2_ Brzine prenosa toplote i mase

2. BRZINE PRENOSA TOPLOTE I MASE
2.1 Molekulski prenos toplote i mase
Molekulski prenos toplote
Posmatrajmo sloj nepokretnog gasa ili tečnosti ili sloj čvrstog materijala čiji krajevi
tj. granične površine imaju različite temperature. Kao rezultat spontane težnje ka
uspostavljanju termičke ravnoteže dolazi do prenosa toplote u smeru od toplije prema
hladnijoj površini.
U pitanju je molekulski mehanizam prenosa toplote, koji je rezultat haotičnog
termičkog kretanja molekula supstance pri čemu dolazi do prenošenja kinetičke energije u
smeru u kome temperatura opada (sa bržih na sporije molekule). Izuzetak su metali, gde su
glavni prenosioci toplote slobodni elektroni.
Količina toplote koja u jedinici vremena prođe kroz neku površinu A naziva se fluks
toplote ili toplotni fluks (W). Ako se temperatura nekom medijumu menja samo u jednom
koordinatnom pravcu z, za fluks toplote Q važi relacija:
∂T
Q = −λA
(W )
(2.1)
∂z
poznata pod nazivom Furijeov (Fourie) zakon. A je veličina površine, normalne na
pravac duž koga se temperatura menja (osa z), a λ ( W m⋅
K)
je koeficijent toplotne
provodljivosti sredine. Parcijalni izvod ukazuje na to da u opštem slučaju pretpostavljamo
nestacionaran prenos toplote, tj. da temperatura zavisi i od vremena t: T= T( z,
t)
. Dalje,
iz (2.1) dobijamo specifični toplotni fluks ili gustinu toplotnog fluksa q:
Q ∂T
2
q = = −λ ( W m )
(2.2)
A ∂z
T
∂T
∂z
< 0 , q > 0
T
∂T
∂z
> 0 , q < 0
q
q
a
z
b
z
Slika 2.1. Smer specifičnog toplotnog fluksa
16

Znak “-” u jednačini (2.2) daje informaciju o smeru provođenja toplote, tj. o smeru
toplotnog fluksa q, koji je ustvari vektorska veličina. Pozitivna brojna vrednost fluksa
znači da je njegov smer jednak pozitivnom smeru z – ose (Sl. 2.1a), a ako smo dobili
negativnu vrednost, znači da je njegov smer suprotan od usvojenog pozitivnog smera z -
ose (Sl. 2.1b).
Posmatrajmo stacionarno provođenje toplote kroz ravan zid debljine δ, čija se
jedna površina (veličine A) nalazi na temperaturi T 1 , a druga na temperaturi T 2 (Sl. 2.2).
T
dz
T
1
δ = z2 − z 1
q
T
2
z
1
z
2
z
Slika 2.2. Temperaturni profil pri stacionarnom provođenju toplote kroz zid
Pretpostavimo da se toplotna provodljivost zida ne menja sa temperaturom: λ = const. Ako
unutar zida uočimo beskonačno tanak sloj debljine dz, pošto je proces stacionaran, mora
ulazni fluks toplote biti jednak izlaznom :
odakle sledi :
q ( z)
A=
q(
z+
dz)
A
q=
const, z≤
z≤
z
Sada možemo da integrišemo diferencijalnu jednačinu sa datim početnim uslovom :
q
dT
= −λ , T(z 1 ) = T 1
dz
1
2
− q
z
∫
z
1
dz = λ
T
∫
T
1
dT
⇒
q
T ( z)
= T1 − ( z − z1)
, z1
≤ z ≤ z2
(2.3)
λ
Dakle, stacionaran temperaturni profil kroz ravan zid, pri λ = const. je linearan (slika
2.2). Dalje, iz (2.3) nakon smene: z = z 2 , T(z) = T 2 , možemo da nađemo specifični toplotni
fluks kroz zid:
17

odnosno, apsolutna vrednost fluksa je:
T
q = −λ
−T
δ
∆
= −
δ / λ
2 1
T
∆T
q = , Rt
= δ / λ
(2.4)
R
t
Uočimo analogiju sa Omovim zakonom, pri čemu:
• R t , se naziva termički otpor,
• razlika ∆T = T 2 – T 1 odgovara potencijalnoj razlici,
• fluks q odgovara jačini struje.
PRIMER 2.1. Pokazati da je termički otpor jedinice dužine cilindrične cevi unutrašnjeg
prečnika d 1 i spoljašnjeg prečnika d 2 pri λ = const. :
R
t
d2
ln
d1
=
2πλ
d2
− d1
=
2πd
λ
s
gde je d
s
srednji logaritamski prečnik, definisan kao:
d − d
d
ln d
2 1
d s
= .
2
Ukupni fluks toplote kroz bilo koji od koaksijalnih cilindara unutar zida cevi, dužine
L i poluprečnika r, mora imati jednaku vrednost da bi se održala stacionarnost:
dT dT
d1 d2
Q = −λ A = −λ 2πrL
= const,
≤ r ≤ (W)
dr dr
2 2
Fluks po jedinici cevi q L biće :
1
q L
dT d1 d2
= −2πrλ
= const,
≤ r ≤ (W/m)
dr 2 2
Dobićemo ga integracijom poslednje jednačine u odgovarajućim granicama:
q
d
2
T
2
2
dr
d2
∫ = −2πλ
dT ⇒qL
= − πλ⋅∆T
r
∫ ln 2
d
L
d1
2
T1
2πλ∆T
∆T
q L
= − = − ⇒
d2 d2
ln ln /(2πλ)
d d
1
1
1
d2
ln
d1
Rt
= =
2πλ
d2
− d1
d2
− d
2πλ
d2
ln
d
1
1
d2
− d
=
2πλd
1
s
18

Molekulski prenos mase
U nepokretnim medijumima, analogno prenosu toplote, difuzija komponenata je
rezultat termičkog kretanja molekula i naziva se molekulska difuzija. Matematičko
opisivanje molekulske difuzije je znatno složenije od opisivanja provođenja toplote jer je
reč o smešama više komponenata (bar dve) čiji difuzioni fluksevi utiču jedni na druge.
Uzmimo na primer najjednostavniji slučaj stacionarne difuzije u binarnoj gasnoj
smeši komponenata A i B pretpostavljajući da su granice sistema propusne za obe
komponente. Ako postoji promena koncentracije komponente A u pravcu z, mora da
postoji i promena koncentracije komponente B, jer pri postojećem pritisku ukupan broj
molekula po jedinici zapremine mora u celom sistemu biti konstantan. Tako, pošto je:
važi:
C A + C B = C tot. = const (mol/m 2 )
dC
dz
A
dC
B
= −
(2.5)
dz
pa difunduju obe komponente i to u suprotnim smerovima. Gustina difuzionog fluksa
komponente A u pravcu ose z u posmatranom slučaju data je Fikovim (Fick) zakonom
dC
A ⎛ mol ⎞
N
A
= −DA
⎜
2
⎟
(2.6)
dz ⎝ s ⋅ m ⎠
Koeficijent D A (m 2 /s) se naziva molekulski koeficijent difuzije i u opštem slučaju zavisi
od koncentracije, pritiska i temperature. Kao i za koeficijent toplotne provodljivosti, za
izračunavanje difuzionog koeficijenta postoje u literaturi teorijske, poluempirijske i
empirijske jednačine (Perry, 1997; Reid i sar., 1987). Iz Fikovog zakona, uz uslov
D A
= const. , izvodimo linearne koncentracijske profile komponenata A i B, a uzimajući
u obzir uslov (2.5) i vezu između flukseva :
N = −N
, D = D
(2.7)
A
B
Opisanu difuziju u binarnom sistemu zovemo ekvimolarna suprotnostrujna difuzija. U
praksi, ovaj slučaj imamo (približno) kod destilacije binarne smeše, pri kojoj lakše isparljiva
komponenta difunduje iz tečnosti u paru, a teže isparljiva komponenta u suprotnom smeru.
Analogno jednačini (2.4) za difuzioni fluks N A , opisan Fikovim zakonom (2.6), važi
“električna“ analogija:
D
A
B
∆C
A
N
A
= , RD
= δ / DA
(2.8)
R
R D - difuzioni otpor
δ - debljina sloja kroz koji komponenta difunduje
19

Drugi slučaj stacionarne difuzije u binarnom sistemu je kada A difunduje kroz
„nepokretnu“ komponentu B. To će biti slučaj ako je granica sistema propusna samo za
komponentu A. Primer je apsorpcija komponente A u tečnosti. Zbog nestajanja
komponente A u blizini granične površine gas - tečnost došlo bi do pada pritiska u toj
oblasti. Da bi se pritisak održao konstantnim, povećava se fluks komponente A u odnosu na
onaj koji daje Fikov zakon (2.6), dok je fluks nerastvorne ili inertne komponete B jednak
nuli i može se izvesti:
N
A
C
A
⎤ dC
A
⎢
⎡ = − 1 + ⎥ DA
(2.9)
⎣ C
B ⎦ dz
Vidimo da je važnost Fikovog zakona (2.6) ograničena. Tako, on važi strogo ili
približno u sledećim slučajevima
• ekvimolarna binarna difuzija
• difuzija u razblaženim multikomponentnim sistemima tj. smešama u kojima je
inertna komponenta ili rastvarač u velikom višku, u odnosu na komponentu A i
druge prisutne rastvorke. Na primer u slučaju difuzije A kroz nepokretan sloj
komponente B, B je inert i ako je C B >> C A relacija (2.9) postaje bliska jednačini
(2.6)
• multikomponentna difuzija pri jednakim difuzionim koeficijentima svih
komponenta, jer tada nema međusobnog uticaja flukseva
Ako je neizotermičnost (neuniformnost temperature) jako izražena, neophodno je
pri modelovanju difuzije uzeti u obzir i fenomen termodifuzije - difuzija koja nije
uslovljena neuniformnošću koncentracije, tj. postojanjem koncentracijskog gradijenta već
neuniformnošću temperature.Tada difuzionom fluksu treba dodati termodifuzioni fluks
koji je proporcionalan gradijentu temperature, ∂ T∂z
(Valent, 2001).
Analogija između fenomena prenosa
Uočljiva je analogija izraza za gustine stacionarnih flukseva toplote (Furijeov zakon),
komponente (Fikov zakon) i količine kretanja pri strujanju Njutnovskog fluida (Njutnov
zakon):
N
A
dT
2
q = −λ
( W m )
(2.9a)
dz
dCA
2
= −DA
( mol s ⋅ m )
(2.9b)
dz
dw
2
τ = −µ ( N m = Pa)
(2.9c)
dz
τ - tangencijalni napon (fluks količine kretanja), Pa ; µ - dinamički viskozitet,
Pa ⋅ s ; w - brzina sloja, koji se kreće u pravcu normalnom na z osu, m s
20

Formulacije flukseva q i τ, preko koncentracija veličina koje se prenose su:
λ
q = −
ρc
p
koncentrac
toplote ija
678
d ( ρc
T)
dz
p
d(
ρc
pT
)
= −a
dz
(2.10)
ρ - gustina,
3
kg m ; c p - specifična topota, J kgK ; a - termička difuzivnost, m 2 /s
koncentr.
kol. kretanja
}
µ d ( ρw)
d(
ρw)
τ = − = −ν
(2.11)
ρ dz dz
ν = µ ρ − kinematski viskozitet, m 2 /s .
Tabela 2.1. Fluksevi preko koncentracija veličina koje se prenose
Gustina fluksa
veličine
koja se prenosi
Koncentracija
veličine koja se
prenosi (potencijal)
Koeficijent
prenosa
Prenos toplote q (W/m 2 ) ρc p T (J/m 2 ) a (m 2 /s)
Prenos mase N A (mol/m 2 s) C A (mol/m 2 ) D A (m 2 /s)
Prenos kol. kretanja τ (N/m 2 ) ρW (kg/m 2 s) ν (m 2 /s)
Za modelni sistem: binarna gasna smeša molekula A i B iste veličine i mase, za koju važi
kinetička teorija gasova, za sva tri transportna koeficijenta se izvodi:
1
D A
= a = ν = w
3
⋅ l
(2.12)
w −
srednja brzina molekula; l − srednja dužina slobodnog puta molekula
2.2 Efektivni koeficijenti prenosa toplote i mase
Efektivni koeficijenti prenosa toplote i komponente se definišu pri modelovanju:
• difuzije toplote i komponente kroz poroznu sredinu,
• prenosa toplote i komponente kroz fluid koji struji turbulentno,
sa ciljem da se navedeni fenomeni opišu jednostavnim formulama, istog oblika kao Furijeov
i Fikov zakon .
21

Molekulska difuzija i provođenje toplote kroz porozni medijum
Pri modelovanju difuzije molekula gasa ili tečnosti kroz čvrst, porozan medijum
(primer je difuzija vode kroz materijal koji se suši), dvofazni sistem fluid - čvrsto
zamenjuje se kvazi - homogenim medijumom - kao da molekuli difunduju kroz celu
površinu A preseka bloka poroznog čvrstog materijala, a ne samo kroz površinu A′ koju
čine površine preseka pora (Sl. 2.3). Takav model se naziva kvazihomogen matematički
model.
A′
− ukupna površina poprečnih
preseka svih pora
A- ukupna površina poprečnog
reseka poroznog bloka
Slika 2.3. Skica uz opis kvazihomogenog medijuma
Tako se fluks komponente u poroznom sistemu, kroz površinu normalnu na pravac
difuzije (Sl. 2.3), definiše kao:
eff dCA
⎛ mol ⎞
N
A
A = −DA
A ⎜ ⎟
(2.14a)
dz ⎝ s ⎠
A - površina preseka poroznog bloka, normalna na pravac difuzije
Slično, umesto da se pri konduktivnom prenosu toplote kroz porozni medijum (Sl.
2.3) fluks toplote računa kao zbir flukseva kroz pore i kroz čvrst medijum, on se računa
kao da je u pitanju homogena sredina, pomoću Furijeovog izraza:
eff dT
Q = q ⋅ A = −λ A (W )
(2.14b)
dz
Dakle, formule (2.14a,b) imaju isti oblik kao one za molekulski prenos topolote i mase kroz
homogen medijum, s tim što u njima umesto pravih koeficijenata molekulskog prenosa
eff eff
λ i D
A
, figurišu efektivni koeficijenti λ i D
A
. Tako se efektivni koeficijenti mogu
definisati na sledeći način:
eff
• Efektivni koeficijent molekulske difuzije DA
komponente A kroz porozni medijum
je parametar, koji kad se zameni u “kvazi - homogeni” Fikov izraz za fluks
komponente (2.14a), daje pravu veličinu fluksa.
• Efektivni koeficijent provođenja toplote
eff
λ se definiše analogno.
22

Veza između efektivnih i molekulskih koeficijenata prenosa se može teorijski izvesti
samo za vrlo jednostavne, idealizovane porozne strukture, pa se efektivni koeficijenti ne
izračunavaju iz pravih, nego određuju eksperimentalno. Jasno je da efektivni koeficijent
difuzije neke komponente kroz porozni medijum mora da ima manju vrednost od
molekulskog koeficijenta difuzije :
D < D
eff
A
A
Prenos toplote i komponente kroz fluid koji struji turbulentno
Posmatrajmo prenos toplote u suprotnostrujnom izmenjivaču toplote čiji smo model
diskutovali u Primeru 1.1. Jednostavan matematički model (1.4) nije obuhvatio prenos
toplote kroz fluide u pravcu ose izmenjivača, tj. podužno, koji svakako postoji zbog
promena temperatura oba fluida duž izmenjivača. Pretpostavimo da fluid u cevi struji
turbulentno. Kako opisati podužni fluks toplote kroz njega? Pošto se prenos toplote vrši ne
samo molekulski nego i kao rezultat haotičnog kretanja vrtloga (vrtložni prenos toplote),
nije primenljiv Furijeov zakon, koji važi samo za molekulski prenos. Ipak, radi
pojednostavljenja modela, kombinovani molekulski i vrtložni prenos toplote se opisuje na
analogan način kao čista kondukcija, zahvaljujući uvođenju efektivnog koeficijenta
provođenja toplote:
eff dT
q = −λ
(2.15a)
dz
čija je definicija analogna onoj za efektivni koeficijent kondukcije kroz poroznu sredinu. S
obzirom da vrtlozi intenzifikuju prenos toplote kroz fluid, jasno je da važi:
λ eff
> λ
gde je λ koeficijent provođenja toplote za fluid. Analogno, specifični fluks prenosa
komponente kroz fluid kombinovananim mehanizmom (molekulski i vrtložni) se opisuje
modifikovanim Fikovim zakonom:
N
A
eff dCA
= −DA
(2.15b)
dz
2.3 Konvektivni prenos toplote i mase. Prelaz toplote i mase.
Molekulski transport toplote i mase je rezultat haotičnog kretanja molekula u
nepokretnom fluidu. Molekulski mehanizam prenosa toplote i mase je takođe važeći i pri
strujanju fluida, ako je ono laminarno (slojevito). Ako se pri strujanju fluida stvaraju
vrtlozi (prelazni i turbulentni režim strujanja), neophodno je pri određivanju flukseva
toplote i mase, uzeti u obzir i uticaj kretanja fluida. Prenos toplote ili mase, pri strujanju
fluida se naziva konvektivni prenos.
23

U slučaju razvijenog turbulentnog strujanja fluida, prenos toplote i mase je znatno
intenzivniji nego u nepokretnom fluidu, zbog haotičnog kretanja velikih grupa ili klastera
(cluster) molekula, vidljivih i golim okom, koji se zovu vrtlozi (eddy).
Prelaz toplote
Posmatrajmo stacionarno jednodimenziono prinudno (pod dejstvom pumpe)
turbulentno strujanje fluida duž ravnog zida ili ploče vrlo velike (teorijski beskonačne)
površine. Uspostavljeni brzinski profil w = w(z),
• je rezultat usporavajućeg dejstva zida na struju fluida potiskivanu pumpom,
odnosno rezultat prenosa količine kretanja u pravcu normale na zid (osa z).
• ima horizontalnu asimptotu w = w f , ako je sloj fluida vrlo velike debljine.
Sloj fluida uz zid u kome brzina fluida raste od nula (u tački z = 0, tj. uz sam zid) do
vrednosti 0.99w f naziva se hidraulični granični sloj i njegovu debljinu ćemo označiti sa
δ H . Za z > δ H može se smatrati da je brzina uniformna i jednaka asimptotskoj vrednosti w f ,
koja predstavlja brzinu turbulentne mase fluida.
Slika 2.4 Brzinski i temperaturni profil
Analogno, ako temperatura zida T z i temperatura dolazećeg fluida T f nisu jednake,
kao rezultat prenosa toplote u z - pravcu formiraće se temperaturni profil sličnog oblika,
sa horizontalnom asimptotom T = T f . Ako je T z > T f , u toplotnom graničnom sloju, širine
δ T se temperatura menja od temperature zida T z do 1.01T f (Sl. 2.4).
U laminarnom podsloju uz zid, fluid struji laminarno i
• u njemu su najveće promene brzine strujanja i temperature fuida, tj. gradijenti
dw dT
i .
dz dz
• imamo molekulski mehanizam prenosa količine kretanja i toplote
• brzinski i temperaturni profili su približno linearni
24

U međusloju (preostalom delu graničnog sloja) imamo :
• prelazni režim strujanja.
• gradijenti brzine i temperature postepeno opadaju praktično do nule, jer
• vrtlozi intenzifikuju prenos količine kretanja i toplote
U masi fluida, snažno vrtloženje uslovljava uniformisanje brzina i temperatura.
Debljina hidrauličnog graničnog sloja će biti utoliko veća ukoliko je veći fluks
količine kretanja između zida i fluida (kočeće dejstvo zida), odnosno ukoliko je veći
kinematski viskozitet ν (difuzivnost količine kretanja) - vidi jedn. (2.11). Analogno,
debljina toplotnog graničnog sloja δ T (rastojanje do koga se “oseća” efekat zagrejane
ploče na temperaturu fluida) raste sa toplotnom difuzivnošću a (vidi jedn. 2.10). Tako
odnos δ H i δ T raste sa količnikom ν/a, koji se zove Prandltov kriterijum ili Prandtlov broj
prema jednačini:
δ
δ
H
T
=
1/ 3
Pr
⎛ ν ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ a ⎠
1/ 3
δ
δ
H
T
⎧
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
< 1 za Pr < 1
= 1 za Pr = 1
> 1 za Pr > 1
(tecni
metali)
(idealan gas, vidi 2.12)
(tecnosti i realni
gasovi)
Teorija filma
Od praktičnog interesa je količina toplote koju zid u jedinici vremena preda fluidu,
računato po jedinici površine:
q
z=
0
dT
= − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞
λ ⎟
(2.16)
dz ⎠
z=
0
Slika 2.5 Stvarni i aproksimativni temperaturni profil
25

Jednačina (2.16) zahteva poznavanje temperaturnog profila T (z)
, čije je dobijanje vrlo
kompleksno (rešavanje sistema od dve diferencijalne jednačine: bilans količine kretanja i
energetski bilans).Zato pravi profil zamenjujemo izlomljenim (Sl. 2.5), koji se sastoji od
• kose duži (deo tangente povučene u tački z = 0) sa nagibom
• horizontalog dela - asimptote T = T f .
Tačka preloma, tj. presek tangente i asimptote, definiše debljinu fiktivnog toplotnog
graničnog sloja, δ′
T
ili debljinu filma. Nagib kosog profila je,
⎛
⎜
⎝
dT
dz
⎞
⎟
⎠
z=0
T
f
− T
δ
'
T
z
⎛ dT ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ dz ⎠
z=
0
pa dobijamo:
q
λ
= − ( T
−T
)
z=
0 ' f z
δT
Ako se količnik λ/δ T ’ zameni novim koeficijentom α,
λ
α = (W/m 2 K) (2.17)
'
δ T
dobijamo izraz za prelaz toplote sa zida na fluid:
q
( T −T
)
z=0 = −α
f z
(2.18)
α - koeficijent konvekcije ili koeficijent prelaza toplote.
Sličnim pristupom, za fluks količine kretanja sa zida na fluid dobijamo :
dw C
f 2
τ
z= 0
= µ = ρ w
f
(2.19)
dz 2
z=
0
C
f
- bezdimenzioni parametar koji se naziva koeficijent trenja (friction
coefficient).
Primena teorije sličnosti
Umesto simultanog rešavanja diferencijalnih jednačina prenosa količine kretanja i
toplote,
• definiše se skup bezdimenzionih grupa ili kriterijuma, (prevođenjem dif.
jednačina u bezdimenzioni oblik), koje karakterišu posmatranu pojavu.
26

• na bazi eksperimenata, definišu se kriterijalne jednačine, koje povezuju
bezdimenzione kriterijume i to za :
- pojedine klase sistema, koje se karakterišu istom geometrijom (da bi
mogao da se ostvari uslov geometrijske sličnosti) i
- isti režim strujanja fluida (zbog hidrodinamičke sličnosti).
Tako za prinudnu konvekciju kriterijalna jednačina za određenu klasu sistema i režim
strujanja glasi:
Nu
αL = =
λ
f (Re,Pr)
i uobičajeni oblik za turbulentni režim strujanja je:
m n
Nu= c Re Pr , 0.5 ≤ m ≤0.8, 0.2 ≤ n ≤0.5 (2.20)
Za detaljnije informacije u vezi sa kriterijalnim jednačinama upućujemo čitaoca na literaturu
(Toledo, 1991, 2007; Perry i Green, 1997; Çengel, 1998)
Značenja bezdimenzionih kriterijuma su
• Re - mera relativnog uticaja inercijalnih sila (brojioc) i sila trenja (imenioc),
• Pr - odnos intenziteta prenosa količine kretanja i prenosa toplote,
odnosno odnos otpora prenosu toplote (1/a) i otpora prenosu količine
kretanja (1/ν),
• Nu - odnos uticaja turbulentnog (brojioc) i molekulskog (imenioc) mehanizma
prenosa toplote, ili odnos otpora provođenju toplote L/λ i otpora
konvenktivnom prenosu toplote 1/α.
Za koeficijent trenja i njemu proporcionalan frikcioni faktor f, pri laminarnom
strujanju kroz glatku cev važi:
Gde je: f - frikcioni faktor.
64
f = 4 C
f=
(2.21)
Re
Za turbulentno strujanje i rapave cevi u literaturi (Perry i Green, 1997) postoje
empirijske zavisnosti:
Gde je:
ε − koeficijent rapavosti (-).
f = 4C
f
= F(Re,
ε)
(2.21a)
PRIMER 2.2. Pokazati da je termički otpor prelaza toplote sa fluida na zid (ili obrnuto)
cilindrične cevi prečnika d , računat po jedinici dužine cevi, jednak:
1
R t
=
π d α
27

Fluks toplote kroz posmatranu površinu je ,
Q = q ⋅ A = πdL
⋅ q (q dato jednačinom 2.18)
a po po jedinici dužine cevi :
q
L
= πd
q
= πdα ∆T
∆T
∆T
= =
1 Rt
πdα
⇒ R
t
1
=
πdα
PRIMER 2.3. Parovod spoljnjeg prečnika 10 cm sa temperaturom spoljne površine od
110 0 C je izložen vetru brzine 8 m/s sa pravcem normalnim na osu parovoda. Temperatura
vazduha je 4 0 C. Odrediti gubitke toplote u atmosferu po 1 m parovoda. Podaci: toplotna
provodljivost i kinematski viskozitet vazduha na srednjoj temepraturi (57 o C) su
BTU
cm 2
λ = 0.0164
i ν = 670 . Proračun izvesti paralelno sa dve kriterijalne
o
ft ⋅ h ⋅ R
h
jednačine:
Nu = 0.
027Re
0.805
Pr
1 3
1 2 1 3
5 8
0.62Re Pr ⎡
⎛ Re ⎞
⎤
Nu = 0.3 +
⎢1
+ ⎜ ⎟ ⎥
1 4
⎡ 2 3 ⎢ 282000 ⎥
0 4 ⎣
⎝ ⎠
⎛ . ⎞
⎤
⎦
⎢1
+ ⎜ ⎟ ⎥
⎢ Pr
⎣
⎝ ⎠ ⎥⎦
Iz tablica za srednju temperaturu vazduha: Pr = 0.708. (Rešenje u Mathcad -u, fajl P 2.3)
PRIMER 2.4. Idealno izolovan protočni grejač vode u obliku cevi sa električnim grejačem,
dug je 5 m i ima unutrašnji prečnik 2 cm.
a) Izračunati snagu grejača koja obezbeđuje zagrevanje 10 l/min vode od 15 0 C do 65 0 C
b) Proceniti temperaturu unutrašnje površine grejača na izlazu, imajući u vidu da je gustina
fluksa konstantna duž električnog grejača.
Potrebni podaci: termofizičke osobine vode na srednjoj temepraturi (40 o C) su
BTU
λ = 0 .365 ,
o
ft ⋅ h ⋅ R
2
ft
ν = 0.
0255 ,
h
4 5
cal
g
c p
= 998. 1 i ρ = 0.992 .
3
kgK
cm
0.8 4
Kriterijalna jednačina: Nu 0 023Re Pr
0.
= .
Iz tablica (Cengel, 1998), za srednju temperaturu vode: Pr = 4.32. (Mathcad, P 2.4 )
Prelaz mase (komponente)
Analogno prenosu toplote, definiše se fluks prelaza komponente sa međufazne
površine na fluid koji struji, ili obrnuto:
N
A
A
2
( C − C ) ( mol m )
= − β
(2.22)
A, f A,
s
s
C A,f - koncentracija u turbulentnoj masi fluida
C A , s - koncentracija na međufaznoj površini
28

pri čemu je z - osa postavljena normalno na posmatranu površinu i usmerena od površine
ka fluidu (vidi Sliku.2.5)
Koeficijent prelaza komponente A, β A je u skladu sa teorijom filma:
D
β
A
A = (m/s) (2.23)
'
δ D
Gde je: δ D ’ - debljina fiktivnog difuzionog graničnog sloja (filma)
Za kriterijalnu jednačinu za prinudnu konvekciju ,
uobičajeni oblik za turbulentno strujanje je :
Sh= f (Re,Sc)
(2.24)
m n
Sh= Re Sc , .5 ≤ m ≤0.8, 0.2 ≤ n ≤0.5
c
Šervudov (Sherwood) kriterijum Sh je analogan Nuseltovom:
β
Sh =
A
D
Šmitov (Schmidt) kriterijum Sc je analogan Prandtlovom:
A
L
Sc =
ν
D A
Kriterijalne jednačine za različite praktične probleme se mogu naći u literaturi (Perry i
Green, 1997; Çengel, 1998).U tabeli 2.2 dati su izrazi za fluks prelaza komponente, koji se
koriste u praksi
Tabela 2.2 - Konzistentni parovi pogonska sila - koeficijent prelaza komponente
fluks : pogonska sila koef. prelaza
2
N A = - β A ∆C A ( mol m s ) ∆C A (mol/m 3 ) β A (m/s)
m
A
2
= −β ∆c
( kg m s
A
A
) c
A
3
∆ ( kg m ) β A (m/s)
N A = - β A,p ∆p A ( mol
N A = - β A,x ∆x A ( mol
2
m s ) ∆ p A (Pa) β A,p (mol/m 2 Pa s)
2
m s ) ∆ x A ( - ) β A,x (mol/m 2 s)
gde su:
C
A
- molska koncentracija komponente,
c
A
- masena koncentracija komponente,
p
A
mol
3
m
3
kg m ,
− parcijalni pritisak komponente u gasnoj smeši, Pa
29

x
A
− molski udeo komponente u smeši
PRIMER 2.5. Naći formule za preračunavanje koeficijenata prelaza pri promeni načina
izražavanja pogonske sile.
3
Veza između molske koncentracije ( mol m ) i molskog udela neke supstance je
C
A
n
=
V
A
nA
=
n
n
V
= x ρ
A
∗
s
xAρs
=
M
n - ukupan broj molova u smeši,
∗
ρ s
- molska gustina smeše, mol/m 2
M s - mol. masa smeše, (kg/kmol)
ρ s - gustina smeše (kg/m 2 )
Ako zanemarimo promene molske gustine smeše sa sastavom,
s
*
ρ
s
= const ⇒
∆ C
što nakon smene u prvi od flukseva u Tabeli 2.2 daje:
N
β
−
ρ ∆x
A
ρs
∆x
=
M
A s A
A
= = −β
A,
x
M
s
s
∆x
A
A
odnosno, vezu između koeficijenta prelaza
β
β
A, x
i
A
:
ρ
s
β
A , x
= β
A
(2.25)
M
s
Veza između pogonskih sila
∆ P
A
i ∆x
je pri zanemarljivoj promena pritiska jednostavna:
A
p A = x A p
p= const.
⇒ ∆pA = ∆x A p
što nakon smene u drugi od flukseva u Tabeli daje vezu između
β iβ :
A , x A,
p
β = p
(2.26)
A , x
β
A.
p
Iz (2.25) i (2.26) sledi konačno veza između
β
β
A, p
i
A
:
ρ
s
β
A , p
= β
A
(2.27)
p M
s
Ako je smeša idealan gas važi:
ρs
p = ρ
∗ sRgT
= RgT
, pa imamo :
M
s
30

β
A
β
A , p
=
(2.28a)
R g
T
gde je: R
g
β
=β
− univerzalna gasna konstanta.
p
= β
ρ
∗
A, x A
A s
(2.28b)
RgT
PRIMER 2.6. Treba proceniti brzinu sušenja r u kg vode/(kg suve materije·s), kockica
šargarepe vazduhom u fluidizovanom sloju, pretpostavljajući da je površina kockica
prekrivena filmom vode.
a) Izvesti sledeći izraz za traženu brzinu sušenja:
0
M
w
pw
r = βw
ρsv
(1 − ϕ)
sc
s
M p
sv
−1
( )
gde su:
β w
− koeficijent prelaza vlage sa površine, m s
ρ sv
− gustina suvog vazduha,
kg
3
m
M , − molekulske mase vode i suvog vazduha, kg kmol
w M sv
p − pritisak vazduha za sušenja, Pa
0
pw
− napon pare vode na temperaturi sušenja, Pa
ϕ − relativna vlažnost vazduha za sušenje
sc
− specifična površina kockica šargarepe,
2
m /kg suve materije
b) Izračunati traženu brzinu sušenja sa sledećim podacima. Stranica kockice je a c
= 1cm
.
3
Gustina šargarepe je 1020 kg m a vlažnost x=
5kg vode/kg suve materije. Relativna
0
vlažnost vazduha je 2%, pritisak je 101 kPa , a temperatura sušenja T= 80 C . Vazduh
struji brzinom w= 12m s . Na datoj temperaturi: napon vodene, p 0 w
= 47. 4kPa
, viskozitet
vazduha, µ = 0.0195cP
. Kriterijalna jednačina koja važi za sušenje u fluidizovanom sloju
(Toledo, 1991, 476str):
Sh = 2+
0.6Re
0.5
Sc
0.33
Kao karakteristična dimenzija kocke uzima se prečnik ekvivalentne sfere – one koja ima
istu površinu kao kocka datih dimenzija.Za koeficijent difuzije vlage kroz vazduh uzeti
−5
2
D w
= 2.2×
10 m s
a)
Brzina sušenja, pri pretpostavci da je površina kockice šargarepe prekrivena filmom
vode, jednaka je fluksu prelaza vode sa površine u struju vazduha. Tako, krenućemo od
izraza za specifični maseni fluks prelaza vode, izabravši kao pogonsku silu razliku
parcijalnih pritisaka vode uz samu površinu i u struji vazduha:
31

m
= M
β
∆p
(2.28a)
=
M
βw
∆p
R T
⎛ kg
⎜
⎝ m s
w w w,
p w
w
w 2
g
Parcijalni pritisak vode uz samu površinu, pošto je na površini uspostavljena
termodinamička ravnoteža, jednak je naponu pare vode na temperaturi sušenja, pa imamo:
⎞
⎟
⎠
m
w
= M
w
βw
R T
g
∆p
w
= M
w
βw
R T
g
0 p 1 0
( p − p ) = M β ( p − p )
w
w
w
w
R T
g
p
w
w
p RgT
je molska gustina vazduha i praktično je jednaka (zbog male relativne vlažnosti)
molskoj gustini suvog vazduha,
∗
ρ sv
. Relativna vlažnost vazduha je definisana kao
ϕ = p p 0
, pa je: w w
0
0
∗ pw
M
w
pw
⎛ kg ⎞
mw = M
wβwρsv
( 1 − ϕ) = βwρsv
(1 − ϕ)
⎜
2
⎟
p
M
sv
p ⎝ m s ⎠
Konačno, da bi smo dobili brzinu sušenja u traženim jedinicama, treba pomnožiti izvedeni
izraz specifičnom površinom kockice, s
c
računatom po kilogramu suve materije:
0
M
w
pw
r = mw
sc
= βwρsv
(1 − ϕ)
sc
s
M
sv
p
b) (Mathcad, P 2.6)
−1
( )
Analogija trenja pri proticanju fluida, prelaza toplote i prelaza mase
I u slučaju konvektivnog prenosa toplote i mase, pored očigledne kvalitativne, postoji
i kvantitativna veza, što se može naslutiti iz opštih formi kriterijalnih jednačina za prenos
toplote i mase u slučaju prinudne konvekcije (2.24, 2.27). Eksperimenti su pokazali da
bezdimenzione grupe ( tzv. j - faktor za toplotu i j - faktor za masu)
Nu
j H=
(2.29a)
1/3
Re Pr
Sh
j
D=
(2.29b)
1/3
Re Sc
imaju u oblasti turbulentnog režima strujanja, približne iste brojne vrednosti:
gde su: j H - faktor za prenos toplote;
j D - faktor za prenos mase.
f
jH = jD=
(2.30)
2
što se prema autorima naziva analogija Čilton-Kolborn-a (Chilton-Colburn). Iz te
analogije sledi veza između koeficijenata prelaza komponente i toplote:
32

2 / 3
α ⎛ DA
⎞
β A = ⎜ ⎟
(2.31)
ρC
p ⎝ a ⎠
PRIMER 2.7. Pri strujanju suvog vazduha temperature 25 0 C i pritiska 1 atm, brzinom
2 m/s preko površine od 0.3 m 2 pokrivene slojem naftalina, izmerena količina isparenog
naftalina u toku od 15 min je 12 g. Napon pare naftalina na 25 0 C je 11 Pa a njegova
difuzivnost u vazduhu, D A,B = 0.61×10 -5 m 2 /s, gde A označava naftalin, a B vazduh, kroz
koga naftalin difunduje. Proceniti koeficijent prelaza toplote za vazduh, pri istim uslovima
proticanja i istoj geometriji sistema. Specifična toplota i toplotna difuzivnost vazduha na
25 0 kJ
−5
2
C su: c p
= 1.01 , a = 2.18 × 10 m s . Iz izračunate vrednosti koeficijenta
kgK
prelaza naftalina β , izračunati β iβ (Rešenje u Mathcad-u, fajl P 2.7)
A
A,x A,
p
2.4 Prenos toplote i mase kroz višeslojni medijum.
Prolaz toplote
Prenos toplote kroz tri sloja: fiktivni toplotni granični sloj prvog fluida, zid i fiktivni
toplotni granični sloj drugog fluida nazivamo prolaženje ili prolaz toplote . Na Slici 2.6 dat
je uprošćen temperaturni profil (u skladu sa teorijom filma), pri stacionarnom prolaženju
toplote između dva fluida sa temperaturama T 1 i T 2 , kao i šema termičkih otpora.
Slika 2.6 Temperaturni profil pri stacionarnom prolaženju toplote
Po analogiji sa Omovim zakonom, za flukseve toplote kroz pojedine slojeve važi:
T1
−Ti
,1
Ti
,1
−Ti
,2
Ti
,2
−T2
q1
= , q2
= , q3
=
1/
α d / λ 1/ α
1
2
(2.32)
33

Iz uslova stacionarnosti temperature zida sledi međusobna jednakost flukseva:
q 1 = q 2 = q 2 (= q) (2.33)
Nijedna od jedn. (2.32) ne omogućuje izračunavanje q jer sadrže nepoznate potencijale -
intermedijalne temperature T i,1 T i,2 . Produžena jednakost (2.32) sadrži dve nezavisne
jednačine, recimo q 1 = q 2 ; q 2 = q 3 , u kojima će, nakon smene izraza (2.32), figurisati
nepoznate intermedijalne temperature. Rešavanjem tih jednačina dobijamo nepoznate
temperature u funkciji od krajnjih - merljivih potencijala, T 1 i T 2 . Kada se dobijeni
izrazi zamene u bilo koju od tri jednačine (2.32) dobijamo fluks prolaza toplote u funkciji
od krajnjih temperatura:
T1
− T2
2
q = = K
T
( T1
− T2
) ( W m )
(2.34)
1 d 1
+ +
α λ α
1
q - fluks prolaza toplote
K T - koeficijent prolaza toplote.
2
Izraz (2.34) smo mogli da dobijemo neposrednom primenom “električne” analogije: u
brojiocu je ukupna pogonska sila, a u imeniocu ekvivalentan ili ukupan otpor za tri
termička otpora vezana na red (Sl.2.6).
PRIMER 2.8. Gubici toplote iz izolovanog parovoda u atmosferu po jedinici dužine
parovoda, se računaju kao:
gde su:
q
L
T − Ta
= (W/m)
1 δ z δi
1
+ + +
α πd
λ πd
λ πd
( α + α ) πd
1
1
z
z
i
i
r
T, T a - temperatura pare i temperatura atmosfere (K)
d 1 , d 2 - unutrašnji i spoljašnji prečnik izolovanog parovoda (m)
δ z , δ i - debljina zida cevi i debljina sloja izolacije (m)
d z - srednji logaritamski prečnik zida cevi (m)
d i - srednji logaritamski prečnik sloja izolacije (m)
λ z , λ i - toplotne provodljivosti zida i izolacije (W/mK)
α 1 - koeficijent prelaza sa pare na unutrašnji zid paravoda (W/m 2 K)
α 2 - koeficijent prelaza toplote sa spoljne površine paravoda u atmosferu (W/m 2 K)
α r - efektivni koeficijent prelaza toplote radijacijom (W/m 2 K)
Efektivni koeficijent prelaza toplote radijacijom je onaj parametar, koji kad se pomnoži
pogonskom silom za prelaz toplote (T 2 - T a ), daje pravu vrednost toplotnog fluksa zračenja.
Tako je prema definiciji:
Gde su:
4 4
εσ ⋅ ( T2 − Ta
) = α
r
( T2
− Ta
T2
)
− temperatura spoljnje površine izolovanog parovoda
2
2
34

σ - Stefan-Bolcmanova (Stephan- Boltzman) konstanta zračenja,
−8
2 4
σ = 5.673×
10 W ( m K )
ε − emisivnost površine, 0 < ε ≤ 1.
pa α r očigledno zavisi od temperatura,
T
− T
T
2
,Ta
,
2 2
( T + T )( T + T )
4 4
2 a
α
r
= εσ = εσ
2 a 2
T2
− Ta
i za njegovo izračunavanje je neophodna procena nepoznate temperature T 2 .
a) Izvesti datu formulu za toplotne gubitke
b) Izvesti izraz za koeficijent prolaza toplote, baziran na unutrašnjoj površini cevi
parovoda.
a) Šema termičkih otpora :
a
R 1 - otpor prelazu toplote sa pare na unutrašnji zid parovoda
R z , R i - otpori provođenju zida i izolacije
R 2 - otpor prelazu toplote sa spoljašnjeg zida parovoda na atmosferu
R r - efektivni otpor radijacije
R
1
1
=
α πd
1
1
,
R
z
δ z
=
λ πd
z
z
,
R
i
δi
=
λ πd
i
i
,
R
2
=
α
2
1
πd
2
,
R
r
=
α
r
1
πd
2
Ekvivalentan otpor :
R=
R+
R+
R+
t
1
z
i
1
R
2
1
1
+
R
r
i formula se dobija nakon smene ekvivalentnog otpora u jedn.
q
L
∆T
=
R
t
T −T
=
R
t
a
b) Da bi smo, polazeći od jednačine,
q
L
=
1
α πd
δ
z
+
λ πd
T −Ta
δi
+
λ πd
1 1 z z i i
( α
r
+ α
2)
+
1
πd
2
T −T
=
R
t
a
izveli traženi izraz za koeficijent prolaza toplote, neophodno je fluks toplote, q
L
prikazati
kao proizvod koeficijenta prolaza, K pogonske sile T − T ) i odgovarajuće površine
T
(
a
35

toplotne razmene- unutrašnje površine cevi jedinične dužine (S = π d1) i izjednačiti dva
izraza za q
L
:
Sledi,
T −T
R
K
T
t
a
= K
T
1
=
R πd
t
1
( T −T
) πd
a
1
i kada se smeni izraz za
R
t
:
K
T
=
1
α πd
1
1
δ
z
+
λ πd
z
z
1
δi
+
λ πd
i
i
+
( α
r
1
+ α ) πd
2
2
1
⋅
πd
1
Konačno,
K
T
=
1
α
δ
+
d
1
δ d
+ +
z 1 i 1
1
1
λ
zd
z
λidi
( αr
+ α
2)
d
d
2
PRIMER 2.9. Treba izračunati potrebnu debljinu izolacije ( = 0.0346W
( mK)
)
λ tavanice
da se temperatura plafona ne bi razlikovala od sobne temperature više od 2 0 C . Tavanica
je debela 0.5in, a koeficijent toplotne provodljivosti materijala od koga je napravljena je
λ = 0.433W
( mK)
. Koeficijet prelaza toplote sa obe strane tavanice je α = 2.84W
( m 2 K)
.
Temperatura vazduha na tavanu je
49 0 C , a sobna temperatura 0 C
20 .
Na skici su naznačeni termički otpori. Najpre ćemo iz granične temperature plafona,
sobne temperature i koeficijenta prelaza toplote izračunati fluks prelaza toplote sa plafona
na sobni vazduh:
2
[( T + 2) −T] 5. W m
q = α
2 s s
= 68
On je tačno jednak fluksu prolaza toplote od vazduha tavana do vazduha u sobi:
q =
1 α + δ
1
t
T0 −Ts = 5. 68W
λ + δ λ + 1 α
t
i
i
2
m
2
odakle dobijamo traženu debljinu izolacije:
⎡T0 −T
⎛
s
1 δt
1 ⎞⎤
δ
i
= ⎢ −
⎥ ⋅λi
= 15. 13cm
⎣ q
⎜ + +
⎟
⎝ α1
λt
α
2 ⎠⎦
Jasno je da debljina izolacije, tražena prema datom zahtevu, ne zavisi od toga da li će
se ona staviti na tavanicu ili ispod nje (na skici je uzeto da se ona postavlja ispod tavanice).
36

Iz formule za fluks prolaza toplote jasno se vidi da njegova vrednost ne zavisi od redosleda
termičkih otpora jer zbir u imeniocu ne zavisi od redosleda sabiraka.
T 1
T 0 s
+ 2 C
α
1
0
T = 49 C
0
= 2.84W
( mK)
0
T s
= 20 C
α
2
= α
1
T
0
1α
1
δ
t
δ
i
δ
t
λ t δ
i
λi
1α
2
T
s
Skica uz Primer 2.9
2.5 Principi opisivanja brzine složenog procesa
Složeni fenomeni prenosa se, ako je moguće, dekomponuju (raščlanjuju) na više
jednostavnijih fenomena koji predstavljaju stupnjeve ili stadijume složenog procesa.
Oni mogu međusobno biti povezani:
• serijski (uzastopni ili konsekutivni stupnjevi)
• paralelno (paralelni ili uporedni stupnjevi)
• na složen način koji predstavlja kombinaciju serijskih i paralelnih veza.
Tako, u Primeru 2.7, gubljenje toplote pare pri transportu kroz parovod smo raščlanili na 5
elementarnih stupnjeva, kao:
4.
prelaz toplote
1. 2. 2. sa spoljašnjeg
prelaz toplote provođenje provođenje zida u atmosferu
sa pare na toplote toplote
unutrašnji kroz zid kroz izolaciju 5.
zid cevi prenošenje toplote
sa spolašnjeg zida
u atmosferu
zračenjem
Brzine elementarnih fizičkih stadijuma (prenos toplote ili mase) se mogu prikazati u
vidu količnika pogonske sile i otpora. Ako pogonska sila linearno zavisi od potencijala
(temperature ili koncentracije), a otpor nije funkcija potencijala, kažemo da je
37

posmatrani stadijum linearan i njegova brzina je opisana izrazom analognom Omovom
zakonu (električna analogija):
r
V
= − ∆ (2.35)
R
V - potencijal (temperatura ili koncentracija)
R - otpor (toplotni ili difuzioni)
Negativni predznak u izrazu (2.35) nosi informaciju o smeru fluksa (da li je isti kao i smer
prostorne ose ili suprotan od njega) pri čemu je prostorna osa usmerena od prvog ka
poslednjem stadijumu u nizu.
Brzina složenog procesa, dekomponovanog na linearne stadijume dobija se
pomoću električne analogije (2.35) u koju se kao ∆V zamenjuje ukupna potencijalna
razlika a umesto R ukupan ili ekvivalentan otpor. Tako, ako je složeni proces niz od n
linearnih uzastopnih stadijuma čije su brzine:
∆Vi
Vi
−Vi
−1 ri = − = − , i = 1,...,
n
R R
i
i
(2.36)
ukupna pogonska sila je:
n
∑
∆V = ∆Vi
= Vn
− V0 (2.36a)
i=
1
a ekvivalentan otpor:
R=
n
R i
i=
1
∑
(2.36b)
pa je brzina procesa:
r
P
V
= −
n
n
∑
i=
1
− V
R
i
0
(2.37)
Metod limitirajućeg stupnja
V
0,V n
− krajnji potencijali
Posmatrajmo prolaz toplote kroz homogeni zid. Brzine tri stadijuma su date
jednačinama (2.32):
q
1
=
T
− T
T
1
− T
2
, q2
= ,
R
T
=
− T
1 i, 1
i, i, i,
2 2
q3
R1
2
R3
38

Neka je 3. stupanj znatno sporiji od ostalih, odnosno njegov otpor znatno veći od druga
dva otpora, što znači:
R
R
1
3
R2
≈ ≈ 0
R
3
Iz uslova jednakosti brzina prvog i trećeg stupnja:
Iz drugog uslova, q 2 = q 3 imamo:
q
q
T −T
(2.32)
1 i,1
1
1
= q3
⇒ = ≈0 ⇒ Ti
,1
≈ T1
Ti
,2
−T2
R3
T
−T
(2.32)
i,1
i,2
2
2
= q3
⇒ = ≈0 ⇒ Ti
,2
≈ Ti
,1
Ti
,2
−T2
R3
Dakle, aproksimativni temperaturni profil će izgledati kao na Sl. 2.7. Pošto smo definisali
intermedijalne potencijale:
R
R
T = T = T
i, 1 i,
2 1
sledi izračunavanje brzine prenosa toplote smenom nađenih vrednosti u izraz za brzinu
nekog od stupnjeva. Međutim, pošto su, izrazi za brzine “brzih” stupnjeva q 1 i q 2
0 0 preostaje izraz za spori stupanj:
nedefinisani ( )
T − T
rP = r3
=
R
1 2
3
Slika 2.7. Aproksimativni temperaturni profil troslojnog zida kada je R
3
>> R1, R2
Zaključujemo da,
• Izrazito najsporiji u nizu konsekutivnih stupnjeva definiše tj. limitira (jer
je najsporiji) brzinu složenog procesa, pa se zato zove limitirajući stupanj;
39

• U ostalim, relativno brzim stadijumima, približno se uspostavlja
termodinamička ravnoteža, tj. pogonske sile tih stadijuma su bliske nuli;
• Brzina procesa je približno jednaka brzini kojom bi se odvijao limitirajući
stupanj, kad bi u svim ostalim stupnjevima bila uspostavljena termodinamič -
ka ravnoteža.
Metod limitirajućeg stupnja znatno pojednostavljuje problem određivanja brzine
složenog procesa, naročito u slučaju kad su neki od stupnjeva nelinearni. (kao što je
naprimer stadijum zračenja toplote).
ZADACI
2.1. Prozor sa duplim staklima razdvojenih slojem nepokretnog vazduha ima dimenzije
0 . 8× 1.
5m
. Stakla ( λ = 0 . 451 BTU / ft ⋅ h ⋅ R ) su debela 4mm, a sloj vazduha
( λ = 0 . 015 BTU / ft ⋅ h ⋅ R ) 10 mm. Ako je temperatura u sobi 20 0 C, a spoljnja
temperatura -10 0 C, izračunati toplotne gubitke i temperaturu unutrašnje površine prozora.
2
Koeficijent prelaza toplote za unutrašnju površinu prozora je α1 = 1 . 761BTU / ft ⋅ h ⋅ R , a
2
za spoljašnju α12 = 7 . 044BTU / ft ⋅ h ⋅ R .
2.2. Kroz zid sastavljen od 4 sloja iste debljine, toplotnih provodljivosti λ
1
, λ2,
λ3,
λ4
,
prenosi se toplota između leve površine, temperature T 1 i desne, temperature T 2 .
T 1
T 2
λ 1 λ 2 λ 3 λ 4
a) Skicirati temperaturni profile kroz posmatrani zid ako je treći od 4 konsekutivna stupnja
limitirajući i napisati odgovarajuću formulu za fluks toplote, q
b) Skicirati temp. profil i napisati izraz za q ako je : λ
1
≈ λ
4
>> λ
2
≈ λ
3
2.3. Čelična cev (λ = 45 W/mK) unutrašnjeg prečnika 0.824in i spoljašnjeg prečnika 1.05in
je izolovana slojem fiberglasa (λ = 0.025 W/mK), debljine 2cm. Temperatura unutrašnjeg
površine cevi 150 0 C , a spoljašnje površine izolacije 30 0 C .
a) Izračunati toplotni fluks između te dve površine za 1 metar cevi, ( W m)
b) Izračunati temperaturu spoljašnje površine cevi
c) Proceniti traženi fluks i temperaturu koristeći metod limitirajućeg stupnja i uporediti sa
prethodno dobijenim vrednostima.
2.4. Projektuje se komora za zamrzavanje prehrambenih proizvoda. Zidovi i tavanica se
sastoje od sledećih slojeva: sloj nerđajućeg čelika, ( λ = 14.2W
( mK)
) debljine 1.7mm, sloj
q L
40

penaste izolacije ( λ = 0.34W
( mK)
), debljine 10cm, sloj plute ( λ = 0.043W
( mK)
) i sloj
drveta ( λ = 0.43W
( mK)
), debljine 1.27cm. Temperatura u zamrzivaču je − 40
0 C , a
temperatura okolnog vazduha je 32 0 C . Koeficijent prelaza toplote na strani nerđajućeg
čelika je 5W ( m 2 K)
, a sa strane drveta 2W
( m 2 K ) . Ako je tačka rose spoljnjeg vazduha
0
29 C , izračunati minimalnu debljinu sloja plute da bi se sprečila kondenzacija vazduha na
spoljnjoj površini komore.
2.5. Radi određivanja toplotne provodljivosti, uzorak govedine oblika cilindra, dužine 5 cm
i prečnika 3 .75cm
, smešten je između dva cilindra od akrila ( λ = 1.5W mK ), istog
prečnika i sve je to stavljeno u izolovani kontejner (skica). Slobodne površine akrilnih
cilindara (na dnu donjeg i na vrhu gornjeg cilindra) se održavaju na konstantnim
temperaturama, pri čemu je donja površina na višoj temperaturi. U oba akrilna cilindra su
stavljena po dva termopara i to na rastojanju 0.5 i 1 cm od dodirne površine sa uzorkom.
Termoparovi (počev od najnižeg) su registrovali sledeće temperature: 45 , 43, 15 i13
0 C .
Izračunati,
a) Specifični toplotni fluks, q kroz uzorak i akrilne cilindre.
b) Temperature donje i gornje površine uzorka
c) Toplotnu provodljivost λ goveđeg mesa.
5 cm
3.75 cm
Skica uz zadatak 2.5
2.6. Unutrašnja cev izmenjivača toplote ima unutrašnji prečnik 2 .21cm
i zid debeo
1 .65mm . Koeficijent prelaza toplote sa unutrašnje strane cevi α
1
= 568W m
2 K , a sa
spoljašnje, α
2
= 5678W m
2 K .Toplotna provodljivost cevi je λ = 55.6W mK . Izračunati,
a) koeficijent prolaza toplote kroz cev, baziran na unutrašnjoj površini cevi,
41

) temperaturu unutrašnje površine cevi, ako je temperatura fluida u cevi 80 0 C , a
temperatura fluida oko cevi 120
0 C
2.7. 50 kg h koncentrata jabukovog soka ( c p
= 3. 187 kJ kgK ) se hladi od 80 do 20 0 C u
suprotno-strujnom izmenjivaču toplote, cev u cevi. Rashladna voda ulazi u izmenjivač na
temperaturi 10 0 C , a izlazi na 17 0 C . Koeficijent prolaza toplote u izmenjivaču je
2
K T
= 568W
m K . Izračunati,
a) protok rashladne vode
b) potrebnu površinu toplotne razmene.
2.8. Izvesti sledeći izraz za termički otpor (otpor provođenju toplote) sferne ljuske sa
unutrašnjim i spoljašnjim poluprečnicima r 1 i r 2
R t
r2
− r1
=
4πr
r λ
1
2
2.9. a) Izvesti izraz za brzinu difuzije F A komponente A kroz porozni zid u obliku sferne
ljuske sa unutrašnjim i spoljašnjim poluprečnikom r 1 i r 2 .
F
4
r
r
D
C
( r ) − C
( r
A 1 A 2
A
= π
1 2 A,
B
(mol/s)
r2
− r1
)
b) Helijum je skladišten u sferni rezervoar spoljnjeg prečnika 3 m i debljine zida 5 cm od
pireksa na 20 0 C. Molska koncentracija helijuma u pireksu je 0.73 mol/m 3 na unutrašnjoj
površini zida a zanemarljiva na spoljnjoj površini. Difuzivnost helijuma kroz pireks na 20 0 C
D A,B = 4.5×10 -15 m 2 /s. Odrediti dnevne gubitke helijuma difuzijom kroz zid rezervoara.
2.10. Za laminarno strujanje kroz cevovod, izvodi se sledeći brzinski profil:
( r)
= 2w
w
sr
⎛
⎜ ⎛
1−
⎜
⎝ ⎝
r
R
⎞
⎟
⎠
2
⎞
⎟
⎠
gde je w
sr
srednja brzina proticanja,a R unutrašnji poluprečnik cevovoda. Za tangencijalni
napon na površini cevi važi jedn. (2.19), s tim što umesto w
f
treba staviti w
sr
. Koristeći
jedn (2.19) i Njutnov zakon (2.9c), izvesti izraz (2.21) za koeficijent trenja.
42