Spektralna analiza glasbil
Spektralna analiza glasbil
Spektralna analiza glasbil
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>Spektralna</strong> <strong>analiza</strong> <strong>glasbil</strong><br />
Avtor: Marko Gosak<br />
Mentor: višji pred. mag. Zlatko Bradač<br />
V seminarju sem opisal nekaj osnovnih značilnosti zvoka, njegovega zaznavanja in <strong>glasbil</strong>. S<br />
pomočjo Fourierove analize sem predstavil frekvenčne spektre klavirja in kitare in<br />
zastopanost višjih harmonikov v njunem zvenu.<br />
Februar 2005
KAZALO<br />
1 UVOD ...................................................................................................................... 2<br />
2 ZVOK....................................................................................................................... 2<br />
2.1 Izvori zvoka ..................................................................................................................................................... 2<br />
2.2 Vrste <strong>glasbil</strong> ..................................................................................................................................................... 3<br />
3 FOURIEROVA ANALIZA ........................................................................................ 3<br />
3.1 Fourierovi integrali......................................................................................................................................... 4<br />
3.2 Diskretna Fourierova transformacija ........................................................................................................... 5<br />
3.3 Hitra Fourierova transformacija................................................................................................................... 5<br />
4 VRSTE ZVOKA ....................................................................................................... 6<br />
5 ZAZNAVANJE ZVOKA ........................................................................................... 7<br />
6 NIHANJE STRUN ................................................................................................... 8<br />
6.1 Klavir ............................................................................................................................................................... 8<br />
6.2 Kitara ............................................................................................................................................................... 9<br />
7 MERITVE................................................................................................................. 9<br />
7.1 Frekvenčni spekter klavirja ........................................................................................................................... 9<br />
7.2 Frekvenčni spekter kitare............................................................................................................................. 10<br />
8 ZAKLJUČEK......................................................................................................... 11<br />
1
1 Uvod<br />
Le malo je ljudi, ki ne marajo glasbe. Različni glasbeni stili so zaznamovali zgodovino<br />
človeštva in ob zvokih melodij so ljudje stopali v revolucije. Kdaj in kako se je razvila<br />
umetnost, ki ji danes rečemo glasba, ne ve nihče povsem natančno. Zagotovo pa si naši<br />
predniki niso mislili, da bodo ustvarili nekaj tako kompleksnega, kar bo neizčrpen vir<br />
preučevanja. S preučevanjem zvoka se ukvarja akustika, veda o zvoku in glasbi, ki povezuje<br />
umetnost in znanost. Akustika zajema ogromno področij. Poznamo fizikalno, fiziološko,<br />
gradbeno, psihoakustiko, elektroakustiko in druge. Vsako od teh področij je zelo obsežno,<br />
zato bom v seminarju predstavil le drobec s tega področja. Predstavil bom nekaj osnovnih<br />
značilnosti zvoka, njegovega zaznavanja in <strong>glasbil</strong>. Obravnavali bomo predvsem <strong>glasbil</strong>a s<br />
strunami – kordofone. Posnel sem zvok klavirja in kitare ter podatke obdelal s pomočjo<br />
računalnika. Nepogrešljivo matematično orodje pri spektralni analizi je seveda Fourierjeva<br />
<strong>analiza</strong>. V dobljenih spektralnih <strong>analiza</strong>h me je zanimala zastopanost višjih harmonikov v<br />
zvenu posameznih <strong>glasbil</strong>.<br />
2 Zvok<br />
V fiziki obravnavamo zvok kot longitudinalno valovanje, to je kot valovanje, pri katerem<br />
delci snovi nihajo v isti smeri, kot se valovanje širi. V snovi nastajajo zgoščine, kjer se<br />
povečata gostota snovi in tlak in razredčine, kjer se gostota in tlak zmanjšata (slika 1).<br />
λ<br />
Slika 1. Longitudinalno valovanje. V snovi se pojavijo zgoščine in razredčine.<br />
Zvok se lahko širi le po sredstvu, ki je lahko plin, kapljevina ali trdna snov. V akustiki je<br />
pomembno širjenje zvoka po zraku. Pomemben je predvsem zvok s frekvencami med 16 Hz<br />
in 16 kHz, ki ustreza človekovemu slišnemu območju. Hitrost širjenja zvoka (c) v plinu lahko<br />
izračunamo z enačbo c= κ RT M.<br />
Pri tem je κ razmerje med specifično toploto plina pri<br />
konstantnem tlaku in specifično toploto plina pri konstantni prostornini, T temperatura in M<br />
molska masa plina, po katerem se zvok širi. R pa je splošna plinska konstanta. V zraku in pri<br />
sobni temperaturi je hitrost zvoka približno 340 m/s.<br />
2.1 Izvori zvoka<br />
Zvok lahko ustvarimo na veliko načinov. Naštejmo nekaj najbolj običajnih [1]: Z nihanjem<br />
telesa, na primer membrane na bobnu ali strune na kitari, se v neposredni okolici spreminja<br />
tlak. To motnjo zaznamo kot zvok. Za ljudi najpomembnejši proces proizvajanja zvoka je<br />
zagotovo govorjenje in petje. Ko izdihan zrak zaniha glasilke, se spremeni zračni pretok. To<br />
nihanje se prenese v žrelno, ustno in nosno votlino, kjer se zvok značilno obarva in oblikuje<br />
vokale. S pomočjo jezika, zob in ustnic nato tvorimo ustrezne konzonante. Na tak način<br />
oblikovan zvok se nato širi v okolico [1]. Podobno delujejo nekatera <strong>glasbil</strong>a, na primer<br />
klarinet, kjer funkcijo glasilk opravlja udarni jeziček in ustnice glasbenika. Pri eksploziji<br />
zaslišimo zvok zaradi hitrega raztezanja zraka. To povzroči motnjo, ki jo zaznamo kot pok.<br />
Natanko ta proces poteka v naravi med nevihto. Strela povzroči močno segrevanje zraka, kar<br />
zaznamo kot grmenje.<br />
2
V naslednjem poglavju bomo spoznali, na kakšen način proizvajajo zvok <strong>glasbil</strong>a in kako jih<br />
glede na to tudi razvrstimo.<br />
2.2 Vrste <strong>glasbil</strong><br />
Glasbila lahko razvrščamo na mnogo načinov. V nadaljevanju bom predstavil fizikalno<br />
razvrstitev, glede na način proizvajanja zvoka [2].<br />
Idiofoni so <strong>glasbil</strong>a, ki zaradi lastne elastičnosti nihajo v slišnem območju. Zvok, ki ga pri<br />
tem oddajajo je odvisen od snovi, iz katere je <strong>glasbil</strong>o narejeno, od oblike <strong>glasbil</strong>a in od<br />
načina vzbujanja (udarjanje, strganje, trzanje, drgnjenje). Tipični predstavniki te skupine so<br />
činele, ropotulja, triangel, zvon, vibrafon, steklene čaše…<br />
Pri aerofonih se nihanje zraka v trupu vzdržuje kot stoječe valovanje, ki se kot zvok širi v<br />
prostor. Aerofoni predstavljajo obsežen razred <strong>glasbil</strong>, v katerega spadajo vsa trobila, piščali,<br />
flavta, klarinet, saksofon, harmonika, orgle…<br />
Pri membrafonih niha napeta opna, ki jo najpogosteje vzbudimo z udarjanjem. V to<br />
kategorijo <strong>glasbil</strong> spadajo klasični bobni, pavke, mirlitoni…<br />
V seminarju pa bom podrobneje predstavil le kordofone. To so <strong>glasbil</strong>a, pri katerih zvok<br />
nastaja zaradi nihanja napete strune. Ker je površina strune premajhna, da bi lahko v prostor<br />
oddajala dovolj zvočne energije, je ponavadi povezana z ojačevalnim trupom, katerega naloga<br />
je, da ojači oddani zvok. Kordofone razvrščamo glede na način vzbujanja strun: pri brenkalih<br />
struno zanihamo bodisi z brenkanjem s prsti ali s trzalico. Tipično brenkalo je kitara, tudi<br />
harfa in citre. Pri godalih pa potezamo po struni z žimo (lokom). Najpopularnejše godalo je<br />
violina. Strune lahko zanihamo tudi z udarjanjem, npr. pri klavirju.<br />
Na koncu omenimo še elektronska <strong>glasbil</strong>a, pri katerih se ojačana elektronska nihanja<br />
posredujejo preko zvočnikov.<br />
3 Fourierova <strong>analiza</strong><br />
Ker vsako telo tedaj, ko oddaja zvok, niha, ali pa povzroča nihanje, bomo imeli pri<br />
matematični analizi zvoka opravka s periodičnimi funkcijami. Francoski fizik Fourier je<br />
ugotovil, da lahko vsako periodično funkcijo f(t) razvijemo v Fourierovo vrsto. To pomeni, da<br />
jo zapišemo kot neskončno vsoto sinusov in kosinusov, pri čemer ima prvi sinusni oziroma<br />
kosinusni člen vrste enako krožno frekvenco kot naša funkcija, frekvenca nadaljnjih členov pa<br />
je večkratnik te osnovne frekvence [3]:<br />
∞ ∞<br />
a0<br />
f ( t) = + ∑ansin( nω t) + ∑bncos( nωt ).<br />
2<br />
n= 1 n=<br />
1<br />
Člen 0 2 a je svoboden člen, ki nastopa le takrat, ko se funkcija f(t) ne začne v izhodišču,<br />
členi an in bn pa so vrednosti amplitud posameznega člena in za dovolj velike frekvence nω<br />
postanejo zanemarljivo majhni. To je v praksi zelo uporabno, saj lahko neskončno vrsto<br />
obravnavamo kot vrsto s končnim številom členov.<br />
Pri grafični upodobitvi spektra funkcije f(t) izhajamo iz Parsevalove enačbe (podrobna<br />
izpeljava je v [3]):<br />
t0<br />
∞<br />
1 2 1 2 1 2 2<br />
f () t dt ( a0) ( an bn),<br />
t ∫ = + ∑ +<br />
(1)<br />
2 2<br />
0 0<br />
∞ 1 2 2<br />
kjer vsota ∑ ( an + bn)<br />
predstavlja vsoto energij posamičnih harmoničnih komponent, kar<br />
2 n=<br />
1<br />
nam pri valovanju predstavlja skupno gostoto energijskega toka j. Koliko skupne povprečne<br />
gostote energijskega toka pripada posameznim frekvencam, prikažemo z diagramom, kjer na<br />
abscisno os tako nanašamo frekvenco, na ordinatni osi pa pri vsakem večkratniku osnovne<br />
n=<br />
1<br />
3
2 2<br />
frekvence narišemo pokončno črto, katere višina je enaka an + bn = jn.<br />
Tak spekter je<br />
diskreten in ekvidistančen, a spoznali bomo, da obstajajo spektri, predvsem v akustiki in tudi<br />
optiki, pri katerih višje harmonske frekvence niso celoštevilski večkratniki.<br />
Primer Fourierove transformacije je prikazan na sliki 2.<br />
Slika 2. Primer Fourierove transformacije periodične funkcije.<br />
1 1<br />
a) Funkcija f () t = sin( ω t) + sin(2 ω t)<br />
+ sin(3 ω t ). b) Frekvenčni spekter funkcije f(t).<br />
0 0<br />
2 4<br />
0<br />
3.1 Fourierovi integrali<br />
V Fourierovo vrsto lahko razvijemo le funkcije, ki opisujejo nihanja, pri katerih je čas nihanja<br />
neskončen. Kadar je nihanje prekinjeno ali dušeno, torej končno, ga lahko analiziramo s<br />
pomočjo Fourierovih integralov [3]. Pri tem napravimo trik in predpostavimo, da nihanje ne<br />
preneha za zmeraj, ampak ga čez čas ponovno vzbudimo. Perioda vzbujanja T0 je zelo velika,<br />
frekvenca ω 0 = 2π T0<br />
pa majhna. Posledično so posamezne frekvence ω= nω0<br />
zelo skupaj.<br />
Predpostaviti smemo, da so si blizu tudi amplitude, tako da lahko vsoto vrste zapišemo z<br />
integralom. Z uvedbo amplitudne funkcije A( ω ) ga zapišemo:<br />
∞<br />
−ω i t<br />
f () t = ∫ A( ω) e dω.<br />
(2)<br />
−∞<br />
Na tem mestu je potrebno opozorilo, da je A( ω ) kompleksna amplituda:<br />
1<br />
A( ω ) = [ a( ω ) + ib(<br />
ω ) ] .<br />
2<br />
Edini namen kompleksnega zapisa je poenostavitev enačb.<br />
Z obratom Fourierovega integrala (enačba (2)) izrazimo še A( ω ) :<br />
1 ∞<br />
iωt A( ω ) = f( t)<br />
2π<br />
∫ e dt . (3)<br />
−∞<br />
Parsevalova enačba (glej en. (1)) za Fourierove integrale dobi obliko:<br />
∞ 2 ∞ 2<br />
∫ f () t dt = 2 π A( ω) dω<br />
−∞ ∫ .<br />
−∞<br />
Za realne funkcije, kjer se znebimo negativnih frekvenc, lahko zapišemo:<br />
∞ 2 ∞<br />
2 2<br />
∫ f ( t) dt = π ⎡a( ω ) + b( ω) ⎤ dω<br />
−∞ ∫ 0 ⎣ ⎦ .<br />
Spekter končnega nihanja ni diskreten, temveč zvezen. Pri grafični upodobitvi zveznega<br />
spektra na abscisno os nanesemo frekvenco, na ordinatno pa delež gostote energijskega toka<br />
dj, ki pade na ozek interval krožne frekvence dω: dj dω . Včasih namesto krožne frekvence ω<br />
zapišemo odvisnost glede na frekvenco ν (dj d ν) ali glede na valovno dolžino λ ( dj dλ ) .<br />
4
3.2 Diskretna Fourierova transformacija<br />
V realnem življenju lahko izmerimo le končno število točk, tako da imamo npr. pri analizi<br />
zvočnega signala opravka z diskretno periodično funkcijo. <strong>Spektralna</strong> <strong>analiza</strong> poteka numerično.<br />
V tem primeru je Fourierova <strong>analiza</strong> definirana z vsoto namesto z integralom (2, 3) [4,5].<br />
Pri analizi zvočnih signalov imamo največkrat opravka s frekvenco izraženo kot število<br />
nihajev na sekundo (Hz), zato preidimo iz krožne frekvence ω na frekvenco ν. Pri tem<br />
uporabimo znano zvezo ω=2πν.<br />
Naj bo N število točk naše diskretno zapisane funkcije, čas<br />
T pa je časovni interval med dvema točkama ( T = tn − tn−1). Obratno vrednost časa T<br />
imenujemo Nyquistova frekvenca – predstavlja nam najvišjo frekvenco, pri kateri je diskretna<br />
Fourierova transformacija še možna. Diskretno Fourierovo transformacijo lahko sedaj<br />
zapišemo:<br />
ter njena inverzna oblika:<br />
N −1<br />
n k<br />
k = 0<br />
2πkn<br />
i<br />
N<br />
A( ν ) =∑ f( t ) e , (4)<br />
N −1<br />
∑<br />
k n<br />
n=<br />
0<br />
2πkn<br />
−i<br />
N<br />
f( t ) = A( ν ) e . (5)<br />
Indeksa k in n tečeta od 0 do N-1. Čas tk je večkratnik časa T (tk = kT ), frekvenca νn pa je<br />
večkratnik frekvenčne ločljivosti: ν = nTN.<br />
Za lažjo predstavo glej sliko 3.<br />
n<br />
Slika 3. Diskretna Fourierova transformacija. a) Diskretna funkcija f(t). b) Amplitudna funkcija A(ν).<br />
Enačbi (4) in (5) sta sicer preprosti za programiranje, vendar sta časovno prezahtevni. Zato v<br />
praksi uporabljamo izboljšan algoritem, ki ga bom predstavil v naslednjem poglavju.<br />
3.3 Hitra Fourierova transformacija<br />
Diskretno Fourierovo transformiranko A(ν) funkcije f(t), ki je podana v N točkah, lahko<br />
zapišemo kot vsoto sode Fourierove transformiranke, ki je odvisna le od sodih členov<br />
originalne funkcije in lihe Fourierove transformiranke, ki je odvisna le od lihih. Število točk<br />
posamezne funkcije je 2<br />
N [4,5].<br />
Fk naj bo k-ti element Fourierove transformiranke celotne funkcije, s<br />
F k je k-ti element<br />
l<br />
Fourierove transformiranke sodih in F lihih vrednosti funkcije. Velja:<br />
2π<br />
i<br />
N<br />
k<br />
F = F + W F<br />
s k l<br />
k k k<br />
kjer je W = e . Število N mora biti potenca števila 2. Takrat lahko uporabimo rekurzijo in<br />
lls... s<br />
dobimo na primer vrednost Fk<br />
, ki predstavlja liho-liho-sodo-…-sodo transformiranko. Pri<br />
dovolj korakih rekurzije dobimo vrednosti, ki so izračunane iz ene vrednosti f. Tako<br />
lls... s<br />
velja Fk = fn<br />
za neko točko n med 0 in N-1. Izračun Fourierove transformacije tako postane<br />
iskanje vrednosti n, ki ustreza kombinaciji liho-liho-sodo-…-sodo.<br />
,<br />
5
Če število n zapišemo v dvojiški obliki, pri čemer lihe vrednosti zamenjamo z 1 in sode z 0,<br />
zaporedne delitve predstavljajo test za vrednost posameznega bita števila n, in to v obratnem<br />
vrstnem redu. To dvojiško število oblike 110…0 zapišemo v obratnem vrstnem redu, kar je<br />
enako iskani vrednosti n. Z algoritmom za hitro Fourierovo transformacijo lahko napravimo<br />
spektralno analizo poljubne diskretno zapisane funkcije, npr. zvočnega signala.<br />
4 Vrste zvoka<br />
Za spektralno analizo zvoka potrebujemo funkcijski zapis pxt ( , ) , kako se neka fizikalna<br />
količina, recimo tlak, spreminja s časom. Enačba p( xt , ) = p0 +∆p0sin(2πνxc−2 πν t)<br />
opisuje krajevno in časovno odvisnost tlaka p v longitudinalnem valovanju. Pozorni smo le na<br />
časovni potek dogajanja v določeni točki (npr. v mikrofonu). Če tam izberemo x = 0, velja<br />
p( x= 0, t) = p0 +∆p0sin(2 πν t).<br />
Enačba predstavlja nihanje tlaka okoli ravnovesnega tlaka p0.<br />
Ko imamo zapisano funkcijo, ki opisuje nihanje tlaka v izbrani točki, lahko napravimo<br />
Fourierovo transformacijo in funkcijo predstavimo še v frekvenčni domeni. Glede na obliko<br />
funkcije in njenega spektra lahko naštejemo nekaj osnovnih vrst zvoka.<br />
Ton je harmonsko nihanje z eno frekvenco. V življenju ga srečamo redko, generiramo ga<br />
lahko z glasbenimi vilicami ali elektronsko – s frekvenčnim generatorjem. Primer tona in<br />
njegovega spektra je na sliki 4.<br />
Slika 4. a) Ton je harmonično nihanje z eno frekvenco (t0=0,0023 s). b) Frekvenčni spekter<br />
ν = 1 t ≈ 440 Hz.<br />
tona: 0 0<br />
Zven, pravimo mu tudi glasbeni ton, je nihanje, sestavljeno iz osnovne frekvence ν0 in njenih<br />
višjih harmonskih nihanj 2ν0, 3ν0,…. Višje harmonska nihanja določajo barvo zvoka.<br />
Glasbeni inštrumenti lahko oddajajo zvok enake frekvence, pa se bodo po zvenu razlikovali -<br />
prav zaradi višjih harmonikov. Zven in njegov frekvenčni spekter je prikazan na sliki 5.<br />
Slika 5. a) Zven je vsota večih sinisnih nihanj ( t0=0,0023 s). b) Frekvenčni spekter zvena: ν = 1 t ≈ 440 Hz.<br />
0 0<br />
6
Šum je popolnoma neurejeno valovanje, kjer so zastopane so vse frekvence, brez urejenosti (slika 6).<br />
Slika 6. a) ∆p/∆p0 v odvisnosti od časa. b) Frekvenčni spekter šuma. Interval na abcisni osi<br />
pokriva področje od 0 do 10 kHz.<br />
5 Zaznavanje zvoka<br />
Uho je sposobno zaznavati na zelo širokem območju gostote energijskega toka. Minimalna<br />
vrednost gostote energijskega toka (imenujemo jo tudi jakost zvoka), ki jo človeško uho še<br />
12<br />
zazna, je 0 W/m 10 j<br />
−<br />
2<br />
=<br />
. Človekovo zaznavanje občutka jakosti zvoka ni v linearni<br />
odvisnosti z dražljaji. Številni poskusi so pokazali, da med občutkom in dražljajem obstaja<br />
logaritemska zveza, kar v praksi pomeni, da bomo deset krat večji dražljaj zaznali dva krat,<br />
sto krat večjega pa tri krat glasneje. Občutek, ki ga jakost zvoka povzroči v ušesih imenujemo<br />
glasnost zvoka, ki jo označimo z L. Velja:<br />
j ( j )<br />
L = 10⋅ log ,<br />
(6)<br />
pri čemer je j0 minimalna jakost zvoka, ki jo uho še zazna. Glasnosti pripišemo enoto decibel<br />
(dB). Maksimalna glasnost zvoka, ki pri človeku že povzroči okvaro sluha ali celo bolečino je<br />
10<br />
med 100 in 120 dB. Iz enačbe (6) sledi, da to ustreza jakosti j j010<br />
1<br />
= ⋅ = W/m2 .<br />
Tudi pri določanju višine tona, ki je neposredno odvisna od frekvence zvočnega nihanja obstaja<br />
logaritemska zveza med zaznavanjem višine tona in frekvenco. Vpeljemo pojem oktava, ki je<br />
definiran tako, da dva tona tvorita interval oktave takrat, ko je frekvenca drugega tona dvakrat<br />
večja od frekvence prvega tona [2]. Interval oktave razdelimo na 12 poltonov. Posledično je<br />
razmerje med posameznimi toni 12 2 ≈ 1,059. Nazornejšo predstavo o frekvencah posameznih<br />
tonov vidimo na sliki 7, ki prikazuje razmerja med toni na klavirju, in sicer na intervalu ene<br />
oktave. Ta razmerja veljajo ne glede na višino lestvice, ki jo opazujemo. Za uglaševanje je tako<br />
zadosten pogoj, da določimo višino enega, osnovnega tona, vse ostale lahko nato izrazimo z<br />
omenjenimi razmerji. Po dogovoru velja za osnovni ton A1, s frekvenco 440 Hz.<br />
Slika 7. Interval oktave na klavirju<br />
0<br />
120<br />
7
Opisani tonski sistem se imenuje enako tempirana lestvica in je danes najbolj pogosto v<br />
uporabi. Omeniti je treba, da je bilo v zgodovini glasbe uveljavljenih že mnogo glasbenih<br />
lestvic. Začetke je postavil Pitagora, ko je delil nihajočo struno v razmerju celih števil. Več o<br />
tonskih sistemih lahko bralec prebere v [2].<br />
6 Nihanje strun<br />
Osnovna frekvenca transverzalnega nihanja strune je odvisna od dolžine strune l, njenega<br />
preseka S in gostote ρ ter od sile F, s katero je napeta [2]:<br />
1 F<br />
ν= .<br />
2l<br />
Sρ<br />
(7)<br />
Če upoštevamo zvezo med maso, volumnom in gostoto: m = Slρ<br />
in jo vstavimo v enačbo (7),<br />
dobimo:<br />
1 F<br />
ν= . (8)<br />
2 lm<br />
Videti je, da imamo ogromno možnosti za doseganje poljubnih frekvenc strune, a se v praksi<br />
izkaže, da smo zelo omejeni. Strune ne moremo preveč napeti, saj napetost ne sme biti večja<br />
od natezne trdnosti. Ob premajhni napetosti pa struna ne more zanihati. Tudi dolžina ne more<br />
biti poljubna, saj <strong>glasbil</strong>o ne sme biti preveliko. Maso najlažje povečamo z večanjem preseka<br />
strune. A v tem primeru struna vse bolj niha kot palica, torej neharmonsko. Nizke frekvence<br />
tako dosežemo s povitimi strunami (slika 8) – okrog strune ovijemo tanko bakreno žičko ali folijo.<br />
Če struni povečamo maso na tak način, bo njen zven veliko bolj harmoničen, kot če bi preprosto<br />
vzeli struno z večjim presekom. Več o povitih strunah lahko vedoželjen bralec prebere v [6].<br />
V večini primerov struna ne niha le z osnovno frekvenco, ki jo določa enačba (8), temveč tudi<br />
z višje harmonskimi, alikvotnimi frekvencami (slika 9). Pri idealni struni so višje harmonske<br />
frekvence celoštevilski večkratniki osnovne, zato je niz višjih<br />
alikvotnih frekvenc harmoničen. Konkreten primer nihanja strun si<br />
poglejmo pri klavirju in kitari.<br />
Slika 9. Nihanje strune z osnovno in tretjo alikvotno frekvenco [3].<br />
Slika 8. Povita struna<br />
6.1 Klavir<br />
Klavir ima značilno obliko, ki pripomore k specifičnemu zvoku. V krilu so napete strune različnih<br />
vrst (slika 10). Za nizke tone se<br />
uporabljajo enojne strune, ki so daljše<br />
in debelejše. So povite, kar jim poveča<br />
maso in omogoči proizvajanje zvoka z<br />
nizkimi frekvencami - glej enačbo (3).<br />
Za višje tone so strune vse tanjše, krajše<br />
in bolj napete, na okvir pa so vpete v<br />
parih ali trojicah. Tako znaša skupna<br />
5<br />
napetost strun v klavirju do 3⋅10N. Zaradi velike napetosti posameznih<br />
strun le-te niso več idealne, zaradi česar<br />
višji harmoniki niso točno celoštevilski<br />
večkratniki osnovne frekvence [2,7].<br />
Slika 10. Trup klavirja<br />
8
Klasični klavirji imajo 88 tipk, kar je 7 1<br />
3 oktave. Zvok v klavirju nastane s pritiskom na tipko. Ob<br />
tem se sproži kladivce, ki udari po strunah in jih zaniha. Ko tipko spustimo, se k struni prisloni<br />
dušilec, ki ton počasi zaduši. Če tega ne želimo, lahko z desnim pedalom dvignemo dušilce, tako<br />
da strune nihajo tudi po spustitvi tipk.<br />
6.2 Kitara<br />
Pri kitari je šest strun vpetih od mostička do vijačnice. Strune so različnih debelin in napetosti.<br />
Različne tone dobimo s pritiskom prsta na prečke ubiralke, saj tako struno skrajšamo. Struno<br />
zanihamo z brenkanjem po njej. Strune so manj napete kot pri klavirju, tako da so višje harmonski<br />
toni celoštevilski večkratniki osnovne frekvence. Slednje velja za večino <strong>glasbil</strong>. Zvok ojača<br />
ojačevalni trup v obliki osmice, ki prenese nihanje strune na večjo površino in tako ojači jakost<br />
zvoka.<br />
7 Meritve<br />
Z mikrofonom, priključenim na računalnik, sem posnel ton A1 pri klavirju in kitari. Nihanje<br />
tlaka v mikrofonu povzroči nihanje feromagnetnega jedra. V tuljavi, ki ga obdaja, se tako<br />
inducira napetost, ki je sorazmerna s tlakom. Napetostni signal je primeren za nadaljnjo<br />
računalniško obdelavo. Izmerjene podatke sem shranil v obliki tekstovne datoteke, v katero se<br />
je zapisal diskreten zapis zvena kot funkcija amplitude v odvisnosti od časa. V programskem<br />
jeziku Pascal sem napisal program, ki je te podatke prebral in zagnal proceduro za hitro<br />
Fourierovo transformacijo iz numeričnih receptov [5]. Tako sem dobil podatke, s katerimi sem<br />
narisal frekvenčni spekter <strong>glasbil</strong>a.<br />
7.1 Frekvenčni spekter klavirja<br />
Klavir, katerega zvok sem meril, je bil rahlo razglašen. Ton A1 je tako uglašen 4 Hz<br />
previsoko, torej ν0=444 Hz. Kolikšne so amplitude posameznih višje harmoničnih tonov, ki<br />
oblikujejo zven klavirja, je prikazano na sliki 11a. Zanima nas še energijski delež višjih<br />
harmonikov. Vemo, da je gostota energijskega toka – jakost zvoka, sorazmerna s kvadratom<br />
amplitude. Na sliki 11b je tako prikazana jakost zvoka posameznih harmoničnih tonov. Ljudje<br />
jakost zvoka zaznavamo logaritemsko (enačba (6)), zato sem na sliki 11c prikazal še graf<br />
logaritma jakosti zvoka v odvisnosti od frekvence. Zavedati pa se moramo, da to ni povsem<br />
enako glasnosti, kajti človeško uho ni pri vseh frekvencah enako občutljivo. Na slikah 11a,b,c<br />
je lepo vidno, da višji harmoniki zvena klavirja niso točni celoštevilski večkratniki osnovne<br />
frekvence, saj se zaradi velike napetosti klavirske strune ne obnašajo več idealno.<br />
9
Slika 11. Frekvenčni spekter klavirja. a) Amplitude posameznih višjeharmonskih frekvenc.<br />
b) Gostota energije višjih harmonikov. c) Logaritemski prikaz jakosti zvoka višje harmonskih frekvenc.<br />
7.2 Frekvenčni spekter kitare<br />
Na enak način kot pri klavirju sem se lotil tudi spektralne analize zvena pri kitari. Tudi kitara<br />
ni bila idealno uglašena. Ton A1 je tako imel frekvenco ν0=437 Hz. Amplitude posameznih<br />
višje harmonskih tonov so prikazane na sliki 12a. Na sliki 12b je so prikazane gostote<br />
energijskega toka posameznih alikvotnih tonov. Graf logaritma jakosti zvoka v odvisnosti od<br />
frekvence je na sliki 12c. V frekvenčnem spektru kitare je sedmi alikvotni ton skoraj<br />
zanemarljiv, kar je značilno za ta inštrument. Če primerjamo spektralno analizo klavirja in<br />
kitare, lahko povzamemo, da imajo višji harmoniki pri zvenu klavirja več energije. Prav tako<br />
se razlikujejo tudi relativne amplitude posameznih alikvotnih tonov, zaradi česar imata<br />
inštrumenta, dasiravno smo zaigrali isto noto, drugačen zven. Prav različna zastopanost višjih<br />
harmonikov je ključna pri »oblikovanju značaja« <strong>glasbil</strong>.<br />
10
Slika 12. Frekvenčni spekter kitare. a) Amplitude posameznih višje harmonskih frekvenc. b) Gostota<br />
energije višjih harmonikov. c) Logaritemski prikaz jakosti zvoka višjeharmonskih frekvenc.<br />
8 Zaključek<br />
<strong>Spektralna</strong> <strong>analiza</strong> ima v praksi pomembno vlogo. Uporablja se lahko pri odpravljanju šuma,<br />
stiskanju podatkov, oblikovanju zvena elektronskih <strong>glasbil</strong>… Kot sem že uvodoma povedal,<br />
je ta seminar le kapljica v morju akustike. Če bi želeli zven posameznega inštrumenta<br />
analizirati konkretneje, bi morali upoštevati tudi dejstvo, da se amplitude višjih harmonikov s<br />
časom spreminjajo. Prav tako je zastopanost posameznih alikvotnih tonov odvisna od načina<br />
in mesta vzbujanja strune. Problem postane še veliko bolj kompleksen, ko pomislimo še na<br />
druge inštrumente.<br />
Vsekakor pa je zelo impresivno, koliko »fizike« srečamo tudi v koncertni dvorani.<br />
Literatura in viri:<br />
[1] T. D. Rossing, F. R. Moore, P. A. Wheeler, The science of sound, tretja izdaja, (Addison<br />
Wesley, San Francisco, 2002).<br />
[2] B. Ravnikar, Osnove glasbene akustike in informatike, (DZS, Ljubljana, 1999).<br />
[3] I. Kuščer, A. Kodre, Matematika v fiziki in tehniki, (DMFA, Ljubljana, 1994).<br />
[4] R. Kress, Numerical Analysis, (Springer, New York, 1998).<br />
[5] Spletna stran predavanj iz numeričnih metod dr. Aleksandra Zidanška:<br />
http://www2.ijs.si/~zidansek/model8.html<br />
[6] N. H. Fletcher, T.D. Rosing, The Physics of Musical Instruments, (Springer, New York, 1991).<br />
[7] E. D. Blackham, Die Physik der Musikinstrumente, 2. izdaja, poglavje Klaviere,<br />
(Spektrum AV, Berlin, 1998).<br />
11