STAVEBNÍ OBZOR č. 06/2004

STAVEBNÍ OBZOR 6/2004 173
finální podoby
Porovnání řešení Boussinesqova
s pružnou vrstvou
Obě řešení porovnáme na příkladu, kdy svisle na podloží
působí konstantní plošné zatížení v kruhu. Pro srovnání
použijeme výpočet průběhu napětí na ose rotační symetrie.
V případě Boussinesqova řešení pomocí rovností (3), (5)
integrací získáme
3 ⎡ z ⎤
σ z = f0
⎢1−
.
2 2 3/
2 ⎥ (19)
⎣ ( r + z ) ⎦
Správnost řešení můžeme ověřit v [3].
V případě pružné vrstvy (zadání přibližuje obr. 3) řešíme
diferenciální rovnice, které dostaneme z (18) transformací
do polárních souřadnic. V případě polárních souřadnic je
rovnováha vyžadována soustavou rovnic
w
j
j−1
2 ( j ) w = ( −1)
2 f .
∆w − α (18)
Obr. 3. Rovnoměrné spojité zatížení působící v kruhu
1
j−1
2
+ w ( ) ( 1)
2
j,
x − jα
w j = − f . (20)
x
j,
xx
z
Ty jsou známy jako modifikované diferenciální rovnice
Besselovy. Vlivem rotační symetrie došlo k další redukci
dimenze. Znamená to, že nyní již řešíme úlohu jednodimenzionální.
Té přísluší okrajové podmínky
w ( ∞)
= 0 ,
j
V jednotlivých intervalech využijeme známé řešení
kde
j
dw j ( x)
= 0 .
dx
x = 0
w
x ∈ 0; r w
2
j
0 α 2
j
x ∈ r
j
j−1
p1
() x = K 1 I ( j x)
+ ( −1)
,
j
) w () x = K 2 K ( jαx),
; ∞ j
0
α =
C1 f z f z
, f z = − , wp1
=
C2
C2
C1
z
,
(21)
(22)
Dvě zbývající integrační konstanty 1, K 2 určíme z podmínek
spojitosti průhybu a první derivace v bodě x = r.
Dosazením do (22) získáme soustavu dvou lineárních algebraických
rovnic
odkud pomocí Kramerova pravidla s využitím identity
vypočteme
j
j
K
K
I
0
2
H.
π
C 1 = Eoed
, C
2
2 =
8H
1
1
I
I
0
( jαr)
K ( jαr)
+ I ( jαr)
K ( jαr)
j
j
1
1
Před zpětným dosazením výsledků (22) a (25) do (7) si
připomeneme identitu
∑ ∞
n=
0
[ ( 2 + 1)
z]
K j j
n sin n π . z
( −1)
= .
2
( 2n
+ 1)
4
Zavedeme-li j = 2n+1, n = 0, 1, 2, ..., pak v jednotlivých
intervalech můžeme psát
−∑ ∞
n=
0
⎧
⎨
⎩
⋅ ∑ ∞
n=
0
Odtud pomocí (9) dopočteme průběh svislého napětí σ z.
Opět po intervalech píšeme
⋅∑ ∞
n=
0
⎧
⎨
⎩
⋅ ∑ ∞
Jistě nás bude zajímat extrémní hodnota normálového
0
H
G .
2
j−1
p1
j
( jαr)
+ ( −1)
2 = K 2 K ( jαr)
,
j
( jαr)
= − K 2 K ( jαr),
1
w
K 2 =
j
p1
w
j
w
K 1 = −
j
w
2
p1
1
j−1
( −1)
2 αrK
( jαr)
j−1
( −1)
2 αrI
( jαr)
.
x ∈
0; r
1
,
2 w ⎧ π
⎨
H ⎩8H
1
0
1
=
jαr
p1
n
( x,
z)
z − − ( −1)
= ∑ ∞
n ( −1)
K [ ( 2n
+ 1)
αr]
⋅ I [ ( 2n
+ 1)
αx]
,
n=
0
( 2n
1)
(23)
(24)
(25)
αr
K
2n
+ 1
αr
⎡ + π ⎤⎫
1
0 sin
⎬ ,
2 1
⎢
z
n +
⎣ 2H
⎥
⎦⎭
w
x ∈ r;
∞),
w
H
⎧
⎨
⎩
αr
2n
+ 1
p1
n
( x,
z)
⋅ ⋅ ( −1)
I (
= ∑ ∞
n=
0
n ( −1)
I [ ( 2n
+ 1)
αr]
⋅ K [ ( 2n
+ 1)
αx]
( 2n
1)
(26)
αr
⎡ + π ⎤⎫
1
0 sin
⎬ .
2 1
⎢
z
n +
⎣ 2H
⎥
⎦⎭
σ
z
x ∈
⎧
⎨
⎩
0; r
,
E
2r
H
oed
n
( x,
z)
f 1−
⋅ ⋅ ( −1)
K (
= ∑
0
∞
z
G
n=
n ( −1)
K [ ( 2n
+ 1)
αr]
⋅ I [ ( 2n
+ 1)
αx]
n=
0
1
σ
z
0
x ∈ r;
∞),
E
( 2n
1)
1
1
1
[2
[2
⎡ + π ⎤⎫
cos
⎢
z ⎬ ,
⎣ 2H
⎥
⎦⎭
2r
H
⎧
⎨
⎩
oed
n
( x,
z)
f ⋅ ⋅ ( −1)
I (
= ∑
0
∞
z
G
n=
n ( −1)
I [ ( 2n
+ 1)
αr]
⋅ K [ ( 2n
+ 1)
αx]
1
0
( 2n
1)
(27)
[2n
⎡ + π ⎤⎫
cos
⎢
z ⎬ .
⎣ 2H
⎥
⎦⎭
1