Práctica 7. Cerchas, dimensionado. - Escuela Técnica Superior de ...
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Mecánica <strong>de</strong> Sólidos y Sistemas EstructuralesDepartamento <strong>de</strong> Estructuras <strong>de</strong> Edificación<strong>Escuela</strong> Técnica <strong>Superior</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong> Arquitectura <strong>de</strong> MadridPráctica <strong>7.</strong> <strong>Cerchas</strong>, <strong>dimensionado</strong>.AA 08/09 11–4–2008 ResultadosCuando sólo es necesario calcular la solicitación en unas pocas barras, la herramienta i<strong>de</strong>al es una ecuación<strong>de</strong> equilibrio <strong>de</strong> momentos <strong>de</strong> un trozo <strong>de</strong> la estructura, tal y como se ha visto en las páginas prece<strong>de</strong>ntes.Cuando por el contrario se necesita saber la solicitación en todas las barras pue<strong>de</strong> ser útil trazar el diagrama<strong>de</strong> Maxwell correspondiente. El diagrama <strong>de</strong> Maxwell consiste en la resolución gráfica <strong>de</strong>l conjunto <strong>de</strong> 2Necuaciones cartesianas <strong>de</strong> equilibrio, correspondientes a losN nodos <strong>de</strong> la cercha. Sólo es posible, cuando eseconjunto <strong>de</strong> ecuaciones pue<strong>de</strong> resolverse poco a poco, manejando dos ecuaciones y <strong>de</strong>terminando los esfuerzos<strong>de</strong> dos barras cada vez; los esfuerzos calculados serían datos (no incógnitas) en las ecuaciones subsiguientes.n5n4n6n3n14n15n7100 kNn2n8n1n10 n11 n12 n13n9450 kNEn la cercha <strong>de</strong> la figura, comenzaríamos por trazar el polígono vectorial <strong>de</strong>l nudo 1, lo que <strong>de</strong>terminaría elesfuerzo en las barras 1–2 y 1–10. Continuaríamos por el nudo 2, <strong>de</strong>terminando el esfuerzo en 2–3 y 2–10. Luegoel nudo 10, barras 10–11 y 10–3. Desafortunadamente no podríamos continuar más allá: en el nudo 11 tenemostres incógnitas, los esfuerzos en 11–12, 11–14 y 11–13; en el nudo 3, tambien son tres: 3–11, 3–14 y 3–4. ¿Porqué o cuándo pasa esto?Primero un poco <strong>de</strong> jerga adicional. Se dice que una cercha es simple, cuando su esquema pue<strong>de</strong> generarsea partir <strong>de</strong> un triángulo añadiendo en cada paso un nuevo nodo y dos barras. Por ejemplo el trozo <strong>de</strong> cerchatriangular comprendido entre los nudos 1, 5 y 11 es simple: partiendo <strong>de</strong> 1–2–10, añadimos sucesivamente losnudos 3, 11, 14, 4 y 5. Pero no po<strong>de</strong>mos generar la cercha completa procediendo <strong>de</strong> este modo: no es simple.La cercha completa <strong>de</strong> la figura está compuesta <strong>de</strong> dos cerchas simples, la 1–5–11 y la 5–9–12, conectadasmediante la articulación en 5 y la barra 11–12. Y el diagrama <strong>de</strong> Maxwell sólo pue<strong>de</strong> trazarse para sus partessimples, no para la totalidad. Hay también esquemas complejos: aquellos que no pue<strong>de</strong>n <strong>de</strong>scomponerse <strong>de</strong>ningún modo en cerchas simples unidas por puntos <strong>de</strong> articulación o barras. Para <strong>de</strong>terminar sus solicitacioneses necesario, en general, resolver simultáneamente sus 2N ecuaciones <strong>de</strong> equilibrio <strong>de</strong> nudo, algo sólo posibleanalíticamente.Para trazar el diagrama <strong>de</strong> Maxwell <strong>de</strong> una <strong>de</strong> suscerchas simples es necesario calcular previamentela fuerza interna en la articulación 5 así como elesfuerzo en el tirante 11–12 (barra D). Esto pue<strong>de</strong>hacerse, mediante procedimientos gráficos o analíticos,estableciendo el equilibrio parcial <strong>de</strong> la cerchasimple. Nótese que ambas fuerzas son necesariamentehorizontales al actuar sobre puntos <strong>de</strong>leje <strong>de</strong> simetría <strong>de</strong> carga y geometría <strong>de</strong> la cercha(si tuvieran componente vertical no nula, no seríaposible dibujar el trozo simétrico sin romper lasimetría <strong>de</strong> fuerzas. . . )Ambas fuerzas internas serían como fuerzas externasen cualquiera <strong>de</strong> las dos cerchas simples, y,junto a las acciones ( ⃗ A) y reacciones ( ⃗ R), formaríanun conjunto <strong>de</strong> fuerzas exteriores en equilibriocon las que trazar el diagrama <strong>de</strong> Maxwell parcial.1,11 mA ⃗ = 450 kNA+ ⃗ H ⃗n11N⃗D = 86,60 kN⃗R+ N ⃗ D⃗R = 450 kN⃗H =− ⃗ N Dn55,77 m
86,60 kN1 Lo primero es fijar un sentido para recorrer 1flas barras alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> cada nudo, o las fuerzasealre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> la estructura: horario en este caso.n5También hay que bautizar cada región poligonal<strong>de</strong>n que queda dividido el plano por fuerzas y barras.n4 qCada región se convertirá en un punto en elcpdiagrama.n14n32 Se traza <strong>de</strong>spués el polígono vectorial <strong>de</strong> labrfuerzas exteriores, el cual <strong>de</strong>be ser cerrado si hayoequilibrio. Nótese que la suma <strong>de</strong> acciones af sen2 msuperpone con la reacción vertical ka, al igual quenpasa con la fuerza fr en la articulación y la tracciónrk <strong>de</strong>l tirante.ln10n11n13 Comenzando por el nudo 1, se traza el polígonovectorial abierto <strong>de</strong> la única fuerza conocida,ab, que se cierra trazando paralelas a las barras 1–2 y 1–10 por los extremos, <strong>de</strong>terminando el puntol y el polígono cerrado abla.a R ⃗ = 450 kN kNótese que el nodo 1 se ha convertido en la región poligonal n1 en el diagrama.En el nudo 2, el polígono conocido es el lbc (y lo encontramos ya trazado), su cierre <strong>de</strong>termina m y el polígonocompleto y cerrado lbcml.2 ab3abn1n2lm4ablmc450 kNccn10Copyleft c○ 2009, Vázquez Espí. http://www.aq.upm.es/Departamentos/Estructuras/e96-290/doc/5prq,rn14o<strong>de</strong>f,kabc<strong>de</strong>f,k,nn3lm6prq,r<strong>de</strong>an4oef,kbcdn5f,k,nlmpron11<strong>de</strong>7 apq,rof,k,nbc<strong>de</strong>f,k,n250 kNl433,01 kN4 Seguimos avanzando por aquellos nodos en los que sólo que<strong>de</strong>n dos esfuerzos internos <strong>de</strong>sconocidos. En elnodo 10 se <strong>de</strong>termina n que resulta ser el punto k, lo que indica que el esfuerzo nk (barra 10–11) es nulo. Conel 11 se <strong>de</strong>termina o;. . . 5 . . . nudo 3 (p y onmcdpo); nudo 14 (q y ropqr: q coinci<strong>de</strong> con r, la barra qrno trabaja);. . . 6 . . . finalmente, los nudos 4 (<strong>de</strong>qpd) y 5 (efrqe) sirven <strong>de</strong> comprobación: los vértices <strong>de</strong> suspolígonos ya estaban, faltaba dibujarlos y comprobar que cierran. 7 Puesto que la cercha es simétrica respectoa la vertical <strong>de</strong> 5 tanto en geometría como en cargas, los esfuerzos a la izquierda serán valores simétricos. En laúltima figura comprobamos que la máxima compresión es <strong>de</strong> valor nm y que la máxima tracción es mc, vistasambas <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el nudo 3.m