MATEMATICAS II HOJA 2: Aplicaciones afines.

E.T.S.ArquitecturaMatemáticas II. Curso 2008-09 PrimaveraParte A:GeometríaMATEMATICAS IIHOJA 2: Aplicaciones a…nes.1. En el espacio afín A 3 referido a la referencia R = fO; B = f~e 1 ; ~e 2 ; ~e 3 gg, determinar:(a) Expresión matricial de la traslación t 1 determinada por el vector ~u = (1; 1; 0).(b) Expresión matricial de la traslación t 2 determinada por el punto P (1; 1; 2) y t 2 (P ) =P 2 siendo P 2 (3; 2; 1).(c) Expresión matricial de la traslación t = t 1 t 2 y el transformado por t del triánguloMP Q siendo M(0; 1; 2) y Q(3; 2; 2).2. En el espacio afín bidimensional referido al sistema de referencia R = fO; B = f~e 1 ; ~e 2 gg,se consideran las siguientes transformaciones a…nes f y g de ecuaciones:f x 0 = 2 + xy 0 = 1 3 yg x 0 = xy 0 = 9 + 3y :(a) Expresión matricial de f y g.(b) Hallar los subespacios de puntos …jos de f y g.(c) Obtener la expresión matricial de g f.(d) Clasi…car la aplicación obtenida y hallar sus subespacios invariantes.3. En R 4 , una homotecia de razón 2 aplica el punto (2; 0; 1; 0) en el punto ( 1; 0; 1; 1). Hallarel centro de dicha homotecia.4. Demostrar que la aplicación afín f : R 3 ! R 3 dada porf(x 1 ; x 2 ; x 3 ) = (1 + 2 3 x 1; 1 + 2 3 x 2; 2 + 2 3 x 3)es una homotecia. Hallar su centro y su razón.5. Determinar las ecuaciones de la aplicación afín f : R 3 ! R 3 que veri…ca:f(1; 4; 0) = (1; 0; 0); f(2; 3; 1) = (2; 1; 1); f(4; 3; 2) = (0; 0; 1); f(3; 5; 1) = (0; 0; 1):6. Determinar las ecuaciones de la aplicación afín f : R 3 ! R 3 que transforma los puntos(0; 0; 0), (0; 1; 0), (1; 1; 1) y (1; 1; 4) en los puntos (2; 0; 2), (2; 1; 1), (2; 1; 3) y (5; 7; 6),respectivamente. Se pide además:(a) Comprobar que el punto P 0 (1; 1; 4) pertenece a la imagen de f:(b) Calcular la imagen inversa de P 0 :(c) Hallar los subespacios invariantes que contienen a P 0 y f 1 (P 0 ).7. Una aplicación afín f : R 3 ! R 3 transforma los puntos (1; 0; 0), (2; 1; 1), (2; 2; 3) y(3; 3; 5) en los puntos (1; 0; 0), (1; 0; 0), (1; 2; 0) y (0; 0; 2), respectivamente. Se pide:(a) Imagen mediante f del plano que contiene a los puntos (1; 0; 1), (0; 1; 0) y (1; 1; 1).

E.T.S. Arquitectura.Matemáticas II. Hoja 2. Curso 2008-09 Primavera(b) Imagen inversa de la rectax 1 + 11= x 2 64= x 3 4:28. En el espacio afín A 3 referido a la referencia R = fO; B = f~e 1 ; ~e 2 ; ~e 3 gg se consideran lashomotecias h C 2 (homotecia de centro C y razón 2) y hC 3 (homotecia de centro C y razón3), siendo C(1; 2; 3). Se pide:(a) Hallar la expresión matricial de las aplicaciones a…nes h C 2 hC 3 y hC 3 hC 2 .(b) ¿Son las aplicaciones a…nes obtenidas homotecias? En caso a…rmativo hallar el centroy la razón. Estudiar también su relación con C, 2; 3.9. En el espacio afín A 3 referido a la referencia R = fO; B = f~e 1 ; ~e 2 ; ~e 3 gg se consideran lashomotecias h C k(homotecia de centro C y razón k) y hC0k(homotecia de centro C 0 y razón0k 0 ), siendo C(1; 1; 1), C 0 (2; 4; 0), k = 4, k 0 = 5. Se pide:(a) Hallar la expresión matricial de las aplicaciones a…nes h C k hC0 k 0y h C0k 0 h C k .(b) ¿Son las aplicaciones a…nes obtenidas homotecias? En caso a…rmativo comprobar queel centro de la composición está alineado con C y C 0 .10. Una aplicación afín f : R 3 ! R 3 transforma el origen en (3; 9; 6) y tiene como subespaciode puntos …jos (o puntos invariantes) el plano x 1 + x 2 + 2x 3 + 3 = 0. Obtener su expresiónanalítica.11. En el espacio afín A 3 referido a la referencia R = fO; B = f~e 1 ; ~e 2 ; ~e 3 gg se consideranlas aplicaciones a…nes t 1 (traslación de vector u = (1; 5; 9)) y t 2 (traslación de vector~v = (6; 3; 4)).(a) Hallar las aplicaciones t 1 t 2 y t 2 t 1 .(b) Estudiar si las aplicaciones obtenidas son también traslaciones. En caso a…rmativohallar sus vectores asociados y estudiar la relación con u y v.12. En el espacio afín A 3 referido a la referencia R = fO; B = fe 1 ; e 2 ; e 3 gg se consideranlas aplicaciones a…nes t u (traslación de vector u = ( 2; 2; 7)) y h C k(homotecia de centroC(1; 3; 2) y razón k = 6).Hallar t u h C k. ¿Es la aplicación obtenida una traslación?¿Es una homotecia?13. Hallar y representar grá…camente el subespacio de puntos invariantes y los subespaciosinvariantes de las siguientes transformaciones a…nes de R 2 :(a) Traslación de vector ~u = (2; 1 2 ).(b) Homotecia de razón 3 y centro C(1; 1).14. Estudiar si los siguientes conjuntos dotados con la operación composición tienen estructurade grupo.(a) El conjunto de las homotecias fh C k : R2 ! R 2 = C 2 R 2 y k 2 Rg.(b) El conjunto de las homotecias de centro C; esto es, fh C k : R2 ! R 2 = k 2 Rg.(c) El conjunto de las traslaciones ft ~u : R 2 ! R 2 = ~u 2 R 2 g.(d) El conjunto fh C k : R2 ! R 2 = C 2 R 2 y k 2 Rg [ ft ~u : R 2 ! R 2 = ~u 2 R 2 g.(e) El conjunto de los transformaciones a…nes ff : R 2 ! R 2 = f aplicación afín biyectivag.

E.T.S. Arquitectura.Matemáticas II. Hoja 2. Curso 2008-09 Primavera15. En el espacio afín (A 3 ; V; ), con referencia afín R = fO; B = f~e 1 ; ~e 2 ; ~e 3 gg, consideramosla aplicación afín f : A 3 ! A 3 con aplicación lineal asociada f : V ! V . Se pide:(a) Hallar la expresión matricial de f en la referencia R sabiendo que los vectores ~e 1 y~e 2 son autovectores de f del autovalor 2 y los puntos P (2; 0; 0) y Q(1; 1; 1) sonpuntos …jos de f.(b) Hallar los subespacios invariantes y el subespacio de puntos …jos de f.