MATEMATICAS con MAPLE Práctica Integrales dobles

E.T.S.Arquitectura Matemáticas II. Curso 2007-2008.MATEMATICAS con MAPLEPráctica Integrales dobles1. Calcular la siguiente integral Z ZDf(x; y)dxdydonde f(x; y) = x 2 + y 2 y D = (x; y) j x 2 + y 2 2y; x 2 + y 2 1; x 0 .Indicaciones:(a) Representar el dominio D con coordenadas cartesianas y también dando las coordenadaspolares.(b) Considerar el cambio a coordenadas polares y representar el dominio transformadoD .(c) Plantear la integral con las coordenadas polares y calcularla.[> Int(Int(f(; ); = 1 :: 2 ); = 1 ; ::; 2 );(d) Representar la grá…ca de f; esto es, la super…cie de ecuación: z = f(x; y).2. Calcular la siguiente integral Z ZDf(x; y)dxdydonde f(x; y) = x 2 y y D es el recinto limitado por las circunferencias de centro el punto(0; 0) y radios 1 y 2 respectivamente.Indicaciones:(a) Representar el dominio D con coordenadas cartesianas y también dando las coordenadaspolares.(b) Considerar el cambio a coordenadas polares y representar el dominio transformadoD .(c) Plantear la integral con las coordenadas polares y calcularla.[> Int(Int(f(; ); = 1 :: 2 ); = 1 ; ::; 2 );(d) Representar la grá…ca de f; esto es, la super…cie de ecuación: z = f(x; y).3. Calcular el volumen comprendido entre la grá…ca de la función f del ejercicio anteriorde…nida sobre el recinto D (también del ejercicio anterior) y el plano z = 0.Observaciones sobre la simetría del dominio y la paridad de la función1. Si la función f es par en x; esto es, f( x; y) = f(x; y) y el recinto D de integración essimétrico respecto de la recta x = 0 entoncesZ ZZ Zf(x; y)dxdy = f(x; y)dxdyD 1donde D 1 = f(x; y) 2 D j x 0g.DNota: En este caso si queremos calcular el volumen comprendido entre la grá…ca de f yel plano z = 0, tenemos:Z ZZ ZV = jf(x; y)jdxdy = 2 jf(x; y)jdxdy:D 1D

E.T.S. Arquitectura. Matemáticas con Maple. Práctica 5. Curso 2007-2008.2. Si la función f es par en y; esto es, f(x; y) = f(x; y) y el recinto D de integración essimétrico respecto de la recta y = 0 entoncesZ ZZ Zf(x; y)dxdy = f(x; y)dxdyDD 2donde D 2 = f(x; y) 2 D j y 0g.Nota: En este caso si queremos calcular el volumen comprendido entre la grá…ca de f yel plano z = 0, tenemos:Z ZZ ZV = jf(x; y)jdxdy = 2 jf(x; y)jdxdy:DD 23. Si la función f es impar en x; esto es, f( x; y) = f(x; y) y el recinto D de integraciónes simétrico respecto de la recta x = 0 entoncesZ Zf(x; y)dxdy = 0:DNota: En este caso si queremos calcular el volumen comprendido entre la grá…ca de f yel plano z = 0, tenemos:Z ZZ ZV = jf(x; y)jdxdy = 2 jf(x; y)jdxdy:DD 14. Si la función f es impar en y; esto es, f(x; y) = f(x; y) y el recinto D de integraciónes simétrico respecto de la recta y = 0 entoncesZ Zf(x; y)dxdy = 0:DNota: En este caso si queremos calcular el volumen comprendido entre la grá…ca de f yel plano z = 0, tenemos:Z ZZ ZV = jf(x; y)jdxdy = 2 jf(x; y)jdxdy:DD2Comandos de MAPLE relacionados con esta práctica Para representar una curva de R 2 dada por una ecuación cartesiana, ecuación_curva,utilizamos el comando implicitplot:[>implicitplot(ecuación_curva, x = a::b, y = c::d); Para representar una curva de R 2 dada por una ecuación en coordenadas polares = (),utilizamos el comando polarplot:[>polarplot(()); Cuando queremos representar en una misma …gura varias curvas o super…cies, representamosprimero las curvas o super…cies que tengamos y le damos un nombre. Por ejemplo,[>G1:=implicitplot3d(F 1(x; y; z) = 0; x = a::b; y = c::d; z = e::f):[>G2:=implicitplot3d(F 2(x; y; z) = 0; x = a::b; y = c::d; z = e::f):Importante: Terminamos los comandos anteriores con : en lugar de con ;Cuando tengamos todas las grá…cas que queremos representar juntas usamos el comandodisplay:[> display(G1, G2, etc,......); Para representar una super…cie dada como la grá…ca de una función f(x; y), utilizamos elcomando implicitplot3d:[>implicitplot3d(z = f(x; y), x = a::b, y = c::d, z = e::h);