Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral - at ee-cafe.org

Studi MandiriFungsi dan GrafikDiferensial dan IntegralolehSudaryatno Sudirhami

Hak cipta pada penulis, 2010SUDIRHAM, SUDARYATNOFungsi dan Grafik, Diferensial dan IntegralOleh: Sudaryatmo SudirhamDarpublic, Bandungfdg-1110edisi Juli 2011http://www.ee-cafe.orgAlamat pos: Kanayakan D-30, Bandung, 40135.Fax: (62) (22) 25341172 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

BAB 12Integral (1)(Macam Integral, Pendekatan umerik)Dalam bab sebelumnya, kita mempelajari salah satu bagian utamakalkulus, yaitu kalkulus diferensial. Berikut ini kita akan membahasbagian utama kedua, yaitu kalkulus integral.Dalam pengertian sehari-hari, kata “integral” mengandung arti“keseluruhan”. Istilah “mengintegrasi” bisa berarti “menunjukkankeseluruhan” atau “memberikan total”; dalam matematika berarti“menemukan fungsi yang turunannya diketahui”.Misalkan dari suatu fungsi f(x) yang diketahui kita diminta untukmencari suatu fungsi y sedemikian rupa sehingga dalam rentang nilai xtertentu, misalnya a< x < b, dipenuhi persamaandy = f (x)(12.1)dxPersamaan seperti (12.1) ini, yang menyatakan turunan fungsi sebagaifungsi x (dalam beberapa hal ia mungkin juga merupakan fungsi x dan y)disebut persamaan diferensial. Sebagai contoh:dy 2= 2x+ 5x+ 6dx2d y dy 2 2+ 6xy+ 3xy = 02dx dxPembahasan yang akan kita lakukan hanya mengenai bentuk persamaandiferensial seperti contoh yang pertama.12.1. Integral Tak TentuSuatu fungsi y = F(x)dikatakan sebagai solusi dari persamaandiferensial (12.1) jika dalam rentang a< x < b ia dapat diturunkan dandapat memenuhidF(x)= f ( x)(12.2)dxPerhatikan bahwa jika F(x) memenuhi (12.2) maka F ( x)+ K dengan Kadalah suatu nilai tetapan sembarang, juga akan memenuhi (12.2) sebab3

d[ F(x)+ K]dxdF(x)dK= +dx dxJadi secara umum dapat kita tuliskandF(x)= + 0dx(12.3)∫f ( x)dx = F(x)+ K(12.4)yang kita baca: integral f(x) dx adalah F(x) ditambah K.Persamaan (12.2) dapat pula kita tulisan dalam bentuk diferensial, yaitudF ( x)= f ( x)dxyang jika integrasi dilakukan pada ruas kiri dan kanan akan memberikan∫dF x)=∫f ( x)dx( (12.5)Jika kita bandingkan (12.5) dan (12.4), kita dapat menyimpulkan bahwa∫dF ( x)= F(x)+ K(12. 6)Jadi integral dari diferensial suatu fungsi adalah fungsi itu sendiriditambah suatu nilai tetapan. Integral semacam ini disebut integral taktentu; masih ada nilai tetapan K yang harus dicari.Kita ambil dua contoh untuk inegrasi integrasi tak tentu ini1) Cari solusi persamaan diferensialdy = 5xdxKita tuliskan persamaan tersebut dalam bentuk diferensialdy = 5xMenurut relasi (9.4) dan (9.5) di Bab-9,Oleh karena itu54 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral4d( x ) = 5xdx4dx45 5y =∫5 x dx =∫d(x ) = x + K2). Carilah solusi persamaan dy = x2 ydxKita tuliskan dalam bentuk diferensial42dy = x ydxdan kitakelompokkan peubah dalam persamaan ini sehingga ruas kiri

mengandung hanya peubah tak bebas y dan ruas kanan hanyamengandung peubah bebas x. Proses ini kita lakukan dengan membagikedua ruas dengan √y.−1 / 2 2y dy = x dxRuas kiri memberikan diferensial d( y ) y dymemberikan diferensial2⎛ 1 3 ⎞ 2d⎜x ⎟ = x dx , sehingga⎝ 3 ⎠( 1/ 2 ⎛ 1 3 ⎞2y) = d⎜x ⎟⎠d⎝ 3Jika kedua ruas diintegrasi, diperoleh1/ 2 1 32y + K1= x + K2atau31 / 2 1 31 32 y = x + K2− K1= x + K331/ 2 −1/2= dan ruas kananDua contoh telah kita lihat. Dalam proses integrasi seperti di atas terasaadanya keharusan untuk memiliki kemampuan menduga jawaban.Beberapa hal tersebut di bawah ini dapat memperingan upaya pendugaantersebut.1. Integral dari suatu diferensial dy adalah y ditambah konstantasembarang K.∫dy = y + K2. Suatu konstanta yang berada di dalam tanda integral dapatdikeluarkan∫ady = a∫dy3. Jika bilangan n ≠ −1, maka integral dari y n dy diperoleh denganmenambah pangkat n dengan 1 menjadi (n + 1) dan membaginyadengan (n + 1).n+1n y∫y dy = + K,jika n ≠ −1n + 1Penggunaan Integral Tak Tentu. Dalam integral tak tentu, terdapatsuatu nilai K yang merupakan bilangan nyata sembarang. Ini berarti5

ahwa integral tak tentu memberikan hasil yang tidak tunggal melainkanbanyak hasil yang tergantung dari berapa nilai yang dimiliki oleh K.Dalam pemanfaatan integral tak tentu, nilai K diperoleh denganmenerapkan apa yang disebut sebagai syarat awal atau kondisi awal.Kita akan mencoba memahami melalui pengamatan kurva. Jika kita2gambarkan kurva y = 10x kita akan mendapatkan kurva bernilaitunggal seperti Gb.12.1.a. Akan tetapi jika kita melakukan integrasi10x∫3 dx tidak hanya satu kurva yang dapat memenuhi syarat akan3tetapi banyak kurva seperti pada Gb.12.1.b; kita akan mendapatkan satukurva jika K dapat ditentukan.y i = 10x 2 +K iy = 10x 2 50100y100y50K 3K 2K 1-5 -3 -1 1 3 x 5 -5 -3 -1 1 3 x 5a) b)Gb.12.1. Integral tak tentu memberikan banyak solusi.Sebagai contoh kita akan menentukan posisi benda yang bergerak dengankecepatan sebagai fungsi waktu yang diketahui. Kecepatan sebuah bendabergerak dinyatakan sebagai v = at = 3t, dengan v adalah kecepatan, aadalah percepatan yang dalam soal ini bernilai 3, t waktu. Kalau posisiawal benda adalah s 0 = 3 pada waktu t = 0, tentukanlah posisi bendapada t = 4.Kita ingat pengertian-pengertian dalam mekanika bahwa kecepatandsadalah laju perubahan jarak, v = ; sedangkan percepatan adalah lajudtdvperubahan kecepatan, a = . Karena kecepatan sebagai fungsi tdtdiketahui, dan kita akan mencari posisi (jarak), maka kita gunakan relasidsv = yang memberikan ds = vdtdt6 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral

sehingga integrasinya memberikan2t2s =∫atdt = 3 + K = 1,5t+ K2Kita terapkan sekarang kondisi awal, yaitu s 0 = 3 pada t = 0.3 = 0 + K yang memberikan K = 3Dengan demikian maka s sebagai fungsi t menjadi s = 1,5t2 + 3sehingga pada t = 4 posisi benda adalah s 4 = 27Luas Sebagai Suatu Integral. Kita akan mencari luas bidang yangdibatasi oleh suatu kurva y = f (x), sumbu-x, garis vertikal x = p, dan x= q. Sebagai contoh pertama kita ambil fungsi tetapan y = 2 sepertiterlihat pada Gb.12.2.2yy = f(x) =2A px∆A px0Gb.12.2. Mencari luas bidang di bawah y = 2.Jika luas dari p sampai x adalah A px , dan kita bisa mencari fungsipertambahan luas ∆A px yaitu pertambahan luas jika x bertambah menjadix+∆x, maka kita dapat menggunakan fungsi pertambahan tersebut mulaidari x = p sampai x = q untuk memperoleh A pq yaitu luas dari p sampai q.Pertambahan luas yang dimaksud tentulah∆A px∆A px = 2 ∆x atau = 2 = f ( x)∆xJika ∆x diperkecil menuju nol maka kita dapatkan limitlim∆x→0Dari (12.8) kita perolehp x x+∆x q∆Apx∆xdA=dxpx= f ( x)= 2(12.7)(12.8)Apx =∫dApx=∫2 dx = 2x+ K(12.9)x7

Kondisi awal (kondisi batas) adalah A px = 0 untuk x = p. Jika kondisi inikita terapkan pada (12.9) kita akan memperoleh nilai K yaitusehingga0 = 2 p + K atau K = −2p(12.10)A px = 2x− 2 p(12.11)Kita mendapatkan luas A px (yang dihitung mulai dari x = p) merupakanfungsi x. Jika perhitungan diteruskan sampai x = q kita perolehA pq = 2q− 2 p = 2( q − p)(12.12)Inilah hasil yang kita peroleh, yang sudah kita kenal dalam planimetriyang menyatakan bahwa luas segi empat adalah panjang kali lebar yangdalam kasus kita ini panjang adalah (q − p) dan lebar adalah 2.Bagaimanakah jika kurva yang kita hadapi bukan kurva dari fungsitetapan? Kita lihat kasus fungsi sembarang dengan syarat bahwa iakontinyu dalam rentang p ≤ x ≤ q seperti digambarkan pada Gb.12.3.yf(x)f(x+∆x )y = f(x)A px∆A px0p x x+∆x qGb.12.3. Fungsi sembarang kontinyu dalam a ≤ x ≤ bDalam kasus ini, ∆A px bisa memiliki dua nilai tergantung dari apakahdalam menghitungnya kita memilih ∆A px = f(x)∆x atau ∆A px = f(x+∆x)∆x.Namun kita akan mempunyai nilai∆ A px = f ( x)∆x≤ f ( x0 ) ∆x≤ f ( x + ∆x)∆x(12.13)dengan x 0 adalah suatu nilai x yang terletak antara x dan x+∆x. Jika ∆xkita buat mendekati nol kita akan mempunyai∆ A px = f ( x)∆x= f ( x0 ) ∆x= f ( x + ∆x)∆x(12.14)Dengan demikian kita akan mendapatkan limit8 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integralx

lim∆x→0Dari sini kita perolehA∆Apx∆xdA=dxpx= f ( x)(12.15)=∫dApx=∫f ( x)dx = F(x)K(12.16)px +Dengan memasukkan kondisi awal A px = 0 untuk x = p dan kemudianmemasukkan nilai x = q kita akan memperolehApq = F( q)− F(p)= F(x)] q p(12.17)12.2. Integral TentuIntegral tentu merupakan integral yang batas-batas integrasinya jelas.Konsep dasar integral tentu adalah luas bidang yang dipandang sebagaisuatu limit. Kita akan menghitung luas bidang yang dibatasi oleh suatukurva y = f(x), sumbu-x, garis x = p, dan x = q, yaitu luas bagian yangdiarsir pada Gb.12.4.a.Sebutlah luas bidang ini A pq . Bidang ini kita bagi dalam n segmen dankita akan menghitung luas setiap segmen dan kemudianmenjumlahkannya untuk memperoleh A pq . Jika penjumlahan luas segmenkita lakukan dengan menghitung luas segmen seperti tergambar padaGb.12.4.b, kita akan memperoleh luas yang lebih kecil dari dari luasyang kita harapkan; sebutlah jumlah luas segmen ini A pqb (jumlah luassegmen bawah).Jika penjumlahan luas segmen kita lakukan dengan menghitung luassegmen seperti tergambar pada Gb.12.4.c, kita akan memperoleh luasyang lebih besar dari dari luas yang kita harapkan; sebutlah jumlah luassegmen ini A pqa (jumlah luas segmen atas).Kedua macam perhitungan tersebut di atas akan mengakibatkanterjadinya error. Antara A pqb dan A pqa ada selisih seperti terlihat padaGb.12.4.d. Jika x 0k adalah suatu nilai x di antara kedua batas segmen kek,yaitu antara x k dan (x k +∆x), maka berlakuf ( x ) ≤ f ( x0 ) ≤ f ( x + ∆x)(12.18)kkk9

yy = f(x)(a)0p x 2 x k x k+1 x nxyy = f(x)(b)0p x 2 x k x k+1 x nxyy = f(x)(c)0yp x 2 x k x k+1 x ny = f(x)x(d) 0 p x 2 x k x k+1 x n xGb.12.4. Menghitung luas bidang di bawah kurva.Jika pertidaksamaan (12.18) dikalikan dengan ∆x k yang yang cukup kecildan bernilai positif, makaf( xk) ∆ xk≤ f ( x0 k ) ∆xk≤ f ( xk+ ∆x)∆xk(12.19)Jika luas segmen di ruas kiri, tengah, dan kanan dari (12.19) kitajumlahkan dari 1 sampai n (yaitu sebanyak jumlah segmen yang kitabuat), kita akan memperoleh10 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral

nnn∑ f ( xk) ∆xk≤∑f ( x0k) ∆xk≤ ∑ f ( xk+ ∆x)∆xk(12.20)k = 1k = 1k = 1Ruas paling kiri adalah jumlah luas segmen bawah, A pqb ; ruas palingkanan adalah jumlah luas segmen atas, A pqa ; ruas yang di tengah adalahjumlah luas segmen pertengahan, kita namakan A n . Jelaslah bahwaApqb≤ An≤ Apqa(12.21)Nilai A n dapat dipakai sebagai pendekatan pada luas bidang yang kitacari. Error yang terjadi sangat tergantung dari jumlah segmen, n. Jika nkita perbesar menuju tak hingga dan semua ∆x k menuju nol, maka luasbidang yang kita cari adalahApq= lim Apqb= lim An= lim Apqa(12.22)∆x→0∆x→0∆x→k kk0Jadi apabila kita menghitung limitnya, kita akan memperoleh nilai limityang sama, apakah kita menggunakan penjumlahan segmen bawah, atauatas, atau pertengahannya. Limit yang sama ini disebut integral tertentu,dituliskan∫A = q pq f ( x)dx(12.23)pIntegral tertentu (12.23) ini terkait dengan integral tak tentu (9.12)qqApq=∫f ( x)dx = F(x)] p = F(q)− F(p)p(12.24)Jadi untuk memperoleh limit bersama dari penjumlahan segmen bawah,penjumlahan segmen atas, maupun penjumlahan segmen pertengahandari fungsi f(x) dalam rentang p ≤ x ≤ q, kita cukup melakukan:a. integrasi untuk memperoleh F ( x)=∫f ( x)dx ;b. masukkan batas atas x = q untuk mendapat F(q);c. masukkan batas bawah x = p untuk mendapat F(p);d. kurangkan perolehan batas bawah dari batas atas, F(q) − F(p).Walaupun dalam pembahasan di atas kita mengambil contoh fungsi yangbernilai positif dalam rentang p ≤ x ≤ q , namun pembahasan ituberlaku pula untuk fungsi yang dalam rentang p ≤ x ≤ q sempatbernilai negatif. Kita hanya perlu mendefinisikan kembali apa yangdisebut dengan A px dalam pembahasan sebelumnya. Pendefinisian yangbaru ini akan berlaku umum, yaitu11

A px adalah luas bidang yang dibatasi oleh y = f (x)dansumbu-x dari p sampai x, yang merupakan jumlah luas bagianyang berada di atas sumbu-x dikurangi dengan luas bagianyang di bawah sumbu-x.Agar lebih jelas kita mengambil contoh pada Gb 13.2. Kita akanmenghitung luas antara y = x3 −12xdan sumbu-x dari x = −3 sampai x= +3. Bentuk kurva diperlihatkan pada Gb.12.5.3 −y = x 12 x20Di sini terlihat bahwa dari x = −3 sampai 0 kurva berada di atas sumbu-xdan antara x = 0 sampai +3 kurva ada di bawah sumbu-x. Untuk bagianyang di atas sumbu-x kita mempunyai luas0043 x ⎤2A a =∫( x −12x)dx = − 6x⎥ = −0− (20,25 − 54) = 33,75−34 ⎥⎦−3Untuk kurva yang di bawah sumbu-x kita dapatkan3343 x ⎤2A b =∫( x −12x)dx = − 6x⎥ = 20,25 − 54 − (0) = −33,7504 ⎥⎦0Luas yang kita cari adalah luas bagian yang berada di atas sumbu-xdikurangi dengan luas bagian yang di bawah sumbu-xA- 20Gb.12.5. Kurva y = x3 −12xpq0x- 4 - 3 -2 -1 0 1 2 3 4= Aa− Ab10- 10= 33 ,75 − ( −33,755)= 67,5Contoh ini menunjukkan bahwa dengan pengertian yang baru mengenaiA px , formulasiqA =∫f ( x)dx = F(q)− F( p))ptetap berlaku untuk kurva yang memiliki bagian baik di atas maupun dibawah sumbu-x.12 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral

Dengan demikian maka untuk bentuk kurva seperti pada Gb.12.6. kitadapatkanA pq = −A1 + A2− A3+ A4yang kita peroleh dari A f ( x)dx = F(q)− F( p))pq=∫qpyy = f(x)pA 1A 2A 3A 4qxGb.12.6. Kurva memotong sumbu-x di beberapa titik.Luas Bidang Di Antara Dua Kurva. Kita akan menghitung luas bidangdi antara kurva y 1 = f1 ( x)dan y 2 = f2 ( x)pada batas antara x = p dan x= q . Kurva yang kita hadapi sudah barang tentu harus kontinyu dalamrentang p ≤ x ≤ q . Kita tetapkan bahwa kurva y 1 = f1 ( x)berada di atasy 2 = f2 ( x)meskipun mungkin mereka memiliki bagian-bagian yangberada di bawah sumbu-x. Perhatikan Gb.12.7.yy 1p 0x x+∆xqy 2xGb.12.7. Menghitung luas bidang antara dua kurva.Rentang p ≤ x ≤ q kita bagi dalam n segmen, yang salah satunyadiperlihatkan pada Gb.12.7. dengan batas kiri x dan batas kanan (x+∆x),dimana ∆ x = ( q − p)/ n .13

Luas segmen dapat didekati denganA segmen = { f1 ( x)− f2(x)} ∆x(12.25)yang jika kita jumlahkan seluruh segmen akan kita perolehnx=q−∆x∑ A segmen = ∑{ f1 ( x)− f2(x)} ∆x(12.25)1x=pDengan membuat n menuju tak hingga sehingga ∆x menuju nol kitasampai pada suatu limitn→∞qA pq = lim ∑ Asegmen=∫ { f1(x)− f2(x)} dx (12.26)p1Kita lihat beberapa contoh.1). Jika y 1 = 4 dan y 2 = − 2 berapakah luas bidang antara y 1 dan y 2dari x 1 = p = −2 sampai x 2 = q = +3.+ 3+ 3A pq =∫({ 4 − ( −2)} dx = 6x] − 2 = 18 − ( −12)= 30−2Hasil ini dengan mudah dijakinkan menggunakan planimetri. Luasyang dicari adalah luas persegi panjang dengan lebar y 1 − y2= 6dan panjang x 2 − x1= 5 .22). Jika y 1 = x dan y 2 = 4 berpakah luas bidang yang dibatasi oleh y 1dan y 2 .Terlebih dulu kita cari batas-batas integrasi yaitu nilai x padaperpotongan antara y 1 dan y 2 .2y 1 = y2→ x = 4 ⇒ x1= p = −2,x2= q = 2Perhatikan bahwa y 1 adalah fungsi pangkat dua dengan titik puncakminimum yang berada pada posisi [0,0]. Oleh karena itu bagiankurva y 1 yang membatasi bidang yang akan kita cari luasnya, beradadi di bawah y 2 = 4.22⎛ 3 ⎞⎤28 8 16 16 32(4 ) ⎜x ⎛ ⎞ ⎛ − ⎞ −A pq = 4 ⎟⎥∫− x dx = x − = ⎜8− ⎟ − ⎜−8 − ⎟ = − =− 2⎜ 3 ⎟⎝ ⎠⎥⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 3 3 3⎦-2Jika kita terbalik dalam memandang posisi y 1 terhadap y 2 kita akanmelakukan kesalahan:14 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral

22⎛ 3 ⎞⎤28 8 16 16* ( 4) ⎜x⎛ ⎞ ⎛ − ⎞ − +A pq = 4 ⎟⎥∫x − dx = − x = ⎜ − 8⎟ − ⎜ + 8⎟= − = 0− 2⎜ 3 ⎟⎝ ⎠⎥⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 3 3⎦-223). Jika y 1 = −x+ 2 dan y2 = −xberapakah luas bidang yangdibatasi oleh y 1 dan y 2 .Terlebih dulu kita perhatikan karakter fungsi-fungsi ini. Fungsiy 1 adalah fungsi kuadrat dengan titik puncak maksimum yangmemotong sumbu-y di y = 2. Fungsi y 2 adalah garis lurusmelalui titik asal [0,0] dengan kemiringan negatif −1, yangberarti ia menurun pada arah x positif. Dengan demikian makabagian kurva y 1 yang membatasi bidang yang akan kita cariluasnya berada di atas y 2 .Batas integrasi adalah nilai x pada perpotongan kedua kurva.y = y12⇒ −x2+ 2 = −xatau− x2+ x + 2 = 022−1+ 1 + 8−1− 1 + 8x1= p == −1;x2= q == 2− 2− 222⎛ 3 2 ⎞⎤2( 2 ) ⎜ x xA 2 ⎟pq =⎥∫−x+ + x dx = − + + x−1⎜ 3 2 ⎟⎝⎠⎥⎦−1⎛ 8 ⎞ ⎛ −11 ⎞= ⎜−+ 2 + 4⎟− ⎜−+ − 2⎟ = 4,5⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 2 ⎠Penerapan Integral Tentu. Pembahasan di atas terfokus padapenghitungan luas bidang di bawah suatu kurva. Dalam praktik kita tidakselalu menghitung luas melainkan menghitung berbagai besaran fisis,yang berubah terhadap waktu misalnya. Perubahan besaran fisis ini dapatpula divisualisasi dengan membuat absis dengan satuan waktu danordinat dengan satuan besaran fisis yang dimaksud. Dengan demikianseolah-olah kita menghitung luas bidang di bawah kurva. Berikut ini duacontoh dalam kelistrikan.1). Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangan konstan200V. Berapakah energi yang diserap oleh piranti ini selama 8jam ?15

Daya adalah laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol pdan energi diberi simbol w, makadwp = yang memberikan w =dt∫pdtPerhatikan bahwa peubah bebas di sini adalah waktu, t. Kalaubatas bawah dari wktu kita buat 0, maka batas atasnya adalah 8,dengan satuan jam. Dengan demikian maka energi yang diserapselama 8 jam adalah8 8w =∫pdt = 100 = 1000 ∫dt t0= 800 Watt.hour [Wh]= 0,8 kilo Watt hour [kWh]16 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral802). Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap waktu sebagaii(t) = 0,05 t ampere. Berapakah jumlah muatan yangdipindahkan melalui piranti ini antara t = 0 sampai t = 5 detik ?Arus i adalah laju perubahan transfer muatan, q.dqi = sehingga q =dt ∫idtJumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah5 550,05 2 1,25q =∫idt = 0,05 = = = 0,625 coulomb0 ∫tdt t0 2 0 2Pendekatan umerik. Dalam pembahasan mengenai integral tentu, kitafahami bahwa langkah-langkah dalam menghitung suatu integral adalah:1. Membagi rentang f(x) ke dalam n segmen; agar prosesperhitungan menjadi sederhana buat segmen yang sama lebar,∆x.2. Integral dalam rentang p ≤ x ≤ q dari f(x) dihitung sebagai∫qnf ( x)dx = lim ∑ f ( xk) ∆xkp∆x→0k = 1dengan f(x k ) adalah nilai f(x) dalam interval ∆x k yangbesarnya akan sama dengan nilai terendah dan tertinggidalam segmen ∆x k jika ∆x menuju nol.

Dalam aplikasi praktis, kita tentu bisa menetapkan suatu nilai ∆xsedemikian rupa sehingga jika kita mengambil f(x k ) sama dengan nilaiterendah ataupun tertinggi dalam ∆x k , hasil perhitungan akan lebih rendahataupun lebih tinggi dari nilai yang diharapkan. Namun error yang terjadimasih berada dalam batas-batas toleransi yang dapat kita terima. Dengancara ini kita mendekati secara numerik perhitungan suatu integral, dankita dapat menghitung dengan bantuan komputer.Sebagai ilustrasi kita akan menghitung kembali luas bidang yang dibatasioleh kurva y = x3 −12xdengan sumbu-x antara x = −3 dan x = +3. Luasini telah dihitung dan menghasilkan A pq = 67, 5 . Kali ini perhitungan=∫ 3 3A pq ( x −12x)dx akan kita lakukan dengan pendekatan numerik− 3dengan bantuan komputer. Karena yang akan kita hitung adalah luasantara kurva dan sumbu-x, maka bagian kurva yang berada di bawahsumbu-x harus dihitung sebagai positif. Jika kita mengambil nilai ∆x =0,15 maka rentang −3 ≤ x ≤ 3 akan terbagi dalam 40 segmen.Perhitungan menghasilkanApq40= ∑ ( xk = 13k−12xError yang terjadi adalah sekitar 0,15%.k) = 67,39875 ≈ 67,4Jika kita mengambil ∆x = 0,05 maka rentang −3 ≤ x ≤ 3 akan terbagidalam 120 segmen. Perhitungan menghasilkanApq120(= ∑k =13k−12xError yang terjadi adalah sekitar 0,02%.xk) = 67,48875 ≈ 67,5Jika kita masih mau menerima hasil perhitungan dengan error 0,2%,maka hasil pendekatan numerik sebesar 67,4 cukup memadai.Perhitungan numerik di atas dilakukan dengan menghitung luas setiapsegmen sebagai hasilkali nilai minimum ataupun nilai maksimummasing-masing segmen dengan ∆x. Satu alternatif lain untuk menghitungluas segmen adalah dengan melihatnya sebagai sebuah trapesium. Luassetiap segmen menjadi17

( f ( x min ) + f ( x )) × ∆x/ 2Asegmen= kkmaks(12.27)Perhitungan pendekatan numerik ini kita lakukan dengan bantuankomputer. Kita bisa memanfaatkan program aplikasi yang ada, ataupunmenggunakan spread sheet jika fungsi yang kita hadapi cukup sederhana.Soal-Soal:1. Carilah titik-titik perpotongan fungsi-fungsi berikut dengansumbu-x kemudian cari luas bidang yang dibatasi oleh kurvafungsi dengan sumbu-x.2 3y = 2 x − x2 ; y − y = x2. Carilah luas bidang yang dibatasi oleh kurva dan garis berikut.2Luas antara kurva y = x dan garis x = 4Luas antara kurva y = 2x− xdan garis x = −33. Carilah luas bidang yang dibatasi oleh dua kurva berikut.y4 2= x − 2x dan12.3. Volume Sebagai Suatu Integral18 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral22y = 2xy = 2x2 − 5 dan y = −2x2 + 5Di sub-bab sebelumnya kita menghitung luas bidang sebagai suatuintegral. Berikut ini kita akan melihat penggunaan integral untukmenghitung volume.Balok. Kita ambil contoh sebuah balokseperti tergambar pada Gb.12.8. Balok inidibatasi oleh dua bidang datar paralel di pdan q. Balok ini diiris tipis-tipis dengan tebalirisan ∆x sehingga volume balok, V,merupakan jumlah dari volume semua irisan.Gb.12.8. BalokJika A(x) adalah luas irisan di sebelah kiri dan A(x+∆x) adalah luas irisandi sebelah kanan maka volume irisan ∆V adalahVolume balok V adalahA(x)∆ x ≤ ∆V≤ A(x + ∆x)∆x∆x

∑V A(x)∆ x=qpdengan A (x)adalah luas rata-rata irisan antara A(x) dan A(x+∆x).Apabila ∆x cukup tipis dan kita mengambil A(x) sebagai pengganti A (x)maka kita memperoleh pendekatan dari nilai V, yaitu∑V A(x)∆ x≈qpJika ∆x menuju nol dan A(x) kontinyu antara p dan q makaq∑ A(x)∆x=∫qV = lim A(x)dx(12.28)∆x→opRotasi Bidang Segitiga Pada Sumbu-x.Satu kerucut dapat dibayangkan sebagaisegitiga yang berputar sekitar salah satusisinya. Sigitiga ini akan menyapu satuvolume kerucut seperti terlihat padaGb.12.9. Segitiga OPQ, dengan OQyOPQxberimpit dengan sumbu-x, berputar∆xmengelilingi sumbu-x.Gb.12.9. Rotasi Segitiga OPQmengelilingi sumbu-xFormula (12.28) dapat kita terapkan disini. Dalam hal ini A(x) adalahluas lingkaran dengan jari-jari r(x); sedangkan r(x) memiliki persamaangaris OP.hh2h2 2V =∫A( x)dx =∫π[ r(x)] dx =∫πmx dx (12.29)000dengan m adalah kemiringan garis OP dan h adalah jarak O-Q. Formula(12.29) akan memberikan volume kerucut2 32 3πmh π(PQ/OQ)h 2 hVkerucut= == πr(12.30)3 33dengan OQ = h dan r adalah nilai PQ pada x = h.Bagaimanakah jika OQ tidak berimpit dengan sumbu-x? Kita akanmemiliki kerucut yang terpotong di bagian puncak. Volume kerucutp19

terporong demikian ini diperoleh dengan menyesuaikan persamaan garisOP. Jika semula persamaan garis ini berbentuk y = mx berubah menjadiy = mx + b dengan b adalah perpotongan garis OP dengan sumbu-y.Rotasi Bidang Sembarang. Jika f(x)kontinyu pada a ≤ x ≤ b , rotasi bidangantara kurva fungsi ini dengan sumbu-xantara a ≤ x ≤ b sekeliling sumbu-x akanmembangun suatu volume benda yangdapat dihitung menggunakan relasi (12.10).yf(x)0 a b∆xxGb.12.10. Rotasi bidangmengelilingi sumbu-xDalam menghitung integral (12.28) penyesuaian harus dilakukan padaA(x) dan batas-batas integrasi.A( x)= π r(x)2 = π f ( x)( ) ( ) 2= ∫ b π asehingga V ( f x))Gabungan Fungsi Linier. Jika f(x) pada(12.31) merupakan gabungan fungsi linier,kita akan mendapatkan situasi seperti padaGb.12.11.2( dx(12.31)Gb.12.11. Fungsi f(x) merupakangabungan fungsi linier.Fungsi f(x) kontinyu bagian demi bagian. Pada Gb.12.11. terdapat tigarentang x dimana fungsi linier kontinyu. Kita dapat menghitung volumetotal sebagai jumlah volume dari tiga bagian.Fungsi f(x) Memotong Sumbu-x. Formula (12.29) menunjukkan bahwadalam menghitung volume, f(x) dikuadratkan. Oleh karena itu jika adabagian fungsi yang bernilai negatif, dalam penghitungan volume bagianini akan menjadi positif.12.4. Panjang Kurva Pada Bidang DatarJika kurva y = f (x)kita bagi dalam n segmen masing-masing selebar∆x, maka ∆l dalam segmen tersebut adalah20 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integraly20000 a b∆xx

∆ l = PQ =2 2∆x+ ∆ySalah satu segmen diperlihatkan pada Gb.12.12.Ada satu titik P′ yang terletak pada kurva di segmen ini yang terletakantara P dan Q di mana turunan fungsi y ′(P′), yang merupakan garissinggung di P′, sejajar dengan PQ. Menggunakan pengertian y ′(P′)ini,∆l dapat dinyatakan sebagai∆l=y2∆x+22[( y′( P ′))∆x] = 1+( y′(P′)) ∆xy = f(x)QP∆l ∆y∆xxabGb.12.12. Salah satu segmen pada kurva y = f (x).Setiap segmen memiliki y ′(P′)masing-masing yaitu y′k , dan ∆lmasing-masing yaitu ∆l k . Jika n dibuat menuju ∞, panjang kurva dari x =a ke x = b adalahnnnlab= 2∆lk= + ( y′k ) ∆x= ∑2lim ∑ lim ∑ 1lim 1 + ( yk′) ∆xn→∞n→∞∆x→0k = 1k = 1k = 1ataub2⎛ dy ⎞lab =∫1 + ⎜ ⎟ dx(12.32)a ⎝ dx ⎠Perlu kita ingat bahwa panjang suatu kurva tidak tergantung dari posisisumbu koordinat. Oleh karena itu (12.32) dapat ditulis juga sebagaib dxlab ∫ ′2⎛dya′ dy⎟ ⎞= 1 +⎜ dengan a′ dan b′ adalah batas-batas peubah⎝ ⎠bebas.21

12.5. ilai Rata-Rata Suatu FungsiUntuk fungsi y = f (x)yang kontinyu dalam rentang p ≤ x ≤ q nilairata-rata fungsi ini didefinisikan sebagaiy 1 q( rr ) x =− ∫f ( x dxq p)(12.33)p(Penulisan (y rr ) x untuk menyatakan nilai rata-rata fungsi x)Definisi (12.33) dapat kita tuliskanq( y rr ) x ⋅(q − p)=∫f ( x)dx(12.34)pRuas kanan (12.34) adalah luas bidang antara kurva fungsi y = f (x)dengan sumbu-x mulai dari x = p sampai x = q. Ruas kiri (12.34) dapatditafsirkan sebagai luas segi empat dengan panjang (q − p) dan lebar(y rr ) x . Namun kita perlu hati-hati sebab dalam menghitung ruas kanan(12.34) sebagai luas bidang antara kurva fungsi y = f (x)dengan sumbuxbagian kurva yang berada di bawah sumbu-x memberi kontribusi positifpada luas bidang yang dihitung; sedangkan dalam menghitung nilai ratarata(12.33) kontibusi tersebut adalah negatif.Sebagai contoh, kita ambil fungsiy = x3 −12x. Luas bidang antaray = x3 −12xdengan sumbu-x dari x = −3 sampai x = +3 adalah positif,A pq = 67,5 (telah pernah kita hitung). Sementara itu jika kitamenghitung nilai rata-rata fungsi ini dari x = −3 sampai x = +3 hasilnyaadalah (y rr ) x = 0 karena bagian kurva yang berada di atas dan di bawahsumbu-x akan saling meniadakan.22 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral

Referensi1. Catatan-catatan penulis dalam kuliah matematika di InstitutTeknologi Bandung, tahun 1963 – 1964, sebagai bahan utama tulisandalam buku ini.2. George B Thomas, “Calculus And Analytic Geometry”, addisonWesley, 1956, buku pegangan dalam mengikuti kuliah matematikadi ITB, tahun 1963 - 1964.3. Sudaryatno Sudirham: ”Analisis Rangkaian Listrik”, Penerbit ITB,ISBN 979-9299-54-3, 2002.4. Sudaryatno Sudirham: ”Analisis Rangkaian Elektrik”, e-book, 2010.5. Sudaryatno Sudirham, “Mengenal Sifat Material 1”, e-book, 2010.23