FIZIKA JADRANJA

FIZIKA JADRANJA
Boštjan Sagadin
V seminarju predstavim osnovne fizikalne principe pri jadranju, tehnike plovbe v različne
smeri glede na veter, na koncu pa še paradoks jadrnice, ki je hitrejša od vetra.
Mentor: Doc. Dr. Zlatko Bradač
April, 2007

KAZALO
1 UVOD ................................................................................................................................ 3
2 KONSTRUKCIJA JADRNICE ......................................................................................... 3
3 NAVIDEZNI VETER ........................................................................................................ 6
4 JADRANJE ........................................................................................................................ 7
4.1 Jadranje z vetrom od zadaj .......................................................................................... 7
4.2 Jadranje z vetrom od strani.......................................................................................... 9
4.3 Jadrnica, hitrejša od vetra .......................................................................................... 11
5 ZAKLJUČEK................................................................................................................... 12
LITERATURA IN VIRI .......................................................................................................... 13
2

1 UVOD
Za jadrnice bi lahko rekli, da so eno od najpomembnejših iznajdb človeka. Omogočajo
premagovanje velikih razdalj brez dovajanja energije, saj izkoriščajo energijo vetra. Z
odkritjem jadrnic se je raziskovanje sveta začelo v pravem pomenu besede. Ljudje so bili pred
tem odvisni od svojih nog ali rok (vesla), vpreženih živali.
Jadrnice so odkrili že Babilonci pred 5000 leti. Najprej so le-te imele okorna pravokotna
jadra, obešena na jambor približno pod kotom 90° glede na jadrnico. V večini primerov so
tako lahko pluli le v smeri vetra. Zaradi tega so bile jadrnice še vedno dokaj okorne, saj ni bila
možna plovba v poljubno smer. Za rešitev tega problema so morali narediti drugačna jadra, ki
so jim lahko spreminjali kot glede na samo jadrnico, prav tako je bilo potrebno dodati
kobilico in utež na dno le-te.
Jadrnice so skozi zgodovino dopolnili do te mere, da so lahko pluli proti vetru in jih tako
naredili še fleksibilnejše in uporabnejše. Seveda pa takrat še niso popolnoma razumeli
fizikalnega ozadja.
Za razlago jadranja v seminarju razložimo delovanje jadra, funkcijo kobilice in vlogo vetra
oz. relativnega vetra. Nato spoznamo tehnike jadranje z vetrom od zadaj, od strani ter proti
vetru. Na koncu razložimo še zanimiv paradoks jadrnice, ki je hitrejša od vetra.
2 KONSTRUKCIJA JADRNICE
Ključna dela jadrnice sta jadro in kobilica. Jadro omogoča izkoriščanje energije vetra,
kobilica pa usmerjeno plovbo in stabilnost. V nadaljevanju ju bomo podrobneje opisali.
Če pomolimo iztegnjeno dlan skozi odprto okno premikajočega se avta lahko opazujemo
zanimivo dogajanje. Ko je dlan vzporedno s tokom vetra, ne čutimo nobene pravokotne sile,
le silo upora, ki deluje nazaj. Takoj, ko sprednji del dlani premaknemo malce navzgor (slika
1), začutimo silo, ki pritiska navzgor. Začetna hitrost vetra vvza r
se namreč spremeni zaradi
ovire (naša roka) v končno hitrost vetra vk r (spremeni se tudi smer toka vetra), zato se pojavi
sila vetra na roko vr Fr . Iz takšnega preprostega poskusa lahko v grobem razumemo delovanja
jader ali letalskega krila [2].
Slika 1. Dlan v zračnem toku. Prirejeno po [2]
Osnovni profil letalskega krila (slika 2) je narejen asimetrično, tako da ima tok zraka, ki teče
nad krilom, večjo hitrost, kot tok zraka, ki teče pod krilom. Zaradi teh razlik hitrosti se na
3

zgornjem delu krila tlak zmanjša. Sila ''vetra'' na krilo vk Fr tako deluje pravokotno na krilo in
uravnoveša težo letala [3]. To je najpogostejša razlaga delovanja letalskega krila. Temelji na
Bernoullijevi enačbi:
1 2
p + ρv
= konst.
2
,
kjer je p tlak v tekočini, ρ gostota tekočine in v hitrost pretakanja tekočine. Privzeli smo, da
je višina konstantna. Iz enačbe (1) je razvidno, da je v delih tekočine, kjer je hitrost tekočine
večje, tlak manjši in obratno.
Slika 2. Letalsko krilo v zračnem toku.
Če jadro pogledamo od zgoraj (slika 3), vidimo podobnost s profilom letalskega krila.
Notranjost jadra se napolni z zrakom zaradi vetra (le-ta jadro napihne), ki se nato ne premika
več bistveno. Sledi, da je potujoč zrak (veter) hitrejši na zunanji strani jadra, kot na notranji in
na jadro deluje sila vetra na jadro Fvj r v smeri pravokotno na smer vetra.
Slika 3. Jadro v zračnem toku
Ko piha veter pravokotno na jadrnico z razprtim jadrom, ustvarja silo na jadro, ki želi jadrnico
zasukati preko vzdolžne osi in jo prevrniti. Zato je potrebno pod jadrnico namestiti del, ki bo
temu nasprotoval. Kobilica je tako kot nekakšno krilo, ki moli v vodo. Na dnu ima utež, ki
prav tako pomaga k premagovanju sile vetra na jadro. Kobilica se v vodi obnaša podobno kot
krilo v toku tekočine. Če jadrnica ne bi imela kobilice, bi ob zmernem vetru ne glede na
razprtost jader, plula predvsem v smeri vetra. Kobilica je poleg jader ključna za usmerjeno
plovbo [1, 2, 5].
4
(1)

Pomembno vlogo ima utež na dnu kobilice. Utež težišče jadrnice prestavi na nižjo točko, kar
poveča jadrnici stabilnost. Navor sile vzgona Fvzg r
glede na težišče, vrača jadrnico v
ravnovesno lego, nižje kot je težišče, večji je navor vzgona. (slika 4).
Poleg teže in vzgona deluje na jadrnico še sila vetra na jadro Fvj r . Navor sile vetra na jadro
poskuša jadrnico prevrniti. Temu pa nasprotuje navor sile upora na kobilico uk Fr . Vse našteto
torej daje jadrnici stabilnost, da se ne prevrne. Pa vendar se ob premočnih vetrovih lahko
jadrnice prevrnejo, zato takrat ne smemo jadrati.
Slika 4. Sile na jadrnico
5

3 NAVIDEZNI VETER
Naj bo hitrost jadrnice glede na zemljo v jz = 8 km/h, veter pa nam piha v hrbet s hitrostjo
vetra glede na zemljo vvz = 10 km/h. Na jadrnici čutimo veter s hitrostjo:
v v − v = 2 km/h,
vj = vz jz
ki nam piha v hrbet. To je relativna hitrost vetra v vj glede na nas. V obratnem primeru, ko
veter piha proti nam, čutimo večjo hitrost vetra, saj je relativna hitrost vetra glede na nas:
v v + v = 18 km/h.
vj = vz jz
V tem primeru čutimo takšno silo upora, kot če bi se peljali s hitrostjo v jz =18 km/h v
brezvetrju. Hitrosti vetra glede na jadrnico pri jadranju pravimo navidezni veter [2, 6, 7].
Ko obravnavamo sile vetra na jadro, je potrebno upoštevati navidezni veter. Za razumevanje
navideznega vetra primer ponazorimo z vektorji. Pomembne so namreč tako velikosti hitrosti,
kot tudi smeri, v katere piha veter. Hitrost navideznega vetra vvj v je enaka vektorski razliki
hitrosti vetra glede na zemljo vvz r
in hitrosti jadrnice glede na zemljo v jz
r (slika 5):
v
vj
v v
= v − v . (2)
vz
Slika 5. Navidezni veter
6
jz

4 JADRANJE
4.1 Jadranje z vetrom od zadaj
Najosnovnejše in tudi najlažje je razumeti jadranje z vetrom od zadaj (slika 6). Jadra
razpremo popolnoma, kar pomeni, da so postavljena pravokotno glede na jadrnico. Moderen
pripomoček športnih jadrnic je tudi špinaker, ki je zelo veliko, balonasto jadro. Razprt je v
centru od spredaj, pritrjen je le z vrvmi in uporaben le v hrbtnem vetru. Nekaj časa je bilo v
uporabi tudi zmaju podobno jadro, pritrjeno na dveh dolgih vrveh. Veter piha v jadra in
pritiska na le-ta. Veter je hitrejši od jadrnice, zato se zrak upočasni na jadrih. Jadro deluje s
silo na zrak v nasprotni smeri pihanja vetra in tako veter/zrak zaustavlja ali preusmerja. Po 3.
Newtonovem zakonu veter deluje s silo naprej na jadro. Jadrnica se tako premika. Jasno je, da
jadrnica z vetrom v hrbet ne more jadrati hitreje, kot piha veter [2].
Slika 6. Jadranje z vetrom od zadaj
Poglejmo si, kako izračunamo teoretično hitrost jadrnice, če jadramo z vetrom. Vektorjev ni
potrebno pisati, saj so vse hitrosti vzdolž iste smeri. Razlika sile vetra na jadro F vj in sile
upora pri gibanju jadrnice skozi vodo F u je po 2. Newtonovem zakonu enaka produktu mase
jadrnice m in njenega pospeška a:
Fvj u
−F
= ma
7
. (3)
Enačbo (3) preoblikujemo tako, da silo vetra na jadro F vj zapišemo z enačbo kvadratnega
zakona upora, silo upora jadrnice F u pa z enačbo linearnega zakona upora. Linearni zakon

upora je na začetku, ko je hitrost majhna, upravičen. O upravičenosti približka linearnega
zakona upora pri končni hitrosti bomo govorili kasneje. Gibalno enačbo (3) za jadrnico
zapišemo kot:
2
ρ(
vvj − v jz ) S
mdv jz
− 6πrηv
jz = ,
2
dt
kjer je ρ gostota zraka, vvj hitrost vetra glede na jadrnico, v jz hitrost jadrnice glede na zemljo,
S površina jadra, r povprečen polmer ugreza in η viskoznost vode. Enačbo (4) preoblikujemo
v brezdimenzijsko obliko tako, da vpeljemo dve brezdimenzijski količini:
v jz
y = ,
v
8
vj
t
x = ,
t
kjer je t0 nek poljuben čas, npr. 1s. Upoštevamo še:
dt
dx = ,
t0
to
nato enačbo (4) množimo s in dobimo:
v m
kjer je:
ρvvjSt
A =
2m
vj
0
,
2
A − By + Cy =
0
dy
dx
ρvvjSt0
6πrηt0 B = − + in
m m
,
ρv
jzSt0
C = .
2m
Za izračun konstant A, B in C sem vzel podatke Elanove jadrnice E31 [8]. Površina jader je
S=120 m 2 (razprti obe jadri in razvit špinaker), masa jadrnice je m=4500 kg, gostota zraka je
ρ=1,2 kg/m 3 , in čas je t0=1 s. S temi podatki dobimo A=0,13, B=0,263 in C=0,013.
Diferencialno enačbo (5) rešimo numerično in dobimo diagram, ki časovno kaže spreminjanje
hitrosti jadrnice pri konstantnem vetru (slika 7).
(4)
(5)

Slika 7. Odvisnost v jz / vvj
od časa t za jadrnico Elan E31
Pri končni hitrosti jadrnice je zaradi uporabe linearnega zakona upora jadrnice v tekočini
prišlo do napake. Za jadrnico je potrebno izračunati Reynoldsovo število:
Dvρ
Re = ,
η
kjer pomeni D karakteristično linearno razsežnost jadrnice, ki jo omejuje tok tekočine, v
relativno hitrost jadrnice glede na tekočino, ρ gostoto tekočine in η njeno viskoznost. S
5
podatki naše jadrnice in hitrostjo vetra npr. vvj=30 m/s dobimo Re = 8,
7 ⋅10
, kar jasno kaže,
da pri končni hitrosti tok ob in za jadrnico ni več laminaren, ampak turbulenten. Naš račun
več ne velja. Za večjo natančnost bi bilo potrebno uporabiti kompleksnejše matematične
prijeme.
Naravnost proti vetru pa ni mogoče jadrati. Pa vendar se je bilo za fleksibilnost jadrnic
potrebno domisliti, kako pluti proti vetru. A najprej je potrebno razložiti, kako lahko jadrnica
jadra, če pihajo vetrovi, ki niso od zadaj.
4.2 Jadranje z vetrom od strani
Oglejmo si primer, ko veter piha od strani in rahlo od spredaj (slika 9). Veter ima začetno
hitrost vvza v
in končno hitrost v vk
v
, pri čemer spremeni smer zaradi jadra. Povprečni pospešek
zraka az r je enak:
r
a
z
r r
∆v
v
= =
∆t
kjer je ∆ t čas, v katerem se vetru spremeni hitrost. V smeri pospeška az r jadro deluje na zrak s
silo jadra na zrak F jz
r . Po 3. Newtonovem zakonu je sila vetra na jadro Fvj r
nasprotno
usmerjena. Sila vetra na jadrnico deluje skoraj pravokotno na smer gibanja, vendar ima
majhno komponento v smeri naprej, torej v smeri, v katero želimo potovati [2].
9
vk
r
− v
∆t
vza
,

Slika 9. a) Veter piha s hitrostjo vvza v
pod kotom α glede na smer gibanja jadrnice; jadro
preusmeri veter; njegova končna hitrost je vvk v . b) Smer spremembe hitrosti vetra v ∆ ; v tej
smeri kaže sila jadra na zrak. c) Sila jadra na zrak F jz
r
Fvj r
in ima majhno komponento v smeri gibanja jadrnice.
10
je nasprotno enaka sili vetra na jadro
Tukaj se je logično vprašati, zakaj ladja ne drsi na stran. V resnici najprej malce drsi, in ko
drsi, kobilica, ki je velika ploščata ploskev pod jadrnico, potiska ogromno količino vode na
stran. Voda se temu upira, in tako dobimo stransko silo upora na kobilico uk Fr . Jadrnica
pospešuje, dokler ni sila upora u Fr tako velika, da je vsota vseh sil, ki delujejo na jadrnico,
enaka nič [2]:
r
F
jz
r r
=
−(
Fuk
+ Fu
)
. (6)
Tako lahko jadrnica jadra proti vetru do približno α = 45° (slika 11), čeprav je veliko
modernih tekmovalnih jadrnic sposobnih jadrati pod manjšimi koti proti vetru.
Slika 10. a) Sile na jadrnico med plovbo; b) Ko jadrnica doseže končno hitrost, je vsota vseh
sil na jadrnico enaka nič.

Slika 11. Smeri jadranja. A) nemogoče jadranje, B) ostro proti vetru, C) pravokotno na veter,
D) veter od zadaj s strani, E) z vetrom. Prirejeno po [9]
Kako torej jadramo v smeri proti vetru? Taktično (slika 12). Poznati je potrebno kot, pod
katerim je jadrnica še sposobna jadrati. Ta kot je odvisen od oblike dna jadrnice, materiala
zunanje površine dna jadrnice, ki vpliva na upor v vodi, površine jader, števila jader in teže
jadrnice. Nato uberemo tako imenovano taktiko ''cikcak'', kar pomeni, da vozimo najprej v
desno pod najostrejšim kotom proti vetru, nato zamenjamo smer in vozimo levo pod
najostrejšim kotom, itd. Naša relativna smer je tako natančno proti vetru [7].
4.3 Jadrnica, hitrejša od vetra
Slika 12. Taktika ''cik cak''. Prirejeno po [9]
V uvodu sem obljubil razlago paradoksa, ki pravi, da lahko jadrnica pluje hitreje od vetra.
Dejstvo se zdi na prvi pogled nemogoče, pa vendar se ga da dokaj preprosto dokazati.
11

Enačba (2) nam osvetli problem. V primeru, da imamo veter od zadaj, se hitrost jadrnice
glede na zemljo v jz
v približuje hitrosti vetra glede na zemljo v vz
v
, in ko se hitrosti izenačita,
pade hitrost navideznega vetra vvj v na 0, tako da ni več sile na jadro. Na tak način ne moremo
jadrati hitreje od vetra. Ko pa je veter pod kotom (slika 13), še vedno velja enačba (2), vendar
pa vidimo, da večja, kot je hitrost jadrnice glede na zemljo v jz
v , večja je hitrost navideznega
vetra vvj v , torej je tudi sila na jadro vedno večja. Tako jadrnica pospešuje, dokler se ne
izenačita sili jadra in upora (enačba (6)) [2].
Slika 13. Hitrost navideznega vetra je večja od hitrosti vetra [2]
Razvoj modernih hitrostnih športnih jadrnic se tako zraven razvijanja novih jader z boljšo
obliko in materialov za jadra ukvarja predvsem z obliko lupine jadrnice. Z dobro
hidrodinamično obliko s čim manj upora se namreč lahko naše jadralne hitrosti večajo, kot je
razvidno iz enačbe (3). Tukaj ne smemo zanemariti kobilice, ki prispeva velik del vodnega
upora. Zato je potrebno, da je le-ta čimbolj hidrodinamična vključno z utežjo, ki je navadno
oblikovana v obliki vodne kaplje [5]. Nenazadnje je pomemben tudi material, iz katerega je
sestavljena površina lupine. Do nedavnega so bili ti materiali čimbolj gladki, najnovejše
raziskave bionike (veje znanosti, ki se ukvarja s posnemanjem bioloških principov na moderni
tehnologiji) pa so dale zanimive rezultate. Znanstveniki so namreč prišli na idejo, da bi
posnemali naravo, in sicer kožo morskega psa, ki je zelo hrapava, saj so po njej posuti drobni
rožički. Rezultati so bili osupljivi, saj se je upor zelo zmanjšal. Podobne rezultate so dobili z
letali, prevlečenimi z hrapavim materialom (manjša poraba) [10].
V prihodnosti tako površine letal, kot tudi jadrnic, očitno ne bodo več gladke.
5 ZAKLJUČEK
V seminarju sem predstavil osnovne fizikalne principe pri jadranju. Spoznali smo vlogo jadra
in kobilice ter pomen navideznega vetra pri jadranju. Razložili smo, kako lahko jadrnica pluje
pravokotno na veter in proti vetru. Na koncu smo razložili še paradoks, kako lahko jadrnica
jadra hitreje od vetra in prikazali še nekaj pomembnih dejavnikov za doseganje čim večjih
hitrosti.
12

LITERATURA IN VIRI
[1] Armet, D. P., The physics of sailing. Pridobljeno 10.2.2007, iz
http://www.sciwrite.caltech.edu/journal03/A-L2/DavidArmet.pdf
[2] Joe Wolfe, The physics of sailing. Pridobljeno 10.2.2007, iz
http://www.phys.unsw.edu.au/~jw/sailing.html
[3] Cvahte, J., Fizika jadranja na deski, diplomsko delo, (Fakulteta za matematiko in fiziko,
Pedagoška fakulteta, Ljubljana, 2005).
[4] Knez S., Podgornik R., Modeli dinamičnega vzgona letalskih kril prvi del 53 (6), 162
(2006).
[5] Škerget, L., Mehanika tekočin, (Tehniška fakulteta, Maribor, 1994).
[6] Roland, D., The complete sailing handbook, (Tiger books international, London, 1990).
[7] Anderson, B.D., The physics of sailing explained, (Adlard Coles nautical, London, 2003)
[8] Elan marine. Pridobljeno 7.3.2007, iz http://www.elan-marine.com/marine/range/e31dimensions.html
[9] Wikipedia.org. Pridobljeno 10.2.2007, iz http://en.wikipedia.org/wiki/ sailing
[10] Dickinson, M. H., Bionics: Biological insight into mechanical design, Pridobljeno
22.3.2007, iz http://www.pubmedcentral.nih.gov/articlerender.fcgi?artid=33951
13