Integral de Superficie

Matemáticas IIIntegral de Super…cieSea S la super…cie diferenciable de…nida por la parametrización T 2 C 1 (D);es decir, S = T (D):T : D R 2 ! R 3(u; v) ! (x(u; v); y(u; v); z(u; v)); Area de una super…cie,Z Zarea(S) = jjT u T v jjdudv:D Integral de super…cie de un campo escalar f : R 3 ! RZ Z ZfdS = f(x(u; v); y(u; v); z(u; v))jjT u T v jjdudv:SD Integral de super…cie de un campo vectorial F : R 3 ! R 3Z Z ZF dS = F (x(u; v); y(u; v); z(u; v)) (T u T v )dudv:SDSiendoT u =T v = @x@u ; @y@u ; @z ;@u @x@v ; @y@v ; @z :@vCaso particular: si la super…cie S es la grá…ca de una función g : R 2 ! R, las fórmulasanteriores quedan expresadas como sigue:sZ Z 2 2 @g @garea(S) = 1 + + dudv;D @u @vsZ Z Z 2 2 @g @gfdS = f(u; v; g(u; v)) 1 + + dudv:@u @vZSSF dS =Z ZDDF (u; v; g(u; v)) @g@u ;@g@v ; 1 dudv:

Ejercicios8