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donde α > 0
0 , α i
i
≥ 0 ∀ , β
j
≥ 0 ∀j
, δ ≥ 0 y γ ≤1. Para que el proceso sea
p
estacionario ha de cumplirse que: ∑α
β
( ν γν ) δ
iki
+ ∑ j
< 1, ki
= E
t
−
t
q
i= 1 j=
1
. El parámetro
γ
i
recoge el efecto leverage 17 , de tal forma que si es igual a cero no existe tal efecto y
los shocks positivos tienen el mismo efecto que los negativos.
El modelo (3) puede reescribirse, tal y como hace Hansen (2000), en una simple
ecuación como:
R
t
⎧
⎫
⎧
⎫ ⎧
⎫
µ ( α
3i
Rt
−i
⎬ + ε
t
(6)
⎩
⎭
⎩
⎭ ⎩
⎭
p
p
p
= I
t ⎨ + α
i
Rt
i ⎬ + − I
t
− J
t ⎨µ
+ α
i
Rt
i ⎬ + J
t ⎨µ
+ ∑
1 ∑ 1 −
1 )
2 ∑ 2 −
3
i=
1
i=
1
i=
1
donde I
t
y
J
t
son dos funciones indicadores definidas de la siguiente forma:
I
t
⎧1
= ⎨
⎩0
si R
si R
t−d
t−d
> λ⎫
⎬
≤ λ⎭
J
t
⎧1
= ⎨
⎩0
si R
si R
t−d
t−d
< −λ⎫
⎬
≥ −λ⎭
(7)
En la estimación del modelo (6) se ha considerado que el retardo d puede tomar valores
desde 1 a 5. Por su parte, el valor que puede tomar el parámetro umbral estará incluido
en el intervalo [λ λ ]. Para determinar los valores extremos del intervalo, se ordena de
forma creciente las observaciones de
R
t
en valor absoluto, y se selecciona el valor
mínimo del umbral λ de forma que el 15% de las observaciones de
R
t
se sitúen por
debajo de él. El valor máximo del umbral λ vendrá determinado por aquel valor para el
cual el 15% de las observaciones de
R
t
estén situadas por encima de él. De esta forma
se garantiza que al menos el 15% de las observaciones de
R
t
se encuentran dentro o
fuera de la banda, evitando que la estimación esté influida por unos pocos outliers.
El número de retardos considerados ( ∆
Rt
− i
) para describir la dinámica no han sido
superior a tres 18 . Para cada retardo, los valores óptimos del umbral y del retardo d se
obtienen estimando la ecuación (6) para diferentes valores de estos parámetros y
17 El efecto leverage hace referencia a la existencia de correlación negativa entre los shocks pasados y la
volatilidad. Si el coeficiente γ
i
es positivo, los shocks negativos tienen mayor efecto en la volatilidad
que los positivos.
18 Atendiendo al principio de parsimonia de la metodología Box-Jenkins.
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