אחרת המתארת את אותו ישר.‏למשל,‏ המשוואות4x 12y 8 0 ו-‏ x 3y20מתארות את אותו ישר.‏המשוואה המפורשת של הישרכאשר משוואה הישר רשומה בצורההמשוואה המפורשת של הישר.‏במשוואה כזוהפרמטר,ymxbm ו-‏ bmהם פרמטרים.‏נקרא השיפוע של הישר והפרמטרלמשל,‏ אם המשוואה המפורשת היאהואby3x8m3והמספר החופשי הואהערה:‏ המשוואה המפורשת. b 8ymxbהמאונך לציר ה-‏ x ‏(ראה הסבר בהמשך).‏המשוואה נקראתנקרא המספר החופשי.‏, אז השיפוע של הישרמתאימה לכל ישר,‏ פרט לישרכל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 1

תכונות השיפוע m.ראינו כי המשוואה המפורשת של הישר היא ymxbערכו של הפרמטרmקובע את כיוון הישר:‏ym 0xחיובי m כאשר(m 0)צורת הגרף היא ישר שעולהמשמאל לימין.‏ במקרה זה הישר יוצר זוויתחדה עם הכיוון החיובי של ציר ה-‏ככל שהשיפוע גדול יותר,‏ הזווית( ). xגדולה יותר.‏ym 0xשלילי m כאשר(m 0)צורת הגרף היא ישר שיורדמשמאל לימין.‏ במקרה זה הישר יוצר זוויתקהה עם הכיוון החיובי של ציר ה-‏ככל שהשיפוע קטן יותר,‏ הזווית( )x .קטנה יותר.‏ym 0כאשרm 0‏(או מתלכד איתו).‏הישר מקביל לציר ה-‏xכאשר נציבומכאן שהישרתכונת המספר החופשיbx 0במשוואהy, כלומר b, נקבל:‏ ym0bymxbymxbלמעשה,‏ על סמך הערך שלציר ה-‏ . y למשל:‏ הישרהערות:‏חותך את ציר ה-‏ yבנקודה. (0;b)by2x5ניתן לומר באיזו נקודה הישר חותך אתחותך את ציר ה-‏ yבנקודה. (0;5)(1) מהמשוואההמפורשת של הישר רואים מיד את שיפועו של הישרואת נקודת החיתוך שלו עם ציר ה-‏ y.אם נתונה משוואה כללית של ישר ורוצים למצוא את שיפועושל הישר,‏ צריך לבודד אתשמשוואתו הכללית היאנקבל:‏. yלמשל,‏ נמצא את שיפועו של ישר. 2x 3y 6 0. y 2x23 23נבודד את. y3y 2x 6ומכאןכעת ניתן לראות ששיפוע הישר הואעם ציר ה-‏ y היא. (0;2)ונקודת החיתוך של הישר(2) לכל ישר יש משוואה מפורשת יחידה,‏ כלומר אם המשוואותym xb1 1ו-‏ym xb2 2m m1 2ו-‏x. b b1 2הן של אותו ישר,‏ אז מתקיים:‏כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 2

yA(3;6)B(7; 2)xדוגמה:‏נתון ישר העובר דרך הנקודותמצא את משוואת הישר.‏פתרון:‏. B(7;2) ו-‏ A(3;6)כדי למצוא את משוואת הישר נחשב תחילהאת שיפוע הישר.‏נסמןו-‏. (x 2;y 2) (7;2) (x 1;y 1) (3;6)y2 y1m26 4. 1 נקבל:‏ . m 73 4x xנציב בנוסחהשיפוע הישר הוא. m 12 1נמצא את משוואת הישר לפי הנקודהנציב בנוסחהנקבל:‏הערה:‏ו-‏A(3;6)ושיפועו. m 1y6x3. y y1 m(xx 1), כלומרy 61(x3)הנוסחה למציאת שיפועומכאן.yx9mשל ישר העובר דרך הנקודות(x 1;y 1)(x 2;y 2)x xטובה כאשר. x x1 2אם , אז שיפוע הישר אינו מוגדר והנוסחה אינה טובה.‏כפי שראינו,‏ במקרה כזה משוואת הישר היא ‏(או.( x x 2x x 11 2ישרים מקביליםכאשר בודקים מצב הדדי בין שני ישרים הנמצאים באותו מישור,‏הישרים יכולים להיות נחתכים,‏ מקבילים או מתלכדים.‏נזכיר כעת את הקשר שבין השיפועים של שני ישרים המקבילים זה לזה.‏א.‏ אם שני ישרים ‏(שאינם מאונכים לציר ה-‏אז הם בעלי שיפועים שווים.‏( x מקבילים זה לזה,‏ב.‏ כדי להוכיח ששני ישרים בעלי שיפוע מקבילים זה לזה,‏ יש להראותשהשיפועים שלהם שווים אך שהישרים שונים זה מזה,‏שכן אחרת ייתכן שהישרים מתלכדים זה עם זה.‏למשל,‏ בציור מתוארים שני ישרים שוניםבעלי שיפועים שווים ‏(שיפוע כל אחד מהישריםהואהערה:‏( 5 ולכן הם מקבילים זה לזה.‏כל שני ישרים שונים המאונכים לציר ה-‏ x מקבילים זה לזה.‏למשל,‏ הישריםx ו-‏‎2‎ x 6מקבילים זה לזה.‏כמו כן,‏ כל שני ישרים שונים המאונכים לציר ה-‏ y מקבילים זה לזה.‏למשל,‏ הישריםy ו-‏3‎ y7מקבילים זה לזה.‏כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 5

. (8; 1)(8; 1). 4x 3y 10 0דוגמה:‏מצא את משוואת הישר העובר דרך הנקודהומקביל לישר . 4x 3y 10 0פתרון:‏נמצא תחילה את שיפועו של הישר הנתון. 3y 4x 10 נחלק אתנבודד אתנקבל:‏ונקבל:‏המשוואה ב-‏ 3.. m 43. 43, לכן שיפועו של הישר הנתון הואyy 4x103 3הישר המבוקש מקביל לישר הנתון ולכן שיפועו גם הואm 43y1 4x1023 3נמצא את משוואת הישר המבוקש לפי השיפוענקבל:‏ומכאןוהנקודה. y 11x923 3, y ( 1) 4 כלומר(x8)3תרגילים. mמצא את משוואת הישר העובר דרך הנקודה Aא.‏ב.‏ושיפועו. A( 6; 19), m 23. A(3;15), m 2.11 1 3 והוא עובר בנקודת החיתוךמצא את משוואת הישר ששיפועועם ציר ה-‏ . xשל הישרy 2x5.2. (0;0)מצא את משוואת הישר המקביל לישר x3y6ועובר דרך הנקודה.3. ( 6;1)מצא את שיפוע הישר העובר דרך הנקודות (4;2)ו-‏.4. ( 5; 7)מצא את משוואת הישר העובר דרך הנקודות (1 ( ;3ו-‏.5מצא את משוואת הישר העובר דרך הנקודה (11;7)דרך הנקודותומקביל לישר העובר(3;1) ו-‏ (5;5) ..6ByADCEהישרים AB ו-‏ CDו-(‏‎2‎‏)‏הם התיאור הגרפי של המשוואות:‏x. y 12x2y2x4(1)א.‏ מצא איזה משני הישרים הנ"ל.(2)הוא גרף הפונקציה (1)ואיזה הוא גרף הפונקציהב.‏ הוכח:‏ . AC BD.7כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 6

yBCAx,. A(8;3)y 2x1ABCBCABCבמשולשהצלעהצלעוהקדקודנתון:‏מונחת על הישרמקבילה לציר ה-‏ xנמצא על ציר ה-‏ . xחשב את שטח המשולש . ABC.17yABECx. C(6;4)B(3;6) , A(0;0)קדקודי משולש ABCדרך הקדקודו-‏הםעובר ישר המקביל לציר ה-‏ y. E. ABE. BCE. ABCACBוחותך את הצלעבנקודהא.‏ חשב את שטח המשולשב.‏ חשב את שטח המשולשג.‏ חשב את שטח המשולש.18yDOCBAxOA. C. A(8;6), O(0;0)0k8)נתונות הנקודותx kBy2OCהישרבנקודהואת הישר( חותך את הישרבנקודהBy6הישראת הקטעעובר דרך נקודהבנקודהוחותך. Dמצא את שיעורי הנקודה . D.19yOCADMBxB ו-‏ A. D ו-‏ C. yx3. M(5;2)37.5 AMC. A. AODMבציור מתוארים שני ישרים.‏ישר אחד חותך את הצירים בנקודותוישר שני חותך את הצירים בנקודותמשוואת הישר CDהיאשני הישרים נחתכים בנקודהנתון כי שטח המשולשא.‏ מצא את שיעורי הנקודהב.‏ חשב את שטח המרובעהואיח"ר.‏.20BDy x6. ( 3; 3)AB ABCDy 3x4. Aבמקביליתמונח על הישרהצלעמונחת על הישר. שיעורי הקדקודהםוהאלכסוןCמצא את שיעורי הקדקוד.21, 2x 3y 210,הוכח שמרובע שצלעותיו נמצאות על הישרים y 3x 5y 3x19 ו-‏ , 2x 3y 810 הוא מקבילית.‏.22כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 8

. (k 1)x y k. 2x y 10, x 2y50. Aנתונים שני ישרים:‏הישרים נפגשים בנקודהדרך נקודה Aעובר הישרמהי הזווית שיוצר הישרשמשוואתועם הכיוון החיובי של ציר ה-‏ ? x.37מצא את משוואת הישר העובר דרך הנקודה (5;3 ( , ומקביל לישרהחוצה את הזווית בין הצירים.‏.38yמצא את משוואת הישר העובר דרך הנקודה (7;4) , שיפועו שליליוהוא חותך קטעים שווים משני הצירים.‏.39CABPDxAD. y x 6. PCDבציור שלפניך משוואת הישר,BCהיא y 2x18ומשוואתהישרהיאחשב את זוויותיו של המשולש.40yCBAx. By x6ACהישרבנקודהחותך את ציר ה-‏ xואת ציר ה-‏ y בנקודההנקודה נמצאת על חלקו החיובישל ציר ה-‏ y. ABC. נתון:‏ . BC 10חשב את זוויותיו של המשולש.41. 90 . 71.57 . 0 . 135 . ד.‏ 116.57 . 18.43 . ב.‏ 45 תשובות:‏ 33.א.‏ג.‏ה.‏ו.‏. 108.43 , 63.43 .37, 45 .y 3x6.40..36y x11.y x3.39..35y x2. 56.31 .y 3x7או, 78.69 y x8, 45 .34.38.41כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 12

אזורי המישור ביחס לישרכל ישר ‏(שאינו מאונך לציר ה-‏ ( x מחלק את המישור לשלוש קבוצותשל נקודות:‏(1) נקודות הנמצאות מעל הישר.‏(2) נקודות הנמצאות על הישר.‏(3) נקודות הנמצאות מתחת לישר.‏נתון ישר שמשוואתוymxbונתונה נקודה. (x 1;y 1)כדי לדעת את מיקומה של הנקודה ביחס לישר,‏ נציב את שיעוריהבמשוואות הישר.‏(1) אם מתקייםולהיפךy mx b1 1–(2) אם מתקייםולהיפך, אז הנקודה נמצאת מעל הישר,‏אם הנקודה נמצאת מעל הישר,‏ אז. y mx b1 1y mx b1 1–(3) אם מתקייםולהיפך, אז הנקודה נמצאת על הישר,‏אם הנקודה נמצאת על הישר,‏ אז. y mx b1 1y mx b1 1–, אז הנקודה נמצאת מתחת לישר,‏אם הנקודה נמצאת מתחת לישר,‏ אז. y mx b1 1הערה:‏ אם הישר מאונך לציר ה-‏ , x כלומר משוואתואז הנקודות במישור מחולקות לשלוש הקבוצות הבאות:‏, x aנקודות שעל הישר,‏ נקודות שמימין לישר ונקודות שמשמאל לישר.‏נתון הישרy 3x54, ( 2;10), (5; 1), (0;5), ונתונות הנקודות הבאות:‏. (7;2), (4;2)מצא היכן נמצאת כל נקודה:‏א.‏ על הישר.‏ ב.‏ מתחת לישר.‏ ג.‏ מעל הישר.‏.42נתון הישר5x 2y 5 0, (6;4) , (0;0) , (3;5), (3;8)א.‏ על הישר.‏ ב.‏ מתחת לישר.‏, ונתונות הנקודות הבאות:‏(7 ;8) . מצא היכן נמצאת כל נקודה:‏ג.‏ מעל הישר.‏.43המשוואות של צלעות משולש הן:‏א.‏, x3y120מצא אילו מהנקודות הבאות נמצאות בתוך המשולש:‏.y 3x11, x2y 62) (5; . ב.‏ (9;3) . ג.‏ 1) (11; . ד.‏ (5;1) . ה.‏ 1) (7; . ו.‏ (0;0) ..44תשובות:‏42. א,‏ ב,‏ ג,‏ א,‏ ג.‏43. ג,‏ א,‏ ג,‏ ב,‏ ב.‏44. א,‏ ה.‏כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 13

yנזכיר אתניצבות של ישריםהקשר בין השיפועים של שני ישרים המאונכים זה לזה:‏מכפלת השיפועים של שני ישרים המאונכים זה לזה שווה 1‏(בתנאי שהישרים אינם מקבילים לצירים).‏ym xb2 2ym xbבמילים אחרות,‏ אם הישרים 1 1מאונכים זה לזה,‏ אז מתקיים:‏ו-‏.( m 0 , m 0)m m 121, (m 0)21 2ym xn. m m 1נוכיח את הנוסחה 1 2נתבונן בציור בו מתואר(m1 0)ym xn 1הישר 1 1היוצר זוויתשל ציר ה-‏ xעם הכיוון החיובי2 2היוצר זוויתומתואר הישרעם הכיוון החיובי של ציר ה-‏ x‏(ראה ציור).‏m 2ידוע כי קיים קשר בין השיפועעם הכיוון החיובי של ציר ה-‏ , x לכן:‏של ישר לזוויתשיוצר הישר. tan m. 90 2 22 90 1, , tan m1 1הישרים מאונכים זה לזה,‏ לכן הזווית ביניהם היא בת 21 2 90הזוויתכלומרהיא זווית חיצונית למשולש שבציור,‏ לכן: m 1 . m1 tan 1 11 tan( 2 90 ) tan(90 2) tan m1 2נביע את. m m 12 2m11 m2קיבלנוהערות:‏ולכןא.‏ מתקיים גם המשפט ההפוך:‏m m 1אם 1 2ב.‏ לא ניתן להסתמך על הכלל, אז הישרים מאונכים זה לזה.‏m m 1 כאשר הישרים מקבילים1 2לצירים או מתלכדים עם הצירים.‏במקרים אלה נוכל לפעול באופן הבא:‏ אם נתון ישר המקביל לציר ה-‏ , xאז ישר המאונך לו הוא ישר המקביל לציר ה-‏ yym 1m 212A(3;5)y2x.xאם נתון ישר המקביל לציר ה-‏ , y אז ישרהמאונך לו הואלמשל:‏ הישרישר המקביל לציר ה-‏ . x. xA(3;5)y מקביל לציר ה-‏2אם הישר המקווקו עובר בנקודה,yומאונך לישר 2לציר ה-‏ yומשוואתו היאאז הוא מקביל. x 3כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 14

דוגמה:‏נתון ישר ששיפועופתרון:‏נסמן ב-‏ m 1נסמן ב-‏. 2 מצא שיפועו של ישר המאונך לו.‏3את שיפוע הישר הנתון,‏ כלומר. m 123m 2את שיפוע הישר המבוקש.‏. mm 1 2 1m 22 32, 3 m 2 1 כלומרהישרים מאונכים זה לזה,‏ לכןנציב ונקבלהערה:‏ אפשר לראות ששיפוע הישר הנתון הואוזהו שיפוע של הישר המאונך.‏23 32ושיפוע הישר המאונךהוא , כלומר שיפוע של ישר אחד הוא הנגדי להופכי של שיפוע הישרהשני ‏(הפוך בגודל ונגדי בסימן).‏B. A(0;3)דוגמה:‏הישרבנקודהy 12x3x ואת ציר ה-‏ , Aחותך את ציר ה-‏ yבנקודה. BAבנקודה מעבירים ישר המאונך לישרהנתון.‏ מצא את משוואת הישר המאונך.‏פתרון:‏הנקודהלכןAהיא נקודת החיתוך של הישרy 12x3y12x3. 2עם ציר ה-‏ y,AB משוואת הישר . A(0;3)הישר המבוקש מאונך לישרהיאלכןשיפועו. 12ABולכן שיפועונמצא את משוואת הישר המבוקש על פי השיפועומכאןנקבל:‏yAm2x.y 2x3y 32(x0)והנקודהתרגילים1. מצא את שיפועי הישרים המאונכים לישרים הבאים:‏8y 5x 13y 4x7y 13xא.‏ 5ב.‏ג.‏. x 6א.‏ מצא משוואת ישר העובר בנקודהומאונך לישר( 5; 4). 9x 8y 5 0ב.‏ מצא משוואת ישר העובר בנקודה(8;5)ומאונך לישר.2כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 15

CyABxישר שמשוואתובנקודהבנקודהy 3 x64AAואת ציר ה-‏ xחותך את ציר ה-‏ yבנקודהמעבירים ישר המאונךלישר הנתון.‏ הישר המאונך חותךאת ציר ה-‏ x בנקודה. B. Cחשב את שטח המשולש. ABC.3בכל אחד מהסעיפים הבאים נתונים שני ישרים.‏מצא מה צריך להיות ערכו של הפרמטרזה לזה.‏א.‏m.y (m3)x2y1 mx2ב.‏כדי שהישרים יהיו מאונכים. (m 2)y 3x 15y mx 3.4נתון משולש שקדקודיו הם:‏א.‏ מצא את משוואת הגובה לצלע. C(5;3) , B(0;8) , A( 1;0). BCב.‏ מצא את משוואת הגובה לצלע . ACג.‏ הראה ששלושת הגבהים נפגשים בנקודה אחת ומצא את שיעוריה.‏.5שניים מקדקודי משולשמשוואת הגובה לצלעהיאA(10; 11)y 3x19ABCהיא BCהםו-‏. B( 14;1). 7y x 7מצא את שיעורי הקדקודומשוואת הגובה לצלע AC. C.6y 4x27ABC, y בהתאמה.‏12x4.5במשולשו-‏, משוואות הצלעותAB ו-‏ AC הןהגבהים של המשולש נפגשים בנקודהמצא את משוואות הגבהים של המשולש.‏. (9;3).7במשולשABCACמשוואת הגובה לצלעהגובה לצלע היאאחד מקדקודי המשולש הוא בנקודההיא ABy2x5 ומשוואת. (13; 9). 3y x 0א.‏ מצא את שני הקדקודים האחרים של המשולש.‏ב.‏ מצא את משוואת הגובה השלישי.‏.8. (9;7)במשולשABCנתון:‏A(9;11)B(5;3) . ו-‏נקודת החיתוך של הגבהים במשולש היאמצא את שיעורי הקדקוד. C.9כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 16

במשולשהוא בנקודהAC משוואת הצלע , ABCהיאy3x23(5;3) , והגובה לצלע ABמצא את שיעורי הקדקודים של המשולש.‏חותך אותה בנקודה, מפגש הגבהים. (3;4).10המשולשנתון:‏הוא ישר-זווית. ( ABC 90 )C7) B(8; , והקודקודABC, A(2;4)מצא את שיעורי הקדקוד. Cנמצא על ציר ה-‏ . x.11. y 2xBCהמשולשABCACD( 2;1)משוואת היתרהנקודההוא ישר-זווית.‏היאy 13x7. AB. A. ACנמצאת על הניצבא.‏ מצא את שיעורי הקדקודב.‏ מצא את משוואת הגובה ליתרומשוואת הניצבהיא.12. B(5; 1), A(4;6)המשולשהקדקודABCCהוא ישר-זוויתנמצא על הישרמצא את שיעורי הקדקוד( C . נתון:‏90 ). y 2xC‏(שתי אפשרויות).‏.13.קודקוד הזווית הישרה של משולש ישר-זווית נמצא על הישר y 7x 37שני הקדקודים האחרים הם בנקודות. ( 7; 6), (3;4)מצא את השיעורים של קדקוד הזווית הישרה.‏.14AB. B(2;7)A(3;12)ABנתון קטע שקצותיו הם ו-‏מצא נקודה על ציר ה-‏ y שממנה רואים את הקטעבזווית ישרה.‏.15yCOEDA B xנתונות הנקודות. O(0;0), C(0;t)כך ש-‏ OD AC, B(9;0)BC. E, A(3;0)היא נקודה על הקטע.DOD ו-‏ ACנתון:‏ . x 6Dא.‏ הבע באמצעותנפגשים בנקודהtב.‏ מצא את שיעורי הנקודהאת שיעורי הנקודה. D. E.16ו-‏שתיים מצלעותיו של מלבן מונחות על שני הישריםy 2x3(2;7)y 2x 17. ידוע ששניים מקדקודיו של המלבן הם:‏מצא את שיעורי הקדקודים האחרים של המלבן.‏1;1) ( . ו-‏.17כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 17

. B( 1; 2)A(1;2). 7x ky 15הוא מלבן ששניים מקדקודיו הםו-‏ACABCDהאלכסוןא.‏ מצא את הערך שלנמצא על הישר. kב.‏ מצא את שני הקדקודים האחרים של המלבן.‏.18y 2x10. C(7;8)DC. x 5y 14 נתון:‏. CD ו-‏ BC. D ו-‏ BAEABCDBC AFבמקביליתוהגובהלצלעהגובהלצלעמונח על הישרא.‏ מצא את משוואות הצלעותב.‏ מצא את שיעורי הקדקודיםמונח על הישר.19. C(7;2). (5; 2).., B(2;2).14. (10; 3)y5. y8 x849 9.2.85. 1 4. 3תשובות:‏ 1.יח"ר.‏א.‏א.‏ב.‏אוג.‏ב.‏א.‏א.‏ב.‏ב.‏y 2x8. y1 x34 4, A(5;8). (2.8;5.6), (7; 3).17. y 1 12x42,..10y x1y 2x21. (17;3)(1; 2).13.9.5,.. 5y2x15. y 3xy x4. 21 .4 37 1 .3 2.7 . (13;10) .6 . (2 1;31)3 3C(7;9) . ב.‏42;21) ( . ב.‏, B( 3; 1).12. (0;23)ג.‏א.‏אוא.‏א.‏או,.E(2 4 37;76)y 5x27) t . D(6; ב.‏3.19. D(7; 1).16. (0;9). 4 ב.‏ 5) , C(5;(0;10)א.‏א.‏. D(5;7) , B(6;3).8.11.15.18ב.‏כל הזכויות שמורות ליואל גבע ואריק דז'לדטי 18