Matematica curiosa - Martufi, Gabriele - Altervista

Matematica curiosa
Breve viaggio intorno ai significati e all’insegnamento della
matematica.
(A cura di http://www.gmalbano.it/)
Tutto quello che ho letto sulla matematica e sul suo insegnamento, ma
anche pillole di saggezza, ironia, interviste e storie.
(A cura di Italo Di Feo)
Perché il mondo è matematico.
(A cura di Francesca R. Nardi)
http://gabrielemartufi.altervista.org/matematica.htm

Breve viaggio intorno ai significati e all’ insegnamento della matematica.
Che cos’è la matematica?
1. Quale idea si ha della matematica?
2. Perché ci si avvicina alla matematica? Oppure perché ci si allontana?
3. Perché dovremmo avvicinare altri alla matematica?
4. Che significa fare matematica?
5. Che significa insegnare matematica?
6. Come è vista la matematica dai nostri alunni?
7. L’idea di matematica che hanno gli alunni dipende da come è stata insegnata?
8. A che serve la matematica? La matematica deve servire a qualcosa?
9. Perché c’è paura per la matematica? Da dove salta fuori l’incomprensione per la
matematica?
10. Quali difficoltà si presentano nella trasmissione dei concetti matematici da parte del
docente?
11. Quali difficoltà sorgono nella mente dell’alunno nell’atto dell’apprendimento?
Per i giovani che escono dalle superiori essenzialmente
- la matematica consiste in un puro meccanismo
- la matematica costruzione perfetta ormai terminata (si può ancora fare
qualche scoperta in questa disciplina?)
e si affronta la società, il mondo del lavoro, la vita quasi vantandosi di non aver mai capito nulla di
matematica (i dati in Italia sull’analfabetismo matematico nella popolazione scolastica e
postscolastica sono allarmanti)
Eppure mai come oggi c’è un forte bisogno di una cultura matematica
(abito mentale matematico, non somma di cognizioni)
Per Emma Castelnuovo, tra i massimi esperti di didattica della matematica [autrice di testi
scolastici ed inerenti la didattica: tra i tanti il classico “Didattica della matematica”, La Nuova Italia,
1963, di cui riportiamo alcuni passi] ciò significa non comprendere tutto lo spirito di un corso,
cosa ben più grave dell’incomprensione di un concetto o di una proprietà.
I pochi che indirizzano gli studi universitari verso facoltà scientifiche avvertono le gravi lacune
che ha lasciato l’insegnamento della matematica e denunciano la scuola di averli immessi nella vita
senza aver dato loro la comprensione e l’uso di quel linguaggio che è ai nostri giorni altrettanto
essenziale del linguaggio ordinario, e che è la matematica (la Castelnuovo tra l’altro parla della
responsabilità umana del professore di matematica).
Quali fattori intervengono nell’insegnamento della matematica?
Indubbiamente questioni pedagogiche e psicologiche, i programmi, i metodi, gli strumenti.

Finora (dall’Unità all’oggi) sono stati considerati come essenziali i programmi (ovvero l’aspetto
contenutistico) i quali devono essere tali da “informare” sulla scienza matematica e tali da
“formare” le giovani menti.
“La matematica non deve considerarsi come un complesso di cognizioni utili in sé perché
applicabili ai bisogni della vita, ma principalmente come un mezzo di cultura intellettuale, come
una ginnastica del pensiero diretta a svolgere le facoltà del raziocinio ed aiutare quel sano
criterio che serve a distinguere il vero da ciò che ne ha solo l’apparenza”.
Dalla Relazione ministeriale di Cremona-Betti-Brioschi del 1867.
La matematica doveva dunque avere un intento formativo, ma come ha messo in luce la
Castelnuovo, la formazione della mente era considerata solo come fine del programma e non,
anche, come funzione moderatrice ed ispiratrice del programma stesso (da questo presupposto si
comprende quale minima importanza avesse nell’insegnamento il seguire questa o quella
metodologia).
Per tutto il Novecento le idee puriste appena accennate hanno dominato l’insegnamento della
matematica nelle scuole secondarie di qualsiasi ordine e grado.
Quali scopi l’insegnamento della matematica deve allora proporsi si domanda la Castelnuovo
“per formare nuove generazioni di uomini completi” ?
“Ci è caro ricordare le voci levate agli albori del secolo (Novecento) da tre fra i maggiori
matematici: Volterra, Enriques, Volterra” (E. Castelnuovo, o.c.).
presentiamo una selezione degli interventi dei matematici citati dalla
Castelnuovo
Vito Volterra, Roma 1901:
“ … Il matematico si trova in possesso di uno strumento mirabile e prezioso, creato dagli sforzi
accumulati per lungo andare di secoli dagli ingegni più acuti e dalle menti più sublimi che siano
mai vissute. Che egli ha per così dire, la chiave che può aprire il varco a molti oscuri misteri
dell’Universo, ed un mezzo per riassumere in pochi simboli una sintesi che abbraccia e collega
vasti e disparati risultati di scienze diverse …”.
Federigo Enriques, 1906, Sulla preparazione degli insegnanti di Scienze:
“… Se le matematiche vengono così spesso riguardate come inutile peso dagli allievi, dipende in
parte almeno dal carattere troppo formale che tende a prendere quell’insegnamento, da un falso
concetto del rigore tutto intento a soddisfare certe minute esigenze di parole, da una critica
analitica e fuori di posto, …, ma queste tendenze si riattaccano ad una causa più generale; cioè al
fatto che le matematiche siano state studiate come un organismo a sé, riguardandone piuttosto la
sistemazione astratta conseguita dopo uno sviluppo secolare, che non l’intima ragione storica.
Si dimenticano per tal modo i problemi concreti che conferiscono interesse alle teorie, e sotto la
formula o lo sviluppo del ragionamento non si vedono più i fatti ormai da lungo tempo acquisiti,
ma soltanto la concatenazione in cui noi artificialmente li abbiamo stretti …”.

Guido Castelnuovo, 1912, intervento nella conferenza “La scuola nei suoi rapporti con
la vita e la scienza moderna”.
“… Noi vi insegnamo a diffidare dell’approssimazione, che è realtà, per adorare l’idolo di una
perfezione che è illusoria. Noi vi rappresentiamo l’universo come un edificio, le cui linee hanno
una perfezione geometrica e ci sembrano sfigurate ed annebbiate in causa del carattere
grossolano dei nostri sensi, mentre dovremmo far comprendere che le forme incerte rivelateci dai
sensi costituiscono la sola realtà accessibile, alla quale sostituiamo, per rispondere a certe
esigenze del nostro spirito, una precisione ideale … non v’è modo migliore per raggiungere lo
scopo che accostando ad ogni passo la teoria alla esperienza, la scienza alle applicazioni … le
considerazioni che ho esposte sinora in favore di una riforma del nostro insegnamento prendevano
di mira gli interessi dei giovani che aspirano alle libere professioni. Di questi soprattutto dobbiamo
tener conto, sia perché costituiscono la grande maggioranza delle nostre scolaresche, sia perché su
di essi deve fare affidamento il paese nel suo progressivo sviluppo. … Se noi non teniamo conto di
queste esigenze, se noi per amore della cultura soffochiamo in questi discepoli il senso pratico e
lo spirito di iniziativa, noi manchiamo al maggiore dei nostri doveri …”.
Ancora Guido Castelnuovo, Parigi 1914, intervento alla “Conférence internazionale de
l’enseignement mathématique”.
“… Ci domandiamo talvolta se il tempo che dedichiamo alle questioni d’insegnamento non
sarebbe meglio impiegato nella ricerca scientifica. Ebbene, rispondiamo che è un dovere sociale
che ci obbliga a trattare questi problemi. Non basta in effetti produrre ricchezza (i contenuti !);
occorre anche procurare che la sua distribuzione avvenga senza ritardi e dispersioni (il problema
– metodi, strumenti, efficacia - della trasmissione dei contenuti). E non è forse la scienza una
ricchezza, ..., non dobbiamo forse facilitare ai nostri simili l’acquisizione del sapere …?”
La visione di un “logico-matematico”: Gabriele Lolli,
professore di Locica Matematica (Università di Torino, autore di numerosi
testi, anche di carattere divulgativo)
Anche per Gabriele Lolli [G. Lolli, Capire la matematica, Il Mulino, 1996] nella comprensione della
Matematica, trattandosi di un fenomeno intellettuale devono intervenire considerazioni
- sugli aspetti psicologici (nel fare matematica si pensa e si intuisce – anche la
percezione interviene oltre al pensiero);
- sugli aspetti linguistici (nel fare matematica si parla e si scrive);
- sugli aspetti pratici (la matematica si usa, quello che si ottiene si applica per
costruire oggetti, macchine, ponti, previsioni);
- oltre che sulle capacità logiche diverse da quelle linguistiche generali.
Come pure è fondamentale capire come nascono e si sviluppano le sue prime manifestazioni: ciò
dovrebbe aiutare sia l’insegnamento specifico che l’educazione generale; capire come funziona la
matematica aiuta forse anche a farla meglio. …
C’è da domandarsi con Lolli:
- Come viene imparata ai primi livelli?
- Come viene recepita anche da coloro che non la capiscono bene?
- Perché non la si riesce a insegnare bene?

Nella storia del pensiero che idea si è andata formando sulla matematica? Quali “le definizioni e le
spiegazioni che nel corso dei secoli quelli che hanno fatto, studiato e capito la matematica ci
hanno lasciato; si hanno le descrizioni più disparate e alternative” [Lolli, o.c.]. Che idea della
matematica sopravvive ancora oggi?
1. B. Pascal (1623-1662): io la giudico (la matematica) il più alto esercizio dello spirito, ma
nello stesso tempo so che essa è così inutile che faccio poca differenza tra un uomo che si
dedica solo alla matematica e un qualsiasi artigiano. Inoltre la definisco l’occupazione più
bella del mondo, ma è soltanto un’occupazione, e ho spesso detto che è bene compiere il
tentativo [di studiarla], ma senza usare per essa tutte le nostre forze: cosicché io non
muoverei un passo per la matematica, e sono sicuro che voi la pensate come me. [lettera a
Fermat].
2. B. Bolzano (1781-1848): La matematica è la scienza che tratta delle leggi generali alle quali
le cose si devono uniformare nella loro essenza.
3. C. G. Jacobi (1830): Fourier era del parere che lo scopo principale della matematica fosse
l’utilità sociale e la spiegazione dei fenomeni naturali; un filosofo come lui avrebbe dovuto
sapere che l’unico fine della scienza è l’onore dello spirito umano, e che, da questo punto di
vista, un problema relativo ai numeri ha la stessa portata di un problema che riguarda il
sistema del mondo.
4. G. Leopardi (poeta sommo ed erudito): … Perciò la matematica la quale misura quando il
piacer nostro non vuol misura, definisce e circoscrive quando il piacer nostro non vuol
confini (…), analizza quando il piacer nostro non vuole analisi né cognizione esatta della
cosa piacevole (…), la matematica, dico, dev’esser necessariamente l’opposto del piacere.
5. H. Hankel (1867): La logica e la matematica trattano le relazioni che sono, o possono
essere, indipendenti dal particolare contenuto o dalla sostanza degli oggetti.
6. B. Peirce (1809-1880): La matematica è la scienza che tira conclusioni necessarie.
7. C.S. Peirce (1839-1914): È lo studio di costruzioni ideali.
8. E. Brooks (1891): La matematica è lo strumento con cui gli ingegneri scavano le gallerie,
gettano i ponti sui fiumi, costruiscono acquedotti, erigono le fabbriche e le fanno ronzare al
suono laborioso dei torni.
9. F. Klein (1849-1925): È fondamentalmente la scienza delle cose auto-evidenti.
10. Novalis (1901): La matematica è semplicemente la dottrina della notazione di operazioni di
pensiero relativamente ordinate che sono diventate meccaniche.
11. B. Russell (1903): La matematica pura è la classe di tutte le proposizioni della forma "p
implica q", dove p e q sono proposizioni contenenti una o più variabili, le stesse nelle due
proposizioni, e né p né q contengono alcuna costante eccetto costanti logiche. [...] Oltre a
queste, la matematica adopera poi una nozione che non entra come costituente nelle
proposizioni da essa considerate, e precisamente la nozione di verità.
12. J.J. Sylvester (1909): La matematica pura ha come oggetto il dispiegamento delle leggi
dell’intelligenza umana.
13. E.W. Hobson (1910) – J. Herbart (1890): La matematica raccoglie tutti i concetti elaborati
per la comprensione delle forme.
14. G.D. Fitch (1910): La matematica è una collezione di teorie ipotetico deduttive, ciascuna
formata da un sistema di concetti primitivi, non definiti, e di assunzioni non dimostrate, ma
coerenti, insieme alle loro conseguenze deducibili logicamente con un processo rigidamente
deduttivo, senza appello alla intuizione.
15. R. Courant e H. Bobbins (1941): Come espressione della mente umana, la matematica
riflette la volontà attiva, la ragione contemplativa e il desiderio di perfezione estetica. I suoi
elementi fondamentali sono la logica e l'intuizione, l'analisi e la costruzione, la generalità e
l'individualità.

16. E. Schrodinger (fisico, 1944): Quando un argomento è troppo complicato non è accessibile
alla matematica.
17. C. J. Keyser (1947): Il matematico ha abbandonato la ricerca della verità e si accontenta
della correttezza, o della non contraddittorietà. Egli crede che esistano sistemi di
proposizioni non contraddittori, e considera il suo mestiere scoprire tali sistemi. Ciascuno di
essi è una branca della Matematica.
18. J. von Neumann (1963): La matematica ha una grande importanza quando si deve pensare
in un campo che non è tanto preciso, dove mette in luce una enorme flessibilità nella
formazione dei concetti.
19. L. Sinisgalli (scrittore, ingegnere): Per virtù delle matematiche penso di aver conosciuto
giorni di estasi, e quando mi capita di poter ricordare quei giorni, quelle semplici immagini,
quelle costruzioni di modelli impenetrabili alla malinconia, alle lacrime, un incanto
inesprimibile, una pena soave, una musica accorata mi quieta tutte le voglie (…).
20. A. Weil (1979): La matematica ha questa particolarità, di non essere compresa dai non
matematici. (…) Nulla è più fecondo, come tutti i matematici sanno, di quelle oscure
analogie, di quei torbidi riflessi da una teoria all’altra, di quegli accarezzamenti furtivi, di
quei disaccordi inspiegabili; nulla dà dunque più piacere al ricercatore. Arriva un giorno in
cui l’illusione si dilegua, il presentimento si muta in certezza, le teorie gemelle rivelano la
loro origine comune prima di svanire …
21. R. L. Wilder (1980): La matematica è una cultura.
22. S. MacLane (1986): La matematica non è conoscenza, è un arsenale di forme
estratte/astratte da esperienze concrete, da applicare agli aspetti formali del mondo.
23. Lipman Bers (1987): La matematica è ragionamento simbolico, che è come pensiero
inscatolato da tirar fuori all’occasione sempre pronto.
24. J. Dieudonné (1987): In matematica tutti i risultati sono veri, nel senso che sono stati
dimostrati seguendo le regole logiche che si sono ammesse; un’affermazione non dimostrata
non fa parte della matematica. Occorrono dunque altri criteri per valutare un lavoro di
matematica, ed essi non possono che essere soggettivi; ciò avvalora l’affermazione di alcuni
che la matematica è molto più un’arte che una scienza.
25. L. Russo (1996): Perché la matematica è chiamata così? I peripatetici, che dicono che la
retorica, la poesia e la musica popolare possono essere praticate anche senza essere studiate,
ma che nessuno può capire le cose che vengono chiamate con il nome di matematica senza
averle prima studiate, rispondono che per questa ragione la teoria di queste cose è detta
matematica (Anatolio). [Matema, in greco significa studio, oggetto di studio].
26. V. I. Smirnov (1999): A differenza dalle altre scienze, ciascuna delle quali si interessa di
un aspetto determinato del mondo circostante, la matematica tratta le proprietà più generali
inerenti a tutti i fenomeni accessibili alla ricerca scientifica. [...] Ogni legge della natura ci
dà una relazione fra grandezze, o più precisamente, fra numeri esprimenti queste grandezze.
Sono questi numeri e le diverse relazioni che li legano a costituire l'oggetto della ricerca
matematica, indipendentemente dal carattere concreto delle grandezze o delle leggi che ci
hanno condotto a questi numeri e relazioni.
27. P. Maroscia (1999): È importante prendere coscienza della vitalità e della ricchezza della
matematica, anche dal punto di vista culturale! Vi è un eccesso di apollineo
nell’insegnamento della matematica, a tutti i livelli, a cominciare dall’università. Il
dionisiaco può essere utile, in particolare per affrontare problemi di tipo affettivo o
metacognitivo. Largo alla sperimentazione!
28. F. Enriques, Enciclopedia Italiana: Matematica, o matematiche (dal greco insegnamento)
significa originariamente "disciplina" o "scienza razionale". Questo significato conferirono
alla parola i filosofi della scuola italica, fondata da Pitagora (prima del 500 a. C.), che pose
la scienza dei numeri a base di ogni conoscenza della natura.

29. Enciclopedia Britannica: The science of structure, order, and relation that has evolved
from elemental practices of counting, measuring, and describing the shapes of objects. It
deals with logical reasoning and quantitative calculation, and its development has involved
an increasing degree of idealization and abstraction of its subject matter.
30. La nuova enciclopedia delle scienze Garzanti (1988): Scienza avente per oggetto sistemi
ipotetico-deduttivi concernenti enti di natura non precisata in modo esplicito ma definita per
mezzo delle proprietà descritte da un sistema compatibile di assiomi.
31. Grande Enciclopedia della scienza e della tecnologia, De Agostini (1997): Insieme di
discipline scientifiche aventi in comune l'uso di un elaborato linguaggio simbolico fondato
sui concetti di numero e di figura geometrica, un metodo di ricerca basato sul modello
ipotetico-deduttivo e la possibilità di raggiungere un elevato grado di astrazione.
32. Enciclopedia Zanichelli (1997): Scienza che si avvale di metodi ipotetico-deduttivi
all'interno di un sistema derivato da un insieme coerente di assiomi per lo studio di enti (la
cui natura è teoricamente irrilevante) spec. di natura geometrica e numerica.
Le varie definizioni sono così divers e che se assunte in modo esclusivo si elidono a vicenda; e gli
studenti che diventano insegnanti non sanno a quale impianto generale riferirsi, e si basano su
quello che a loro sembra che fosse implicito nella matematica che hanno visto esporre.
Inoltre nell’insegnamento della matematica da una parte sono prevalse due impostazioni, in
comunicanti e pertanto deleterie (quella calcolistica algebrica e quella dimostrativa
geometrica, quando negli Elementi di Euclide, II libro si hanno proposizioni algebriche
dimostrate geometricamente) dall’altra si è sviluppato un malinteso senso del rigore che ha
fatto sì che fossero escluse intuizione ed esperienza.
“Quando i teoremi sono difficili bisognerebbe insegnarli inizialmente come esercizi di disegno
geometrico, finché la figura è diventata del tutto familiare; allora sarà un passo avanti piacevole
apprendere i legami logici … le dimostrazioni astratte dovrebbero rappresentare soltanto una
piccola parte dell’istruzione, e dovrebbero essere date quando, attraverso la familiarità acquisita,
esse possono essere accolte come generalizzazioni naturali di fatti visibili. In questa prima fase le
prove non dovrebbero essere fornite con esauriente pedanteria… in geometria, in luogo del noioso
apparato di ingannevoli dimostrazioni d’ovvie banalità (la parte iniziale della geometria di
Euclide, all’allievo dovrebbe essere concesso di presupporre subito la verità di tutto ciò che è
evidente, e gli si dovrebbero insegnare le dimostrazioni di teoremi al tempo stesso sorprendenti e
facilmente verificabili mediante semplici disegni …” B. Russell (in Misticismo e logica, Milano,
Longanesi 1964; opera originale 1917).
Da cosa nasce la natura oscura della matematica? Perché persiste
l’idea della trascendenza della matematica? Perché la matematica si
presenta essenzialmente come aliena rispetto alla concretezza della
vita?

Secondo Lolli [o.c] “è stato Platone il primo responsabile della fuga in avanti della matematica
verso un mondo diverso”.
Platone, nella Repubblica, libro VII:
“… la scienza della geometria è in diretta contraddizione con le espressioni usate dai suoi
adepti (…). Il loro modo di esprimersi è ridicolo (…) giacché essi parlano come stessero
facendo qualcosa e le loro parole fossero dirette verso azioni (…). (Parlano) di quadrare e
applicare e aggiungere e simili (…) mentre in verità l’oggetto reale dell’intero soggetto è (…)
la conoscenza (…) di quello che esiste in eterno, e non di qualcosa che viene in essere in un
certo tempo e poi cessa di essere”.
Un ostacolo insormontabile alla comprensione della matematica è costituito dal linguaggio,
con il suo rigido formalismo, l’eccessiva astrazione e la questione delle definizioni
matematiche; nel definire, nel domandarsi che cos’è un particolare ente matematico “non è
chiaro se domanda e risposta siano matematica o metafisica, se sia necessario rispondere per
fare matematica, e se ci sia in matematica una risposta (definizione) che però non è ritenuta
soddisfacente o completa, o se la matematica possa fare a meno di una risposta” [Lolli, o.c].
Il linguaggio matematico è estraniato da quello naturale e isolato in modo autosufficiente,
chiuso, indipendente: da qui inevitabilmente nascono problemi per spiegare l’utilizzazione
effettiva e le applicazioni della matematica; per esorcizzare la natura oscura della matematica
bisogna capire come essa, e i linguaggi formali in genere, emergano e vengano isolati sì, ma
nello stesso tempo coordinati con continuità e utilizzati all’interno del normale discorso che si
svolge nel linguaggio naturale.
Jean Dieudonné [L’arte dei numeri, 1987]: “Gli oggetti di cui si occupano i matematici hanno gli
stessi nomi di quelli che sono coinvolti nel calcolo pratico. Ma dall’epoca di Platone, i matematici
sono coscienti del fatto che pur usando questi nomi, essi ragionano su enti del tutto diversi, enti
immateriali, ottenuti per astrazione a partire da oggetti accessibili ai nostri sensi, ma che di quelli
non sono che immagini”.
Ancora Platone [La Repubblica, libro VI]: “ (i matematici) si servono e discorrono di figure
visibili, ma non pensando a queste, sì invece a quelle di cui queste sono copia (…) per cercare di
vedere quelle cose in sé che non si possono vedere se non con il pensiero”.
Come pure Aristotele nella Metafisica: “le indagini dei matematici si riferiscono alle cose cui
pervengono per astrazione perché essi le studiano dopo avere eliminato tutte le qualità sensibili
come il peso, la leggerezza, la durezza, ecc., conservando soltanto la quantità e la continuità”.
Matematica: spiegare, dimostrare, vedere, capire; logica o
intuizione?
Ogni disciplina si basa su un’idea di spiegazione (ed è più o meno esplicitamente codificato che
cosa si debba intendere per spiegazione, e quindi quando un nuovo contributo debba essere
accettato, e come e in che senso aiuti nella comprensione del dominio che si vuole studiare).
La matematica è in un certo senso essa stessa spiegazione nelle altre discipline, o almeno è utile se
non essenziale nelle altre discipline nella loro ricerca di spiegazioni.
Tutto questo si esprime anche come una ricerca di modelli esplicativi, di strutture: se si individua
una struttura matematica nota si può pensare alla possibilità di applicare risultati e tecniche
collaudati; talvolta si matematizza in modo originale, cioè il fatto di cogliere una struttura porta
allo stesso tempo alla sua inevitabile formulazione matematica.

In matematica spiegare è inteso come dimostrare - la dimostrazione consiste nel ricondurre una tesi
ad altre affermazioni, da cui quella che interessa segue logicamente: ecco la logica nel cuore della
matematica. Un prodotto della matematica è un teorema, e un teorema non è tale se non stabilisce
la relazione di conseguenza logica tra due formule, ipotesi (l’assunto iniziale) e tesi.
La dimostrazione è aiutata dalla scomposizione in piccoli passi, grazie alla quale nella maggior
parte dei casi si riduce ad un problema di percezione visiva (applicazione di regole) soggetto a
errori e a difficoltà di applicazione (si deve riconoscere una forma).
Nella visione di Descartes la scomposizione in piccoli passi (ciascuno di sicura affidabilità e
con l’esposizione di idee chiare e distinte, pertanto garanzia di rigore) non attiene alla logica,
ma all’intuizione, che è, appunto, secondo Descartes, la fonte della certezza. Non c’è una
forma limite di dettaglio da cui si vede la sussistenza della relazione logica, anzi spesso
l’eccessivo dettaglio impedisce di vederla; l’eccessiva scomposizione è nemica della
visualizzabilità perché si scarica sulla lunghezza.
La matematica è quindi anche capacità di visualizzare, cogliere, intuire, riconoscere forme, anzi
questa è condizione essenziale per fare matematica: si pensi alla visualizzazione geometrica.
(Solomon Lefschetz concepiva la matematica non come logica, ma come figure e riteneva che per
essere un matematico uno deve essere nato con la capacità di visualizzare).
La matematica è anche capacità di verifica, di controllo, è ricorrere all’esperienza, “è capacità
di allargare la nostra visione in modo da comprendere una specie di storia di tutti i casi in cui la
nostra comprensione ci ha ingannati, confrontati con quelli in cui la sua testimonianza è stata
giusta e vera … ogni conoscenza degenera in probabilità; e questa probabilità è maggiore o
minore a seconda della nostra comprensione, e a seconda della semplicità o complicazione del
problema …” [D. Hume, A Treatise of Human, 1739-1740, in Lolli, o.c.]
In definitiva capire, spiegare consistono nel vedere e far vedere;
con il ricorso all’etimologia si ottiene:
Dimostrare (dal greco) → far vedere
Teorema (dal greco) → spettacolo
Vedere (in quasi tutte le lingue) → capire: hai visto la conclusione?
Sia nell’evoluzione del pensiero matematico, sia nella crescita cognitiva di ognuno di noi,
inizialmente si vede (o si impara a vedere) una figura, o un completamento di figura, poi si impara
a vedere una struttura astratta e a riconoscere l’isomorfismo che c’è tra strutture.
I numeri (entità astratte) hanno avuto all’inizio (matematici greci) rappresentazioni visibili con lo
gnomone (e ancor prima – società primitive - per loro si usava il linguaggio naturale e una
rappresentazione attraverso oggetti fisici, si trattava di una matematica incorporata nella
quotidianità); le rappresentazioni successive non li hanno più fatti vedere come prima, dopo
l’interesse si è spostato su altre cose, interessava far vedere una struttura di raggruppamento; non
interessava più vedere numeri, ma algoritmi.
Per altri concetti non è possibile proporre una rappresentazione fisica: si è sviluppata allora una
intuizione geometrica generalizzata, l’intuizione insiemistica.
La visione, il riconoscimento di una struttura sono solo il primo passo, non semplice, della
comprensione.

Naturalmente la capacità di visualizzare, il saper vedere (quello che non c’è) presuppongono
operazioni attive, comportano anche il fare, un atteggiamento creativo, intuitivo, anche qui nel
senso etimologico: dal latino intuere, guardare attentamente.
In matematica per vedere (quello che non c’è, quello che non è immediato) occorre aggiungere:
elementi della stessa natura (un segmento ad una figura geometrica); oppure occorre cogliere
un’altra struttura, che aiuti a vedere la conclusione (si pensi alle costruzioni dell’algebra geometrica
degli antichi greci, ovvero dimostrazioni geometriche di fatti aritmetici; anche se in origine non si
trattava di esempi di spostamenti concettuali, ma erano dimostrazioni imposte dalla natura spaziale
del numero: numeri piani, cubici).
In ultima analisi il fare matematica è un’esperienza complessa e come in ogni atto di
conoscenza umana intervengono tutte le capacità e facoltà umane, logiche, intuitive,
descrittive, sperimentali. (Basterebbe ricordare che gli assiomi non si dimostrano per vedere che
in matematica non c’è solo deduzione).
Per dirla con il matematico J. Warren “I matematici usano l’intuizione, la congettura e la
supposizione”, purtroppo conclude il nostro autore “tranne quando insegnano”.
E gli strumenti e le qualità cui fa cenno Warren andrebbero utilizzati nell’insegnamento e
presentati agli studenti come un arricchimento per consentire all’individuo muove forme di
conoscenza e comprendere appieno la natura, la forza, la ricchezza culturale (in senso lato)
della matematica.
Comunque negli ultimi anni alla luce della complessità, molteplicità, versatilità, dei significati
e delle applicazioni della matematica le indicazioni provenienti da più parti (commissioni
ministeriali, insegnanti, ecc.) hanno spinto per una revisione dei contenuti, delle finalità e delle
metodologie.
In particolare, sono state chiaramente indicate due direzioni da seguire contemporaneamente:
• utilizzo della matematica come strumento per modellizzare il mondo e le attività dell'uomo
• studio della matematica come costruzione logica indipendente dalle sue applicazioni.
I due aspetti sono fondamentali e influenzano la finalità principale dell'insegnamento e cioè:
Lo studio della matematica in particolare:
• promuove le facoltà sia intuitive che logiche;
• educa ai procedimenti euristici, ma anche ai processi di astrazione e di formazione dei concetti;
• esercita a ragionare induttivamente e deduttivamente;
• sviluppa le attitudini sia analitiche che sintetiche.
• la consapevolezza degli aspetti culturali e tecnologici emergenti dei nuovi mezzi informatici;
• l'interesse per il rilievo storico di alcuni importanti eventi nello sviluppo del pensiero matematico
• l'abitudine alla precisione di linguaggio;
• la capacità di ragionamento coerente ed argomentato

"Non ci si può illudere di poter partire dalla disciplina già confezionata, cioè da teorie e da
concetti già elaborati e scritti, senza prendersi cura dei processi costruttivi che li riguardano. E'
invece importante partire da situazioni didattiche che favoriscano l'insorgere di problemi
matematizzabili, la pratica di procedimenti euristici per risolverli, la genesi dei concetti e delle
teorie, l'approccio a sistemi assiomatici e formali. Le fonti naturali di queste situazioni sono il
mondo reale, la stessa matematica e tutte le altre scienze.
Il problema didattico centrale che si pone al docente nell'attuazione dei programmi risiede nella
scelta di situazioni particolarmente idonee a far insorgere in modo naturale congetture, ipotesi,
problemi."
"Nel corso delle verifiche scritte è giustificato l'uso degli stessi sussidi didattici utilizzati
nell'attività di insegnamento-apprendimento (calcolatori tascabili, strumenti da disegno, e, se
ritenuto opportuno, manuali e testi scolastici)." Dalle Indicazioni metodologiche dei programmi
Brocca
L'indicazione metodologica più importante è quindi quella di "calare" i metodi matematici nel
mondo reale, senza comunque trascurare l'aspetto formale.
Sono particolarmente utili le tecniche del "problem solving" e cioè partire da situazioni
problematiche concrete e facilmente intuibili dallo studente per arrivare all'individuazione e
definizione dello strumento matematico utilizzabile per la risoluzione del problema. Le situazioni
problematiche devono essere comprensibili e controllabili dagli studenti. L'obiettivo è quello di
portare gli studenti alla costruzione di definizioni, enunciati e congetture da inquadrare
successivamente da parte dell'insegnante in una teoria. La funzione dell'insegnante non è più quella
di spiegare la disciplina vista come una costruzione statica, ma l'insegnante diventa il tutor degli
studenti. Si passa dalla comunicazione unidirezionale al dialogo, alla creazione di situazioni
didattiche, da un percorso lineare ad un percorso a rete. La lezione non è più preconfezionata, ma
può prendere diverse direzioni. L'insegnante stimola gli studenti con un problema e
successivamente osserva e interagisce con loro; gli input non possono essere prestabiliti ma sono
funzione delle risposte degli studenti. Questo non significa che le lezioni non debbano essere
preparate, anzi richiedono un lavoro di progettazione lungo e meticoloso.
I programmi tradizionali erano basati soprattutto sull'algebra e sulla geometria e una grossa parte
del biennio era dedicata all'apprendimento di tecniche di calcolo, i "compiti in classe" prevedevano
il calcolo di espressioni o risoluzione di equazioni magari di una certa complessità.

Le nuove indicazioni invitano a "non ricorrere ad espressioni troppo complesse" dal punto di vista
del calcolo. Il computer è ormai presente in tutti gli ambienti professionali, i bisogni formativi sono
cambiati, i calcoli sono automatizzabili, gli obiettivi dell'insegnamento della matematica sono stati
quindi giustamente aggiornati. Diventa sempre meno importante saper "far di conto", obiettivo
classico della matematica, e sempre più importante saper analizzare e schematizzare problemi. Gli
studenti devono essere abituati a capire come un modello risolve un particolare problema. Il
modello nel passato era soprattutto basato sul continuo e per la risoluzione erano necessarie le
tecniche di calcolo algebrico oppure le tecniche dell'analisi infinitesimale.
Oggi i modelli sono soprattutto discreti, diventano molto importanti l'analisi numerica, la statistica,
la probabilità e soprattutto l'informatica.
Riferimenti bibliografici:
- Emma Castelnuovo, “Didattica della matematica”, La Nuova Italia, 1963
- Gabriele Lolli, “Capire la matematica”, Il Mulino, 1996
- Jean Dieudonné, “L’arte dei numeri, matematica e matematici”, Mondatori,
1987

Tutto quello che ho letto sulla matematica e
sul suo insegnamento……….ma anche pillole di
saggezza, ironia, interviste e storie.
Ritornello studentesco
Vivere senza la matematica
Vivere senza quell’antipatica
Vivere senza malinconia
e senza algebra e geometria.
Solo con fatica,
perseveranza e pazienza
scoprirete: Che cos’è la
matematica.
1

Tanti numeri
Italo Di Feo
Prefazione
In questi ricordi sono riportate definizioni lette nel corso di quaranta anni
d’insegnamento, osservazioni sulla matematica, sul suo insegnamento e
sulla sua storia, talvolta vere pillole di saggezza; in esse con malizia ho
introdotto le leggi di Murphy spesso adattate alla matematica (sono
indicate con il segno^). L’autore di queste “leggi” è Artur Bloch, ex
assistente di autolavaggio, ex raccoglitore di uova, ex suonatore di basso e
ex compilatore di almanacchi e prontuari. Molte affermazioni, inoltre,
sono tratte da libri che trattano di matematica (tante da “il matematico
francese” di Tom Petsinis sulla vita di Galois o da “L’algoritmo del
parcheggio di Furio Honsell). Ci saranno anche degli inserti che
tratteranno argomenti matematici quali la storia della moltiplicazione, i
fogli A….. Ho riportato anche qualche detto tratto da fumetti (tra gli altri
Linus), le belle definizioni di Romarin, giornalista satirico (indicate con la
R.), l’ironia di Benigni e di Mark Twain o di “Cuore”, qualche splendida
striscia di Reg Smythe o altro, soprattutto per spezzare una lettura che
potrebbe rivelarsi eccessivamente difficile o monotona; raccomando ai
miei pochissimi lettori di avere pazienza e di dedicare al testo brevi periodi
di lettura al giorno. Perché questo miscuglio di sacro e profano? In verità
sono stato colpito dalle considerazioni di Furio Honsell, magnifico rettore
dell’università di Udine, laureato in matematica e noto per essere stato
ospite a numerose puntate della trasmissione Che tempo fa in onda su Rai
Tre. Honsell nel libro L’algoritmo del parcheggio dice che “Afferrare
una dimostrazione matematica o una battuta di spirito provoca
esperienze simili. L’ironia è uno strumento potente per osservare la realtà.
E’ una combinazione di distacco e di gusto del paradosso. E queste sono
doti importanti per uno scienziato perché gli permettono di non essere
facile preda di errori o pregiudizi…..L’ironia va espressa con garbo, con
discrezione, usando la formula del sottinteso, perché è la voce che invita al
dialogo critico. La verità scientifica, infatti, non trionfa attraverso la
prepotenza! Non deve essere soltanto l’ironia ad accompagnarci. Deve
essere soprattutto l’autoironia. ..
2

Insomma bisogna ragionare divertendosi o divertirsi ragionando”. Forse
alla fine di queste pagine si avrà qualche idea in più su che cos’è la
matematica; è forse questa la ragione per cui ho voluto riportare e integrare
i miei molti appunti: la preoccupazione per una domanda che
fortunatamente i miei alunni non mi hanno mai rivolto Che cos’è la
matematica?
Le definizioni o le osservazioni non sono raggruppate per argomento; il
disordine nella disposizione è deliberato per evitare di trovarsi una dopo
l’altra 40 definizioni sulla matematica o 20 sul modo d’insegnarla ecc..
Alcuni aforismi e citazioni sulla matematica sono tratti da un sito a cura di
Gabriele Martufi.
Definizioni e aforismi sono circa 600 alternati con 120 ca. relazioni
numeriche, 54 leggi di Murphy, 150 ca. altre osservazioni di vita
quotidiana e 16 inserti di argomenti matematici
Attenzione le operazioni riportate sono esatte.
Italo Di Feo
3

Tutto quello che ho letto sulla matematica, e altro, e numeri e………..
1+1=10
Se desideriamo capire la natura dell’universo abbiamo un ulteriore
vantaggio nascosto: noi stessi siamo piccoli pezzi dell’universo e così
portiamo dentro di noi la risposta.
Jacques Boivin
LEGGE DI MURPHY
Se qualcosa può andar male lo farà.
Se l’uomo non sapesse di matematica non si eleverebbe di un sol palmo
da terra.
Della matematica:
La storia della matematica “sebbene in maniera
spesso ottusa e errata” ci aiuta a capire il presente e
ci fa cogliere sia la pericolosità e l’ambiguità sia la
straordinaria bellezza e utilità della scienza.
Paola Covoni
I computer sono inutili. Vi possono dare soltanto delle risposte.
Pablo Picasso
Negli ultimi anni è stata superata la concezione
idealistica della teoria della scienza come
pseudoconoscenza, come attività pratica senza vera
storia; per anni l’insegnamento scientifico è
stato ritenuto tecnica senza pensiero e senza
storia.
Il mondo è una rosa.
Annusala e passala ad un amico. Fernandez 78
4

L’uomo che comincia con certezza finisce nel
dubbio, ma colui che comincia nel dubbio finisce
con certezza. Francis Bacon (Bacone 1561-1626)
Se una persona si sente vagabondo, che studi
matematica. Francis Bacon
Trascurare la matematica è un’offesa al sapere,
poiché chi la ignora non può conoscere le altre
scienze o le cose del mondo.
Roger Bacon (1214-1294)
La matematica è la porta e la chiave delle
scienze. Roger Bacon
La matematica è stata ed è uno strumento
insostituibile di formazione al rigore ed al
ragionamento, sviluppando l’intuito e lo spirito critico;
è una lingua internazionale e un caposaldo della
cultura che ha un ruolo importante per l’interazione
con le altre scienze.
1+2=10
Terzo corollario alla legge di Murphy
Se c’è una possibilità che varie cose vadano male, quella che causa il
danno maggiore sarà la prima a farlo. ^
Un concetto scientifico non si può compiutamente descrivere mediante
una definizione; esso contiene in sé i problemi per la cui risoluzione fu
inventato e utilizzato; anzi, esso contiene in sé la sua storia “Bachelard”
L’uso di un linguaggio è risultato indispensabile per la nascita di un
pensiero matematico astratto ma sicuramente esso nacque molto tempo
dopo che erano noti segni numerici (incisioni).
5

Pensiero greco: Pitagora ? le entità matematiche, numeri e figure
geometriche, sono astrazioni, idee ospitate dalla mente e nettamente
distinte dagli oggetti.
Pitagorici : “Tutto è numero”
La matematica: formule, teoremi e dimostrazioni che spesso
l’insegnante “atemporale” pone sulla lavagna come se nessuno li avesse
creati, come se fossero sempre esistiti, come le montagne e i fiumi,
sebbene anche le montagne e i fiumi non sono lì da sempre. E alla fine
per lo studente i teoremi avranno un’aria “atemporale” ancor più delle
montagne, dei fiumi e dei professori.
La Matematica non ha dunque né storia né geografia né geologia?
La piramide di Cheope voleva dimostrare tutta la piccolezza e meschinità
degli esseri umani, piccolissimi di fronte alla divinità. Ma l’avevano eretta
gli uomini; se Talete o altri hanno misurata la sua altezza con un bastone,
non è forse grande il pensiero dell’uomo che sfrutta l’Helios dei Greci o il
Ra degli Egiziani per rendere ciò che è immenso piccolo, per misurare
l’inaccessibile con l’accessibile o il lontano con il vicino?...La
matematica non è che uno stratagemma dello spirito.
Se la religione è definita come un sistema di idee che contiene enunciati
indimostrabili, allora Gödel ci ha insegnato che la matematica è una
religione.
John Barrow fisico-matematico contemporaneo
Osservazione su un corollario di Murphy
Niente va così male nella risoluzione di un problema difficile che non
possa andar peggio.
2+3=11
Con la scuola platonica si ha la certezza che i concetti della matematica
sono astrazioni; Platone dice che i numeri e i concetti geometrici non
hanno nulla di materiale, hanno una realtà loro propria e sono indipendenti
dall’esperienza, Ibid libro I “E non sai che sebbene essi (i matematici
che trattano di geometria) facciano uso delle forme visibili e vi ragionino
intorno, non è a esse che pensano ma alle idee a cui assomigliano”.
6

Avendo insegnato fisica per anni a studenti di facoltà non
scientifiche, notavo in molti di essi, pur essendo abbastanza
intelligenti, paura per la matematica. Si laureavano senza aver
compreso i numeri, l’aritmetica e l’algebra elementare. La crisi
finanziaria che si è abbattuta su di noi potrebbe essere dipesa anche
dalla diffusa mancanza di cognizioni matematiche in chi si occupa
di denaro; mi riferisco a banchieri, finanzieri, politici e anche
comuni cittadini. Forse le cose sarebbero andate diversamente se
avessero partecipato a un festival di matematica. Sheldon
Glashow Nobel per la fisica
Il metodo deduttivo per i Greci diventerà dal 350 a.C. lo
strumento per la ricerca della verità. Anche gli assiomi
dovevano essere delle verità e quindi introdussero enunciati
autoevidenti. Il metodo deduttivo è un metodo di ricerca
puramente razionale, mediante il quale da verità
immediatamente evidenti se ne ricavano altre più complesse
e meno evidenti. Il fatto che il metodo deduttivo sostituisce
quello sperimentale delle altre scienze pone il problema
della natura speciale degli enti matematici. Per i Greci gli
oggetti della matematica (numeri, grandezze, figure
geometriche) hanno un campo di esistenza loro proprio, al
quale l’intelligenza umana accede direttamente, senza
passare attraverso l’esperienza sensibile. Kline ed altri
3+4=12 1+4=10
E’ la perenne giovinezza della matematica in sé che la fa spuntare, in una
sconcertante immortalità, sulle altre scienze.
Eric Temple Bell (1883-1960)
Per tutta la mia carriera la matematica è stato uno strumento essenziale,
ma anche bello e divertente. Spesso trovavo difficile distinguere il lavoro
dal gioco.
Sheldon Glashow, premio Nobel per la fisica. \
L’oro è il sangue marcio del mondo. Fernandez
7

Da giovane avevo una forte passione per un aspetto dello
studio della matematica: dedicavo molto tempo alla
risoluzione di problemi, quasi come se fosse una sfida tra me
ed il quesito proposto. Ho insegnato matematica e fisica per
più di quaranta anni, sempre con entusiasmo giovanile e con
la consapevolezza di non fare un lavoro ma un piacevole
gioco. Con gli anni ho pensato che spiegare solo teoremi o
insegnare tecniche risolutive era riduttivo e non faceva
cogliere agli allievi lo scopo di questa disciplina (forse il
matematico non ha uno scopo nelle sue scoperte ma si
diverte e non si preoccupa delle possibili applicazioni). Sono
stato affascinato dalla teoria dei numeri e dalla storia della
matematica: niente nasce all’improvviso ma da un lento
sviluppo. Tutto mi è sempre apparso semplice e devo anche
ringraziare centinaia di studenti che per molti anni mi
hanno “adottato” e sopportato; qualcuno chiamava
“diavolerie” le curiosità matematiche che proponevo. Mi
hanno dato tanto amore molto di più di quel poco che
ricevevano; in pensione mi mancano e quello che scopro
resta confinato nella mia mente o riferito a qualche paziente
collega. Sono ancora tanto ignorante e mi manca il tempo
per riempire gli enormi
buchi delle mie conoscenze matematiche. Però, tutto
sommato, mi sono divertito tanto nel fare quello che mi
piaceva, che rifarei nella seconda, terza …vita.
Italo Di Feo
Un matematico, come un pittore o un poeta, apre dei sentieri. Se i suoi
durano più dei loro, è perché sono fatti con le idee. G. H.
Hardy
4+5=13
Platone: “Dio geometrizza”
Jacobi: “Dio aritmizza”
Kronecker: “Dio creò i numeri naturali, tutto il resto è
opera degli uomini”
Novalis: “La vita di Dio è matematica; i divini
ambasciatori devono essere dei matematici. La
8

matematica pura è una religione. I matematici sono gli
unici unti dal Signore”
Paul Erdos “Quando vedo una bella dimostrazione dico che viene
direttamente dal Libro… Dio possiede un libro transfinito, che contiene
tutti i teoremi e le loro migliori dimostrazioni, e se è ben intenzionato nei
loro confronti (i matematici), mostra loro il Libro per un momento. Potrai
anche non credere in Dio, ma devi credere che il Libro esiste.”
Legge di Evans e Bjorn
Qualunque cosa vada male, c’è sempre qualcuno che l’aveva detto e che
cerca di dirvi quello che è capitato a lui. ^
Non vi è alcuna incompatibilità tra il poetico e l’esatto. Il numero è
nell’arte come nella scienza. L’algebra è nell’astronomia e l’astronomia
confina con la poesia. L’anima dell’uomo ha tre chiavi che aprono tutto:
la cifra, la lettera, la nota. Sapere, pensare, sognare. Victor Hugo
La matematica è la scienza di ciò che è chiaro in sé. C. Jacobi(1804-1851)
L’unione del matematico con il poeta, del fervore con la misura, della
passione con la correttezza, questo è sicuramente l’ideale.
William James (1842-1910)
Legge di Scott
Qualunque cosa vada male durante una lezione, avrà probabilmente l’aria
di andar benissimo. ^
Le strutture del matematico, come quelle dei pittori e dei poeti, devono
essere belle; le idee, come i colori e le parole, devono stare insieme in
modo armonioso. La bellezza è la prima prova: non esiste un posto
permanente nel mondo per la matematica brutta. G. H. Hardy
Imperitura potenza delle verità matematiche, verità che costituiscono la
fedele trama delle vedute eterne e l’unica luce inestinguibile che ha
illuminato e che illumina il nostro divenire. E. Bell
9

Aaron Levenstein: “ La statistica è come un bikini. Quello che rivela è
davvero suggestivo, quello che nasconde è vitale”
Jean Cocteau: “ Dobbiamo credere nella fortuna altrimenti come ci
spiegheremmo il successo di quelli che non amiamo”
Samuel Butler: “ La vita è l’arte di trarre conclusioni sostanziose da scarse
premesse”.
Antico proverbio cinese: Tirare a indovinare costa poco, tirare a
indovinare e sbagliare costa molto caro.”
Russel Lewis: “Dammi una moneta, Giulio” disse un mendicante al
ministro del Tesoro “Non mangio da due giorni” “Ah” disse il ministro “e
come andava lo stesso periodo l’anno scorso?”.
Mark Twain: “ Ci sono tre tipi di bugie: le bugie, le menzogne e le
statistiche”.
George Canning: “ Posso provare con le statistiche qualsiasi cosa tranne la
verità”.
Andrew Lang: “ Noi usiamo le statistiche come un ubriaco usa i lampioni,
come sostegno piuttosto che come fonte di luce”.
5+6=14
Il fascino estetico della matematica è cosa per “quei” pochi su cui essa
esercita un’attrazione gelidamente impersonale. L. Hogben
La Matematica non possiede soltanto verità, ma anche la suprema
bellezza -una bellezza fredda e austera, come quella di una scultura,
che non fa alcun appello alle parti più deboli della nostra natura,
senza le belle trappole della musica o della pittura, ma è invece
ancora pura e sublime, capace di una severa perfezione quale solo la
grande arte può mostrare. Bertrand Russel (1872-1970)
10

La sorte non regala, presta soltanto. -
Le formule algebriche, liberate dal testo che li
accompagna, assomigliano ai versi di una poesia,
come se, senza monotone o prolisse spiegazioni, si
rivelasse improvvisamente un linguaggio più intenso,
pura melodia senza recitativo”. Jonathan Golden
La cosa più difficile da comprendere dell’universo è il fatto stesso
che noi possiamo comprenderlo. A. Einstein (1879-1955)
Non esiste scienza che non si sia sviluppata a partire
dall’osservazione dei fenomeni, ma per poter trarre il massimo
giovamento da queste conoscenze è indispensabile essere un
matematico. Daniel Bernoulli (1700-1782)
Si sostiene che l’arte non ha niente a che fare con la matematica,
che questa ultima costituisce una materia arida, non artistica, un
campo puramente intellettuale e di conseguenza estraneo all’arte.
Nessuna di queste due argomentazioni è accettabile perché l’arte
ha bisogno del sentimento e del pensiero che permette di ordinare i
valori emozionali perché da essi possa uscire l’opera d’arte.
Max Bill (1908-1994)
1+6=10
INSERTO I
La storia della moltiplicazione
I Babilonesi
Nella matematica moderna le operazioni elementari sono definite
come leggi di composizione che fanno corrispondere a ogni coppia
di elementi di un insieme uno ed un solo elemento dello stesso
insieme. Per esempio nell’insieme dei numeri naturali l’addizione
fa corrispondere alla coppia (3;5) il numero 8, la moltiplicazione fa
corrispondere il numero 15. Questo modo di concepire le
11

operazioni è frutto dell’evoluzione di concetti che hanno subito un
lento processo di astrazione. Le operazioni matematiche, in effetti,
sono nate per soddisfare l’esigenza primaria di contare e
l’addizione è stata la prima; più tardi si è compreso che 5+5+5+5
(addendi tutti uguali) poteva diventare una nuova operazione: la
moltiplicazione indicata con il segno x (più tardi ) 4x5.
Il modo di effettuare tale operazione attualmente è un’evoluzione
di vari modi sviluppatisi nel corso dei secoli e che quasi sempre
hanno sfruttato la proprietà distributiva.
Noi eseguiamo 35x22 prima dissociando 22 in 20+2
35x (20+2)= 35x20 + 35x2 (prop. distr.)= 700+70=770
Schema 35x22
70 (35x2)
70 = (35x20)
770
I Sumeri che occuparono circa 5.000 anni fa la Mesopotania
meridionale, crearono il primo alfabeto e quindi la prima lingua
(prima scrittura), il primo Stato sovrano, il primo sistema
bicamerale e un sistema numerico posizionale intorno al 3.000 a. C.
Tra il 2400-2200 a.C. elaborarono tabelle per la moltiplicazione, la
divisione e altre operazioni. La civiltà sumerica continuò nella
regione anche quando prima popolazioni locali (Accadici fusi con
Sumeri-primo impero) e poi invasori occuparono l’attuale Iraq e si
a
può dire che il suo ciclo termina verso il 300 a.C. con la dinastia dei
Seleucidi, così chiamata da Seleuco, uno dei generali di Alessandro
Magno. Le fonti di questa civiltà sono enormi: esistono circa 500.000
tavolette di argilla, con iscrizioni, ben conservate (moltissime negli
Stati Uniti) di cui varie parlano di matematica (fonte principale) ma
anche testimonianze greche nel momento in cui le due civiltà si
fusero. Tale civiltà è nota come civiltà babilonese dalla città
principale del primo impero, Babilonia.
12

Non si sa perché usarono un sistema sessagesimale anziché uno più
naturale a base 10. Teone di Alessandria, nel IV secolo d.C., ipotizzò
che la base 60 era utile per il calcolo dal momento che 60 è
divisibile per 2, 3, 4, 5, 6, 10, 15, 20, 30 e questo permetteva di
rappresentare le frazioni con numeri interi. Essendo il loro sistema
numerico posizionale, le comuni operazioni con i numeri babilonesi
seguivano le stesse procedure dell’aritmetica moderna.
b
13

La matematica dei Babilonesi ebbe grande importanza per gli sviluppi di
una civiltà organizzata. Solo una storia eurocentrica ha attribuito poco
spazio alle loro scoperte. Si dice che la loro matematica era uno strumento
pratico e non una ricerca intellettuale ma questa è una critica di un
atteggiamento, spesso attribuito ai Greci, secondo cui la matematica non
dovrebbe avere scopi utilitaristici. Questa distinzione pervade tutto il
pensiero greco che distingue l’arithmetica, studio dei numeri puri dalla
logistica, uso dei numeri per scopi pratici (compito degli schiavi).
Il viaggio attraverso le moltiplicazioni continua……..
“Lo sai anche tu: una casa, una vera casa di pietra o di mattoni,
è come una tomba. Si può anche vivere qualche volta sotto una
tenda: ma la cosa migliore per noi è dormire sotto il cielo e
guardare le stelle negli occhi”.
Proverbio tuareg
Italo Di Feo
14

Osservazione di Mae West
Errare nel risolvere un problema è umano, ma dire agli alunni che il
risultato è sbagliato ti fa sentire da Dio. ^
I concetti matematici che richiedono grande arguzia sono anche
belli.
Wigner, premio Nobel per la fisica
Noi non diamo leggi all’intelletto né assegniamo leggi alle cose in
base al nostro giudizio, piuttosto raccogliamo e descriviamo come
degli scriba pieni di fede quelle leggi che sono nate nella voce della
natura e sono da questa stessa proclamate”
G. Cantor (1845-1918)
6+7=15
No! I matematici non possono decidere di creare arbitrariamente
qualcosa. Sono paragonabili ai geografi, possono soltanto scoprire
ciò che già esiste e assegnargli un nome.
G. Frege (1848-1925)
Credo che i numeri e le funzioni non siano un prodotto arbitrario
delle nostre menti, ma piuttosto che esistono al di fuori di noi con lo
stesso carattere di necessità che hanno gli oggetti di una realtà
oggettiva. Noi ci limitiamo a cercare, scoprire e studiare. Come
esiste un mondo delle realtà fisiche, ne esiste un altro dove le verità
matematiche sono contenute e al quale non abbiamo accesso se
non attraverso l’intelligenza. C. Hermite (1822-1901)
In tempi duri è difficile ritirarsi nell’ombra. Stanislaw J. Lec
L’immaginazione è sorprendentemente presente nel mondo
matematico…..c’era molta più immaginazione nella testa di
Archimede di quanta ve ne fosse in quella di Omero.
Voltaire (pseudonimo di F. M. Arouet 1694-1778)
15

“Sai per essere un matematico non aveva abbastanza
immaginazione; ma ora è diventato poeta e se la cava abbastanza
bene”
D. Hilbert nei riguardi di un suo ex-allievo.
Io so che nulla so ed è tutto quel che so
7+8=16
Socrate
Mai l’intelletto mio si distaccò dalla scienza, pochi segreti ci
sono che ancor non mi son disvelati e notte e giorno ho
pensato per lunghi settantadue anni, e l’unica cosa che seppi
è che mai nulla ho saputo. Omar al-
Khayyam
Tutte le immagini che la scienza ora dipinge della natura e
che sembrano capaci di accordarsi con i fatti osservabili, sono
immagini matematiche…Dalla prova intrinseca della sua
creazione, il grande architetto dell’universo ora comincia ad
apparire come un matematico puro.
James Jeans (1877-
1946)
“Hai mai osservato come quelli che per natura sono idonei ai computi,
siano pronti ed acuti in quasi tutte le discipline e che i tardi, qualora in
questa disciplina vengono educati, anche se non ne traggono vantaggio,
tuttavia guadagnano tutti in acume e fanno progresso”
Platone
Con l’aiuto dei santi saggi io raccolgo dall’immenso oceano della scienza
dei numeri una parte della sua essenza così come le gemme traggonsi dal
mare, l’oro dal macigno, la perla dalla conchiglia dell’ostrica
Maharaviracarya
16

Nessuna umana investigatione si può dimandare vera scienza,
s’essa non passa per le matematiche dimostrazioni.
Leonardo da Vinci (1452-1519)
Osservazione di Zenone
L’altra coda va più veloce. ^
Variazione di O’Brien
Se si cambia coda, quella che si è appena lasciata diventerà
immediatamente la più veloce. ^
L’amore di una donna per due individui non turba la pace
coniugale, purché lei non si faccia sorprendere dal marito in
flagrante adulterio (proprietà commutativa)
2+4=11
L’amore di una donna per il marito non cambia quando ella
ad un amante ne sostituisce un altro (proprietà associativa).
Dovendo sottrarre la moglie ad un amico, si scelga la moglie
dell’amico che pensava di sottrarti la tua (prop. sottrazione).
Da “Don Antonio” piacevolezze matematiche
Ogni cosa è uno, e il conoscere questa unità è lo scopo termine
di tutte le filosofie e contemplazioni naturali.
Giordano Bruno (1548-1600)
Se voi conoscete l’Unico, potete conoscere tutto. Gli zeri che
si pongono dopo 1 diventano centinaia di migliaia. Ma se voi
cancellate la cifra 1 non resta niente. La moltitudine ha valore
solo per l’Unico. Prima l’Unico e poi la moltitudine. Prima Dio e
poi il mondo e gli esseri individuali. G. Ramakrishna.
La matematica è una forma di poesia che trascende la poesia
nel momento in cui proclama una verità; una forma di
ragionamento che trascende il ragionamento nel momento in
17

cui vuole estrarre le verità che ha proclamato; una forma di
azione, di comportamento rituale, che non trova pienezza
nell’atto ma deve proclamare ed elaborare una forma poetica
di verità.
Salomon Bochner (1899-1982)
Legge dei treni
Se il proprio treno è in ritardo, la coincidenza partirà in
perfetto orario. ^
Tutto è tre. Virtù di ogni cosa è la triade: Intelligenzafortuna-forza
Ione di Chio
La matematica è la scienza che tratta delle leggi generali
alle quali le cose si devono uniformare nella loro essenza.
Bernhard Bolzano (1781-1848)
L’uomo domina la Natura non per mezzo della forza ma per
mezzo dell’intelligenza. E’ per questo che la scienza ha avuto
successo dove la magia ha fallito: perché non è andata alla
ricerca di incantesimi da gettare sulla Natura.
Jacob Bronowski (1908-1974)
Questa è l’essenza della scienza: fate una domanda
impertinente e preparatevi a ricevere una risposta
pertinente.
J. Bronowski
La sfortuna spesso è parente della stupidità -
La Commedia, creatura di Dio uno e trino, rispecchia la potestà, la
sapienza, l’amore nell’armonia dell’uno e del tre. Le Cantiche sono 3 e 3
sono le belve (leone, lonza e lupa); 3 sono le donne benedette, Maria,
Lucia e Beatrice e 3 le guide di lui nel viaggio dell’esame di coscienza,
della purificazione e della contemplazione (Virgilio, Beatrice e San
Bernardo). Le strofe sono di 3 endecasillabi, chiuse da un altro
18

endecasillabo che suggella il canto e sono svolte nelle 3 cantiche,
pareggiandosi nell’unità dei 99 canti più 1, per disegnare i 9 cerchi (3x3)
infernali più il vestibolo, i 9 gironi del Purgatorio più il Paradiso
terrestre, i 9 cieli più l’Empire. Beatrice mostra a Dante l’effetto
miracoloso della Trinità……. Sul 9, sul 3 e sull’1 consiste fino alla parola
“stelle”, tre volte ripetuta, tutto il poema. Mazzoni
DANTE PUO’ ESSERE LEGATO AL NUMERO 14
Dante Alighieri (14 lettere) nacque il 14 maggio 1265 (1+2+6+5=14).
Scrisse la Divina Commedia (14 lettere) che conta poco più di 14.000 versi
e morì il 14 settembre a 56 (56=14x4) anni.
5+4=12
Ogni cosa conosciuta possiede un numero, e nulla possiamo
comprendere e conoscere senza questo. Filolao
La matematica altro non è che il lato esatto del nostro pensiero.
Luitzen Jan Brouwer (1881-1966)
Per tre cose vale la pena di vivere: la matematica, la musica e l’amore.
Renato Caccioppoli (1904-1959)
La scienza della matematica offre il più brillante esempio di come la
pura ragione possa con successo allargare il suo campo senza l’aiuto
dell’esperienza. Emmanuel Kant (1724-1804)
Legge di Johnson e Laird
Il mal di denti tende a cominciare il venerdì sera. ^
.
La matematica è completamente libera nel suo sviluppo e i suoi concetti
trovano una limitazione soltanto nella necessità di non essere in
contraddizione e di essere coordinati ai concetti introdotti in precedenza
da precise definizioni… L’essenza della matematica sta nella sua libertà.
CANTOR
19

Una matematica statica e staticamente riprodotta non potrà mai esaurire la
formazione necessaria ad un giovane che non voglia essere spettatore
passivo della nostra società.
Pellerey
Non ci possono essere numeri stupidi, perché se ci fossero, il primo di essi
sarebbe interessante proprio a causa della sua stupidità.
Martin Gardner
Per comprendere la matematica occorre far
funzionare il cervello e questa cosa costa sempre un
certo sforzo.
Lucio Lombardo
Radice
5+4=11
La matematica non è soltanto un complesso di regole ed
operazioni e nemmeno soltanto un insieme astratto di concetti. La
matematica è anche un universo magico.
L’abisso e le tenebre appartengono allo zero e al nulla, ma lo
Spirito di Dio con la sua Luce Onnipotente appartiene all’uno.
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)
La cosa più importante che insegna la scienza è dire “non
lo so”.
Luigi Luca Cavalli-Sforza
Dallo studio dei triangoli e delle formule algebriche sono passato a quelle
degli uomini e delle cose; comprendo quanto quello studio mi sia stato
utile per quello che ora vado facendo degli uomini e delle cose.
Camillo Benso conte di Cavour (1810-1861)
Legge di Roger
Non appena l’hostess serve il caffé, l’aereo incontra una turbolenza
Spiegazione di Davis
20

Il caffè è la causa delle turbolenze in alta quota. ^
L’unità non è un numero, ma è il principio e l’elemento del numero; e questo non è che
l’insieme delle unità.
P. Galluppi (1770-1846)
Qualunque sia la conoscenza che l’uomo può acquisire al di fuori
della Sacra Scrittura, se è dannosa vi è condannata, se è salutare vi
è contenuta. Sant’Agostino
Anche quando certe conoscenze matematiche si sono obliate del
tutto, resta saldo l’abito del rettamente ragionare, il gusto per le
dimostrazioni eleganti, il disinteresse e l’indipendenza nel giudicare,
il pensiero logico disciplinato, lo spirito scientifico acuto, la
precisione dell’espressione, la saldezza dei convincimenti, il senso
del vero.
Giovanni Antonio Cocuzza (1857-
1943)
E’ dunque attraverso lo studio delle matematiche, e solo
mediante esse, che ci si può fare un’idea giusta ed
approfondita di ciò che è una scienza.
Auguste Comte
(1798-1857)
Le idee matematiche sono innate in noi e identiche alle
cose che esistono in natura, perché la natura è scritta nel
linguaggio della geometria. La matematica rivela quindi
la verità. Essa è anteriore alle altre scienze perché tratta
della quantità che viene appresa mediante l’intuizione.
Ruggero Bacone filosofo francescano detto “Doctor
mirabilis”
5+5=11
Lo scienziato non studia la Natura perché è utile farlo; la studia perché ne
trae diletto, e ne trae diletto perché la Natura è bella. Se non fosse bella,
non varrebbe la pena di conoscerla, e se non valesse la pena di conoscere
la Natura, la vita non sarebbe degna di essere vissuta. Henri Poincaré
21

I mezzi giustificano i mezzi. ^
Ci sono alcuni misteri che la mente umana non penetrerà mai. Per
convincercene non dobbiamo far altro che gettare un’occhiata ai numeri
primi. Ci accorgeremo che non vi regna né ordine né legge.
L. Eulero (1707-1783)
II INSERTO
La moltiplicazione egiziana
La popolazione e la cultura dell’Egitto (“dono del Nilo” per Erodoto)
inizialmente derivarono da quelle degli altipiani dell’entroterra dell’Africa,
i cui abitanti saranno chiamati nel seguito “Etiopi”: Diodoro nel 50 a.C.
scrive “Gli Egizi sono coloni inviati dagli Etiopi…E la gran parte dei loro
costumi è etiopica, visto che i coloni mantengono le loro abitudini”.
Comunque l’Egitto fu una delle grandi civiltà antiche, soprattutto dopo
l’unificazione dei due primitivi regni avvenuta intorno al 3100 a.C.; il
territorio di questo antico impero fino al 1350 a.C. era formato dalla
grande valle del Nilo e dai territori che oggi appartengono alla Siria e ad
Israele. Il controllo di un vasto territorio, soggetto a continue inondazioni,
richiese soprattutto conoscenze geometriche, ma anche l’uso di aritmetica
e di misurazioni pratiche. L’alto livello della cultura matematica degli
Egizi è verificabile nell’opera più duratura che ci hanno lasciato: le
piramidi.
23

Questo antico metodo di moltiplicazione costituisce la base del calcolo
egizio. Fu largamente usato dai Greci con qualche lieve modifica e
continuò a essere usato in Europa nel Medioevo. Molte varianti sono
ancora in uso nella campagne della Russia, in Etiopia e in Medio Oriente.
Nell’aritmetica egizia, il procedimento di divisione era strettamente
collegato a quello di moltiplicazione (Papiro di Ahmes): uno scriba
egiziano per “dividere 486 per 27” avrebbe detto” partendo da 27, quante
volte dovrei addizionare questo numero per ottenere 486 ?”
Procedura:
1 27 Lo scriba si sarebbe fermato al 16 perché
2 → 54 il raddoppiamento successivo avrebbe
4 108 superato 486. Un veloce calcolo sulla colonna
8 216 ci permette di verificare che 54+432 fornisce
16 → 432 il dividendo e quindi 16+2 sarà il quoto.
16+2 432+54=486
Quando uno scriba si trovava somme a destra non corrispondenti al
dividendo, si doveva ricorrere alle frazioni con gli inconvenienti che
nascevano dal loro modo di rappresentare i numeri che non implicava le
frazioni. Tale difficoltà fu superata in modo ingegnoso.
Esempi 19:3 e 21 :4
1 3 1 → 4
2 → 6 2 8
4 → 12 4 → 16
2/3 2 1/4 → 1
1/3 → 1 1+4+1/4 21
2+4+1/3 19
Nel secondo caso lo scriba notava che 16+4=20 e quindi mancava 1 per
avere come somma 21; poiché 1/4 di 4=1, completava la tabella con tale
frazione per cui occorrevano 1+4+1/4 quattro per ottenere 21. Appare più
strano la presenza di 2/3 nel primo esempio ma è da considerare che gli
Egizi non conoscevano frazioni composte: tutte le frazioni venivano
scomposte in una somma di frazioni unitarie come 1/3, 1/4, 1/7,
1/24….tranne 2/3 che veniva rappresentata dal geroglifico.
Per rappresentare le frazioni unitarie gli Egizi usavano il simbolo che
significava “parte”, con al di sotto il numero che rappresentava il
denominatore:
26

Vari storici sono stati feroci con la matematica degli Egiziani per la loro
incapacità di usare frazioni con numeratore diverso da 1 e di comprendere
dunque che 2:9 è semplicemente 2/9. Bisogna considerare che anche la
matematica dei Babilonesi è stata per molti secoli ritenuta poco importante
(visione eurocentrica), eppure esistono prove che essi applicavano il
teorema di Pitagora almeno 1500 anni circa prima dei Greci, usavano
proprietà aritmetiche con facilità, effettuavano divisioni moltiplicando il
dividendo per il reciproco del divisore e quindi possedevano tabelle dei
reciproci (frazioni) e che molte soluzioni babilonesi di problemi sono
simili a quelle dei Greci. I problemi della matematica babilonese sono
soprattutto la mancanza di notazioni per lo zero e per la virgola e l’assenza
di dimostrazioni (matematica come strumento pratico non attività
intellettuale). La matematica degli Egiziani forse non è all’altezza di quella
babilonese soprattutto perché il loro sistema numerico non era posizionale
ma se si pensa agli anni in cui nasce resta pur sempre di buon spessore.
Ma ritorniamo alle frazioni; gli Egizi avrebbero scritto 2/9 = 1/6 +1/18 e
questo ci appare tortuoso attualmente ma proviamo ad usare una
calcolatrice: 2/9 = 0,2222222. Cerchiamo di spiegare nel futuro o ad un
egiziano perché noi usiamo 2/9 =2/10+2/100+2/1000+2/10000+2/100000
Dovremmo ammettere che la nostra primitiva frazione è stata divisa in 7
frazioni a differenza delle sole due egiziane e che il risultato ottenuto da
noi è approssimato. Probabilmente Ahmes avrebbe molte difficoltà a
comprendere perché il suo procedimento, e non il nostro, appare “strano”
(Lucio Russo). Questo dimostra che ciò che in una cultura appare come un
difficile problema da risolvere possa essere visto in un’altra cultura come
“la soluzione”.
Riporto la tabella di scomposizione di 2/n che compare nel papiro di
Ahmes: 2/5 1/3 +1/15 (5+1)/15=6/15=2/5
2/7 1/4 + 1/28 (7+1)/28=8/28=2/7
2/9 1/6 + 1/18
2/15 1/10 + 1/30
2/47 1/30+1/141+1/470 (47+10+3)/1410=60/1410=2/47
…………………………..
Il viaggio attraverso le moltiplicazioni continua….
“L’anima tua è l’intero mondo” Upanishad di Samaveda
27

In matematica tutti i risultati sono veri nel senso che sono stati dimostrati
seguendo le regole logiche che si sono ammesse….Un’affermazione non
dimostrata non fa parte della matematica.
Jean Dieudonné (1906-1992)
Il matematico gioca un gioco in cui egli stesso inventa le regole. Il fisico
gioca un gioco in cui le regole sono fornite dalla Natura. Ma, con il
passare del tempo, diventa sempre più evidente che le regole che il
matematico trova interessanti sono quelle che la Natura ha scelto.
Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984)
E’ più importante che un’equazione mostri una bellezza teorica piuttosto
che una praticità diretta. Sembra che lavorare su un’equazione per il
raggiungimento di una bellezza e di un’armonia porti a un sicuro
progresso.
Il non- matematico non può neanche immaginare le gioie che gli sono
negate. L’amalgama di verità e di bellezza che si rivela con la
comprensione di un teorema importante non è raggiungibile attraverso
nessun altra esperienza umana. Anche se i miei studi sono stati piuttosto
esigui, come bagnare i piedi sulla riva dello sterminato oceano della
matematica, hanno segnato per sempre la mia vita, dandomi un piccolo
assaggio di un mondo superiore. Si, hanno reso leggermente più credibile-
e addirittura tangibile- l’esistenza dell’ideale. Apostolos
Doxiadis (matematico, regista, scrittore)
Quando non hai niente di buono da dire, stai zitto. -
Un’equazione non significa nulla per me se non esprime un
pensiero di Dio. Srinisava
Ramanujan
La musica è il piacere che la mente umana prova quando conta
senza essere conscia di contare. Leibniz
Non lo sentite, non lo vedete? Odo io soltanto questa melodia che
così meravigliosa e sommessa………. Richard Wagner, Tristano e
Isotta atto III
28

L’ipotesi di Riemann è un enunciato matematico secondo cui è
possibile decomporre i numeri primi in musica. Affermare che i
numeri primi abbiano della musica in sé è un modo poetico di
descrivere questo teorema matematico.
Michael Berry
Una semplice curva, come quella dei prezzi del cotone, indica tutto
ciò che all’orecchio è possibile udire, come risultato della più
complessa esecuzione musicale……..Questa per me è una prova
mirabile del potere della matematica. Lord W.
Kelvin (1824-1907)
La matematica è l’unica scienza in cui nessuno sa di che cosa sta
parlando né se quel che si afferma è vero. B. Russell
1000=8
Non bisogna pensare che l’unica occupazione della matematica sia di
servire le scienze. T.Bell
La matematica, al di sopra della sua applicabilità alle scienze, possiede
luce e sapienza proprie; essa esamina nell’intimo un universo che mai,
qualunque sia lo sforzo dell’immaginazione, sarà visitato dagli uomini
comuni. Le idee fondamentali della matematica moderna, la cui storia
ampia e complessa è stata vissuta da migliaia di matematici, sono semplici
e illimitate.
T. Bell
Regola di Holten
In matematica l’unico momento in cui si può essere certi di
qualcosa è quando si è certi di aver sbagliato. ^
L’intenzione dichiarata di un matematico nel momento in cui
intraprende una ricerca importante può essere benissimo la ricerca
della verità, ma la materia prima dei suoi sogni è la gloria.
Apostolos Doxiadis
Una verità matematica non è né semplice né
complessa: è semplicemente. Emile Lemoine
29

La geometria è la scienza che studia quelle
proprietà delle figure che non vengono modificate
da particolari trasformazioni delle figure stesse.
22=8
Ho trovato un metodo per il retto uso della
ragione R.Descartès
Il villano è quello che grida di più -
La conoscenza matematica è la manifestazione più
autentica dell’intelligenza dell’uomo; attraverso
essa è possibile penetrare nel centro della nostra
attività intellettiva da cui scaturiscono tutte le
scienze. Il metodo è la conoscenza che la ragione
acquisisce di sé e delle condizioni del suo
funzionamento. R.Descartès
La mia biblioteca è formata da alcune centinaia di chili di opere
matematiche, tutti gioielli della letteratura. Resterai stupito sentendomi
parlare di “letteratura” a proposito della matematica ma ci sono storie
che valgono quanto quelle dei nostri romanzieri migliori, storie del
persiano Omar al Khayyam, dell’italiano Niccolò Fontana, del francese
Pierre de Fermat e dello svizzero Leonhard Euler. Sicuramente
apparterrai alla schiera delle innumerevoli persone che considerano
questa disciplina un’accozzaglia di verità che nuotano in un mare di noia.
Se ti rivolgi questa domanda “Quale storia mi dicono queste pagine?
Allora, ne sono certo, vedrai la scialba e opaca matematica in una luce
così diversa, da restarne appagato, si, persino tu, che sei un lettore
insaziabile dei più bei romanzi del mondo. Denis Guedj
Anche se i matematici ricorrono all’intuizione, i loro enunciati formali
hanno un rigore assoluto ed è la dimostrazione l’essenza del loro procedere
che distingue la matematica dalle altre scienze.
Legge di Heller
30

Il primo mito del professore è che esiste. ^
Noi dobbiamo sapere, noi sapremo; in matematica non esistono
ignorabimus. D. Hilbert
Se chiedi ai matematici che cosa facciano, ottieni sempre la stessa
risposta. Pensano. Loro pensano a problemi difficili e inusuali. Loro non
pensano a problemi ordinari: scrivono solo la risposta. M. Egrafov
(matematico c.)
La mente che si apre ad una nuova idea non torna mai alla dimensione
precedente. Albert Einstein (1879-1955)
La cosa più bella che noi possiamo provare è il senso del mistero, esso è
la sorgente di tutta la vera arte e di tutta la scienza…Secondo la nostra
esperienza abbiamo il diritto di essere convinti che la Natura è la
realizzazione di tutto ciò che si può immaginare di più matematicamente
semplice. I concetti matematici che ci danno la chiave per comprendere i
fenomeni naturali possono essere suggeriti dall’esperienza, ma mai esserne
dedotti in nessun caso. L’esperienza resta l’unico criterio per utilizzare una
costruzione matematica per la fisica; ma è nella matematica che si trova il
principio veramente creatore. A. Einstein
Principio di Peter
In una gerarchia ogni membro tende a raggiungere il proprio livello di
incompetenza. ^
L’infinito è dove succedono cose che non dovrebbero.
S. Knight
1/2 di 2 100 =2 99
Cubem autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos
quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum
potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere.
31

(è impossibile scrivere un cubo come somma di due cubi o una quarta
potenza come somma di due quarte potenze o, in generale, nessun numero
che sia una potenza maggiore di due può essere scritto come somma di due
potenze dello stesso valore: x n +y n =z n non ha soluzioni con numeri interi
con n>2;).
Cuis rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas
non caperet (dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo
teorema, che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della
pagina) Pierre de Fermat (1601-1665)
Generazioni di matematici si sono sforzati invano di dimostrare questo
teorema così semplice, così elegante, così impenetrabile. La bellezza
dell’ultimo teorema di Fermat risiede nella sua estrema semplicità. E’ un
enigma formulato in termini comprensibili a ogni scolaretto. I tentativi
falliti di risolverlo hanno generato significativi progressi in molti campi
della matematica contemporanea. Un giovane matematico giapponese,
Yutaka Taniyama, ha formulato qualche anno fa un’acuta congettura che
andava verso la soluzione del problema ma non superò la disperazione che
lo condusse al suicidio. E’ stato risolto solo da Andrew Wiles, matematico
inglese, nel 1995. Simon Singh
Un temerario giovanotto di Rabat,
trovò prove del teorema di Fermat,
visse poi nel terrore,
di scoprirvi un errore,
quella di Wiles, sospettava, era migliore! Fernando Gouvea
La matematica è una delle più pure forme del pensiero e agli occhi di
un profano i matematici sembrano quasi esseri oltremondani.
John Lynch
Ciò che colpisce dei matematici è la precisione straordinaria delle loro
affermazioni. Le loro risposte arrivavano sempre sotto forma di un
enunciato preciso e dettagliato. Ovviamente anche i matematici ricorrono
all’ispirazione e all’intuizione, ma i loro enunciati formali debbono
possedere un rigore assoluto. Nel cuore della matematica c’è la
dimostrazione ed è il procedimento per arrivare ad essa che distingue la
matematica dalle altre scienze. Queste ultime si fondano su ipotesi,
32

verificate sperimentalmente, finché, una volta confutate, vengono sostituite
da nuove ipotesi. In matematica lo scopo è la dimostrazione assoluta e una
volta che un teorema è stato provato, esso è dimostrato per sempre.
John Lynch
Fermat fu il padre della moderna teoria dei numeri; i problemi intorno ai
numeri assomigliano ai puzzle e ai matematici piace risolvere i puzzle.
L’uomo è come una bottiglia di vetro scuro…non si sa cosa c’è dentro.-
Frattale è una figura geometrica di forma irregolare, o frammentaria,
generata da continue divisioni successive, e tale che ogni piccola parte
appare approssimativamente simile all’intera figura (autosimilarità). La
proprietà di autosimilarità permette di descrivere un frattale anche con
poche informazioni ripetute e di studiare tramite elaboratore forme
naturali.
20=8
Un paradosso è una proposizione autocontradditoria, che, pur essendo
costruita in apparente conformità con le regole di formazione degli
enunciati, è tale che è impossibile asserirne la verità senza dimostrarne
contemporaneamente la falsità e viceversa.
Quando affrontiamo i grandi sistemi filosofici di Platone e Aristotele,
Descartés e Spinosa, Kant e Hegel con i criteri di precisione stabiliti dalla
logica matematica, questi sistemi vanno a pezzi come castelli di carta. I
concetti fondamentali sono oscuri, le tesi principali incomprensibili, i
ragionamenti e le dimostrazioni inesatti, e le teorie logiche su cui si
basano tutte sbagliate. La filosofia deve essere tutta ricostruita ispirandosi
al metodo scientifico e basandosi su una nuova logica. Jan Lukasiewicz
Voglio rendere grazie al divino labirinto di effetti e di cause per la
diversità delle creature che compongono questo singolare universo, per la
ragione, che non cesserà di sognare una mappa del labirinto….per
l’algebra, palazzo di esatti cristalli.
Jorge Luis Borges (1899-1986)
33

Saggio mistico: Qual è la migliore domanda possibile, e quale ne è la
migliore risposta?
“Hai appena fatto la migliore domanda, e io ti darò la migliore risposta.
“In principio era il Verbo, e il Verbo era presso Dio, e Dio era il Verbo”
dal Vangelo secondo Giovanni-in greco logos è inteso come “ragione”
“parola”. La logica è lo studio del logos.
Il pensiero e l’essere sono la stessa cosa.
Parmenide (520 a.C.-440 a.C. circa)
L’identità tra ciò che sta dentro e fuori della nostra testa giustifica lo
studio della logica Odifreddi
L’esame del pensiero può essere la strada, la via per comprendere
l’universo. Odifreddi
La grande scoperta della scienza è che l’universo mostra caratteri di
razionalità. Pitagora?
13=8
La manifestazione della razionalità richiede un linguaggio identificato
all’inizio con quello matematico (aritmetico per i pitagorici e geometrico e
logico per Platone)
Questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto davanti a gli
occhi (io dico l’universo), non si può intendere se prima non s’impara la
lingua e i caratteri ne’ i quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica,
e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche senza i quali
mezzi è impossibile a intendere umanamente parola.
Galileo Galilei “Saggiatore”
Da Newton ad Einstein nessuna legge di natura è scientifica se non è
espressa mediante una formula matematica e dimostrata attraverso un
ragionamento logico, oltre che confermata da dati sperimentali.
34

Dilemmi dello studente
1. Per quanto uno studia, non farà mai abbastanza.
2. Quel che non si fa è sempre più importante di quel che si fa. ^
La matematica attraverso il logos deve rendere conto dell’apparente
oggettività degli enti astratti di cui parla; la scienza greca s’interessava, a
differenza di quella moderna, più a come le cose dovrebbero essere che
non di come sono effettivamente.
P. Odifreddi
12=8
L’intelligenza è una carta di credito, un’uscita di sicurezza, una
patente di nobiltà, saper vivere, gioco.
L’intelligenza coinvolge il buon umore, l’atteggiamento che alcune
persone hanno nelle difficoltà, l’ironia, l’inventiva, la gioia del rapporto
con l’arte, la vita affettiva e sentimentale, i rapporti con gli altri.
Agostini-De Carlo
La vostra visione diventerà chiara solo quando guarderete nel vostro
cuore. Chi guarda all’esterno, sogna. Chi guarda all’interno apre gli
occhi. Carl Jung (1875-1961)
L’intelligenza dei Romani era in origine una qualità pratica, era la
saggezza che deriva dall’esperienza.
Un’affermazione come dire che le cose infinite sono oltre la conoscenza
di Dio può gettarci a testa in giù in questo pozzo di empietà, e dire che Dio
non conosce tutti i numeri…..Quale folle potrebbe dirlo? Chi sono questi
disgraziati che oserebbero presumere di limitare la Sua conoscenza?
Sant’Agostino
Il numero è il legame dell’eterna continuità delle cose. Platone
Mi mostrò una piccola cosa, delle dimensioni di una nocciolina, nel
palmo della mia mano, ed era rotonda come una pallina. Al che io guardai
35

con l’occhio della mia comprensione e pensai: Che cosa può essere
questo? E la risposta fu generalmente: E’ tutto ciò che esiste.
Giuliano da Norwich, XIV secolo
Mi son sentito accusare di essere il nemico della matematica, che nessuno invece pone
come me così in alto, perché compie ciò che a me è stato negato.
W. Goethe (1749-1832)
Un matematico che non abbia un po’ del poeta non può essere un perfetto
matematico.
Karl Weierstrasse (1815-1897)
Cercare di comprendere le strutture e gli schemi alla base del mondo
matematico è più proficuo che dedicarsi a formule e calcoli noiosi.
B. Riemann (1826-
1866)
11=8
Le seconde decisioni sono migliori delle prime. -
Le dimostrazioni devono essere guidate dal solo
ragionamento e non dal calcolo D. Hilbert
Ignoramus et ignorabimus. Bois-Reymond
Il processo creativo di un matematico è stimolato dal pensiero
dell’immortalità che conferisce il fatto di associare il proprio nome a
un teorema.
Passerà un milione di anni almeno, prima che riusciremo a
comprendere i numeri primi. P. Erdos
E’ impossibile usare gli assiomi della matematica per dimostrare che
quegli assiomi non portano a delle contraddizioni. Si può forse
36

imediare cambiando assiomi o aggiungendone altri? Si dimostra che,
qualsiasi sono gli assiomi scelti per la matematica, non sarebbe mai
possibile usarli per dimostrare che non si avrebbero contraddizioni.
K Gödel
E’ possibile che gli assiomi scelti non producano mai contraddizioni,
ma non si potrà mai dimostrarlo usando gli stessi assiomi. Si può
dimostrare la coerenza scegliendo un sistema di assiomi alternativo,
ma non saremmo sicuri della coerenza del nuovo sistema.
M. du Sautoy
Gödel non ha distrutto l’edificio logico della matematica; egli dice che
è possibile avere un sistema di assiomi senza contraddizioni ma non è
possibile dimostrare che all’interno di quel sistema non ci siano
contraddizioni. M. du Sautoy
Dio esiste perché la matematica è coerente, e il demonio esiste perché
non possiamo dimostrare che lo è. André Weil
Un minuto perduto è un passo in più verso la disgrazia. -
E’ bello il momento dell’inattesa rivelazione provata
la prima volta da colui che ha creato una
dimostrazione.
10=9
Lo scrittore scientifico Richard Morris riferisce come
Einstein reagì alla notizia che una predizione cruciale fatta
dalla teoria della relatività era stata confermata da
un’osservazione astronomica. Rimase impassibile. Alla
domanda di come avrebbe reagito se l’esperimento avesse
contraddetto la teoria rispose: “Mi sarebbe dispiaciuto per
il buon Dio: la teoria è giusta”.
Per le domande di un imbecille possono non bastare risposte di dieci
saggi.
-
37

I cattivi sono i meno preparati alle delusioni. -
Dio scrive dritto su righe storte. -
INSERTO III
Moltiplicazione romana
Moltiplicazione o prodotto. Da multi –molto e plicare –piegare.
Termine introdotto da Leonardo da Pisa (Fibonacci) nel 1202 che si
riferisce alle molte pieghe di un foglio di carta. Per la derivazione dal
latino si deve accennare a come i Romani effettuavano tale operazione. La
matematica dei Romani può solo essere citata perché i loro contributi a tale
disciplina furono quasi inesistenti. La civiltà romana occupa l’arco
temporale che va dal 750 a.C. al 476 d.C., quasi lo stesso periodo in cui si
sviluppò la civiltà greca; dal 200 a.C. i Romani ebbero relazioni costanti
con i Greci ma non un solo matematico romano durante questi undici
secoli merita di essere citato. L’aritmetica dei Romani era rozza e le
formule geometriche che usavano erano approssimate (per π talvolta
prendevano 4 e altre volte 3+1/8 =25/8=3,125); per il calcolo si servivano
di abachi. Le frazioni usate erano in base 12 forse perché l’anno conteneva
12 mesi lunari; migliorarono il calendario e scrissero molti libri tecnici con
materiale di base tratto tutto dai Greci. Con il tempo la poca matematica
romana fu del tutto dimenticata perché gli astrologi venivano chiamati
mathematici e l’astrologia era condannata dagli imperatori romani:
l’imperatore Diocleziano (245-316 d.C.) distingueva la geometria dalla
matematica, affermando che la prima doveva essere studiata mentre “l’arte
della matematica”, cioè l’astrologia, era condannabile e vietata nella sua
interezza. D’altronde il “codice della matematica e delle cattive azioni” era
una legge romana che vietava l’astrologia, applicata anche nel medioevo e
ancora nei secoli XVII e XVIII “geometra” significava matematico.
L’attitudine dei Romani verso la matematica è esposta da Cicerone: “ I
Greci tennero il geometra nella più alta considerazione e di conseguenza
nulla compì fra loro progressi più brillanti della matematica. Noi invece
abbiamo fissato come limite di quest’arte la sua utilità per misurare e
contare”. Eppure i Romani sin dal 146 a.C avevano conquistato la Grecia
e dal 64 a.C. la Mesopotania; avevano il controllo dell’Egitto con
Alessandria (Cesare nel 47 a.C., però, diede fuoco alla flotta egiziana,
38

uciando purtroppo anche la biblioteca di Alessandria con 500.000
manoscritti; un’eccedenza di libri, che non erano stati sistemati per spazio
nella biblioteca, stava nel tempio di Serapide e si salvò dall’incendio). I
Romani avrebbero potuto comunque attingere la cultura greca oltre che dai
testi salvati dall’incendio anche dalla grande raccolta di libri donata a
Roma da Attalo III di Pergamo nel 133 a.C. che Marco Antonio
successivamente aveva consegnato a Cleopatra. Ma i Romani erano
interessati al potere politico e non al diffondersi della cultura e non
sfruttarono neanche le opportunità che si ebbero nel periodo del basso
impero: l’imperatore Teodosio, regnante dal 379 al 395, aveva diviso
l’impero tra i figli, Onorio (ebbe l’Italia e Europa occidentale, territori
conquistati dai Goti nel V secolo) e Arcadio (ebbe Egitto, Grecia e attuale
Turchia). Si può comprendere che l’impero romano d’Oriente, noto come
impero bizantino, era formato dai territori dove si era sviluppata nei secoli
precedenti la massima cultura matematica; in questo impero tale cultura
sarà almeno conservata fino al 1453, anno dell’occupazione turca.
Purtroppo per la matematica l’avvento del cristianesimo fu una sfortuna. I
capi del cristianesimo si opposero alla cultura pagana mettendo in ridicolo
la matematica, l’astronomia e la fisica; ai cristiani, potenti da Costantino
(272-337) in poi, era vietato contaminarsi con la cultura greca. Si ricorda
che Teodosio vietò le religioni pagane e ordinò nel 392 la distruzione dei
templi greci; i libri greci furono bruciati a migliaia e anche il tempio di
Serapide fu distrutto insieme alla sua grandissima biblioteca (all’incirca
300.000 manoscritti). Nel 529 l’imperatore d’Oriente, Giustiniano, chiuse
le scuole filosofiche greche e molti studiosi si rifugiarono in Persia. La
conquista dell’Egitto da parte musulmana nel 640 d.C. determinò la
distruzione degli ultimi testi di Alessandria; Omar, il conquistatore,
imitando Sant’Agostino dirà: “ O i libri contengono ciò che è nel Corano,
e allora non è necessario leggerli, oppure contengono l’opposto e allora
non dobbiamo leggerli” (i bagni di Alessandria saranno riscaldati dai
rotoli di pergamena per sei mesi). A Costantinopoli, capitale dell’impero
romano d’Oriente, forse senza clamore si conservò una piccola parte della
cultura precedente, che stranamente sarà salvata, ripresa e diffusa in
Europa dagli stessi musulmani (M.Kline).
Ritorniamo alla matematica romana; il loro sistema numerico non era
posizionale, ma si basava sui simboli:
I= uno - un dito V= cinque-una mano X=dieci –due mani
L= cinquanta C= cento D= cinquecento M= mille
39

Per formare i numeri combinavano i simboli precedenti con addizioni e
sottrazioni: se due simboli erano scritti uno dopo l’altro e se il primo
non era più piccolo del secondo, il secondo doveva essere addizionato
al primo:
II=I+I=2; VI= V+I=6; CXI=C+X+I=100+10+1=111
Se sono scritti uno dopo l’altro e il primo è più piccolo del secondo, si
sottrae dal più grande il più piccolo:
IV=V-I=4; IX=X-I=9; CM=M-C=1000-100=900
Le due regole si possono combinare:
XIX=X+IX=19; CCCIV=C+C+C+V-I=304 CMIX=M-C+X-I=909
Si nota che le cifre romane significano la stessa cosa , in qualsiasi
posizione si trovano. Il sistema numerico era inadatto a qualsiasi tipo di
calcolo e per questo si usavano l’abaco o i sassolini (calculi). Per renderci
conto della quasi impossibilità a fare conti dei romani con il loro sistema
di numerazione proviamo ad eseguire un’ipotetica moltiplicazione,
successivamente vedremo come i realtà l’eseguivano con l’abaco.
XLI per CCXXVIII 41x228
XL x C= MMMM 40x100=4000
XL x C= MMMM 40x100=4000
XL x X= CCCC 40x10= 400
XL x X= CCCC 40x10= 400
XL x V= CC 40x5= 200
XL x III= CXX 40x3= 120
I x C = C 1x100= 100
I x C = C 1x100= 100
I x X= X 1x 10= 10
I x X= X 1x 10= 10
I x V= V 1x 5= 5
I x III= III 1x 3= 3
MMMMMMMMCCCCCCCCCCCCC 4000+4000+400+400
XXXXVIII=MMMMMMMMMCCCXL 200+120+100+100+10
VIII +10+5+3=9348
Come si vede la moltiplicazione non poteva essere eseguita in questo
modo; i Romani si servivano dell’abaco o talvolta della sabbia dove
disegnavano un abaco e con i sassolini eseguivano addizioni e sottrazioni.
● calculi
●●● ●●●●● ●●●●●●
3 5 6
40

Migliaia centinaia decine unità
3056
Stranamente, come si vede dall’esempio, sulla sabbia, nel calcolo pratico
con i sassolini, avevano raggiunto l’idea di sistema posizionale in base
dieci: infatti quando in una colonna si raggiungevano i dieci sassolini, si
toglievano e si poneva un sassolino nella colonna a sinistra. L’abaco dei
Romani era costituito da una serie di aste metalliche divise da un listello in
due parti: una superiore più stretta e una inferiore più larga. Nella parte
superiore di ogni asta scorre una pallina di legno e in quella inferiore ne
scorrono quattro; la prima asta a destra rappresenta le unità, la seconda le
decine e così via; ogni pallina della parte inferiore vale 1 e la pallina della
parte superiore vale 5. Per inserire una cifra si spinge verso il listello
centrale il numero corrispondente di palline.
Con l’abaco l’addizione è semplice: s’inserisce il primo numero e poi si
aggiunge il secondo; se le palline di un’ asta sono tutte impegnate (cifra 9),
si spinge verso il centro una delle palline inferiori dell’asta a sinistra,
riportando nella posizione originale quelle a destra. Vediamo come
eseguivano la moltiplicazione: prima si scrivono i due numeri da
moltiplicare l’uno accanto all’altro. Poi si considera il primo numero a
sinistra, lo si divide per due e si scrive il risultato sotto tralasciando
l’eventuale resto. Si va avanti finché non si arriva a 1; nella colonna di
destra i numeri si raddoppiano. Alla fine si sommano i numeri della
colonna di destra a cui corrisponde a sinistra un numero dispari. Esempio:
XVI per XXI XIV per LVI
VIII XLII VII → CXII
IV LXXXIV III → CCXXIV
II CLXVIII I → CDXLVIII
I → CCCXXXVI risultato CXII+CCXXIV+CDXLVIII=
41

Risultato 336 DCCLXXXIV 784
La regola risulta complicata ma è così che operavano i Romani; essi
eseguivano raddoppi e addizioni con l’abaco; tale modo di eseguire la
moltiplicazione è stato in uso in alcuni paesi ed è nota come
“moltiplicazione russa”.
Non so come posso apparire al mondo, ma se penso a me stesso mi sento
come un ragazzo che gioca sulla riva del mare, e si diverte qui e là a
cercare un sasso più levigato o una conchiglia più bella del solito, mentre
il grande oceano della verità giace sconosciuto davanti a me.
Isaac Newton (1642-1727)
Coloro che furono oceani di perfezione e di scienza
e per virtù rilucenti divennero 0Lampade al mondo
non fecero un passo fuori di questa notte scura:
narraron fiabe, e poi ricaddero nel sonno.
Omar al –Khayyam
Nessuno odia la storia..si odiano le proprie storie.
Se la matematica ha a che fare solo con applicazioni
o con calcoli complessi, allora al posto dei professori
di matematica potremmo utilizzare esperti di
tecniche risolutive (la loro formazione sarebbe
rapidissima) ma dopo qualche decina di anni non ci
sarebbe più sviluppo della matematica……ossia
avremo docenti di matematica ma non matematici.
La matematica ha una storia e il suo sviluppo è
legato talvolta ad interessi pratici ma spesso alla
voglia di creare bellezza e perfezione; essa, infatti,
studia costrutti intellettuali astratti che non hanno
rapporto con il mondo fisico, percepibile. Il
matematico crea prima che tale creazione sia
richiesta dal mondo scientifico; crea per il piacere
intellettuale di creare nella mente edifici splendidi.
42

1001=9
Il passato può stimolare la nostra immaginazione ed eccitare la nostra
curiosità; la storia è un punto di riferimento importante nella comprensione
di culture ed idee. G. Gheverghese
La matematica moderna si è trasformata in un linguaggio
universale che dispone di un particolare tipo di struttura logica.
Essa contiene un corpo di dottrine relative ai numeri e allo spazio e
stabilisce una serie di metodologie atte al raggiungimento di
conclusioni sul mondo fisico. Ma è anche un’attività intellettuale
che richiede intuizione e nello stesso tempo immaginazione per
ottenere “prove” e raggiungere conclusioni. Spesso ricompensa il
creatore con un forte senso di soddisfazione estetica.
Legge di Jones
Colui che sorride quanto le cose vanno male ha pensato a qualcuno a cui
dare la colpa. ^
La protomatematica era legata all’astronomia ossia al
bisogno, avvertito dall’uomo primitivo, di annotare lo
scorrere del tempo, per desiderio di sapere ma anche per
necessità pratiche.
100=9
Quando si incomincia a dare dei nomi ai numeri, interviene un
processo di astrazione, di separazione, per il quale una pluralità,
imprecisa e indistinta, diventa un unico concetto omogeneo e
preciso, che non ha più legami con il significato originale.
Gheverghese
L’utilità di un sistema numerico posizionale, come quello che noi
usiamo, è che può essere utilizzato da persone di media capacità e non
solo da intellettuali perché permette, con pochi simboli, di scrivere
numeri grandi ed effettuare facilmente calcoli.
43

Osservo che quando enunciamo un numero elevato, per esempio mille, lo
spirito non ne ha generalmente un’idea adeguata, ha soltanto il potere di
produrre questa idea mediante l’idea adeguata che ha del sistema
decimale ove il numero è compreso
Due e due quattro..quattro e quattro otto…otto e otto sedici. Ripetete dice
il maestro. Jacques Prevert
Ci sono regole che possono essere generali senza essere deduttive; non
si può sostenere che il modo di applicare terne pitagoriche da parte dei
babilonesi (sumeri) fosse un semplice esercizio empirico perché il loro
modo di essere raggruppate ed applicate in un'unica tavoletta implica
una comprensione della generalità della regola.
G. Gheverghese
Matematica, o matematiche (dal greco insegnamento) significava
originariamente disciplina o scienza razionale. Questo significato
conferirono alla parola i filosofi della scuola italica, fondata da
Pitagora (prima del 500 a.C.) che pose la scienza dei numeri a base
di ogni conoscenza della Natura. Federigo Enriques (1871-1946)
Dio è un bimbo; e quando iniziò a giocare, coltivò la matematica. E’ il più
divino dei giochi umani. V. Erath (1906-1976)
Principio di Tilli per gli appunti dei matematici
Se archivi un appunto, saprai dov’è ma non ne avrai bisogno. ^
Se non lo archivi, ne avrai bisogno ma non saprai dov’è. ^
L’attività puramente estetica della ricerca matematica presuppone
l’esistenza di una classe agiata, senza preoccupazioni di vita pratica
(grandi mezzi di sostentamento, accesso a tutte le fonti del sapere e uso di
manovalanza per ogni necessità) e la civiltà greca, con i suoi enormi
mezzi, concesse a un’élite la libertà di coltivare ricerca senza alcuna
importanza pratica. Gheverghese
Cerca di imparare, anche qualora ciò possa essere lontano quanto la
Cina. Hadit (detto) di Maometto
44

21=9
GLI INDIANI
Come il Sole eclissa le stelle con la sua lucentezza, così l’uomo di cultura
eclisserà la fama degli altri nelle assemblee del popolo se proporrà
problemi algebrici e ancor più se li risolverà. Brahmagupta
Gli Hindù portarono contributi alle attività aritmetiche e
computistiche della matematica piuttosto che ai procedimenti
deduttivi; nella loro matematica c’erano ottimi procedimenti e grande
abilità tecnica, ma non abbiamo prove che essi si siano dati pensiero
delle dimostrazioni e apparentemente non avevano scrupoli logici.
Morris Kline
Il matematico sbircia dietro le spalle di Dio per trasmettere la bellezza
della Sua creazione al resto delle Sue creature. Paul Erdös
Legge di Scott per studenti
Non percorrere mai un corridoio della scuola senza una pila di libri
sottobraccio. ^
Sempre sugli hindù
Posso paragonare la loro matematica….. a una mistura di madreperle e
di datteri acerbi, o di perle e di letame, o di cristalli costosi e di ciottoli
comuni. Entrambi i tipi di cose sono uguali ai loro occhi perché non sono
in grado di elevarsi ai metodi di una deduzione rigorosamente scientifica.
Al-Biruni
Anche quando gli Indiani attinsero dai popoli vicini, rimodellarono
il materiale dando ad esso una forma particolare. I matematici
indiani erano portati dal loro eclettismo ad adottare e a sviluppare
soltanto gli aspetti della disciplina che facevano appello alla loro
mentalità. La matematica moderna presenta due aspetti che ci
ricordano come lo sviluppo di questa disciplina sia dovuto all’India:
la trigonometria della funzione seno e il nostro sistema di
numerazione per gli interi.
45

14=9
Carl B. Boyer
Nell’antica Grecia la matematica ebbe origine dalla
filosofia; in India la sua nascita fu in parte conseguenza
dei processi linguistici.
Gheverghese
L’uso del principio posizionale, con il quale nove cifre
indicanti le prime nove unità possono servire anche
come cifre per i multipli di dieci, è sicuramente la più
grande delle scoperte della matematica.
Gheverghese
Nella maggior parte delle scienze una generazione distrugge ciò che era
stato costruito dall’altra. Soltanto in matematica ciascuna generazione
aggiunge una nuova storia alla vecchia struttura.
Hermann Hankel
Gli Arabi furono panacea per la matematica perché seppero sintetizzare ed
equilibrare con chiarezza empirismo e teoria (fonti indiane e fonti greche) e
favorirono la trasmissione delle loro idee in tutto il mondo conosciuto.
M. Kline
Teoria della supervisione collettiva
L’unica volta durante la giornata che vi distraete mentre il professore
spiega è la volta che vi guarda. ^
Gli Arabi assorbirono la matematica hindù e
greca, la conservarono con traduzioni e
commentari, la trasmisero in Europa. La
notazione decimale hindù fu esaltata e diffusa;
l’uso dei numeri negativi e irrazionali, le
tecniche aritmetiche ed algebriche usate in
trigonometria tracciarono il solco di un’algebra
più significativa, basata su un’aritmetica più
semplice e più ampia. La trigonometria si
46

affrancò dall’astronomia e si trasformò in una
branca autonoma della matematica che poteva
essere applicata in vari campi.
Sicuramente gli Hindù e gli Arabi furono degli
innovatori nel campo della matematica.
Chiunque pensi che l’algebra sia uno stratagemma per conoscere
ciò che non si sa, ha un’idea sbagliata di essa. Non si dovrebbe fare
alcuna attenzione al fatto che l’algebra e la geometria presentano un
aspetto così diverso. L’algebra non è altro che la dimostrazione di fatti
geometrici. R. Descartés (1596-1650)
13=9
Gli Arabi non sono stati semplici custodi del sapere greco e divulgatori di conoscenze
precedenti. Originale è il loro contributo in algebra e trigonometria perché unirono le due
grandi correnti matematiche: le conoscenze algebriche e aritmetiche babilonesi, indiane e
cinesi e le conoscenze geometriche dei greci.
Vi consiglio di dubitare di tutto salvo che due più due fa quattro.
Voltaire
L’obiettivo principale di tutte le investigazioni del mondo esterno
dovrebbe essere la scoperta dell’ordine razionale e dell’armonia che
gli è stata imposta da Dio e che Egli ci ha rivelato nel linguaggio della
matematica. Iohannes Kepler
La matematica raggiunge i suoi massimi livelli in
un’atmosfera intellettuale libera, quando l’uomo colto
può riflettere intorno alle idee suggerite dal mondo fisico
in modo astratto. Dalla natura nascono le idee; le idee
vanno studiate per se stesse.
47

12=9
Senza i concetti, i metodi e i risultati scoperti e sviluppati dalle
precedenti generazioni giù giù fino all’antichità greca non si
possono comprendere né le tendenze né le realizzazioni della
matematica moderna. Hermann Weyl
Introdurre storia della matematica vuol dire utilizzare
anche ottime traduzioni di brani originali e uscire in
questo modo dai canoni tradizionali dell’insegnamento
della disciplina.
Allo stesso modo in cui tutti sono capaci di riconoscere
una bella melodia pur senza possedere particolari
conoscenze musicali, così c’è anche chi è in grado di
riconoscere il fascino di un’idea matematica pur senza
riuscire a comprenderla pienamente. B. Recamàn
Dalla storia della matematica si può avere un’immagine
diversa della disciplina: viene esaltato lo sviluppo, la
qualità di una scienza che si scopre e si inventa, il suo
aspetto culturale e permette di legare metodologie e
teorie diverse a epoche e autori diversi.
B. Russel
La creazione dei miti non fu negativa; essi stabilivano un
legame tra umanità e natura che rendeva l’universo meno
spaventoso e soprattutto fornivano una spiegazione dei
fenomeni.
48

La dedizione alla matematica è una follia divina dello
spirito umano.
A. N. Whiteead
Legge di Johnson
Se un congegno meccanico si rompe lo farà nel peggior momento
possibile. ^
11=9
La geometria fu scoperta dagli Egizi, e trae origine dalla misurazione
delle aree a causa delle inondazioni del Nilo, che cancellava ogni
confine. Non è strano il fatto che la scoperta di questa disciplina abbia
origine da una necessità pratica, dal momento che tutto ciò che è in
divenire progredisce dall’imperfetto al perfetto….. Talete per primo
andò in Egitto e portò in Grecia questa disciplina. Egli stesso scoprì
teoremi e chiarì ai suoi successori i principi che stanno alla base di
molti altri. Dopo di lui Ameristo, fratello del poeta Stesicoro, è citato
come famoso geometra da Ippia di Elide. Dopo, Pitagora trasformò la
geometria in una forma di educazione liberale, riconducendone i
principi a idee ultime e dimostrando i teoremi in maniera astratta e
puramente intellettuale. Dopo Pitagora Anassagora di Claomene e il
giovane Enopide di Chio sono ricordati da Platone perché si
occuparono di geometria. Dopo di essi Ippocrate di Chio scoprì la
quadratura delle lunule e fu il primo che compilò degli
“Elementi”….All’epoca di Platone appartiene Teeteto di Atene che
aumentò il numero di teoremi e li raggruppò in maniera
scientifica…..Leone fu in grado di compilare degli “Elementi” accurati
in quanto a numero e utilità delle cose dimostrate….Eudosso di Cnido,
più giovane di Leone, fu il primo ad aumentare i “teoremi
generali”…e anche Teudio di Magnesia si distinse in matematica e
49

sistemò in maniera ammirevole degli “Elementi”….Non molto più
giovane di questi è Euclide, il quale compilò degli “Elementi”
disponendo in ordine molti teoremi di Eudosso e perfezionandone
molti di Teeteto, e inoltre fornendo le dimostrazioni rigorose di cose
che erano state provate dai suoi predecessori in maniera
approssimativa. Egli visse al tempo di Tolomeo I, infatti viene
nominato da Archimede, che è vissuto dopo Tolomeo; si racconta che
Tolomeo abbia chiesto ad Euclide se non vi fosse in geometria una via
più breve di quella degli “Elementi” e che il matematico avesse
risposto che non esisteva una via regia alla geometria (questo aneddoto
viene narrato anche per Alessandro). Egli perciò è più giovane dei
discepoli di Platone e più vecchio di Eratostene e Archimede.
Proclo (412?-485 d.C.)
IV INSERTO
Moltiplicazione russa
In effetti tale tipo di moltiplicazione è simile a quella romana trattata
nell’inserto III. L’aggettivo “russa” forse deriva dal fatto che tale metodo
è stato usato nelle campagne russe ( ma anche in altre zone del globo) fino
a qualche decennio fa. Ripetiamo la due moltiplicazioni dell’inserto III con
linguaggio moderno:
16 21 14 56
8 42 7 112
4 84 3 224
2 168 1 448
1 336 Risultato 112+224+448=784
Tale tipo di moltiplicazione è basata sul principio che un prodotto
non cambia se si moltiplica un fattore e si divide l’altro per uno stesso
numero (nel nostro caso 2).
Primo esempio: 16x21=8x42=4x84=2x168=1x336
Per comprendere il metodo usato nel secondo esempio occorre applicare
proprietà dissociativa e distributiva:
14x56=7x112=(6+1)x112=6x112+112=3x224+112=(2+1)x224+112=
2x224+224+112=1x448+224+112=448+224+112=784
50

Facciamo un altro esempio: 33x27
33 27
16 54 (32+1)x27=32x27+27=16x54+27=
8 108 8x108+27= 4x216+27=2x432+27=
4 216 1x864+27=864 +27=891
2 432
1 864
Italo Di Feo
Il viaggio attraverso le moltiplicazioni continua……
Sul cammino, la cosa migliore è perdersi.
Quando ci si smarrisce, i progetti lasciano il posto
alle sorprese ed è allora, ma allora solamente,
che il viaggio ha inizio.
Nicolas Bouvier
Egli merita ammirazione soprattutto per la compilazione degli
“Elementi”, sia riguardo all’ordine in cui sono disposti i teoremi sia
riguardo alla selezione che fra essi ha operato scegliendo ciò che
riteneva fosse da porre come “elemento”. Egli adoperò ogni forma di
sillogismo… e ogni metodo dialettico….inoltre dobbiamo menzionare
la continuità delle dimostrazioni, la maniera in cui vengono disposte le
cose che precedono e quelle che seguono Proclo (412-485)
10=11
Terza legge della confusione nell’interrogazione
Il sesto passaggio di una dimostrazione andava eseguito tra il primo e il
secondo. ^
Un insegnamento che non si rinnova è destinato alla decadenza e alla crisi.
Italo Di Feo
Un insegnamento che perde le sue radici storiche è destinato a procedere
nell’incertezza e non potrà trasmettere valori culturali definiti e solidi.
I precedenti sono due truismi (osservazioni banali) che, però, producono
un problema: è importante il dosaggio con il quale tradizione e
innovazione possono produrre un risultato efficace nell’insegnamento.
51

Se si vuole evitare che la matematica imparata a scuola sia per molti il
ricordo di una scienza arida e dogmatica, la strada da percorrere è di far
scoprire ai giovani la bellezza della matematica e il divertimento che può
procurare la risoluzione di un problema.
Alberto Conte
Ex presidente U.M.I.
Così come la bellezza e l’eccellenza sono rare e facilmente contabili,
mentre la bruttezza e il male sono prolifici, così anche i numeri abbondanti
e insufficienti sono molti e in disordine, e la loro scoperta non obbedisce a
regola alcuna. I numeri perfetti però sono sia facilmente contabili che
sistemati in ordine perfetto.
Nicomaco, 100 d. C.
L’uomo cerca sempre la perfezione, ma inevitabilmente essa lo elude.
Egli ha cercato i “numeri perfetti” attraverso i secoli e ne ha trovato
soltanto pochi, ventitrè al 1964. Albert Boiler
Uno dei più importanti progressi compiuti dalla cultura italiana negli
ultimi anni è stato, io credo, il superamento in “linea di principio” della
separazione tra scienze umane e scienze naturali esatte, il riconoscimento
della rilevanza, non solo pratica della ricerca matematica.
Lucio Lombardo Radice
E’ stato confrontandomi con gli enigmi che ci circondono e analizzando le
osservazioni da me fatte, che sono giunto alla matematica. Sebbene mi
possa considerare digiuno di esperienza e consuetudine con una scienza
esatta, spesso mi sembra di avere molte più cose in comune con i
matematici che con i miei discepoli artisti. Maurits
Cornelis Escher (1898-1972)
Postulato scientifico del pollice verde
La vita di una pianta d’appartamento è inversamente proporzionale al suo
costo e direttamente alla sua bruttezza. ^
Le cose che realmente contano nella matematica, e che hanno un
influsso duraturo, non sono quelle dettate da immediati bisogni
52

pratici. Anche in periodi di grandi sconvolgimenti politici e sociali
sono le cose dello “spirito”. Carl B. Boyer
12+11=100
Le vecchie definizioni di matematica come quella di
“scienza del numero e della grandezza” non sono più
valide. Tuttavia esse indicano le origini della
matematica quale sviluppo di un pensiero che ruotava
intorno ai concetti di numero, grandezza e forma.
Carl. B. Boyer
Un grande passo verso la matematica moderna è il
riconoscimento di una proprietà astratta che certi
gruppi hanno in comune, e che chiamiamo numero.
Il XIX secolo, che si vanta di aver inventato la
macchina a vapore e la teoria dell’evoluzione, potrebbe
a maggior ragione andar fiero della scoperta della
matematica. Bertrand Russel
La matematica è una creazione dell’intelletto.
A quelli che non conoscono la matematica è difficile percepire, come una
sensazione reale, la profonda bellezza della Natura. Se volete conoscere la
Natura, apprezzarla, è necessario comprendere il linguaggio che essa
parla. Richard Feynmann (1918-1988)
Primo postulato della fisica o legge di Paul
Non si può cadere dal pavimento. ^
Corollario: i bambini ci mettono tre anni a imparare la legge di Paul.
53

La matematica può essere paragonata a un mulino di squisita fattura che
macina materiali di qualsiasi grado di finezza; ma, nondimeno, ciò che se
ne ricava dipende da ciò che si mette dentro; e come il più grande mulino
del mondo non estrarrà farina da bucce di piselli, così pagine e pagine di
formule non produrranno nessun risultato preciso a partire da dati
sconnessi. T. H. Huxley
Nel XX secolo si riconosce che la matematica è una forma di pensiero
assiomatico, in cui a partire da premesse arbitrarie si ricavano
conclusioni valide. Che i postulati siano veri o no, in senso scientifico,
non ha alcuna importanza.
11+11+11=110
La matematica pura è la classe di tutte le proposizioni aventi la
forma “p implica q, dove p e q sono proposizioni contenenti una o più
variabili, le quali sono in entrambe le proposizioni” B. Russel
La matematica pura deve manifestare le leggi dell’intelligenza umana
allo stesso modo in cui la fisica rivela le leggi della natura. Sylvester
Dal punto di vista assiomatico, la matematica si presenta così come un
deposito di forme astratte: le strutture matematiche; ed accade così, senza
che ne sappiamo il perché, che certi aspetti della realtà empirica si adattino
a queste forme, quasi in virtù di una sorta di predisposizione.
Bourbaki
La cosiddetta nuova matematica vuole sostituire idee al posto di calcoli.
Boyer
11x12=202
Il vero viaggio di scoperta non consiste nel cercare nuovi paesaggi ma
nell’avere nuovi occhi. Marcel Proust (1871-1922)
54

L’unica maniera per ricordarsi di un concetto dimenticato e rileggerselo
di nuovo. ^
Noi siamo nella situazione di un bambino piccolo che entra in
un’immensa biblioteca, le cui pareti sono coperte fino al soffitto di libri in
molte lingue differenti. Il bambino non capisce il linguaggio in cui sono
scritti. Avverte un piano definito nella disposizione dei libri, un ordine
misterioso che non comprende, ma che sospetta soltanto debolmente.
Albert Einstein
Teorema di Bell
Quando il corpo è immerso nell’acqua, suona il telefono. ^
La ricerca matematica eleva la mente umana a una maggiore vicinanza
con il divino più di ogni altro mezzo.
Hermann Weyl
Il divertimento è una delle forze più ricche di motivazioni dell’umanità.
Benché i matematici qualche volta sminuiscano il lavoro di un collega
definendolo “matematica ricreativa”, una parte considerevole di
matematica seria trae origine da problemi ricreativi, che mettono a prova
logica e rivelano profondità matematiche. Ivars
Peterson
Gli scacchi, i dadi, le carte, il domino, il filetto, il cubo di Rubik, il
sudoku e molti altri giochi nascondono in filigrana la presenza di
grandiose idee matematiche che negli anni hanno saputo appassionare
milioni di persone. B. Recamàn
La matematica è la scienza che usa parole facili per idee difficili.
Kasner- Newman
Forse il paradosso più grande di tutti è che ci siano paradossi in
matematica. Kasner-Newman
55

Lo scopo primario di tutte le investigazioni del mondo esterno dovrebbe
essere l’ordine razionale e l’armonia che sono state imposte ad esso da
Dio, e che Lui ci ha rivelato nel linguaggio matematico.
J. Kepler (1571-1630)
Legge di Murray
Non chiedere mai al barbiere se hai bisogno di tagliarti i capelli. ^
11:2=2
Il guaio con i numeri interi è che noi abbiamo esaminato soltanto i
più piccoli. Forse le cose più interessanti accadono con numeri
davvero grandi, quelli su cui ora non possiamo mettere le mani o
neppure cominciare a pensare in modo definito. Così forse tutto il
nostro procedere è davvero inaccessibile e noi ci stiamo soltanto
affannando intorno inutilmente. I nostri cervelli si sono evoluti
abbastanza per farci riparare dalla pioggia, trovare dove sono le
bacche ed evitare di venire uccisi. I nostri cervelli non si sono
evoluti per aiutarci a cogliere i numeri davvero grandi o per
guardare le cose in centomila dimensioni.
Ronald Graham
Fonte primaria di tutta la matematica sono i numeri interi.
Herman Minkowski
Definizione di Weinberg
Un esperto è una persona che evitando tutti i piccoli errori punta dritto
alla catastrofe. ^
11: 2=3
56

Una punta di malizia, un tocco di logica e una
manciata di perseveranza costituiscono la migliore
ricetta per affrontare un gioco matematico.
B. Recamàn
La geometria mette in evidenza l’intelletto e perfeziona la
mente di una persona. Tutte le sue dimostrazioni sono
veramente chiare e ordinate. E’ quasi impossibile per gli errori
entrare nel ragionamento geometrico, perché è ben sistemato e
metodico. Così, la mente che si applica costantemente alla
geometria non è solita a cadere in errore. In questa strada
conveniente, chi conosce la geometria acquista intelligenza.
Ibn Khaldun (1332-1406)
Il vero valore della matematica sta al di fuori delle
attività di tutti i giorni. Jerry P. King (matematico)
Legge di Weiler
Nulla è impossibile per colui che non deve farlo.
I numeri interi sono un buon modo per trascendere lo spazio e il
tempo. L’osservazione delle meravigliose connessioni tra questi
numeri sviluppa la fantasia, e l’utilità di questi numeri ci permette
di costruire anche le navicelle spaziali per indagare la struttura più
intima dell’universo. Clifford Pickover
La matematica è base indispensabile di ogni verace educazione
scientifica. John Stuart Mill (1806-1873)
10:2=2
Il miglior lavoro di un matematico è un’opera d’arte, una perfetta e
superiore opera d’arte, tanto ardita quanto può esserlo il più
segreto sogno dell’immaginazione, limpido e splendente. Il genio
matematico e quello artistico si toccano. M.G. Mittag-
Leffler (1846-1927)
57

La matematica è una meravigliosa apparecchiatura spirituale fatta
per pensare in anticipo tutti i casi possibili. Robert Musil (1880-
1942)
Definizione di Weber
Un esperto è una persona che sa sempre di più su sempre di meno, fino a
sapere tutto di nulla. ^
C’è una ragione che spiega l’alta stima che si ha per la matematica :
essa offre alle scienze naturali una misura certa che, senza la
matematica, esse non potrebbero attingere. Albert Einstein
La presentazione della matematica nelle scuole dovrebbe essere
psicologica e sistematica, l’insegnante dovrebbe essere diplomatico.
Dovrebbe tener conto dei processi psichici del ragazzo per capirne
gli interessi, quindi dovrebbe presentare le cose in una forma
intuitivamente comprensibile. La presentazione astratta è possibile
solo nelle classi superiori. Felix Cristian Klein
(1849-1925)
Il matematico, come il poeta deve vedere solo ciò che
gli altri non discernono; il suo sguardo deve penetrare
più profondamente.
Sofia Kovalevskaya (1850-1891)
In realtà le matematiche esigono molta immaginazione,
è impossibile essere un buon matematico se non si è,
nello stesso tempo, un po’ poeta. S.
Kovalevskaya
10:2=3 11:2=4
In Natura, gli effetti non sono che le conseguenze matematiche di
un piccolo numero di leggi immutabili. Pierre de Laplace
(1749-1827)
Nel campo della matematica, se trovo un nuovo approccio a un
problema, ci può essere sempre un altro matematico che sostiene di
aver trovato una soluzione migliore, o semplicemente più elegante.
58

Negli scacchi se qualcuno sostiene di essere più bravo di me, io gli
posso sempre dare scaccomatto. Emanuel Laser, matematico e
campione mondiale di scacchi dal 1894 al 1920.
Legge di Mayer
E’ semplice rendere le cose complicate, ma è complicato renderle
semplici. ^
La matematica è lo strumento specialmente adatto per lavorare i concetti
astratti di qualunque sorta, ed è illimitato il suo potere in questo campo.
Per questa ragione un libro sulla nuova fisica, se non si limita alla
descrizione degli esperimenti, è sempre essenzialmente matematico.
P.A.M. Dirac (1902-1984)
La matematica onora lo spirito umano. G. W. Leibniz (1646-1716)
Nessuna certezza è dove non si può applicare una delle leggi
matematiche over che non sono unite con esse matematicamente.
Leonardo da Vinci (1452-1519)
Chi biasima la somma certezza delle matematiche si pasce di confusione,
e mai porrà silenzio alle contraddizioni delle sofistiche scienze, colle quali
s’impara uno eterno gridore. Leonardo da Vinci
Nessuno che non sia matematico legga gli elementi del mio lavoro.
Leonardo da Vinci
La meccanica è il paradiso della matematica perché qui se ne possono
cogliere i frutti. Non c’è certezza nella scienza se la matematica non può
esservi applicata, o se comunque non vi è in relazione.
Leonardo da Vinci
10:2=4 11:2=5
Legge di Hanlon
Non attribuite mai alla sottigliezza quello che è sufficientemente spiegato
dalla stupidità. ^
59

Per creare una sana filosofia voi potete rinunciare alla metafisica, ma siate
un buon matematico. Bertrand Russel
Un matematico è come un cieco in una stanza buia che cerca un gatto nero
dove non c’è. C. Darwin (1809-1882)
Come va che la matematica, essendo fondamentalmente un prodotto del
pensiero umano indipendente dall’esperienza, spiega in modo così
ammirevole le cose reali? Albert Einstein
Gli autori più moderni, come i più antichi, lottano per subordinare i
fenomeni della Natura alle leggi della matematica. Isaac Newton
Chi non apre con devozione un libro di matematica e non lo legge come la
parola di Dio, costui non l’intende. Novalis (1771-1801)
Lo studio della matematica non può essere rimpiazzato da una qualunque
altra attività che addestri e sviluppi le facoltà puramente logiche dell’uomo
allo stesso livello di razionalità. Cletus Oakley (matemat. c.)
Seconda legge di Van Roy
Se sai distinguere un cattivo consiglio da uno buono, non hai bisogno di
consigli. ^
Ogni “nuovo ente” scoperto corrisponde a una formula matematica
che è la nostra sola guida. C. G. Darwin
La matematica è un treno che traccia la sua strada attraverso
l’infinito paesaggio della realtà. Mentre l’uomo progredisce, il treno
si sposta sempre in avanti. Altri vagoni vengono aggiunti e
raramente un vagone è staccato. Ecco, la matematica è il treno, io
non posso fare a meno di chiedermi chi ha disposto i binari su cui
viaggia il treno. C. Pickower
Non si impara mai pienamente una scienza difficile, per esempio la
matematica, dai soli libri Giacomo Leopardi (1798-1837)
60

Lo scienziato non è una persona che dà le risposte giuste, è uno che pone
le domande giuste.
Claude Lévi-Strauss (antropologo e filosofo c.)
Ho affermato che le matematiche sono molto utili per abituare la mente a
un raziocino esatto e ordinato; con ciò non credo necessario che tutti gli
uomini diventino dei matematici, ma quando con questo studio hanno
acquisito un buon metodo di ragionare, essi lo possono usare in tutte le altri
parti delle nostre conoscenze.
John Locke (1632-1704)
V INSERTO
Moltiplicazione cinese
La testimonianza di una numerazione cinese risale al 1500 a.C. e si trova
su ossa per oracoli (comparsa di un sistema di notazione con nove numeri
e basato su un principio posizionale- dieci secoli prima di quello indiano,
secondo solo a quello babilonese) ; solo verso il 400 a.C., quando l’impero
si era frantumato in vari stati indipendenti in guerra tra loro, compare una
importante fonte della matematica cinese: il Chou Pei Suan Ching (il libro
dello gnomone e delle orbite circolari del cielo- forse versione moderna di
un’opera di 1000 anni prima) che tratta il teorema di Pitagora con
dimostrazione geometrica e semplici operazioni aritmetiche. E’ questo il
periodo dei grandi pensatori viaggianti come Confucio ed è anche un
periodo storico ricco di nomi e di avvenimenti: tra il 650 e il 450 a.C., oltre
Confucio, operarono Gautama Buddha, Mahavira e probabilmente
Zoroastro; i Persiani conquistarono Babilonia (538 a.C.), Dario invase
l’India, i Greci fermarono l’avanzata persiana in Occidente (480 a.C.).
La Cina viene riunita dall’imperatore Shih Huang Ti, che la governò tra il
221 e 210 a.C., avendo l’infelice idea di far bruciare tutti i libri; è noto per
aver ricostruito la Grande Muraglia e per il famoso esercito di guerrieri a
grandezza naturale sepolti insieme a lui (in mostra qualche anno fa a
Roma). Tra il 200 a.C. e il 220 d.C. fu prodotto il più autorevole testo di
matematica cinese: Chiu Chang Suan Shu (Nove capitoli sulle arti
matematiche). Tale libro per i Cinesi è come gli Elementi di Euclide per gli
61

Occidentali; in esso si trovano metodi per estrazione di radici, rapporti,
soluzioni di sistemi di equazioni, aree e volumi di figure geometriche e
triangoli rettangoli. Tra il 400 e il 500 d. C. troviamo due grandi
matematici: Sun Tzu (400 circa-problemi di analisi indeterminata) e Tsu
Chung Chih (450 circa- stima di π e metodo delle differenze finite). Il
migliore periodo della matematica cinese si colloca tra il 1200 e il 1300
con Chhin Chiu-Shao che scrisse Shu Shu Chiu Shang dove viene ampliato
lo studio dell’analisi indeterminata e vengono considerate soluzioni di
equazioni di ogni grado, con Li Yeh che scrisse Tshé Yuan Hai Ching
(Specchio marino delle misurazioni del cerchio) dove si spiega come
costruire equazioni diverse a partire da un insieme di dati specificati, con
Yang Hui che scrisse Hsiang Chieh Chiu Chang Suan Fa Tsuan Lei
a
(Analisi dettagliata delle regole matematiche dei Nove capitoli e loro
classificazione) con serie matematiche e equazioni quadratiche con
coefficienti negativi, con Chu Shih-Chieh che scrisse Suan Süe Chhi Meng
e Ssu Yuan Yü Chien dove si tratta del famoso triangolo di Pascal 350
anni prima di Pascal, di soluzioni di equazioni con cinque incognite con
metodo che diremmo attualmente delle matrici. Negli anni successivi si
hanno i primi contatti tra la Cina e l’Europa: idee e tecnologie venivano
trasmesse da una parte all’altra. Noi ricordiamo Marco Polo, ma dal II
secolo d. C. in poi ci fu un notevole commercio dalla Cina verso
l’Occidente (via della seta) e verso l’India; i collegamenti con gli Arabi
sono ben documentati (resoconti arabi molto dettagliati della scienza e
della società cinesi). Gli storici non hanno ancora analizzato la possibilità
di una trasmissione di notizie scientifiche tra la Cina e l’Europa ma
sicuramente i gesuiti crearono interesse in matematici europei quali
Leibniz e Quesnay (Nel 1582 il gesuita italiano Matteo Ricci, ottimo
studioso della matematica e delle scienze del suo tempo, si recò in Cina
alla corte imperiale; egli parlava benissimo il cinese e relazionò insieme ad
altri gesuiti sulle conoscenze scientifiche europee. Al ritorno fece un
rapporto dettagliato sulla vita cinese alla Compagnia di Gesù. Ricci, che
conosceva come pochi le opere di Cardano e Viete, era in grado di
comprendere la matematica cinese e sicuramente riferì su di essa.
Indubbiamente questo è un campo d’indagine storica ampio per il futuro;
è certo che le applicazioni più antiche della “regola del tre” e “della regola
della falsa posizione” sono della matematica cinese (trasmesse attraverso
62

l’India agli Arabi), è certo che nel XIII secolo conoscevano metodi di
risoluzione di equazioni di grado elevato uguali a quelli che molti anni
dopo elaboreranno Horner e Ruffini, è certo che studiavano equazioni
indeterminate di primo grado con frazioni continue con metodi simili a
quelli usati cinque secoli dopo da Gauss e Euler, è certo che conoscevano
il cosiddetto “triangolo di Pascal” dall’XI secolo, è certo che i valori del π
da loro usati furono per dieci secoli i più precisi. Infine ricordo le quattro
innovazioni tecnologiche cinesi che “cambiarono l’aspetto e lo stato di
cose del mondo” (F. Bacon): la fabbricazione della carta (solo dopo dieci
secoli arriverà in Europa), la stampa, la polvere da sparo e la bussola.
Le precedenti notizie sono tratte da “ C’era una volta un numero” di
G. Gheverghese
63

2 5 1
1 2 4
2 5 1
2 4 8
1 2 4
5 1
3 1 0 0
1 2 4
1
3 1 1 2 4
1 2 4
Moltiplicazione eseguita in chiave moderna; il numero di colonne è uguale
alla somma delle cifre del moltiplicatore e del moltiplicando e il numero
delle righe pari al prodotto delle stesse cifre. Si aggiungono tre righe, una
sopra e due sotto per il moltiplicatore, il moltiplicando e il risultato.
2 5 1
0 2
0 5
0 1
0 4
1 0
0 2
0 8
2 0
0 4
1 2 4
3 1 1 2 4
libertà,
L’ anima di un viaggio è la
la perfetta libertà di pensare,
sentire e fare come si vuole.
Partiamo soprattutto per essere
Liberi da tutti gli impedimenti e
I fastidi, per lasciarci alle spalle
Noi stessi, ma, ancora di più,
per disfarci degli altri.
W. Hazlitt
66

Oggi non sono solo i nostri re a non conoscere la
matematica, ma anche i nostri filosofi non la conoscono
e per andare un passo oltre, i nostri matematici non
conoscono la matematica.
Julius Robert Oppenheimer
(1904-1967)
Osservazione di Fox sulla capacità di decidere
Decidere di non decidere è una decisione. Non decidere è una mancanza.^
Secondo me un matematico, in quanto matematico, non si deve
preoccupare dei concetti filosofici, opinione questa, espressa anche
da molti filosofi. Henri Lebesque
13+13=32
Io spero soltanto di poter ridere in tutte la fasi della mia vita, fare un poco
di matematica, vivere fino a un’età molto avanzata, e lasciare il mio corpo
dietro di me come scivolando da una scarpa stretta.
Clay Fried
La maggior parte degli amanti della matematica sono stati spinti verso
questa scienza soltanto dalla sua straordinaria bellezza. Sono stati
catturati dallo stupore che la sua funzionalità ha suscitato in loro e dalla
delizia del suo incredibile sviluppo. Desiderano sapere ciò che hanno
ammirato per fare quelle cose che all’inizio non erano in grado di
spiegare e trarre piacere nel sorprendere gli altri, così come essi stessi
furono sorpresi. Jacques Ozanam
Io esorto a studiare matematica pur chi si accinga a divenire avvocato o
medico o economista o filosofo o letterato; perché io credo e spero che
non gli sarà inutile saper bene ragionare e chiaramente esporre.
Alessandro Padoa (1868-1937)
Il matematico è un poeta e la matematica è il suo sogno.
67

Georges Papy (matematico contemporaneo)
Legge di Lieberman per la politica
Tutti mentono; ma non importa, perché nessuno sta a sentire. ^
La matematica è la regina delle scienze e l’aritmetica la regina
della matematica. C. F. Gauss (1777-1855)
Il binomio di Newton è bello come la Venere di Milo, peccato che
nessuno se ne accorge.
Fernando Pessoa (188-1935)
La più alta categoria dell’intelletto è sempre eminentemente matematica.
Edgar Allan Poe (1809-1849)
2x3x4=44
La differenza tra noi e gli allievi che ci sono affidati sta solo in ciò,
che noi abbiamo percorso un più lungo tratto della parabola della
vita. Se gli allievi non capiscono, il torto è dell’insegnante
che non sa spiegare agli allievi. Né vale addossare la
responsabilità alle scuole inferiori. Dobbiamo prendere gli allievi
come sono, e richiamare ciò che essi hanno dimenticato, o studiato
sotto un'altra nomenclatura. Se l’insegnante tormenta i suoi
alunni, e invece di cattivarsi il loro amore, eccita odio
contro sé e la scienza che insegna, non solo il suo
insegnamento sarà negativo, ma il dover convivere con
tanti piccoli nemici sarà per lui un tormento ( o, se
sadico, un godimento).
Giuseppe Peano (1858-1932).
Il matematico, viaggiando nella sua corrente di simboli, trafficando
apparentemente con verità puramente formali, può facilmente
68

giungere a risultati di somma importanza per la comprensione
dell’universo fisico. Karl Pearson (1857-1936)
Principio di Watergate
Di corruzione del governo si parla sempre al passato. ^
Antichi, come i Greci, erano profondamente affascinati dai
numeri. Si può dire che in tempi difficili i numeri siano stati
l’unica costante in un mondo fuggente? Per i pitagorici i numeri
erano tangibili, immutabili, confortevoli, eterni e più affidabili
degli amici, meno spaventosi di Zeus. C. Pickover
La matematica pura è religione.
F. von Hardenberg barone noto con il pseudonimo di Novalis
(1772-1801)
I numeri governano il mondo. Platone
La più alta categoria dell’intelletto è sempre eminentemente
matematica. Edgar Allan Poe (1809-1849)
Per il filosofo e lo studioso una definizione è soddisfacente se è
pertinente alle cose che definisce e solo a quelle; ecco quanto
richiede la logica. Ma nell’insegnamento non è così: una
definizione è soddisfacente solo se lo studente la comprende.
Jules Poincaré (1854-1912)
Legge di Evans
Se puoi tenere la testa a posto quando tutti attorno a te l’hanno persa, non
hai capito il problema. ^
69

Oggi l’aritmetica dei numeri interi è importante in un ampio
spettro di attività umane e ha più volte giocato un ruolo
fondamentale nell’evoluzione delle scienze naturali.
C. Pickover
13x13=301
Il nostro linguaggio ordinario è troppo povero ed anche troppo
indeterminato per poter esprimere le relazioni delicate, precise
e ricche di contenuto della matematica.
J. H. Poincaré (1854-1912)
Al mondo esistono solo due cose meravigliose: fare
matematica e insegnarla. Siméon-Denis Poisson (1781-1840)
Se mi sento triste, faccio matematica per essere felice. Se
sono felice, faccio matematica per restare felice.
Alfréd Rényi (1921-1970)
La matematica eleva l’anima al di sopra della materia e la libera
dalla servitù dei sensi. Alexandre Auguste Ledru-Rollin
V legge della politica
Quando un politico ha un’idea, quasi sempre è sbagliata. ^
Il numero può essere definito come la legge nel mondo della
quantità e le quattro operazioni dell’aritmetica possono esser
riguardate come il bagaglio completo del matematico.
J. C. Maxwell (1831-1879)
103+112=220
70

La matematica è quella parte della scienza che potresti
continuare a costruire anche se domani, svegliandoti, scopri che
l’universo non c’è più. Dave Rusin (matematico c.)
Analizzando le nostre ordinarie nozioni di matematica noi
acquisiamo una rinnovata forza di penetrazione, nuove capacità
d’indagine. Bertrand Russell (1872-1970)
Le cose più ovvie e facili, in matematica, non sono quelle che, in
senso logico, vengono al principio, bensì quelle che, dal punto di
vista della deduzione logica, vengono a metà strada. B.Russell
Legge di Walton sulla politica
Un idiota e i suoi soldi vengono immediatamente eletti. ^
L’aritmetica è uno dei più vecchi rami, forse il più vecchio, dell’umano
sapere, di cui parecchi astrusi segreti sono ancora chiusi nelle sue più trite
verità. H. J. Smith
La matematica è ciò su cui poggia sostanzialmente la fede in una verità
esatta ed esterna nonché in un mondo intelligibile al di sopra dei sensi. La
geometria tratta di cerchi esatti, ma nessun oggetto sensibile è esattamente
circolare; per quanto attentamente possiamo usare i compassi, ci sarà
sempre qualche imprecisione ed irregolarità. Questo suggerisce che tutti i
ragionamenti rigorosi si applichino a oggetti ideali, opposti a quelli
sensibili…..tali oggetti eterni si possono concepire come pensieri di Dio.
Di qui la dottrina platonica che Dio sia un geometra, e l’opinione di James
Hopwood Jeans che Egli si dedichi all’aritmetica. La religione
razionalistica, al contrario di quella apocalittica, è stata da Pitagora in poi-
e particolarmente da Platone in poi- completamente dominata dalla
matematica e dal metodo matematico.
B. Russell
Legge di Buchwald
71

Quando l’economia si risana, tutto il resto si ammala. ^
I problemi relativi ai numeri interi sono spesso semplici da enunciare ma
notoriamente difficili da risolvere. Paul Erdos
Il mondo non ha bisogno di dogmi, ma di libera ricerca.
B. Russell
Io considero la matematica come base di ogni conoscenza e lo
studio di essa come base di ogni fine educazione spirituale.
Gerhard von Scharnhorst (1755-1813)
Chi muore senza aver imparato a conoscere la matematica, quegli
muore senza aver conosciuto la verità. Karl Schellbach (1805-1892)
Nessuna disciplina più della matematica è atta a dare il senso, a chi
la possegga, di un indistruttibile tesoro spirituale, un insieme di
conoscenze salde che mai potranno rivelarsi errate
Gaetano Scorza (1876-1939)
112x103=12041
II principio di Heisenberg sugli investimenti
Puoi sapere dove va il mercato, ma non puoi sapere dove vanno i tuoi
soldi. ^
La matematica è il campo nel quale il pensiero umano ha provato per la
prima volta l’indicibile gioia di dominare con la ragione i dati bruti
dell’esperienza sensibile. G. Scorza
La matematica è più di una forma d’arte.
Takahazu Seki (1642-1708)
Mi piace la libertà della matematica. Se studi fisica o chimica devi
descrivere il mondo reale. Ma in matematica puoi costruire le tue strutture.
72

Puoi camminare in mondi creati dall’immaginazione delle persone. E’ come
essere Dio in un certo senso. Puoi creare mondi e studiarli. Credo sia una
combinazione della bellezza, dell’immaginazione e della libertà.
Aner Shalev (matematico contemporaneo)
443:3=131 resto 0
Tutte le melodie e le armonie sono imbevute di numeri e di geometrie, le
proporzioni fanno vivere i quadrati e la poesia lirica.
Andreas Spelser (1885-1970)
Il matematico è affascinato dalla meravigliosa bellezza delle forme che
costruisce, e nella loro bellezza scopre verità eterne.
Bernard Shaw (1856-1950)
Osservazione di Hongren
Tra gli economisti, la realtà è spesso un caso particolare. ^
Per quanto possa apparire strano, la forza della matematica è nella sua
evasione da ogni pensiero non necessario e nella sua mirabile economia
nelle operazioni mentali.
Ernest Mach (1836-1916)
Prima legge di un dibattito
Non discutere mai con un idiota; la gente potrebbe non notare la
differenza. ^
Ogni scienziato produttivo dedito alla ricerca coltiva e si affida a processi
non razionali che guidano il suo pensiero creativo. Watson e Crick usarono
la visualizzazione per concepire la configurazione della molecola del
DNA. Einstein usò la visualizzazione per immaginare di cavalcare un
raggio di luce. Il matematico Ramanujan era solito avere una visione dei
suoi familiari Narnagiri ogni volta che concepiva una nuova formula
matematica. Il cuore di una buona scienza è l’armoniosa integrazione di
fortunate osservazioni non comuni e processi non razionali che sono solo
miseramente suggeriti da parole come “creatività” e “intuizione”
John Waters
Legge di Whistler
73

Non si sa mai chi ha ragione, ma bisogna sempre sapere a chi conviene
darla. ^
Nessuno conosce l’importanza di ciò che accade nello stesso tempo in cui
accade. Se apparisse il genio della lampada per chiedermi un desiderio, io
gli direi questo “Saper riconoscere le cose che un giorno saranno
importanti”. Juan Gabriel Vàsquez
4+4+4=22
Il lato divertente del passatempo matematico si presenta
sottoforma di un indovinello, un gioco competitivo, un trucco
magico, un paradosso, un inganno o, semplicemente, della
matematica con curiosità stimolanti. E’ questa matematica pura o
applicata? In un certo senso la matematica ricreativa è
matematica pura, non contaminata da criteri stilistici. In un altro
senso è matematica applicata, in quanto soddisfa l’universale
bisogno umano di giocare. Martin Gardner
Legge di Old e Kahn
L’efficienza di un comitato è inversamente proporzionale al numero dei
partecipanti e al tempo impiegato per raggiungere le decisioni. ^
Non vi è molta differenza fra il piacere provato da un dilettante nel
risolvere un abile rompicapo ed il piacere che un matematico prova nel
dominare un problema più difficile. Entrambi guardano alla bellezza pura,
quell’ordine limpido, nettamente definito, misterioso, estasiante che
permea tutte le strutture. Martin Gardner
Sorprendentemente, la mancanza di un’ educazione formale può
essere un vantaggio. Noi restiamo impigliati nelle nostre vecchie
abitudini. Qualche volta il progresso avviene quando qualcuno da
fuori guarda la matematica con occhi nuovi. D.
Schattschneider
Legge di Parkinson
La dilatazione è la forma più letale di diniego. ^
74

Negli anni settanta, Marjore Rice, una casalinga di San Diego madre di 5
figli, stava lavorando sul tavolo della sua cucina quando scoprì molte
nuove strutture geometriche che si ritenevano impossibili. La Rice non era
andata oltre il liceo, ma entro il 1976 aveva scoperto 58 tipi speciali di
tassellazioni pentagonali, molte della quali prima sconosciute.
C. Pickover
Prima legge di Murray per lo sport
Niente va così male che non possa andar peggio licenziando l’allenatore.^
Nel 1998, lo studente delle scuole superiori Roland Clarkson scoprì il più
grande numero primo conosciuto allora. Il numero era così grande che per
scriverlo occorreva riempire diversi libri.
44+42=141
Dalla matematica ricreativa sono nati alcuni degli argomenti più
interessanti della disciplina: la topologia ebbe origine dall’analisi di un
indovinello riguardante il passaggio di ponti fatta da Eulero; Leibniz
dedicò molto tempo a studiare l’indovinello del salto di pioli che in tempi
recenti ha avuto un ritorno sotto il nome commerciale di Provate il vostro
quoziente di intelligenza. Hilbert dimostrò uno dei teoremi fondamentali
nel campo degli indovinelli sulla divisione; Albert Einstein aveva una
sezione della sua libreria piena di libri sui giochi e indovinelli matematici.
L’interesse di queste grandi menti nel divertimento matematico è facile da
comprendere, dato che l’attività creativa del pensiero spesa per argomenti
di questo tipo è dello stesso genere di pensiero che conduce alla scoperta
matematica. Cosa è la matematica, dopo tutto, se non la soluzione di un
indovinello? Martin Gardner
4x4=31; 4x3=22; 4x2=13; 4x1=4
I matematici sono come gli amanti. Garantitegli il più piccolo
principio, e lui (il matematico) ne farà seguire una conseguenza che
voi dovrete garantirgli, e così via da una conseguenza all’altra.
Bernard de Fontanelle (1857-1757)
75

La matematica si può considerare come ciò che unisce e si
interpone tra l’uomo e la Natura, fra il mondo esterno e interno, fra il
pensiero e la percezione. Friedrich Fröbel (1782-1852)
La matematica è un grandioso e vasto paesaggio aperto a tutti gli
uomini a cui il pensare arrechi gioia, ma poco adatto a chi non ami
la fatica del pensare. Immanuel Fuchs (1833-1902)
Legge di Rocco sul calcio
Tu vai in campo e bastona tutto quello che vedi passare. Se tocchi anche il
pallone, pazienza. ^
Alla fine degli anni 90, il banchiere texano Beal ha offerto 5.000 dollari
per la soluzione del seguente problema: dimostrare perché le soluzioni
dell’equazione A x +B y =C z con le sei lettere numeri interi e x, y e z > 2
hanno un fattore in comune per A, B e C (il teorema di Fermat è un caso
particolare). Esempio 3 6 +18 3 = 3 8 ; 3, 18 e 3 hanno 3 in comune. Il premio
è arrivato a 100.000 dollari.
Nel 1998, l’inventore autodidatta Harlan Brothers e il meteorologo John
Knox hanno sviluppato un metodo evoluto per calcolare la costante
fondamentale e (arrotondata a 2,718). Tale costante è conosciuta fino a 50
milioni di cifre decimali e interessa studi di crescita esponenziale-dalle
colonie di batteri ai tassi d’interesse. C. Pickover
La matematica è l’alfabeto nel quale Dio ha scritto l’universo.
Galileo Galilei (1564-1642)
Sfortunatamente non si comprende come i libri scientifici più validi siano
quelli in cui l’autore indica chiaramente cosa non sa; un autore fa infatti
maggiormente del male ai suoi lettori quando nasconde le difficoltà.
Evariste Galois (1811-1832)
Assioma di Cole
La somma dell’intelligenza sulla terra è costante; la popolazione, in
aumento. ^
76

VI INSERTO
Moltiplicazione con le dita
Gli Etruschi furono in un certo senso i maestri dei Romani, almeno nei
primi tempi, in vari campi quali l’arte, la scienza, la religione, la tecnica
ecc.; il sistema di numerazione decimale romano è molto simile a quello
etrusco. Si consideri che i numeri etruschi (anche la scrittura) si leggevano
da destra a sinistra (come quelli degli Osci, Umbri, Sanniti…); i Romani
rovesciarono i simboli etruschi e li lessero da sinistra a destra: Λ (cinque
etrusco) divenne V (cinque romano), ΛI (quattro etrusco) divenne IV
(quattro romano), IΛ (sei etrusco) divenne VI (sei romano). Molti storici
hanno visto nei simboli etruschi un primitivo sistema “quinario” (a base
cinque) e quindi si può supporre che l’indigitazione (sistemi di
numerazione basati sulle dita della mano) ha spinto gli uomini verso
sistemi di numerazione (digitum in latino significa “dito”). Il simbolo I per
uno somiglia sicuramente ad un dito, II a due dita…e per lo storico della
Roma antica Theodor Mommsen (1817-1903) il segno del cinque comune
a vari popoli italiani è una semplificazione stilizzata della mano; anche il
simbolo del dieci X può essere considerato la composizione di due V.
D’altronde anche l’uomo primitivo, appena conquistata la posizione
eretta, sicuramente, dopo qualche tempo, si è servito delle mani non solo
per fabbricare oggetti, ma anche come mezzo per rappresentare i numeri
ed eseguire calcoli su di essi. La successione delle dieci dita ha reso
semplice e intuitiva l’idea di numero cardinale e ordinale. Anche gli alunni
imparano dapprima a contare con le dita e si può affermare che le dita
furono la prima macchina calcolatrice. In conclusione i calcoli digitali
iniziarono in tempi remotissimi, divennero di uso comune soprattutto nel
Medio Evo ma anche nel Rinascimento furono usati in modo veloce dai
mercanti (eseguivano quattro operazioni) e continuano tuttora in alcune
zone dell’Europa. Il matematico Luca Pacioli (1445-1509), amico di
Leonardo da Vinci e al servizio di Ludovico Maria Sforza, scrisse il primo
trattato di matematica: Summa de aritmetica, geometria, proportioni et
proportionalità ; in esso illustra uno dei più diffusi metodi d’indigitazione.
“Beato è colui..che conta i suoi anni sulla mano destra” diceva Giovenale
(55-130 ca) e per il Pacioli contare sulla mano destra significava avere più
di 100 anni. Nelle scuole medievali era in uso il testo d’aritmetica “Liber
de loquela per gestum digitorum” (libro sul linguaggio attraverso il
movimento delle dita). Informazioni tratte da Agostini-De Carlo.
77

Il viaggio attraverso le moltiplicazioni continua…..
“Mi siedo al margine della strada/ il guidatore cambia ruota.
Non sono contento di dove vengo,/ non sono contento di dove vado.
Perché guardo il cambio della ruota/ con impazienza.
Bertold Brecht
81

Il valore pedagogico della matematica ricreativa è ora ampiamente
conosciuto. Si riscontra un sempre maggiore interesse per l’argomento
nei nuovi libri e nelle riviste per insegnanti di matematica. L’insegnante
di matematica che sgrida due studenti che giocano a filetto durante una
lezione farebbe meglio a chiedersi: “Per questi studenti questo gioco è
più interessante, dal lato matematico, di ciò che sto dicendo?” In effetti,
una discussione in aula sul filetto non sarebbe una cattiva introduzione
a diverse branche della matematica moderna. M. Gardner
51:3=15
Alcune persone hanno una memoria straordinaria per ricordare le carte di
un normale mazzo da gioco. Il britannico Dominc O’ Brien è riuscito a
memorizzare, con una sola occhiata, una sequenza casuale di 40 mazzi di
carte diverse (2080 carte in tutto) che erano stati mischiati insieme,
facendo un solo errore! Il tempo più veloce per memorizzare un singolo
mazzo di carte mischiate è di 42 secondi. C. Pickover
La matematica è un linguaggio Josiah Gibbs (1839-1903)
Ogni errore è dovuto a fattori esterni (come le emozioni e l’educazione);
la ragione, in sé, non sbaglia.
Kurt Gödel (1901-1972).
Uno dei grandi malintesi sulla matematica che commettiamo nelle
nostre aule di scuola è che il professore sembra sempre conoscere la
risposta di ogni problema che si discute. Ciò dà agli studenti l’idea
che da qualche parte c’è un librone con tutte le risposte corrette a
tutte le domande interessanti, che gli insegnanti ce l’hanno, e
basterebbe trovarlo per avere tutto a posto. Questo è davvero
l’opposto della vera natura della matematica. Leon Henkin
(1921-2006)
Legge di McClaughry
Per farvi un nemico, fategli un favore. ^
82

L’immaginazione è più importante della conoscenza
A. einstein
Ma chi l’ha detto che la matematica è una materia noiosa, arida, difficile,
astratta? Renderla divertente, stimolante, piena di fascino e persino
poetica è lo scopo dei bravi insegnanti.
A. Beutelspacher
Non sappiamo sottrarci a questa sensazione: che le formule
matematiche hanno un esistenza indipendente e un’intelligenza
propria, che esse hanno maggiore saggezza di noi, maggiore
saggezza di coloro che le hanno scoperte; infine, che esista in esse
molto più di quanto vi sia stato messo in origine.
Heinrich Hertz (1857-1894)
Una teoria matematica non può considerarsi completa finché non
sia stata resa tanto chiara da poterla spiegare al primo uomo che
s’incontra per la strada. Aforisma apocrifo di David Hilbert
Legge di Meader
Qualunque cosa ti succeda, sarà già successa a chiunque tu la racconti,
solo di più. ^
Il matematico può essere paragonato a un disegnatore di moda che è
completamente dimentico delle creature che possono indossare le sue
creazioni. Per dirlo in maniera più precisa, la sua arte trae origine dalla
necessità di vestire tali creature, ma questo accadeva molto tempo fa; ai
nostri giorni può talvolta apparire un modello che ben si adatta all’abito
come se l’abito fosse stato pensato per quello. Allora non c’è limite alla
sorpresa e al piacere. T. Dantzig
Principio di Ruby
55+44=143
83

Le probabilità d’incontrare una persona che conosci aumentano quando
sei con qualcuno con cui non vuoi essere visto. ^
L’immagine popolare della matematica come collezione di fatti
precisi, uniti da sentieri logici ben definiti, si è rivelata falsa. Esiste
una casualità e anche un’incertezza in matematica, così come c’è nella
fisica. Paul Davis
Nota di Fowler
L’unica cosa imperfetta in natura è la razza umana. ^
Mi piace l’immagine astratta della vita come una specie di macchina
efficiente, forse perché la vita reale, tanto ermetica e personale, sembra
così ordinata e strana. E’ piacevole essere in grado talvolta di astrarsi
di colpo dalla realtà e dire: C’è una struttura dopo tutto! Non so bene
cosa significa ma posso giurare che la vedo! Stephen King
Si potrebbe pensare che la matematica, lungi dall’essere disumana,
sia invece umana all’eccesso? Che tocchi intimamente chi la pratica,
facendo vibrare la sua umanità a livelli raramente raggiunti,
sollecitando la sua sensibilità in modo talvolta insopportabile?
Anne Siety
Legge di Joyce
Finché ti morde un lupo, pazienza. Quel che secca è quando ti morde una
pecora. ^
Io credo che il sapere scientifico abbia delle proprietà frattali,
e che indipendentemente da quanto impariamo, quel che rimane,
benché possa sembrare piccolo, è così infinitamente complesso
come lo era il totale da cui siamo partiti. Questo, io credo, è il
segreto dell’universo. Isaac Asimov (1920-1992)
11+22+33=132
84

Il movimento, con il quale il calcolo letterale allontana dalla “vita
reale”, sopprimendo il riferimento ai “veri numeri”, non è in
realtà che il prolungamento di un modo di procedere iniziato
molto prima: la nozione stessa di numero è un’astrazione che, da
tre mele, tre torte, o tre biglie, estrae l’idea del tre-tre, in
assoluto: non tre cose, ma tre nulla, tre e basta.
Anne Siety
Dio ci ha dato l’oscurità perché possiamo vedere le stelle.
Johnny Cash
Le regole matematiche dell’universo sono visibili agli
uomini sotto forma di bellezza. John Michel
Il progresso e la perfezione della matematica sono
intimamente connessi alla prosperità dello Stato.
Napoleone
Quando gli Dei vogliono distruggerci, prima ci fanno impazzire, e poi ci
concedono i nostri desideri.
Se la matematica è astratta, immateriale, se è l’occupazione di fantocci
disincantati, ne consegue ineluttabilmente un altro inconveniente: come
sperare che questi fantocci gridino, parlino, si esprimano mediante parole
umane? Anne Siety
Secondo alcuni autorevoli testi di tecnica aeronautica, il calabrone non può volare, a
causa del peso e della forma del proprio corpo in rapporto alla superficie alare. Ma il
calabrone non lo sa e perciò continua a volare. Igor Ivanovich Sikorsky (1889-
1972)
Di lui non importano le parole, importa l’autorità. Riesce a far si che per
un attimo i suoi interlocutori si sentono fuori dalle loro vite, come se li
avessero presi e messi su un palcoscenico. J. Gabriel Vàsquez
85

Io sono una di quelle persone che credono che la vita sia una serie di
cicli-ruote dentro ruote-, alcune incastrate in altre, alcune che ruotano da
sole, ma tutte quante che compiono alcune finite funzioni ripetitive.
Stephen King
Viviamo in una tranquilla isola d’ignoranza nella nebbia dei neri mari
dell’infinità, e non significa che dobbiamo viaggiare lontano.
H. P. Lovecraft (1890-1937)
5x5=41
La mia prof. È una vera prof. di matematica. Non dice gran che, è solo
cifre. Laure alunna di terza media
Per comprendere la matematica occorre parlare non solo dei risultati, ma
anche delle persone che li hanno ottenuti. Ci sono talvolta dei singoli
individui le cui intuizioni sembrano saltar fuori dal nulla e che da soli
hanno fatto progredire questa disciplina di decenni. Ma, per quanto i geni
possano essere figure misteriose e pittoresche, il progresso matematico
dipende anche da migliaia di altri individui e dalle istituzioni e società in
cui essi vivono e lavorano. E’ il passato a narrarci questa storia più
ampia che va dalla Babilonia di 5.000 anni fa fino alla New York di
oggi. Donald O’ Shea
Chiediamo a un numero di persone che idea hanno della matematica.
Qualcuno la ama, ma la maggior parte degli individui ne parla in
termini non proprio lusinghieri. Alcuni credono di essere
congenitamente incapaci di padroneggiarla (o sono stati convinti di
esserlo). Ad altri non piace proprio. E molti la odiano con quella stessa
carica di passione che viene normalmente riservata alle storie finite male.
Com’è possibile che una materia così piena di bellezza ispiri tali
reazioni? Donal O’ Shea
Un viaggio di mille miglia inizia sempre con un singolo passo.
Lao-tzu VI secolo a.C.
86

Il matematico russo Grigori Perelman risolse nel 2002 la famosa
“congettura di Poincarè”, inclusa nella lista dei sette problemi del
millennio e rifiutò il premio di un milione di dollari che era stato messo in
palio.
52:4=12
E’ impossibile essere un matematico senza essere un poeta
nell’animo. Sofia Kovalevskaya
Contrariamente alla credenza popolare, la matematica è un argomento
appassionante. I matematici sono spinti da passioni creative difficili da
descrivere, ma che non sono meno intense di quelle che spingono un
musicista a comporre o un artista a dipingere. Il matematico, il
compositore, l’artista soccombono tutti alle stesse debolezze come ogni
altro essere umano: amore, odio, dipendenze, vendette, gelosie, brame
di fama e denaro.
Theoni Pappas
Considerando la matematica dall’inizio del mondo fino al tempo
di Newton, quel che egli ha fatto è più della metà.
Gottfried Leibniz
Nessuna grande scoperta sarebbe mai stata fatta senza un’ardita
congettura. Isaac Newton
Mentre salivo il gradino, incontrai uno che non c’era. Non c’era neanche
oggi, vorrei, vorrei che se ne stesse via. Hughes Mearns
Il nulla, nelle sue varie manifestazioni, è un argomento che non ha
mai smesso di affascinare nel corso dei millenni. I filosofi hanno
cercato di comprenderlo, mentre i mistici sognavano di riuscire ad
immaginarselo; gli scienziati si sono ingegnati di crearlo; gli
87

astronomi hanno tentato invano di localizzarlo; i logici se ne
ritraevano inorriditi, e nondimeno i teologi anelavano a farne
discendere ogni cosa; e i matematici ci sono riusciti.
John D. Barrow
Libertà è riflessione e riflessione è saggezza
L’allettante e irresistibile ricerca dei problemi matematici offre concentrazione
mentale, pace dello spirito in mezzo a sfide senza fine, riposo nell’attività,
battaglia senza conflitti, rifugio dalle impellenti urgenze dei fatti contingenti, e
una sorta di bellezza immutabile che hanno le montagne per i sensi provati dal
caleidoscopio degli eventi attuali. Morris Kline
Non è misterioso che riusciamo a sapere di più sulle cose che non
esistono che su quelle che esistono davvero?
Alfred Renyi
La matematica è l’unica attività umana infinita. E’ concepibile che
l’umanità possa magari imparare tutto sulla fisica e la biologia. Ma
l’umanità certamente non sarà in grado di scoprire tutto in
matematica, perché questa materia è infinita. I numeri stessi sono
infiniti. Paul Erdos
66+11=110
Dall’antichità al settecento, da Platone a Leibniz, umanesimo e
scienza sono state considerate due facce complementari di una
stessa medaglia: la Cultura. A partire dal Romanticismo, invece,
sono cominciate le contrapposizioni. P. Oddifreddi
Contare è una di quelle abilità, come leggere, che ci vengono fatte
acquisire durante le prime settimane di vita scolastica. L’umanità ha
dovuto percorrere lo stesso percorso, ma ci ha messo dei millenni.
Tuttavia, mentre le lingue si contano a migliaia e sono simboli
88

dell’identità e del prestigio nazionale, il modo di contare ha finito
per diventare un tratto universale del genere umano.
John D. Barrow
“Milioni di mosche non possono sbagliare. Viva la cacca.”
Un vecchio detto.
Le verità matematiche sono scoperte, non inventate.
Paul Erdos
Il matematico è assolutamente libero di costruire i mondi che più
gli piacciono. Quello che immagina è materiale per il suo capriccio e
basta; infatti non sta scoprendo nuovi principi fondamentali
dell’universo né si sta avvicinando alla conoscenza di Dio. Se riesce
a trovare, sperimentalmente, insiemi di entità che obbediscono allo
stesso schema logico delle sue entità matematiche, allora ha
applicato la sua matematica al mondo esterno; ha creato una nuova
branca delle scienze. John Sullivan (1886-1937)
La verità non sta in un solo sogno, ma in molti sogni
Non ho bisogno di sapere dove sto andando per godere del
cammino. Deepak Chopra
VII INSERTO
Moltiplicazione hindù
La matematica hindù ha inizio nel 3000 a.C. presso Harappa; è detta la
matematica del mattone. Circa verso il 1.500 a.C., secondo una tradizione
storica non accettata da tutti, una popolazione del nord distrusse la civiltà
di Harappa, assorbendone però alcune caratteristiche. Tali invasori sono
spesso chiamati “ariani” ed erano dei pastori che usavano un linguaggio di
origine indoeuropea, il sanscrito che ebbe importanza anche per
l’evoluzione scientifica del paese. In effetti l’uso di questo linguaggio si
potenziò in seguito alla completa sistemazione della grammatica ad opera
del Panini circa 2.600 anni fa; Panini (V o IV secolo a.C.) è autore di
Astädhyäyi (raccolta di otto sezioni), opera che in circa 4.000 sutra (regole
espresse in forma di aforismi) tratta, con estrema concisione, i principi
della fonetica, della sintassi e della morfologia del sanscrito. Il sanscrito
89

permise la stesura dei primi testi scritti quali i Veda ecc. Spesso si trovano
appendici ai Veda principali, note come Vedanga, che sono importanti per
la matematica (i sutra erano estremamente sintetici e spesso utilizzavano
uno stile poetico per catturare l’essenza di un argomento; si presentavano
spesso senza verbi con nomi lunghi e facilmente memorizzabili). Swami
Barati Krishna Tirthaji (1884-1960) scrisse un libro intitolato Vedic
Mathematics (Matematica vedica) pubblicato nel 1965, cinque anni dopo
la sua morte. Egli dichiara di aver ricostruito un Veda con sedici sutra
principali e tredici sutra secondari. Il secondo dei sedici Sutra viene
tradotto: Tutti dal nove e l’ultimo dal dieci. Per noi risulta
incomprensibile ma, nello stile di molti matematici indiani, Tirthaji spiegò
questo Sutra con degli esempi tra cui delle moltiplicazioni.
Moltiplicazione vedica: esempio moltiplichiamo 86x98
Numeri Differenza Spiegazione algebrica
(100) Sia x (base) la potenza di 10 più vicina ai due
86 14 numeri (nell’esempio 100). Siano m e n le
98 2 “differenze” tra x e i due numeri (es.14 e 2).
84 28 (x-m)(x-n)=(x-m)x-n·x+n·m=(x-m-n)x+n·m.
86x98=8428 Applichiamo la formula trovata a 86x98:
(100-14)(100-2)=(100-14-2)x100+14x2=
84x100+28=8400+28=8428.
Nell’esempio dei Sutra le “differenze sono 14 e 2; 84 si ottiene dalla
sottrazione incrociata 86-2=84 o 98-14=84 (centinaia) e 28=2x14.
I due numeri da moltiplicare potrebbero essere più grandi della potenza di
dieci più vicina; in questo caso si parla di eccedenza. Esempi:
115x104 1031x1025
Numeri Eccedenza Numeri Eccedenza
115 15 1031 31
104 4 1025 25
119 60 1056 775
Risultato 11960 risultato 1.056.775
Spiegazione algebrica: siano sempre x la base (nel I esempio 100 e nel
secondo 1.000) e m e n le “eccedenze.
(x+m)(x+n)=x(x+m)+n·x+m·n=x(x+m+n)+m·n.
Applichiamo tale formula ai nostri due esempi:
115x104=(100+15)x(100+4)=100(100+15+4)+15x4=11900+60=11960
90

1031x1025=1000(1000+31+25)+775=1.056.000+775=1.056.775.
Più complesso risulta tale metodo si ritroviamo con una eccedenza e una
differenza tra i numeri dati e la potenza di dieci più vicina. Esempi:
124x92 108x89
( ) si usa per differenza
Numeri Eccedenza/(Differenza) Numeri Eccedenza/(Differenza)
124 24 108 8
92 (8) 89 (11)
116 (192) 97 (88)
116-2 200-192 97-1 100-88
114 8 96 12
Risultato 11408 risultato 9612
Spiegazione algebrica: siano x la base e m e n eccedenza e differenza.
(x+m)(x-n)=x(x+m)-n·x-m·n=x(x+m-n)-m·n.
Applichiamo tale formula ai nostri esempi:
124x92=(100+24)(100-8)=100(100+24-8)-192=11.600-192=11.408
108x89=100(100+8-11)-88=9.700 -88=9612
Nella tabella di sopra, nella quarta riga, in effetti viene fatta la seguente
operazione (la nostra sottrazione):
primo esempio 11.600-192=11.600-200+200-192=11.400+8=11.408
secondo esempio 9.700-88=9.700-100+100-88=9.600+12=9.612.
Tirthaji ci propone un secondo sutra sempre sulla moltiplicazione. Il testo
è questo: verticalmente e a croce. Esempio 28x61 e 33x58
decine unità decine unità
2 8 3 3
6 1 5 8
[12][2+48][8] [15][24+15][24]
Risultato 1708 risultato 1914
L’autore interpreta il sutra in questa maniera: disponiamo i numeri in
colonna e moltiplichiamo i numeri della colonna delle “unità” in senso
verticale (es. 1x8=8). Successivamente si moltiplicano le cifre delle
“unità” e “decine” a croce (per diagonali) e si addizionano (2x1+6x8=50) e
poi le cifre della colonna delle decine (3x5=15). Alla fine si fanno gli
aggiustamenti posizionali 1.200+500+8=1708.
Spiegazione algebrica: x sta per 10 e le coppie da moltiplicare ab e cd.
91

(ax+b)(cx+d)=acx 2 +adx+bcx+bd=acx 2 +(ad+bc)x+bd. Si noti che bd è il
prodotto delle unità, ac quello delle decine e ad+bc quello incrociato.
Questo metodo ha una validità più generale perché può essere applicato
anche se i numeri delle cifre sono diversi. Esempio 215x23.
Centinaia decine unità
2 1 5
0 2 3
[2x0][2x2+0x1][2x3+0x5+1x2][1x3+2x5][3x5]
0 4 8 13 15
4 9 4 5 risultato 4945
Riportiamo lo schema del calcolo:
Fase 1 fase 2 fase 3 fase 4 fase 5
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
Spiegazione
215x23=(200+10+5)(20+3)=20x200+20x10+5x20+3x200+3x10+3x5=
4.000+(2+6)x100+(3+10)x10+15=4.000+800+130+15=4945.
Non sappiamo se nell’antichità le operazioni fossero veramente queste
riportate da Tirthaji ma si può notare che i metodi sono utilizzabili a livello
di aritmetica elementare, che sono utili per comprendere elementari
proprietà (96 viene letto 100-4 diss. e poi distrib.), che ci permettono di
pensare l’algebra come una generalizzazione dell’aritmetica (attraverso la
spiegazione si è visto che ogni esempio ha un suo fondamento algebrico).
Tutti gli esempi evidenziano che ogni polinomio può essere espresso in
una notazione posizionale senza specificare la base e che lo stesso
algoritmo può essere applicato all’algebra e all’aritmetica. Le notizie
riportate sono tratte da “C’era una volta un numero” di Gheverghese e
concludo con le sue stesse parole. Questi metodi incoraggiano
un’aritmetica mentale ed è importante perché, nello studio
contemporaneo, l’aritmetica quotidiana dipende più dal calcolo
mentale che da quello scritto. I metodi vedici offrono punti di
riferimento e un fondamento metodologico coerente , posseggono un
notevole valore pedagogico perché ci liberano dalla smodata
dipendenza delle calcolatrici.
92

Il viaggio attraverso le moltiplicazioni continua con altre civiltà.
“Mai sento di essere arrivato, anche se giungo
alla fine del viaggio. Wole Soyinka
“Che cosa andate a fare laggiù”
“Lo saprò quando sarò arrivato” André Gilde
“Il viaggio non finisce mai. Solo i viaggiatori finiscono.
E anche loro possono prolungarsi in memoria, in ricordo,
in narrazione. José Saramago
“Conversare con gli uomini di altri secoli
è quasi lo stesso che viaggiare. Cartesio
Non ci sono abbastanza numeri piccoli per soddisfare le molte
richieste che se ne fanno. Richard Guy
La matematica non è soltanto quel complesso di regole e
operazioni che ci aiutano nella vita pratica di ogni giorno, e
nemmeno soltanto un insieme astratto di concetti da imparare per
non prendere un brutto voto a scuola. La matematica è anche un
universo pieno di magia: sotto i più comuni ragionamenti
matematici, che facciamo quotidianamente quasi senza pensarci,
si nascondono proprietà dalle implicazioni sorprendenti.
Ennio Peres
33+33+33=132
Un matematico è qualcuno che può prendere una tazza di caffé e farlo
diventare una teoria. Paul Erdos
93

Non è difficile accorgersi che fra matematica, letteratura e sentimenti ci
sono analogie e rapporti profondi, al di là della superficiale
contrapposizione suggerita dal vetusto slogan delle “due culture”
P. Odifreddi
L’innata attrazione verso tutto ciò che è magico, unita
all’istintivo desiderio di voler svelare il mistero, spingerà giovani
studenti, anche i meno esperti, alla scoperta dei ragionamenti
matematici alla base delle curiosità e dei trucchi proposti nei
“giochi matematici” Ennio Peres
Non c’è alleato più utile di un avversario cretino.
Indro Montanelli
La matematica è un gioco e comunica totale magia.
Anagramma di Mister Aster
1+1+1+1=100; 1+1+1+1+1=101; 1+1+1+1+1+1=110;
1+1+1+1+1+1+1=111
I giochi di prestigio basati su ragionamenti matematici possono
essere apprezzati sia dai cultori di matematica ricreativa, a cui
potranno fornire spunti interessanti e coinvolgenti, sia da coloro che
conoscono poco la matematica e che, grazie ad essi, avranno la
possibilità di avvicinarsi in maniera piacevole e coinvolgente ad
una materia di fondamentale importanza, ingiustamente
considerata arida e noiosa. Ennio Peres
La Logica è, per definizione, lo studio del logos: cioè, del pensiero e del
linguaggio. O meglio, del pensiero come esso si esprime attraverso il
linguaggio. Il che significa che, perché ci possa essere una logica, ci deve
essere un linguaggio. P. Odifreddi
“Archimede sarà ricordato anche quando ci si dimenticherà di Eschilo,
poiché le lingue muoiono, ma le idee matematiche no. ‘Immortalità’ può
essere una parola ingenua, ma un matematico ha più probabilità di
chiunque altro di raggiungere ciò che essa designa.
G. H. Hardy
14x14=220 14x14
94

60
14
220
Nel 1742 il matematico Christian Goldbach, tutore del figlio dello
Zar, formulò una congettura secondo la quale ogni numero pari
maggiore di due sarebbe la somma di due numeri primi.
Tutti abbiamo un guscio ma è importante cosa c’è dentro.
Truffault
L’olio nella lampada si sta esaurendo: non mi darà più di un altro paio
d’ore di luce, e sono ancora ben lontano dalla fine del mio testamento.
Non c’è tempo, non c’è tempo……ah, se solo avessi applicato questa
teoria della funzione alla mia vita! Avrei potuto conoscere a priori, ed
evitare le cose impossibili: quelle speranze e quei sogni che non si
potevano realizzare, quei sentieri che conducevano a vicoli ciechi. Forse
la vita e la teoria sono mutuamente esclusive; lo spirito della matematica
sarà sempre più vicino all’inchiostro che al sangue.
Tom Petsinis a proposito delle ultime riflessioni di Evariste Galois
Dimmi, amico, che maschera hai scelto……
E, se hai scelto una maschera, che occhi avrai? Bartoli-Recchioni
Evariste Galois (1811-1832) fu un matematico singolare e tragico,
pensatore originale e precoce. Muore per duello a soli ventuno anni. Nel
breve arco della sua vita non ottiene credito e riconoscimenti dai suoi
contemporanei anche se creerà le fondamenta di uno dei rami più
importanti della matematica moderna, la cosiddetta Teoria degli Insiemi, le
cui applicazioni vanno attualmente dalla fisica nucleare all’ingegneria
genetica.
T. Petsinis
Che abbiano pure il presente, loro: il futuro appartiene a me. Quando i
loro stupidi giochi si saranno trasformati in pietra e le loro risate saranno
svanite nel vento, i miei pensieri continueranno a vivere, non solo in
95

questa lingua, ma in quelle che oggi mancano ancora di un alfabeto.
E. Galois giovane
2+2=11; 3+3=12; 4+4=13; 5+5=14; 6+6=15; 7+7=16
La matematica è proprio disumana, dice Mme Angléres.
Da “Odile” di R. Queneau
Guardate lo zero e vedrete niente; guardate attraverso lo zero, e vedrete il
mondo. R. Kaplan
In matematica le rivoluzioni sono eventi silenziosi. Nessuno scontro,
nessun clamore. La notizia viene comunicata in qualche trafiletto lontano
dalle prime pagine. Donal O’ Shea
Molti alunni restano comunque interessati, addirittura affascinati dalla
matematica anche se ne rifiutano misteriosamente l’approccio. L’amano e
la detestano, nutrono nei suoi confronti piacere e terrore.
Anne Siety
Molti giustificano la loro difficoltà nell’apprendimento della matematica
con il suo carattere ostico, con il modo in cui viene insegnata e con
l’assenza di un “qualcosa” che si chiama “bernoccolo della matematica”.
Raramente fanno riferimenti a problematiche personali, al loro rapporto
con la disciplina, al posto che occupa nella loro storia.
Anne Siety
Sebbene Dio poteva creare il mondo in un istante, decise di impiegare sei
giorni per esprimere con quel numero la perfezione dell’universo. Il 6 non
è perfetto perché Dio l’ha scelto; esso è un numero perfetto in se stesso.
Dio ha creato tutte le cose in sei giorni perché questo è un numero
perfetto. E rimarrebbe tale anche se l’opera creata in sei non esistesse.
Sant’Agostino (Città di Dio)
Quando posso comunicare ai giovani la matematica che amo, penso di
essere invincibile, di amare e essere amato.
96

Sono libero. Italo Di Feo
La mia professoressa di matematica è preparatissima. Quando spiega, il
linguaggio è così difficile che pochi capiscono. Rocco allievo di III media
Gli amanti non s’incontrano in qualche luogo. Sono stati sempre l’uno
dell’altra. Gioläl ad Dini-Rümi
Nascita del calcolo della probabilità.
Monsier, nell’ultima lettera non sono riuscito a dirvi tutto quello che
penso riguardo alle partite con più giocatori; e, allo stesso tempo, ho una
certa riluttanza a farlo, per paura che questa ammirevole armonia che
abbiamo raggiunto e che mi è tanto cara possa venir meno, dato che temo
che su questo argomento possiamo avere opinioni differenti. Vorrei ora
esporvi per intero il mio ragionamento, aspettandomi che mi facciate il
favore di correggermi se sono in errore o di sottoscrivere le mie
affermazioni se sono corrette. Vi chiedo questo in tutta sincerità e buona
fede, dato che non sono certo che sarete d’accordo con me.
Lettera scritta il 24/08/1654 dal celebre matematico Blaise Pascal al suo
ancora più celebre compatriota Pierre de Fermat.
111x111=20021
Se io ho veduto più lontano (rispetto agli altri uomini), è perché sono
salito in piedi sulle spalle di giganti. Isaac Newton al fisico
Hooke
Leonardo da Vinci, interessato alla matematica e alle scienze, disegnò le
illustrazioni del libro De divina proportione di Luca Pacioli, eccellente
matematico. Tale testo, pubblicato nel 1509, è un trattato su una costante
matematica (all’incirca 1,618), ricavata da una proporzione definita negli
Elementi di Euclide. Il legame tra Pacioli e Leonardo forse ha fatto sorgere
il dubbio che il da Vinci ha usato questo numero nelle sue opere tra cui la
Gioconda.
97

Tutti i bambini sognano di volare. In matematica si vola, eccome.
H.M. Enzensberger
La matematica non è affatto la cosa noiosa e un po’ crudele che si studia
a scuola, ma semmai un’avventura entusiasmante. E’ un mondo
immaginario che riserva continue sorprese ed è capace di colpirti con la
sua genialità. H.M. Enzensberger
La pazienza offre grandi doni ai suoi adepti.
Che cos’è questa fortuna, e perché bacia così spesso chi non la
merita? Come possiamo prevedere quegli eventi casuali che
accadono intorno a noi? Oggi usando il linguaggio della
matematica possiamo ribattezzare il “caso” probabilità, definirlo,
inventare delle equazioni che ne rendono conto.
9x9=81;8x8=71;7x7=61; 6x6=51; 5x5=41; 4x4=31; 3x3=21; 2x2=11.
La matematica è meravigliosa. Le sue radici possono essere
rintracciate nel passato di ogni civiltà. E’ più che un’arte, più che una
scienza, più che un gioco. E’ un divertimento, ma anche potenzialmente
un’ossessione: la prima e più pura scienza, ma anche uno strumento
misteriosamente e incomprensibilmente potente per capire il mondo.
David Wells
I matematici appartengono alle più disparate classi sociali, e hanno alle
spalle ogni tipo di retroterra. Vanno dall’accademico, che incarna tutti gli
stereotipi dello scienziato pazzo, al cittadino del mondo per il quale la
matematica è solo uno svago.
David Wells
Il matematico è come un giocatore d’azzardo: entrambi giocano con delle
regole astratte che loro stessi hanno creato.
Denis Diderot (1713-1784)
Perché tutti gli uomini contano fino a 10 e non fino a qualche altro
numero, diciamo ad esempio 2, 3, 4, 5 per poi ripeterli? O perché non si
fermano in qualche punto oltre il dieci e poi ripartono da lì? Chiaramente
non è il risultato di un caso se tutti gli uomini invariabilmente contano di
dieci in dieci; e quello che è invariabile e universale non è il risultato di
un caso, ma è la natura stessa delle cose. E questo succede perché dieci è
un numero perfetto? O perché dieci è un numero originale, dal momento
98

che uno, due, tre e quattro fanno dieci?O perché tutti gli uomini hanno
dieci dita, e così, come se possedessero gli strumenti che indicano i numeri
propri all’uomo, contano ogni cosa secondo questa quantità? Solo una
razza, i Traci, contano di quattro in quattro, perché la loro memoria non
può andare più in là e loro non sono abituati a nulla di più grande.
Aristotele
La matematica è anche fede nel proprio intelletto e la fede, dice
Maometto, muove le montagne. Italo Di Feo
Spesso si è troppo vecchi e troppo ricchi per credere nell’amore e si è
troppo soli per continuare a essere soli. Wood
C’è chi ha il genio dei numeri e chi l’accanimento. Ma alla fine pure
la matematica diventa romanzo. Gianluca Di Feo
Archimede sarà ricordato quando Eschilo sarà dimenticato, perché le
lingue muoiono ma le idee matematiche no. “Immortalità” è forse una
parola ingenua ma, qualunque cosa significhi, un matematico ha le
migliori possibilità di conseguirla. G.H.
Hardy
Abbiamo costruito mille templi alla fortuna e nessuno alla ragione.
Marco Cornelio Frontone precettore di Marco Aurelio.
Epigrafe alla dea Fortuna dei Romani o alla dea Tyche dei Greci.
I giovani dovrebbero dimostrare i teoremi, i vecchi dovrebbero scrivere
libri. Nessun matematico può permettersi di dimenticare che la
matematica, più di qualsiasi altra arte o di qualsiasi altra scienza, è
un’attività per giovani. G.H. Hardy
In matematica l’esperienza che si acquisisce con l’età sembra meno
importante dell’intuizione audace della giovinezza. Simon Singh
Abel, vissuto nel XIX secolo, diede i più grandi contributi alla
matematica all’età di 19 anni e morì povero otto anni dopo. “Ha lasciato ai
matematici di che tenerli occupati pei i prossimi 500 anni”
Charles Hermite
99

Non conosco un solo esempio di un grande progresso matematico
intrapreso da un uomo che ha superato i 50 anni. G.H. Hardy
I miei genitori sono il dubbio e la coscienza.
Nel sesto secolo a.C., Pitagora di Samo fu una delle figure più autorevoli
e misteriose della matematica. Poiché non esistono resoconti di prima
mano della sua vita e della sua opera (commentari), la sua figura è
avvolta nel mito e nella leggenda e quindi è difficile separare la realtà
dall’immaginazione. Si dice che abbia studiato le proprietà di certi numeri
particolari, i rapporti tra i numeri e gli schemi che essi formavano.
Pitagora capì che i numeri esistono indipendentemente dal mondo
sensibile e che perciò il loro studio non è soggetto alle imprecisioni della
percezione. Viaggiò per circa venti anni, assimilando tutte le regole
matematiche egiziane e babilonesi (tali popolazioni erano capaci di
eseguire calcoli complessi con ottimi sistemi di numerazione soprattutto
quello babilonese). Cercò di fondare nella sua isola Samo, nel mare Egeo,
una scuola di filosofia che si occupasse anche di ricerca di regole
matematiche ma fu ostacolato dal tiranno Policrate. Si isolò in campagna
e, pur di diffondere le proprie idee, dava tre oboli per ogni lezione a un
discepolo che nel tempo si appassionò alla matematica e si offrì di pagare
le lezioni per non interrompere la propria educazione. Con la madre e il
suo unico discepolo partì per l’Italia meridionale (Magna Grecia), e si
stabilì a Crotone dove trovò un protettore ideale in Milone, un cultore
della matematica ma soprattutto un erculeo campione che aveva vinto 12
volte i Giochi Olimpici e i Giochi Pitici. Nella casa di Milone istituì una
scuola: il Sodalizio pitagorico con circa 600 allievi. Ogni seguace che
aderiva al Sodalizio, doveva versare in un fondo comune tutti i suoi beni e
se qualcuno decideva di andarsene, avrebbe ricevuto il doppio del donato.
Nella scuola c’erano alcune donne tra cui la figlia di Milone che Pitagora,
nonostante la differenza di età, sposò. Si dice anche che coniò la parola
“filosofo” mentre assisteva ai Giochi Olimpici. Leone, principe di Flio,
chiese a Pitagora come si sarebbe definito. Pitagora rispose “ Sono un
filosofo” e poiché Leone non conosceva questa parola, egli spiegò:La vita
può essere paragonata a questi Giochi, perché nella folla qui convenuta
taluni sono attirati dal guadagno, altri sono mossi dalla speranza e
100

dall’ambizione di ottenere fama e gloria. Ma tra costoro ve ne sono
alcuni, che sono venuti per osservare e capire. Nella vita avviene lo stesso.
Alcuni sono influenzati dall’amore per la ricchezza, mentre altri sono
ciecamente spinti dal folle desiderio di potere e di dominio, ma l’uomo
migliore si dedica a scoprire il significato e lo scopo della vita stessa.
Egli cerca di scoprire i segreti della natura. E’ questo l’uomo che io
chiamo filosofo perché egli può amare la sapienza in quanto chiave di
accesso ai segreti della natura. Ogni membro della scuola giurava di non
rivelare all’esterno nessuna delle loro scoperte matematiche ed il
carattere di segretezza ha fatto fiorire molte leggende sugli strani rituali
che i pitagorici avrebbero praticato ed è forse la causa della scarsità di
fonti attendibili sulle loro conoscenze matematiche. Il Sodalizio, in effetti,
era una comunità religiosa e uno degli idoli adorati era il Numero.
Comprendendo i rapporti tra i numeri, i pitagorici credevano di poter
scoprire i segreti dell’universo e di avvicinarsi alle divinità. Sempre con
molti dubbi si parla delle scoperte dei numeri interi, razionali, perfetti,
eccedenti, difettivi. A Pitagora si attribuisce la relazione fondamentale tra
l’armonia musicale e l’armonia dei numeri. Molte delle notizie qui
riportate sono del Giambico, filosofo del IV secolo d.C. che scrisse nove
libri sulla setta pitagorica.
Un fetente ricco o potente diventa un grande uomo, mentre un fetente
povero resta un fetente.
Numeri perfetti=alla somma dei propri divisori 6=1+2+3;
28=1+2+4+7+12; 496=1+2+4+8+16+31++62+124+248;
8128=1+2+4+8+16………………………
33.550.336………e 8.589.869.056….
Tutte le potenze di 2 non sono numeri perfetti per lo scarto minimo di
1.
2 2 =4; divisori 1, 2 e 1+2=3; 3 è un numero difettivo per un’unità.
2 3 =8 divisori sono 1,2, 4 e 1+2+4=7; 8 è un numero difettivo
2 5 =32 divisori 1, 2, 4, 8, 16 e 1+2+4+8+16=31; 32 è difettivo per un’unità.
101

Ci sono dunque moltissimi numeri lievemente difettivi. I Greci non
riuscirono a trovare numeri lievemente eccedenti e non riuscirono a
dimostrare l’esistenza di tali numeri. Dopo 2.500 anni non siamo in grado
di dimostrare che i numeri lievemente eccedenti esistono.
Il rapporto tra lunghezza effettiva di un fiume dalla sorgente alla foce e la
lunghezza in linea d’aria è all’incirca 3,14
Non far niente a volte è un modo per far qualcosa.
Una dimostrazione matematica classica deve iniziare con una serie di
assiomi, asserzioni che possono essere assunte come vere o che sono
palesemente vere. Quindi, argomentando logicamente, passo dopo
passo e usando proposizioni già dimostrate, è possibile arrivare ad una
conclusione. Se gli assiomi sono corretti e l’argomentazione logica
impeccabile, allora la conclusione sarà irrefutabile. La conclusione è il
teorema.
Le dimostrazioni matematiche sono assolute.
Le debolezze delle prove scientifiche basate sull’osservazione e la
percezione conducono alle rivoluzioni scientifiche. “Anche se può
sembrare un paradosso, tutta la scienza esatta è dominata dall’idea
dell’approssimazione” Bertrand Russell
La dimostrazione matematica è assoluta e inconfutabile.
S.Singh
Geometria e Aritmetica sono le due ali con le quali l’umano ingegno
vola alle perfette notizie delle filosofiche cose.
Talete (624-547 a.C. circa)
11 2 =1001
102

VIII INSERTO
Moltiplicazione araba “per gelosia”
Il profeta Maometto (570 circa-632), tra il 622, anno della fuga dalla
Mecca verso l’attuale Medina, e il 632, anno della morte, creò uno stato
islamico, un impero militare oltre che religioso che si estendeva dal Nord
Africa (sud) alla Francia (ovest) e che toccava la Persia e le pianure
dell’Asia centrale, l’India settentrionale e arrivava ai confini della Cina. I
suoi successori, i califfi, appartenevano a una delle due dinastie, gli
Omayyadi e gli Abbasidi; tali successori contribuirono ad occupare i
territori precedentemente citati. In breve tempo conquistarono Damasco,
Gerusalemme, gran parte della Mesopotamia e nel 641 Alessandria
(ricordo il centro matematico del mondo fino a qualche anno prima), dove
distrussero i pochi libri ancora rimasti. Per un secolo i conquistatori arabi
lottarono tra loro; all’inizio prevalsero gli Omayyadi che governarono
stabilendo la capitale a Damasco. Successivamente furono sconfitti e il
potere passò agli Abbasidi; un giovane della dinastia degli Omayyadi, Abd
al-Rahman, scappò in Spagna e fondò uno stato islamico con capitale
Cordoba. Gli Abbasidi erano più cosmopoliti (non provenivano tutti dalla
penisola araba come gli Omayyadi) e quindi accolsero neoconvertiti di vari
gruppi etnici. Dal 750 in poi il loro spirito bellicoso si trasformò in
interesse verso tutto ciò che era civiltà dei paesi conquistati. Il califfo al-
Mansur fondò una nuova capitale a Baghdad e pensò di trasformarla in una
nuova Alessandria. I suoi successori Harun al-Rashid (786-809) e al-
Mamun (809-833) continuarono la sua opera e a loro dobbiamo la salvezza
di gran parte della scienza e della matematica antica. A Baghdad furono
creati un osservatorio, una biblioteca (sarà la più importante al mondo per
alcuni secoli), un istituto per le traduzioni e la “casa della saggezza” (Bait
al-Hikma), centro intellettuale del mondo per due secoli. In questo
ambiente vivevano molti dei più famosi scienziati del tempo, tra i quali
Mohammed ibn-Musa al-Khuwarizmi che segnerà la storia della
matematica ed è ritenuto il fondatore dell’algebra. Sempre in questo
periodo furono tradotti i principali testi classici scientifici sanscriti,
persiani, greci e siriaci; questi testi erano acquistati grazie a missioni in
tutte le parti del mondo che spesso finivano anche tragicamente. E’
indubbio che i traduttori arabi (soprattutto bizantini e siriaci) introdussero
nei testi loro osservazioni o cambiarono lievemente qualche dimostrazione
ma questi testi hanno rappresentato la fonte a cui ha attinto a piene mani
103

dopo 5-6 secoli la cultura europea. L’aritmetica araba è di origine indiana
e basata sul sistema posizionale.
Moltiplicazione
La moltiplicazione che noi usiamo è uguale a quella degli Arabi e dei
Cinesi salvo delle differenze grafiche. La moltiplicazione araba era anche
detta “per gelosia” per la disposizione dei numeri in una specie di
graticola. “Gelosia” deriva dall’arabo e rappresenta un tipo di finestre
usate dagli arabi e anche a Venezia che servivano per celare allo sguardo
le donne.
104

105

Nel 1958 Arthur Poges scrisse una novella “Il diavolo e Simon Flagg”; in
essa il diavolo chiede a Simon di fargli delle domande e se saprà
rispondere si prenderà la sua anima mentre nel caso contrario gli darà
100.000 dollari. Simon gli chiede se l’ultimo teorema di Fermat è corretto.
Il diavolo il giorno dopo ammette la sconfitta: Hai vinto Simon. Neppure
io posso imparare abbastanza matematica in un tempo così breve per poter
risolvere un problema tanto difficile. “Sai”, confidò il diavolo, “che
neppure i migliori matematici negli altri pianeti, che sono tutti molto più
progrediti del vostro, l’hanno risolto? Su Saturno c’è un tipo-assomiglia a
un fungo su un paio di trampoli- che risolve equazioni parziali
differenziali a memoria e anche lui ha rinunciato.
Arthur Poges
“Qualunque mia opera sia giudicata degna di pubblicazione, non
voglio che vi compaia il mio nome” Pierre de Fermat
Fermat, genio solitario, sacrificava la fama per non essere distratto
da inconsistenti interrogazioni dei critici.
Il cammino incomincia e il viaggio è già finito.
Affermazione sulla brevità della vita
Euclide usava un tipo di dimostrazione detta “reductio ad
absurdum”, un’arma logica impostata sull’idea di cercare di
dimostrare che un teorema è vero, assumendo inizialmente che sia
falso.
La “reductio ad absurdum”, tanto amata da Euclide, è una delle più belle
armi di un matematico. G.H.Hardy
Gli Hindù compresero che lo zero aveva un’esistenza indipendente al di là di
essere separatore di altri numeri. Lo zero era un numero a pieno titolo; esso
rappresentava la quantità del nulla.
Le idee non provate sono meno preziose di un teorema certo e
vengono considerate solo congetture. Ogni argomentazione logica
che si avvale di una congettura è essa stessa una congettura. Singh
106

La matematica non è una marcia in perfetto ordine lungo un corso
sgombro e diritto, ma è un viaggio in una strana terra selvaggia,
dove spesso gli esploratori si perdono. Il rigore dovrebbe essere un
segnale per lo storico che le mappe sono state tracciate e che i veri
esploratori sono andati altrove. W. S. Anglin
Creare la matematica è un’esperienza sofferta e
misteriosa. Spesso l’oggetto della dimostrazione è chiaro, ma la
procedura è avvolta nella nebbia e il matematico inciampa nei
calcoli, terrorizzato all’idea che ogni passaggio, se sbagliato, possa
portare l’argomentazione in una direzione del tutto erronea. Per
di più c’è il timore che non esiste alcuna strada. Un
matematico può credere che un enunciato sia vero, impiegare anni
per dimostrarlo, mentre in realtà si tratta di un enunciato falso. Il
matematico ha così tentato di dimostrare l’impossibile.
Simon Singh
Non c’è peggior scemo di un vecchio scemo che si mette con una giovane
scema. Reg Smithe
Eulero aveva un’autentica passione per la matematica ed era capace
di scrivere vari elaborati in un solo giorno. Si racconta che tra la
prima e la seconda chiamata per la cena egli tentasse spesso di
stendere di getto un calcolo completo degno di pubblicazione.
Numeri amicabili sono coppie di numeri tali che ogni numero è la
somma dei divisori dell’altro. La più famosa coppia è 220 e 284; un
matematico arabo scrisse della pratica di far incidere su un frutto 220 e
284 su un altro frutto, poi di mangiare il primo ed offrire il secondo ad
un’amante come afrodisiaco matematico. Nella Genesi Giacobbe consegna
220 capre ad Esaù e questo viene interpretato come espressione dell’amore
dell’uno verso l’altro.
Nella letteratura specialistica, il simbolo per indicare il rapporto aureo
1,618033…è τ (tau-dal greco tomé taglio o sezione). All’inizio del xx
secolo l’americano Mark Barr ha introdotto Φ (iniziale di Fidia).
Mario Livio
107

La storia dei numeri comincia con i numeri naturali (1,2,3,…). Questi
permettono di addizionare semplici quantità intere e ottenere un
totale che è anch’esso un numero intero. Oltre l’addizione anche la
moltiplicazione usa numeri interi per produrre altri numeri interi. La
divisione presenta il problema che spesso il risultato è una coppia di
numeri interi (frazione). La divisione è dunque un’operazione tra
numeri naturali che impone soluzioni che vanno oltre i numeri
naturali (bisogna ricorre alle frazioni perché ci troveremo con
questioni senza risposte se non si ricorresse ad esse-nascita dei numeri
razionali e della nozione di completezza). Per il bisogno di completezza
gli hindù crearono i numeri negativi (operazione di sottrazione) e per
la stessa ragione i Greci scoprirono i numeri irrazionali. I razionali e
irrazionali insieme furono chiamati numeri reali e con il Rinascimento
i matematici pensarono di aver scoperto tutti i numeri esistenti. Ma
nel XVI secolo Raffaele Bombelli, matematico italiano, s’imbattè in
radici di numeri negativi e creò i numeri immaginari.
“Oggi mi sento felice senza motivo e questo mi angoscia” da Linus
Il numero immaginario è un bello e meraviglioso
espediente dello spirito divino, quasi un anfibio tra
l’essere e il non-essere. G. Leibniz
I matematici puri hanno sfruttato i numeri immaginari per
trovare risposte a problemi precedentemente impenetrabili.
La logica è l’igiene praticata dai matematici per mantenere sane e
robuste le loro idee. Hermann Weyl
L’algebra è generosa, spesso ti dà molto di più di quello che le hai
chiesto.
D’Alembert
108

asi del calcolo attraverso l’introduzione dei logaritmi nel 1614. I
“bastoncini di Nepero” erano dei parallelepipedi di legno a base quadrata,
sulle cui facce erano incisi i multipli dei numeri da 1 a 9 in verticale; in più
un decimo bastoncino, usato come moltiplicatore, aveva incisi sempre in
verticale i numeri da 1 a 9. Riporto i “ bastoncini:
Per moltiplicare due numeri 923x57 bastava accostare al “bastoncino”
moltiplicatore i “bastoncini” del 9, del 2 e del 3, sommando le cifre in
diagonale, con lo stesso metodo del reticolo arabo e ricordandosi di
aggiungere uno zero al risultato che si ha per la cifra 5(decine).
114

Usando gli stessi bastoncini possiamo calcolare 923x365
In corrispondenza al 3 del moltiplicatore abbiamo: 2769
In corrispondenza al 6 del moltiplicatore abbiamo: 5538
In corrispondenza al 5 del moltiplicatore abbiamo: 4615
E quindi 276.900+55.380+4.615=336.895
Il viaggio attraverso le moltiplicazioni continua….
La strada è ciò che conta. Il corallo stratifica,
Non preoccuparti di dove la palma cresce,
stai andando. ma l’uomo va via.
Sam Shepard Proverbio tahitiano
115

Molti dei più eminenti logici del XX secolo sono stati ricoverati in
manicomio a un certo momento della loro vita: Cantor, Zermelo, Gödel,
Peano e Post sono solo alcuni.
37x2x3=222; 37x4x3=444; 37x5x3=555; 37x6x3=666……..
Non si può sfuggire all’impressione che queste formule matematiche
vivano un’esistenza indipendente e abbiano una propria intelligenza, e che
ne sappiano anche più di noi, perché possiamo ricevere da loro più di
quanto ci aspettavamo in un primo tempo.
H. Hertz
Brutti versi
La moltiplicazione è un’oppressione, la divisione un male
la regola del tre mi è oscura del tutto e gli esercizi mi fanno diventare
matto.
Sette piaghe ha avuto l’Egitto,
noi ne abbiamo solo tre,
Algebra, Aritmetica,
e Geometria piana.
Il coraggio di ritrovarsi da soli è stato sempre il segno distintivo
dell’Eroe. Marion Wodman
Molti pensatori hanno considerato la straordinaria attitudine della
matematica di “adattarsi” alla natura. Dall’antica Grecia al Rinascimento
l’Occidente ha creduto che il Cielo fosse costruito in cerchi e sfere,
essendo queste le più perfette tra le forme. Einstein credeva che la cosa più
difficile da comprendere dell’universo fosse il fatto stesso che noi
possiamo comprenderlo. Eugene Wigner, premio Nobel per la fisica,
trovava miracolosa l’efficacia della matematica quando veniva applicata
alla fisica o alle altre scienze: “Si può arguire che i concetti matematici,
che richiedono grande arguzia, sono anche belli. Il miracoloso successo del
linguaggio matematico applicato alla formulazione di leggi fisiche è un
dono meraviglioso che non ci è dato di comprendere e che forse non
meritiamo….”
116

Il cervello di Gauss aveva un peso leggermente superiore alla media,
1492 grammi, e presentava una maggiore ricchezza di circonvoluzioni
rispetto ad altri cervelli sezionati.
I numerali europei, già adoperati dagli Arabi, vennero ideati in India; i
Cinesi usavano i numeri negativi molto prima di chiunque in Europa e il
triangolo di Pascal era utilizzato dai Cinesi molto prima che Pascal lo
studiasse. Le determinazioni del valore di π stabilite da Liu Hui (ca. 200
d.C.) e successivamente da Tsu Chung Chih (ca. 400 d.C.) sono state le più
esatte per circa mille anni. La formula per il volume del prisma tronco a
base triangolare, presentata nel 1794 in Occidente negli Eléments de
géometrie di Legendre, si trova nel libro Chiu Chang Suan Shu scritto tra il
300 a.C. e il 200 d.C. Le formule di interpolazione note come formule di
Newton-Stirling e Gregory-Newton erano state trovate: la prima da Kuo
Shou Ching (ca. 1275) e la seconda da Chu Shih-chieh nel 1303. Il metodo
Horner per la risoluzione di equazioni è identico a quello cinese usato più
di 500 anni prima. Il metodo di Brouncker (1657) per la soluzione di
equazioni indeterminate del tipo y=ax 2 +bx+c fu scoperto nel 1114 da
Bhaskaracharya. Il teorema elegantissimum di Eulero usato per la
risoluzione delle equazioni di Pell compare nel 600 d.C nell’opera di
Brahmagupta che trovò anche formule relative alle diagonali di un
quadrilatero scoperte in Europa da Snell nel 1619. Madhava (ca. 1340-
1425) trovò 11 cifre decimali del π mentre il famoso avvocato Viete nel
1759 ne aveva trovate solo 9 e conosceva anche la serie detta di Gregory
(1667) e la serie di Leibniz per il π.
8x9=1001000; 8x9=2200; 8x9=1020; 8x9=242;
La vita è tutto quello che ti succede mentre sei impegnato a fare altri
progetti. John Lennon
117

Per l’influenza di mio padre apprezzo di più la matematica di
quanto facciano i miei colleghi. Ne apprezzo i giudizi di valore e ne
ammiro la forza e la bellezza: vi è qualcosa d’intrigante e ingenuo
nelle sue manovre tattiche, così come nelle sue campagne
strategiche fatte di sterzate mozzafiato. E, come è ovvio, miracolo
dei miracoli, alcuni concetti matematici si rivelano in grado di
descrivere le strutture fondamentali che governano l’universo fisico.
C.N. Yang, premio Nobel per la fisica 1957
Chiesi ad una ricercatrice medica come avesse deciso di diventare
una scienziata. “Grazie al mio giovanile amore per la mia
matematica” rispose e parlò dell’incredibile bellezza della regolarità
e dell’ordine matematico… Il viso era infiammato e compresi che
era l’idea di risolvere problemi che l’aveva eccitata. Fu il pensare al
pensare che la mandò in visibilio. La matematica stessa, il primo
strumento di intensa eccitazione mentale, era legato al piacere di
vivere. Vivian Gornik
La matematica sembra dotare una persona di qualcosa come un nuovo
senso. Charles Darwin
La matematica è la più alta e la più precisa espressione del vero.
Giuseppe Veronese (1854-1917)
“I dotti raccontano che il re divise l’Egitto in regioni tante quante erano i
suoi abitanti, consegnando ad ognuno di questi un’uguale parte di terreno.
Attraverso tale divisione e la conseguente tassa annuale per ogni terreno,
il re finanziava le casse dello stato. Se il fiume avesse inghiottito la terra
di qualcuno, gli ispettori del re avrebbero misurato il terreno ancora
agibile, in modo tale da far pagare la persona in proporzione. Mi pare che
questo modo di procedere fu importato anche in Grecia. Invece le
meridiane e la divisione del giorno in dodici ore furono prese dai
Babilonesi” Erodoto a proposito delle origini della geometria
.
Non esiste democrazia senza libertà
118

Nel 1816 un dente appartenuto a Sir Isaac Newton fu venduto a
Londra per 730 sterline. Il nobiluomo che lo comprò, lo fece
incastonare in un anello.
Senti che nova c’è:
fior di limone,
si Cristo nun perdona a le puttane,
er paradiso lo po’ dà a pigione. Gioacchino Belli
La matematica è spesso paragonata alle arti e in particolare alla musica,
ed è vero infatti che i talenti di queste due discipline si possono svelare a
un’età sorprendentemente precoce. Le considerazioni estetiche, la bellezza,
la semplicità e l’eleganza in matematica sono importanti quanto la verità.
Se guardiamo la matematica come un apparato di conoscenze è indubbio
che la si possa considerare una scienza, è d’altra parte vero che osservando
il modo in cui si è sviluppata ed evoluta l’attuale pratica matematica
sembrerebbe di trattare con un’arte. La matematica si occupa
esclusivamente degli oggetti e delle strutture create dalla mente,
sebbene queste possano essere suggerite dal mondo reale. Le idee di
Euclide, Apollonio e Archimede sono valide oggi come lo erano duemila
anni fa, ma mentre i contenuti e la sostanza rimangono identici, cambiano
le forme in cui vengono presentati. A. Selberg
Numeri primi gemelli sono quelli la cui differenza tra il maggiore e il
minore è uguale a 2. Esempio 5-7, 11-13, 17-19, 29-31…
I matematici sono come degli alpinisti, cercano di scalare solo quelle
vette che sono alla loro portata. Attaccati a problemi troppo semplici e
finirai per essere deluso ; attacca problemi troppo difficili e anni di ricerca
potenzialmente fruttuosi potrebbero trasformarsi in nulla.
A. Wiles
Fede politica
Il nostro presidente è nudo. Si, ma ha un affare così grande.
Perché studiare matematica? Lo studio della matematica abitua alla
riflessione e al ragionamento, stimola le capacità d’intuizione e lo spirito
120

di ricerca, ha funzione educativa di pensiero, abitua alla chiarezza
espositiva e precisione di linguaggio, sviluppa le capacità logiche e di
astrazione, affina le capacità di sintesi, abitua a descrivere la realtà nei suoi
vari aspetti e a considerare criticamente informazioni e ipotesi. La
matematica ha profondo legami con l’arte, la musica e altre forme
espressive; è una disciplina indispensabile per tutta la ricerca scientifica e
tecnologica.
Nessuna scienza mi sembra più facile, più utile e più bella della
matematica. Ho detto che la matematica è più facile di ogni altra scienza.
Ed invero: quale altra scienza si occupa di verità più elementari, poiché
essa non ne presuppone nessun altra, mentre ogni altra presuppone la
matematica? In quale altra scienza ci sono argomentazioni così
convincenti ed esaurienti? Quale altra scienza conduce a risultati più sicuri
e più agevolmente controllabili?...Quando affermo che la matematica è più
facile d’ogni altra scienza, io non ignoro e non dimentico quanto essa
riesca difficile ai più: gli è che io dubito che costoro, benché siano i più,
siano atti a formarsi una solida cultura in qualsiasi altro ramo dello scibile.
Ho detto che la matematica è più bella d’ogni altra scienza; ed invero in
quale altra meglio rifulge lo splendore del vero? Ho detto che la
matematica è più utile d’ogni altra scienza; ed invero quale altra fornisce
cognizioni tanto universali nel tempo e nello spazio, aiuto valido alle
scienze fisiche e alle arti costruttive? Ma la matematica è universalmente
utile, oltre e forse più per la verità che essa fa conoscere, per i metodi di
ricerca che essa adopera ed adoperando insegna. Nessun altro studio
richiede meditazione più pacata: nessun altro meglio induce ad essere cauti
nell’affermare, semplici e ordinati nell’argomentare, precisi e chiari nel
dire; e queste qualità sono così rare che possono bastare da sole ad elevare,
chi ne è dotato, al disopra della maggioranza degli uomini.
Da Elogio della matematica di A. Padoa
E’ più facile confessare i propri peccati che le proprie fantasie.
Sigmund Freud
Ogni generazione ha i suoi pochi grandi matematici, e la matematica non
si accorgerebbe nemmeno dell’assenza degli altri. Essi sono utili come
insegnanti, e la loro ricerca non danneggia nessuno, ma non è di alcuna
importanza. Un matematico è grande oppure non è nulla. A. Adler
121

Che cos’è la matematica?
La matematica riflette la volontà attiva, la ragione contemplativa e il
desiderio di perfezione estetica. I suoi elementi fondamentali sono la
logica e l’intuizione, l’analisi e la costruzione, la generalità e
l’individualità. Gli aspetti diversi di questa disciplina costituiscono la vita,
l’utilità e il valore supremo della scienza matematica. Qualunque sviluppo
della matematica ha senza dubbio le sue radici in esigenze più o meno
pratiche, ma, una volta iniziato sotto la pressione della loro necessità, esso
inevitabilmente acquista valore in se stesso e trascende i confini
dell’utilità. Questo tendere della scienza applicata a quella teorica si
manifesta sia nella storia antica che nella matematica moderna….
Attraverso i secoli i matematici hanno considerato gli oggetti del loro
studio, i numeri, i punti, ecc., come cose esistenti di per sé. Poiché questi
enti hanno sempre sfidato ogni tentativo di descrizione adeguata,
lentamente sorse nei matematici del XIX secolo l’idea che la questione del
significato di questi oggetti come cose sostanziali non ha senso in
matematica. E’ importante stabilire solo delle relazioni tra gli oggetti
matematicamente non definiti e le regole che governano le operazioni con
essi (come il fatto che due punti determinano una retta o che i numeri si
combinano secondo certe regole formando altri numeri). Uno dei più
importanti e fruttuosi risultato dello sviluppo postulazionale moderno è
stata una chiara indagine della necessità di rendere astratti i concetti della
matematica elementare. E’ l’esperienza attiva la sola che può
rispondere alla domanda: che cos’è la matematica? Richard
Courant e Herbert Collins
L’unico modo di liberarsi di una tentazione è cedervi. Oscar Wilde
Fra un numero e il suo doppio c’è sempre un numero primo
Quando insegniamo ai nostri studenti a usare una formula, li rendiamo
dipendenti da quella formula. Se invece insegniamo senza usare formule,
sviluppiamo nei nostri studenti l’abilità a creare le cose da soli.
C. Adwards
122

Gli “Elementi” di Euclide è il libro dei libri. Il testo più importante mai
scritto, anche più della “Bibbia”. E’ passato attraverso i secoli, le nazioni,
le lingue, le religioni. La sua rilevanza è senza tempo; la sua nazionalità
universale; la sua lingua, la logica.
Tom Petsinis sulla vita di Galois
Logica. E’interessante notare che le scuse per gli errori non sono mai
superflue. In un primo momento potrebbe sembrare che, se il testo non
contiene errori,tali scuse siano addirittura contraddittorie. Ma se davvero
non vi fossero errori, sarebbe un errore fare le scuse per gli errori
commessi, e questo sarebbe appunto l’errore per il quale ci si scusa.
Furio Honsell
Lo spirito della matematica non può essere compreso con i ripetitivi
esercizi dell’aritmetica. T. Petsinis
“Il punto è ciò che non ha parti”. Se lo rappresento su una pagina non è
più un punto. Se cerco di afferrarlo con il pensiero, scompare. Immagino
un punto che si muove a grande velocità: in quell’istante è sia un punto sia
una linea, una particella e un processo. Se afferro la linea, perdo di vista il
punto. Se mi concentro sul punto, la linea si dimostra un’illusione. E’
stupefacente che qualcosa di tanto intangibile debba essere la base di tutta
la geometria!
T. Petsinis
I legami del matrimonio sono così pesanti che bisogna essere in due per
sopportarli, a volte in tre. A. Dumas
Lo scopo della matematica è la divina follia dello spirito umano, un
rifugio dagli assilli delle contingenze.
Alfred Whitehead (1861-1947)
La matematica è la scienza dell’infinito. Hermann Weyl (1885-1955)
123

Per quanto i profani sorridano, e non sempre con simpatica amabilità,
della frequenza con la quale i matematici parlano di bei teoremi, di
procedimenti dimostrativi eleganti e di trattati che si leggono come
romanzi, per chi la coltiva con passione e con successo, il pregio migliore
della matematica non consiste nell’immensa utilità sociale delle sue
applicazioni ma nel fatto che talune delle sue più elevate teorie, quando
siano contemplate nel loro insieme, nel loro armonico dispiegarsi in
sistemi coerenti e compatti, danno tale un’impressione di alta e pura
bellezza quale sono capaci di suscitare le più ispirate poesie e le pagine di
musica più potentemente suggestive. Luigi Cavalli-Sforza.
Cos’è esattamente la matematica? Molti hanno tentato, ma pochi
sono riusciti a definirla; è sempre qualcos’altro. In poche parole la
gente sa che riguarda numeri, figure, relazioni, operazioni, le sue
procedure formali hanno a che fare con assiomi, dimostrazioni, lemmi,
teoremi che non sono cambiati dai tempi di Archimede.
Stanislaw Ulam (1909-1984)
Ogni numero pari è la somma di due numeri primi. 16=5+11; 24= 5+19
Ogni numero dispari maggiore di 5 è la somma di tre numeri primi.
Esempio 25=5+7+13; 43=7+13+23
In molti casi, la matematica è una fuga dalla realtà. Il matematico trova
una sua propria nicchia monastica e la felicità in attività che sono
completamente separate dalla realtà esterna. Alcuni la praticano come se
stessero usando una droga. S. Ulam
Coloro che non capiscono il passato, sono costretti a riviverlo.
Goethe
Mi spiace ammettere che la materia che mi è piaciuta di meno è stata la
matematica. Ci ho pensato su, e credo che la ragione sia che la matematica
non lascia spazio alle discussioni. Se fai un errore, non puoi scamparla.
124

Malcom X (1925-1965)
Le osservazioni che seguono sono tratte dal libro di Tom Petsinis “Il
matematico francese”. Le frasi sono attribuite a Galois.
Saranno indicate con T.P
Numeri OMIRP sono i numeri primi tali che, invertendo l’ordine delle
cifre, otteniamo un altro numero primo. Esempio 13-31, 79-97
Quando il greco e il latino saranno morti, la geometria sarà il linguaggio del
mondo. Le idee della geometria rimarranno intatte per altri duemila anni e
quelle idee sono come parassiti, che si impadroniscono delle menti adatte, si
nutrono di giovani pensieri, si muovono attraverso il tempo usando la mente
umana come mezzo di trasporto. Galois T.P
La matematica o nulla. Verità, non fantasia. Non c’è disputa nella
geometria: la geometria di Euclide era vera nell’Alessandria del terzo secolo
a.C. e lo sarà anche al polo Nord tra duemila anni. Sono felice che gli altri
trovano difficile la geometria. Significa che, a differenza del romanzo, la
geometria non è per tutti. Galois T.P
Sono condannato alla lucidità. Astemio totale: devo smettere di non bere.
R. Benigni
Dio era un geometra. Aveva disegnato l’universo usando solo un compasso
e un righello senza alcuna segnatura, e il Suo progetto era il cielo notturno,
che apriva per pianificare il futuro.
Un’idea originale non vale nulla se non viene comunicata chiaramente. Non
è altro che vapore e la testa di chi l’ha avuta è come se fosse vuota. Molte
persone hanno idee, intuizioni e illuminazioni, ma pochi sono capaci di
tradurle dal personale al pubblico. Quante grandi idee non hanno visto mai
la luce del sole? Quante rimarranno nell’oscurità di un cranio a causa della
mancanza di espressione? Cartesio diceva “quando ci si occupa di materie
trascendentali- e nulla è più trascendentale della matematica- si deve essere
trascendentalmente chiari”. Il suo difetto, Galois, sta nell’essere troppo
125

veloce. Vede le conclusioni ancor prima di accostare la penna al foglio. Una
dimostrazione non è importante per il finale, ma per il procedimento che vi
conduce, nella logica che lega le varie parti in un tutto di armonioso. Un
passaggio logico mancante può rendere incerta una dimostrazione. T.P
X INSERTO
La moltiplicazione con l’abaco inca
Quando la prima nave europea approdò sulle coste del nuovo continente, la
popolazione dell’America centro-meridionale era di circa 80 milioni.
Alcune civiltà locali, pur essendo tecnologicamente quasi primitive,
presentavano forme di organizzazione alquanto evolute, una raffinata
cultura e un intenso sviluppo urbano. L’attuale stato peruviano occupa una
buona parte di quella che un tempo fu la sede dell’impero degli Incas e
della sua capitale Cuzco. La dinastia inca inizia nel 1100 con il sovrano
Sinchi Rocca intorno al loro centro, Cuzco (contava nel 1532 una
popolazione di circa 200.000 abitanti seconda sola a Londra e a Napoli),
che vuol dire “ombelico” e finisce nel 1532 con l’invasione spagnola,
quando già era indebolito dalle lotte interne e quindi evidenziava segni di
decadenza. Nel XV secolo d.C. l’impero inca era al massimo della sua
potenza e occupava, con sei milioni di abitanti, regioni quali l’attuale Perù
e parte del Cile, della Bolivia, dell’Argentina e dell’Ecuador. Gli Incas
avevano un buon grado di cultura e una buona organizzazione sociale;
lungo le loro ottime strade vi erano stazioni di posta, dove si fermavano i
corridori, i chasqui, che trasportavano missive (con i quipu), percorrendo
ognuno un miglio e riuscendo a far arrivare notizie in 24 ore nella capitale
da distanze di 300 miglia. Riuscivano a sottomettere al loro dominio altre
tribù con il convincimento, che informava sui vantaggi che il cittadino
poteva avere da un governo giusto e regolato. Si dice che agli Incas
mancassero solo tre cose: la ruota, le bestie da soma e la scrittura. Il potere
doveva essere informato continuamente sulla forza lavoro disponibile, su
sentenze emesse da funzionari della periferia, sui militari e su altro e
questo avveniva con l’ausilio di sistemi mnemonici e matematici (usavano
sistemi decimali). I risultati erano memorizzati con i quipu (nella lingua
quechua vuol dire nodo); il quipu è un sistema di corde e cordicelle di vari
colori, munite di nodi. I colori si riferivano a determinati oggetti(persone,
nemici, contadini, prodotti, sentenze ecc.); i nodi indicavano date e numeri
che si calcolavano in base alla loro posizione e distanza dall’inizio della
126

cordicella (lo studioso Leyland Locke li decifrò nel 1912, basandosi su
resoconti dei soldati spagnoli ma anche di sacerdoti - particolare è il
resoconto del soldato spagnolo, Cieza de Leon, scritto tra il 1547 e il
1560). I calcoli matematici, basati su un sistema metrico decimale, erano
facilitati da una specie di abaco. Questo strumento possedeva cinque file di
quattro caselle l’una, tra le quali si distribuivano da uno a cinque chicchi di
mais. L’uso dei calcoli matematici serviva alla registrazione delle
informazioni dei quipus. La descrizione di questo abaco si trova in un
passo del sacerdote spagnolo, José de Acosta: Vederli usare un’altra
specie di quipu, con chicchi di granoturco, è perfetta letizia. Mettono una
granaglia qua, tre in un altro posto e completano i loro calcoli senza fare
errori. In verità nell’esercizio della matematica sono migliori di noi che
usiamo carta e penna. Riportiamo le tabelle disegnate dal sacerdote:
Nella figura (a) è riportato il disegno originale; nella figura (b)
l’interpretazione dello storico Wassen del 1931, primo a decifrare i disegni
di Poma. Egli diede una spiegazione dei valori delle righe dal basso in alto,
come potenze di dieci e su questo tutti i studiosi sono d’accordo; più
complicata è la sua interpretazione dei valori da dare alle colonne per il
calcolo dei numeri rappresentati secondo la quale ogni puntino nero della
prima rappresentava 1, della seconda 5, della terza 15 e della quarta 30.
Quindi il numero rappresentato dai cerchi scuri sarebbe:
(2+3x5+30)+(1+1x5+1x15)x10+(5x1+1x15)x100+(1+1x5+1x30)x1000+(
2+1x5+2x15)=47+210+2.000+36.000+370.000=408.257.
127

Questa è una scelta strana dato l’uso del sistema decimale; migliore
appare l’interpretazione di Gheverghese della figura (c), secondo la quale
tutti i valori delle colonne rappresentano 1. In tal caso il numero
sarebbe:
6+3x10+6x100+3x1000+5x10.000=6+30+600+3.000+50.000=53.636.
Gli Inca avevano pochi problemi ad usare questa specie di abaco per
addizionare o sottrarre. Vediamo come ipotizza Gheverghese l’uso
dell’abaco per la moltiplicazione: egli suppone che un sacerdote deve
moltiplicare 116 giorni(numero vicino all’intervallo di tempo tra due
congiunzioni del pianeta Mercurio con il Sole) per 52 (numero importante
astronomicamente per gli inca e i maya).
Nella figura (a) è rappresentato il primo passaggio 116x10=1.160; nella
figura (b) 1.160x5 ossia viene eseguita in linguaggio moderno
5x(10x116)=5.800 e nella figura (c) al risultato ottenuto viene addizionato
116x2=232.
Operazione completa:
116x52=116x(50+2)=116x50+116x2=116x10x5+232
=5.800+232=6032.
Non esiste vascello che come un libro
Ci sa portare in terre lontane
Né corsiero come una pagina
Di scalpitante poesia.
128

E’ un viaggio che anche il più povero può fare
Senza il tormento del pedaggio.
Quanto è frugale la carrozza
Che trasporta l’anima dell’Uomo.
Emily Dichinson
Molti insegnanti trascorrono la loro vita come in una prigione,
insegnando sempre le stesse cose a un branco di idioti. E dove arriva
la loro conoscenza della matematica? Probabilmente sanno ciò che
chiede il programma e nient’altro. Galois T.P
Romarin. Molte voci sono solo Malevoli; vediamo
Abbacchio: agnello da latte che rimette i peccati del mondo a scottadito.
Abboccamento: incontro a quattr’occhi e a 64 denti. Carie permettendo.
Accasarsi: mettere su casa un’antenna per vedere come passare la vita da
una stanza all’altra, da un programma all’altro. R.
La matematica pura è la più nobile delle ricerche perché è quella
che meno ha a che fare con le corrompenti influenze del mondo.
Le intersezioni delle diagonali di un pentagono regolare
formeranno un pentagono regolare più piccolo. Se si ripete il
procedimento si otterranno pentagoni sempre più piccoli che
convergono verso il centro della circonferenza circoscritta al
pentagono maggiore. Se s’inverte la situazione, a partire da un
punto, infiniti fiori a cinque petali si schiuderanno ognuno una
replica perfetta del precedente.
Vi è qualcosa di universale, di sottile in questa proprietà auto
generatrice del pentagono. Galois T.P
Numeri narcisisti sono quelli che sono uguali alla somma delle proprie
cifre elevate al cubo. Esempio 153=1 3 +3 3 +5 3
La vita e la matematica sono mutuamente esclusive.
129

Se la geometria ci rende umani, l’algebra ci fa divini.
Eravamo certi che la rivoluzione, con la caduta di Luigi XVI,
avrebbe trasformato la società e sarebbe sorto un nuovo ordine
mondiale, più giusto. Adoravamo Danton, finché Robespierre ci
convinse che la passione per Danton andava contro la rivoluzione.
Sostenemmo il regno del Terrore finché altri ci persuasero che il
razionale Robespierre era un macellaio da ghigliottinare.
Adorammo Napoleone e approvammo i cambiamenti che fece alla
Costituzione per attribuirsi il potere assoluto. All’improvviso ci
ritrovammo con i sogni tutti distrutti e la Francia in ginocchio
davanti alle potenze straniere e vedemmo la monarchia che si
riprendeva il trono. E’ questa la politica. Promette il paradiso, si
prende la gioventù e alla fine ti lascia colmo del più amaro
disinganno. T.P.
Ogni generazione deve ridefinire tutto, in conformità alla coscienza di se
stessa che essa ha il dovere di prendere. Paul Zumthor
A me mi hanno rovinato le donne: troppo poche! R. Benigni
.Al jahr iniziamo lo studio dell’algebra con queste tre sillabe.
L’algebra non esisteva nella Grecia classica. Ancora ai tempi di
Euclide tutti i problemi venivano risolti con un approccio
geometrico. I primi studi furono compiuti da Diofanto, giustamente
considerato il padre dell’algebra, vissuto ad Alessandria attorno al
270 a.C.. Dopo Diofanto l’algebra cadde nell’oblio per un millennio,
finché non fu riscoperta in Occidente attraverso la traduzione di
testi arabi, in particolare le opere di Al Khowarizmi. La materia fece
lenti progressi nel Rinascimento, benché si tendesse a reinterpretare
ciò che già sapevano i Greci. Le cose cambiarono rapidamente con
Cartesio, che combinò geometria e algebra. Prima di Cartesio la
130

geometria era avvinta al mondo fisico, nonostante la sua natura
elevata. Non importava cosa Platone potesse dire sulle forme ideali,
ci voleva sempre un compasso per rappresentare un cerchio.
L’algebra cambiò tutto ciò, liberò la mente dall’attaccamento alle
cose; il cerchio si separò dal compasso, e passò dal regno dei sensi a
quello dell’intelletto. Attraverso il sublime linguaggio dell’algebra,
il cerchio venne tradotto e restaurato al suo giusto posto: l’ideale, il
mondo che Platone poteva solo sognare. La geometria ha fatto il
suo tempo perché dopo Cartesio è andata perdendo terreno rispetto
all’algebra; è stato un magnifico edificio per duemila anni, come il
Partenone. T.P
Numeri palindromi sono quelli che restano immutati se s’invertono le
cifre. Esempio 121, 252, 1234321.
Come insegnante ero pieno di alti ideali, determinato ad
entusiasmare i miei studenti e a rendere la materia interessante,
coinvolgente, viva. Pensavo che sarei stato un vero insegnante,
come lo era stato Pitagora per i suoi discepoli, come Socrate per
Platone, Aristotele per Alessandro. T.P
Dopo un po’ non ami più una donna ma LA DONNA. Linus
Ogni tanto mi capita uno studente con un vero talento per la
matematica, che ravviva il mio idealismo, e per il suo bene cerco di
richiamare quel poco che resta del mio entusiasmo. T.P
L’algebra non ha riferimenti oggettivi: è un linguaggio astratto che
richiede grande precisione. T.P
Controlla le tue emozioni con il lume della ragione; sopporta il
ridicolo in silenzio. Dai Versetti dorati di Pitagora
131

Le equazioni cubiche come 2x 3 +11x 2 -22x-16=0 erano conosciute dai
Greci, ma la formula per la soluzione generica è stata scoperta solo
nel XVI secolo. Scipione Del Ferro, un professore di matematica
dell’università di Bologna, scoprì la soluzione di equazioni di terzo
grado del tipo x 3 +ax=b e la rivelò al suo discepolo Antonio Florido
imponendogli il segreto. Florido, pensando di sfruttare tale formula
per gare di matematica popolari e redditizie in quel tempo, sfidò il
celebre Niccolò Tartaglia, matematico autodidatta. Sembra che
Tartaglia avesse idea del tipo di equazioni che Florido gli avrebbe
proposto e quindi passò delle settimane a trovare la soluzione e a
sua volta propose all’avversario equazioni del tipo x 3 +ax 2 =b, di cui
lui conosceva la soluzione. Tartaglia, che a questo punto conosceva
risoluzioni per due tipi di equazioni di terzo grado, vinse la gara e
guadagnò una grossa somma di denaro. Rifiutò successivamente di
rivelare le formule nella speranza di guadagnare ancora in altre
gare. Ma Girolamo Cardano, professore dell’università di Milano,
riuscì in qualche modo a farsi rivelare le soluzioni sotto forma di
venticinque versi (si pensa che Cardano fosse il medico di Tartaglia)
e, malgrado le promesse, le pubblicò nell’opera Ars Magna.
Tartaglia, folle di rabbia, lo sfidò in un duello matematico al quale
Cardano non si presentò, inviando al suo posto lo studente
Lodovico Ferrari. Cardano, uomo violento e strano, finì in carcere
per aver pubblicato un oroscopo su Cristo e l’astrologia fu la sua
rovina perché, avendo previsto la data della sua morte, per salvare
la reputazione si sentì costretto a togliersi la vita quando giunse il
giorno. Forse Cardano aveva ragione nel pubblicare le soluzioni
perché Tartaglia non aveva il diritto di tenere per sé un sapere che
avrebbe fatto progredire la matematica. T.P
La matematica non dovrebbe essere corrotta dalla cupidigia. Non
si possono accampare diritti su teoremi e dimostrazioni. I
132

matematici non sono i custodi di una conoscenza superiore, ma
soltanto le sue casse di risonanza.
Il mondo è così storto che l’unica ribellione giusta sarebbe farlo zompare
in aria. Linus
Dopo le equazioni di terzo grado, un certo Colla o Coi, propose
un problema con l’equazione x 4 +6x 2 +36=60x. Ferrari la risolse per
sostituzione trasformandola in una cubica; infine si giunse anche
alle equazioni di quinto grado che, però, non furono risolte con
regole generali anche se ad esse dedicarono il loro tempo
matematici quali Eulero e Lagrange. T.P
La matematica poteva diventare la nuova religione, con il
triangolo e il cerchio a simboleggiare Dio il geometra.
La matematica è la religione del futuro. Galois T.P
Numeri e natura. Numeri naturali 1, 2, 3…. Non vi è altro in
natura. Niente negativi, niente frazioni, niente irrazionali. La natura
dà il pane e il vino, mentre i numeri danno…un modo per
imbrigliare la natura? La rendono prevedibile. T.P
Avendo capito che non sarei stato un matematico creativo, decisi
di divenire un creatore di matematici. T.P
A che scopo parlare di fenomeni di “cultura” contemporanea, se in realtà
nessun fenomeno contemporaneo è di “cultura”. Da Linus
La matematica affonda le proprie radici nell’eternità. La poesia
rappresenta il mondo come farebbe un riflesso luccicante in un
torrente che scorre, mentre la matematica lo mostra come un
diamante in una vetrina. T.P
L’umanità sarà unita dal linguaggio della matematica.
133

Sono sbalordito dall’eleganza di alcune dimostrazioni: lo sviluppo
aggraziato, il linguaggio chiaro e conciso, le conclusioni irrefutabili.
Nessuna poesia può gareggiare in bellezza con queste
dimostrazioni. Non vi è nulla di arbitrario! Questa è la
indeterminatezza priva d’ambiguità del diamante, non la vaporosa
bellezza di una nuvola, in cui alcuni vedono una balena e altri una
donnola. Galois T.P
In un epoca in cui l’Inquisizione difendeva la fede con il fuoco,
fratello Mercenne era riuscito a conciliare teoria degli insiemi e
teologia. Nel corso della sua investigazione sui numeri primi,
credeva nell’essenza spirituale del numero? Credeva che il numero
avesse preceduto il Verbo? Che il numero fosse la più pura
espressione della mente di Dio?
I numeri primi, i più essenziali tra i numeri, permettevano di dare
uno sguardo alla mente di Dio? Non del Dio irascibile di Mosè, ma
del Creatore dell’ordine cosmico. T.P
Il pensiero dei nostri politici:
“Perché dovremmo lasciare i mafiosi e i corrotti fuori dalle nostre liste?
Abbiamo già abbastanza emarginati.
Fratello Mercenne aveva visto lo sconvolgente splendore del
numero, e questo aveva trasformato il suo orgoglio in meraviglia.
Aveva dichiarato che 2 257 -1 era un numero primo. Era impossibile
scrivere in lettere un numero di quella fatta: avrebbe consumato
non solo tutta la carta e l’inchiostro, ma anche tutto il tempo e lo
spazio dell’universo. Eppure quel numero esisteva come entità,
forse in una condizione al di là del tempo e dello spazio. T.P
Numeri primi di Mercenne sono numeri primi del tipo 2 n -1. n primo
Esempio 3, 7, 31, 127……
134

Può darsi che il sole sia il maggiore ostacolo alla matematica,
poiché impone il mondo fisico ai sensi rendendo ancora più difficile
il pensiero astratto. Galois T.P
La matematica non è una regina! Piuttosto una sgualdrina che usa
gli uomini a proprio capriccio. Ti ruberà la giovinezza. T.P
Matematica e musica: entrambe usano simboli astratti. La musica
usa gli intervalli di tempo per trascendere il tempo stesso; la
matematica usa la mente per trascendere non solo il tempo ma
anche la materia e lo spazio. T.P
L’essenza di una equazione può essere portata alla luce attraverso
la natura dell’insieme formato dai suoi coefficienti. T.P
L’aspetto più comico della vita italiana è il fatto che siamo il popolo di
San Francesco e votiamo sempre per il più ricco. Come si presenta uno
che c’ha un monte di soldi, zac, vince . E’ più facile che un cammello passi
dalla cruna di un ago che un ricco vada nel Regno di Dio…Ultimamente i
sarti ci hanno degli aghi con delle crune che ci passan delle carovane.
R. Benigni
I governi esercitavano il loro potere attraverso l’inchiostro; ora lo
esercitano anche attraverso l’immagine televisiva e le statistiche.
I grandi matematici hanno sempre attirato la mia attenzione. Danno, come
se fossero in mezzo a noi, un’impressione di dignità, di potenza contenuta,
di assoluta certezza nella propria maestosa e presenza. Ho il desiderio di
comunicare con loro, di ascoltare l’eterna voce delle loro scoperte.
Quindici si scrive 15
ma anche 1111 o 120 o 33 o 30 o 23 o 21 o 17 o 16
135

Newton e Keplero hanno spiegato l’universo sotto forma di equazioni e
per mezzo delle equazioni hanno predetto le posizioni dei pianeti e delle
stelle. Le loro equazioni hanno inferto un colpo al Dio di Mosè. T.P
Scorgo un certo ordine nell’universo e la matematica è un modo di
renderlo visibile. May Sarton (1912-1995)
Mi sono sempre chiesto perché il talento viene dato ai giovani. Mi
sembra ingiusto. Dopotutto, cosa hanno fatto i giovani per ricevere un
dono così prezioso? Il genio dovrebbe essere il frutto di duro lavoro,
costanza, esperienza. Dovrebbe maturare con la vecchiaia, come
ricompensa di un intera vita di fatica. Galois T.P
La matematica è come la repubblica: sono entrambe ideali, entrambe sono
comprese solo da coloro che sono pronti a rinunciare alle esigenze e alle
ambizioni personali in nome della verità universale. Galois T.P
Assioma di vari grandi imprenditori
L’avidità di denaro è buona cosa. L’avidità porta alla ricchezza e quindi
alla felicità. Io credo nell’avidità universale; sono un inguaribile
sentimentale.
Disprezzo gli insegnanti che si aggirano boriosi per la classe,
usando la matematica come un’arma per minacciare e umiliare gli
studenti. Non hanno passione per la materia; la usano
semplicemente per nascondere una totale assenza di talento e
tiranneggiare studenti che lottano per la materia.
Galois T.P
Nel XVI secolo la bellezza vivida dell’algebra rimpiazzò la bellezza
frigida della geometria classica e una nuova forma di analisi era
all’orizzonte, che avrebbe fatto fare all’algebra la fine che l’algebra
aveva fatto fare alla geometria: un’analisi che avrebbe consentito di
afferrare le strutture essenziali dei problemi e delle equazioni.
T.P
136

Alice nel paese delle meraviglie “Voglio vedere se so ancora le cose che
sapevo una volta. Vediamo:4x5 fa 12, e 4x6 fa 13, e 4x7 fa……
Concisione ed eleganza sono lo scopo dei più avanzati matematici;
il matematico creativo, innovativo, è interessato a comprendere
diversi concetti insieme, piuttosto che fermarsi a considerare
dettagli particolari. La mente dei matematici creativi deve muoversi
attraverso lampi d’intuizione, senza paura di essere rivoluzionari.
Non è forse l’evoluzione l’essenza della matematica e non la
rivoluzione? Non procede forse per mezzo della fredda ragione
piuttosto che con lampi d’intuizione? No! E’ l’intuizione a condurre
mentre la ragione segue dietro, riempiendo i vuoti, facendo le
associazioni, costruendo i ponti che consentono all’umanità di
avanzare. Non credete che la matematica si muove linearmente,
assimilando con calma, integrando passato e presente. Molto spesso
avanza per mezzo di idee radicali, rivoluzionarie. T.P
Per amare il futuro si deve odiare il presente.
Sarebbe bene usare un’analisi dell’analisi: una nuova, più comoda
algebra, dove i calcoli più elevati vengono considerati come casi
particolari, utili da esaminare ma che in definitiva devono essere
tralasciati per ricerche maggiori, più generali. T.P
Un insieme è come una palla di cristallo: noi scrutiamo al suo
interno, analizziamo la sua struttura, valutiamo se l’insieme può
essere semplificato in insiemi più piccoli e da questo possiamo
imparare qualcosa sulla vera essenza delle equazioni.
Probabilmente ovunque si trovi una situazione che nega alla mente
un accesso diretto, gli insiemi possono essere utilizzati per
modellare quella situazione e fornire preziose intuizioni.
Galois T.P
137

1830= 23 2 +25 2 +26 2
La testa deve controllare il cuore in ogni momento
XI INSERTO
La complicata moltiplicazione yoruba
Le notizie del precedente inserto e quelle seguenti sono tratte dallo
splendido testo”C’era una volta un numero” del prof.G.Gheverghese, nato
nel Kerala in India ma insegnante presso l’università di Manchester in
Inghilterra dove ha compiuto anche i suoi studi.
Yoruba sono popolazioni africane stanziate nella Nigeria sudoccidentale
da moltissimi anni anche se le prime storie che le riguardano si collocano
intorno all’anno mille. Si pensa (tradizioni orali) che provenissero
dall’Oriente per qualche somiglianza tra i loro costumi e quelli egiziani. La
loro storia ha inizio con la fondazione dello stato Oyo ed ebbero
importanza nel seguito nella storia dell’Alta Guinea, in quanto promossero
la nascita della civiltà di Benin. I due stati precedenti sparirono con
l’invasione inglese del XIX secolo. Il sistema di numerazione yoruba è
un sistema per contare in base 20 con la caratteristica di fare grande
affidamento sulla sottrazione. Esistono nomi diversi per i numeri da uno
a dieci: oakan per uno….eewa per dieci, come nel nostro sistema. Undici
(ookanla), dodici, tredici, quattordici (eerinla) sono formati da parole
composte da “uno più dieci, fino a quattro più dieci”. Dal quindici
(aarundinlogun) al diciannove (ookandinlogun) i numeri sono espressi
come “venti meno cinque, venti meno quattro….” Venti (oogun) diventa il
riferimento per i numeri successivi (venti più uno ….venti più quattro e
poi trenta (ogbon) meno cinque, trenta meno quattro ecc). Il quaranta viene
espresso come due ventine, il sessanta come tre ventine e così fino a dieci
ventine (igba). Senza tediare ulteriormente vediamo con qualche esempio
che il loro sistema è tutto impostato sulla sottrazione:
45=20x3-10-5; 50=20x3-10; 109=20x6-10-1; 300=20x(20-5);
316=400-80-4; 525= 200x3-20x4+5. Tutti i numeri tra duecento e
2.000 vengono riferiti a multipli di 200. Mann descrive operazioni di
questo sistema di numerazione nel 1887, indubbiamente esso è molto
complicato ma serve anche a dimostrare che per usarlo occorreva una
considerevole abilità nel manipolare l’aritmetica e che, quindi, la
matematica africana non era così primitiva e ingenua come si vuol far
138

credere. L’ipotesi più probabile dell’origine di questo sistema è che fosse
scaturito dall’uso di gusci di conchiglie per il calcolo.
Prendiamo in considerazione il loro tipo di moltiplicazione:
19x18
La persona yoruba che eseguiva o esegue il calcolo con le conchiglie
effettuava o effettua le seguenti operazioni:
1) Dispone 20 mucchi da 20 conchiglie l’uno 20x20.
2) Da ogni mucchio toglie una conchiglia 20x20-20=20x19
3) Vengono adesso tolti due mucchi 20x19-2x19=18x19
4) Da uno due mucchi tolti si toglie una conchiglia e si mette
nell’altro in modo da rispettare il sistema a base 20
2x19=19+19=(19+1)+(19-1)=20+(20-2)
In conclusione avremo:
20x20-20-(20-1)x2=400-20-20-(20-2)=342.
Il sistema yoruba era inapplicabile per moltiplicazioni più
difficili. Il metodo è complicato e richiede una gran quantità
di richiami e calcoli mentali; il suo impatto nella storia della
matematica è risultato molto limitato.
Termina il viaggio attraverso le moltiplicazioni.
Fu troppo audace, è vero,
chi primo il mar solcò
e incogniti cercò
lidi remoti.
Ma senza quel nocchiero
sì temerario allor,
quanti tesori ancor
sariano ignoti!
Metastasio
Questa la storia che ho narrato,
sia bella o non sia bella,
portatene un po’ altrove
e un po’ lasciate che torni a me.
Fiaba ashanti
139

Ci possono essere molte dimostrazioni di un teorema, tutte corrette, ma
una sola emergerà come la più corretta, la più affascinante, perché è la più
concisa, la più pura.
E’ sbalorditivo pensare che la matematica sia opera della mente umana,
che è destinata a studiare più che a conoscere, a cercare la verità più che a
trovarla. Una mente che ha il potere di percepire in un colpo d’occhio tutte
le verità matematiche-non solo quelle conosciute attualmente ma tutte
quelle che mai lo saranno- può anche dedurle metodicamente e
meccanicamente da pochi principi con un metodo uniforme. Ma allora non
ci sarebbero ostacoli. Se il compito dello studioso è più difficile e più
nobile, il progresso della matematica è anche meno metodico, e il caso vi
gioca più d’una piccola parte. La matematica è inorganica, la sua crescita
assomiglia a quella dei cristalli. Gli analisti non deducono, combinano,
assemblano. Quando giungono alla verità, è perché sono riusciti a
orientarsi a tentoni nel buco in cui sono caduti.
Galois T.P
Undici si scrive 11
Ma anche 1011 o 102 o 23 o 21 o 15 o 14 o 13 o 12
Concludo con le osservazioni sulla vita di Evariste Galois (1811-1832),
ricordando che le sue scoperte sono alla base di un importante filone della
matematica moderna conosciuto come Teoria degli Insiemi, la cui
applicazione si estende a molti campi.
Alone-aureola che consente alla luna di fare la santarellina. Lei che
passa tutta le notti fuori…
Amore- L’atto dell’amare. E’ unico se l’uomo è un guitto, secondo e terzo
se un bravo attore. La tragedia si ha quando l’uomo non riesce a
recitarlo. In tal caso, se la moglie ricorre all’aiuto del suggeritore, la
tragedia diventa una farsa. E si trasforma in un’opera da pupi quando,
nove mesi dopo, nascono due gemelli. Romarin
140

Lucio Lombardo Radice, come Enriques, fu persuaso del ruolo
fondamentale della visione storica nella formazione di un
matematico o di un insegnante di matematica colto. G.
Ismael
Arare- Verbo che laicizza il pio bove e lo rende blasfemo circa la santità
del lavoro. Sostiene che nel Vecchio Testamento non c’è scritto che l’uomo
deve lavorare la terra con il sudore delle corna dei buoi, bensì con il
sudore delle corna sue! R.
Ascensore- L’amico delle scale che solleva dal peso degli uomini R..
A Samoa, quando furono istituite le prime scuole elementari, i nativi
svilupparono una grande passione per il calcolo aritmetico. Lasciarono da
parte le loro armi e furono visti andare in giro armati di carta e penna,
proponendo somme e problemi gli uni agli altri e anche ai visitatori
europei. L’onorevole Walpole dichiarò che la sua visita alla meravigliosa
isola fu rovinata da incessanti moltiplicazioni e divisioni.
T. Briffault
Astemio- Il calice piangente. R.
Chi non si spaventa per le fatiche della mente, non si spaventi se qua e
là, a prima vista, non capisce, e non pretenda di leggere tutto di
seguito; ma legga attentamente, un poco per volta, saltando le cose più
difficili, o facendosele spiegare da chi ha studiato più di lui.
L. Lombardo Radice
Una fiducia nelle virtù della mente e dell’esercizio della ragione che
appare sempre di più come una merce rara.
G. Ismael su Lombardo-Radice.
Autodidatta- Ignorante in proprio. R.
Lo studio dell’universo, in greco cosmos, è una delle scienze
più antiche. I dati più recenti su cui gli scienziati sembrano
concordare è che l’universo ha 13,7 miliardi di anni. Ricordo
141

che la specie umana ha solo quattro milioni e mezzo circa di
anni e l’agricoltura è iniziata circa 12.000 anni fa.
Paola Govoni
Avvocatessa- Una donna piena di lex-appeal
Bacco- Dio Doc, corposo e abboccato Romarin.
2x2x2=11x2=22
Se pensassi che la matematica è solo tecnica e non anche cultura
generale; solo calcolo e non anche “filosofia”, cioè pensiero valido
per tutti, non continuerei a fare il matematico. L. Lombardo
Radice
Barbiere- Chi rade al suolo una costruzione di peli e poi dice che l’ha
fatto per la tua bella faccia. R.
Battona- La sposa pubblica. R.
Gli scienziati non sono eroi o santi, come li dipingeva Auguste
Comte (1798-1857) e nemmeno individui senza scrupoli, potenziali
criminali o abili retori, come dal secondo dopoguerra molti
intellettuali umanisti li rappresentavano. Lo scienziato è un
cittadino come gli altri e deve poter rendere conto della sua azione
pubblica. Paola Covoni
3x3x3=21x3=123
Bidet- Aggeggio di lavaggio della testa senza cervello.
Bigamo- Assassino che torna due volte sul luogo dell’amore. Romarin
Dio esiste poiché la matematica è coerente e il diavolo esiste poiché non
possiamo provare questa consistenza.
Morris Kline
Bitorzolo- Una bozza non corretta.
Boia- Voce ‘e morte. R.
142

Una volta che ci si liberi dell’idea (imparata a scuola) della matematica
come qualcosa che si fa con carta e penna, e si riflette sulla più
fondamentale attività per svolgere la quale quei metodi scolastici sono solo
uno dei modi possibili, si scopre che la matematica è tutt’intorno a noi. Per
scoprire matematici basta passeggiare in un giardino, attraversare una
foresta o esplorare l’oceano. Keith Devlin
Bollito- Participio lesso.
Bugia- Cassa di risparmio della verità di cui le donne hanno la
rappresentanza e i politici l’esclusiva. R.
110+101+111=1022
I pitagorici e il loro ramo collaterale dei platonici furono le uniche
scuole filosofiche dell’antichità a permettere alle donne di
partecipare all’insegnamento. Una delle migliori, Ipazia di
Alessandria (370-415), fu martirizzata, fatta a pezzi da una folla di
cristiani, soprattutto perché non aveva aderito ai loro principi. Ella
si considerava una neo-platonica, una pagana, e una seguace delle
idee di Pitagora. Ipazia era nata ad Alessandria durante un periodo
di lotte tra i romani e i cristiani militanti. Suo padre, Theon, era un
matematico noto. Quando si accorse delle capacità della figlia,
anche se a quei tempi non si vedeva di buon grado l’idea di fornire
un’istruzione alle donne, insegnò a Ipazia. Ella scrisse libri su
Euclide e Diofanto e divenne un’insegnante carismatica molto
stimata dai suoi allievi; tutti i matematici del tempo la
consultavano per risolvere problemi particolarmente difficili. Pur
essendo molto attraente, restò nubile perché affermava di essere
già sposata con la verità. Era interessata soprattutto alla geometria
euclidea e alla soluzione di equazioni con i numeri interi. Progettò
anche degli urinometri, strumenti pensati per misurare il peso
specifico delle urine. Poiché parlava degli scritti di Platone,
Aristotele e altri, i cristiani scoraggiavano il suo insegnamento e in
un giorno di marzo del 415 d.C. (?) fu presa dal suo carro, trascinata
in chiesa e squartata dalle mani di un certo Pietro il Lettore.
Buré- Il bassato di batate di De Mita. R.
143

Callo- Escrescenza meteorologica dell’Aeronautica, necessaria per
prevedere il tempo in TV. Spunta di preferenza sul ditone dei colonnelli. R.
La scienza deve educare al piacere di sapere, deve mettere in moto il
bisogno di cultura, suscitare la curiosità per il processo stesso e non per il
prodotto finale. La psicologa Maria Rita Pars
Esistono due tipi di matematica: una è quella cosa cui pensa la maggior
parte della gente quando sente la parola “matematica”, e cioè la materia
che viene insegnata a scuola. La chiamerò matematica astratta. E poi c’è
quel tipo di matematica innata che chiamerò matematica naturale. Di fatto
sia la matematica astratta sia quella naturale sono semplicemente
“matematica”. La differenza sta solo in come la matematica viene fatta.
La matematica astratta è simbolica e basata su regole. Per poterla
affrontare si deve imparare come seguire le regole (le regole sono solo il
quadro entro cui muoversi ma vi è sempre spazio per la creatività); la
matematica naturale invece emerge in modo naturale. Keith Devlin
4x4x4=31x4=224
Capponi- Poveri animali che, prima di rimetterci le penne, ci rimettono
altre cose.
Carie- Lo scava-denti. R.
Il mondo matematico di oggi ha un grande debito con
Ipazia…Al tempo della sua morte, ella era la più grande
matematica vivente nel mondo greco-romano, di fatto del
mondo intero. M. Deakin
Preserva il tuo diritto a pensare, perché anche pensare in
modo sbagliato è sempre meglio che non pensare affatto.
Ipazia
Casino- Casa da gioco erotico che è buon costume tenere chiusa.
144

Castità- Virtù che i preti si tramandano di padre in figlio. R.
Catrame- Crema abbronzante delle spiagge italiane. R.
Chiusura lampo- Dentiera finta che si mette sui pantaloni per non lasciarli
a bocca aperta davanti alle vergogne delle mutande. R.
La matematica è un treno che traccia la sua strada attraverso l’infinito
paesaggio della realtà. Mentre l’uomo progredisce, il treno si sposta sempre
in avanti. Altri vagoni vengono aggiunti e raramente un vagone è staccato.
Ecco, la matematica è il treno, e io non posso fare a meno di chiedermi chi
ha disposto i binari su cui viaggia il treno. C. Pickover
5x5x5=41x5=325
Cistifellea- E’ piena di bile perché non sa fare bene i calcoli. La
matematica non è il suo forte. R.
Siamo certi che il messaggio extraterrestre è un codice matematico di
qualche tipo. Probabilmente un codice numerico. La matematica è l’unica
lingua che possiamo concepibilmente avere in comune con altre forme di
vita intelligente nell’universo. Per come la vedo io, non esiste una realtà
più indipendente della nostra percezione e più vera in se stessa della realtà
matematica. Don DeLillo
Deflorare- Cogliere di straforo un fiore di ragazza senza darle il tempo di
fare la prova del: m’ama…non m’ama.
Denaro- Potere d’acquisto del potere. R.
Le fonti dello storico della matematica (anche degli altri storici) si
distinguono in primarie e secondarie. Con fonte primaria s’intende una
testimonianza diretta dell’evento studiato: un diario, un libro in originale,
la corrispondenza tra scienziati. Per fonte secondaria s’intende ciò che
145

altri prima di noi hanno scritto dell’evento o dello scienziato, la vicenda e
il periodo in esame.
Paola Govoni
6x6x6=51x6=426
Divorzio- Necessario quando il matrimonio è la tomba dell’amore. Serve a
separare i cadaveri. R.
Donna- Soggetto in predicato di divenire complemento oggetto dell’uomo.
In termini matematici, la dimostrazione finale dell’ultimo teorema di
Fermat è equivalente alla divisione dell’atomo o alla scoperta della
struttura del DNA. Una dimostrazione di Fermat è un grande trionfo
intellettuale, e non si deve perdere di vista il fatto che questo ha
rivoluzionato la teoria dei numeri in un solo colpo.
John Coates
Elezioni- Il momento in cui ogni promessa è un debito pubblicitario che
ormai non riscuote più credito.
Fallo- L’eretto-domestico. R.
Gli storici della scienza si trovano oggi a beneficiare di una
ricchezza e diversità di strumenti critici come forse non era mai
accaduto in passato nella storia della disciplina. Paola Covoni
Ginecologo- Il fratello del confessore. Questi i peccati li sente, quello li
vede.
Giornalista sportivo- Passa la vita a inseguire sui campi di calcio ventidue
uomini che inseguono un pallone per permettere a lui di raggiungere il 27
del mese. R.
7x7x7=61x7=527
Per quelli come me che non sono matematici, il computer può essere un
potente amico dell’immaginazione. Come la matematica, non soltanto
distende la fantasia: esso la controlla e la disciplina. Richard Dawhins
146

Gonna- Il sipario che si alza quando è di scena l’amore. Se è mini è un
indumento molto pratico. R.
Idrofilo- Cotone per piantatori di siringhe. R.
8x8x8=71x8=632
Ci sono almeno due tipi di matematica, quella che viene coltivata
dagli specialisti e quella istintiva di cui si servono topi, cani, gatti,
castori, ragni, uccelli….. La maggior parte di noi se la cava bene con
numeri e figure in molte questioni pratiche, ma guai a dire che si
tratta di matematica perché ciò evoca lo spettro della disciplina che
ci ha tormentato sui banchi di scuola. Invece che da arcigni
professori, dovremmo imparare da tutti quegli animali che “sanno
fare matematica” a escogitare trucchi e a scoprire strategie per
migliorare le nostre capacità innate. Allora numeri e figure non ci
appariranno più come un castigo divino ma come un’occasione
d’intelligente divertimento. Keith Devlin, matematico.
Indossatrice. Un frutto di cui le donne vorrebbero la buccia e gli uomini la
polpa.
Lessico-Brodo di cultura di parole. R.
La teoria delle stringhe è la fisica del XXI secolo che è caduta per caso
nel XX secolo. Edward Witten
Nella teoria delle stringhe…i bosoni destrorsi (particelle cariche) si
muovono in senso antiorario attorno all’anello, e le loro vibrazioni
penetrano 22 dimensioni compatte. I bosoni vivono in uno spazio a 26
dimensioni (incluso il tempo), delle quali 6 sono dimensioni”reali”
compatte, 4 sono le dimensioni dello spazio-tempo ordinario, e le altre 16
sono considerate “spazi interni”: artifici matematici per far funzionate
tutto nel modo giusto. Martin Gardner
Loggia massonicaP2- la regina delle logge massoniche. Regina Gelli.
147

Matrimonio-Accordo anulare che bisogna stipulare quando si è giovani.
Per avere il tempo di pentirsi. R.
Nel 1992 una giovane ricercatrice americana Karen Wynn scoprì che i
bambini di 4 mesi sono in grado di eseguire semplici operazioni di addizione
e sottrazione. La nostra capacità di operare con i numeri viene solo dopo
che ciascuno di noi ha imparato le parole che indicano i numeri “uno” “due”
e così via ossia per l’acquisizione del concetto di numero sembra necessario
possedere prima una parola o un simbolo che si riferisca a tale concetto. La
tesi di Wynn in realtà riguarda il concetto di numerosità, termine con il
quale s’intende il senso del numero, in particolare il senso di grandezza di un
insieme e non quello di numeri. Keith Devlin
Milano- Città fatta a misura Duomo.
Naso- E’ da sempre sulla bocca di tutti. R.
So di non sapere. Socrate
Numeri- Il 7 è un 1 che allunga il collo a sinistra.
Il 9 è un 6 che si è montato la testa. R.
Nusco- Località antica, in provincia di Avellino, di chiara origine Ciriaca.
Sembra proprio che si nasca tutti con capacità matematiche naturali. Le
perdiamo, per qualche motivo, crescendo? Le lezioni di matematica
impartite a scuola riescono, per un motivo o per un altro, a scacciarle dalla
nostra mente? Possiamo riprendercele? Keith Devlin
Osceno- Chi sulla scena del mondo recita con le parti basse.
Palle gonfie- Carichi pendenti. R.
Il cervello è una massa di circa un chilo che potete tenere in una mano e
che può concepire un universo grande mille milioni di anni luce.
Marian Diamone
Nove si scrive 9 ma anche 1001, 100, 21, 14, 13, 12, 11.
148

Il numero è il legame dell’eterna continuità delle cose. Platone
Peripatetica- Donna che, a differenza di un ambulante, non ha bisogno di
licenza per vendere.
Podologo- Uomo che ragiona con i piedi in pianta stabile. R.
I numeri non sono quella roba noiosa e inutile confinata in qualche brutto
ricordo scolastico. Furio Honsell
XII INSERTO
I fogli A
Nella vita di ogni giorno, sia quando usiamo la nostra stampante sia
quando ci rechiamo a fare delle fotocopie, sentiamo frequentemente la
parola A4 e talvolta A3. Le caratteristiche di questi fogli, usati nei paesi
europei secondo la convenzione denominata ISO216, sono che il foglio A4
è la metà del foglio A3 e soprattutto che i due fogli hanno le stesse
proporzioni (il rapporto tra il lato lungo e quello corto di A4 è uguale al
rapporto tra i lati di A3); la proprietà citata vale anche se si piega a metà
il foglio A4: le due metà diventano A5 e conservano lo stesso rapporto tra i
due lati che diventa quindi una delle caratteristiche dei fogli della famiglia
A, come viene denominata. Le dimensioni di questi fogli nascono da una
esigenza ben precisa e fortemente matematica: se stampiamo qualcosa su
un A4 può essere ingrandito su un A3. L’uso di questi fogli dunque
permette d’ingrandire o di rimpicciolire senza cambiare le proporzioni
delle varie parti della figura. Indichiamo con 2x e y le misure dei lati di A3
149

Troviamo il valore numerico di questo rapporto che caratterizza tali fogli:
2x : y = y:x; 2x 2 = y 2 ; 2 = y 2 /x 2 ; y/x= √2=1,4142….
Dunque tutti i fogli della famiglia hanno i lati in rapporto 1,414..
Si può dimezzare o raddoppiare un foglio della famiglia A e la proprietà si
conserva. Il foglio capostipite della famiglia, denominato A0, ha area di
1m 2 ; dette a e b le misure dei lati avremo:
a·b=1; a· a/√2=1; a 2 =√2; a=√2=1,189202….
Le dimensioni di A0 sono 118,9 cm circa e 84,1..circa
A1 ha dimensioni 84,1 e 59,5; A2 (59,5 e 42,04); A3 (42,04 e 29,75);
A4 (29,75 e 21,02); A5 (21,02 e 14,87); A6 (14,87 e 10,6)
Non bisogna preoccuparsi delle infinite cifre decimali perché la
convenzione ISO216 stabilisce un’approssimazione al millimetro.
Non sapete dare una definizione precisa di matematica ma un’idea
generale di quello che la materia comprende l’avete: numeri, aritmetica,
algebra, equazioni, geometria, dimostrazioni…. Sarebbe però fuorviante
pensare che la matematica abbia a che fare soltanto-o per lo più- con i
numeri. I numeri sono solo una parte di un particolare tipo di matematica,
e anzi i calcoli aritmetici non sono certo ciò con cui i matematici passano il
loro tempo. Keith Devlin
Pomodoro- Un frutto che ha un passato davanti a sé. R
Otto si scrive 8 ma anche 1000, 22, 20, 13, 12, 11.
I Greci inventarono una scienza precisa e rigorosa. Evitarono
paradossi ed errori e, così facendo non caddero nelle trappole
dell’infinito. La loro matematica si basava su numeri che potevano
essere grandi o piccoli a piacere, ma mai infinitamente grandi o
infinitamente piccoli. I numeri che sono grandi o piccoli a piacere
sono chiamati “ potenzialmente infiniti”, in contrapposizione a
numeri realmente infiniti. I Greci non usavano il concetto di infinito
reale. Durante la rivoluzione scientifica del XVI e del XVIII secolo,
scienziati come Galilei e Newton idearono nuove tecniche
matematiche introducendo il concetto di infinito reale. Nei loro
studi analizzarono grandezze che erano a tutti gli effetti
infinitamente grandi o infinitamente piccole. Compirono grandi
progressi, ma ci fu un prezzo da pagare: l’infinito portava con sé,
come conseguenza, paradossi ed errori. La matematica divenne
più potente ma meno precisa. Nel XIX secolo i matematici
150

elaborarono nuove tecniche per affrontare l’infinito. Poco alla volta
si sviluppò una nuova matematica in cui era possibile servirsi
dell’infinito senza cadere in trappola. In tal modo si recuperò la
precisione della matematica greca, ma a un livello superiore: ora
l’infinito diventava uno strumento matematico rigoroso che
contribuì a rendere possibile le grandi scoperte matematiche dei
secoli XIX e XX. In estrema sintesi: nella matematica greca
c’era precisione ma mancava il concetto d’infinito; nella
rivoluzione scientifica c’era l’infinito ma mancava la
precisione; nella scienza moderna, a partire dal XIX
secolo, precisione e infinito convivono. R.
Netz
Pressione- La scala mobile del sangue. R
.
Profilattico- Questo di tanto speme oggi mi resta. R.
Ma in fondo cosa sono i numeri? Tutti pensano di sapere cos’è il numero
tre….almeno finché non provano a definirlo o a spiegarlo.
Carl Boyer
Reggiseno- Il parapetto. R.
I numeri sono nati quando i nostri antenati hanno capito che insiemi, per
esempio, di tre buoi, tre cani, tre lance e tre donne avevano qualcosa in comune:
l’esser tre (numerosità). Una volta che si abbiano dei numeri, si possono
individuare relazioni fra quei numeri, per esempio 2+3=5: è così che nasce
l’aritmetica. Le discussioni sulla forma, importanti per capire a chi appartenga un
appezzamento di terreno o per costruire edifici, danno invece origine alla
geometria, parola derivante dal greco che significa “misura della terra”. Con la
combinazione di forma e numeri si ottiene la trigonometria. Nel Seicento Isaac
Newton; inglese, e Gottfried Leibniz, tedesco, inventarono indipendentemente
l’uno dall’altro, il calcolo infinitesimale, lo studio dei modelli del moto e della
variazione continui. Prima del calcolo infinitesimale la matematica si era occupata
per lo più di problemi inerenti alla statica: conteggi, misurazioni e descrizione di
forme. Con l’introduzione di tecniche per gestire moto e variazione, i matematici
sono riusciti a studiare il moto dei pianeti e la caduta dei gravi sulla Terra, il
funzionamento delle macchine, il flusso dei liquidi, l’espansione dei gas, il
magnetismo e l’elettricità, il volo, la crescita delle piante e degli animali, la
diffusione dei contagi, la fluttuazione dei profitti…..Nello stesso periodo i
151

matematici Blaise Pascal (1623-1662) e Pierre de Fermat (1601-1665- da studi
recenti su Newton sembra che avesse anche scoperto le prime nozioni del calcolo
infinitesimale), attraverso delle lettere, creavano i fondamenti di quella branca della
matematica nota come teoria delle probabilità, la quale studia le regole che
emergono quando un evento casuale “si ripete” molte volte: per esempio,
lanciando una moneta o un dado. Dallo studio del pensiero logico, la branca della
matematica nota come logica formale, si è sviluppata la tecnologia informatica di
oggi. Keith Devlin
La serie di Fibonacci 1-1-2-3-5-8-13-21-34-55-89-144-233-377-610-987
1+1=2; 1+2=3; 2+3=5; 3+5=8; 5+8=13; 8+13=21; 13+21=34.
Rutto-Fuga di gas a scappamento ridotto. R.
I matematici che vennero dopo Archimede tentarono tutti, direttamente o
indirettamente,di imitare la sua capacità di sorprendere e la sua eleganza,
cosicché la nostra idea di ciò a cui dovrebbe tendere un trattato di
matematica è foggiata sul suo esempio. R. Netz
Sciopero- Voce rotta dal singhiozzo per via di un lavoro che, in Italia, è
ormai un pianto dirotto. R.
Gli studenti devono imparare che la matematica è il più umano degli
sforzi. Rappresentanti in carne e ossa della loro stessa specie impegnati in
una lotta cruenta secolare per scoprire ed erigere questo magnifico
edificio. E la lotta continua ancora oggi. Nei campus universitari dove la
matematica è presentata e percepita come una disciplina inumana, fredda
e morta, la nuova matematica è creata. Questo è sicuro come avvengono le
maree. J. D. Phillips
Supposta- Bassa insinuazione. R.
Numeri triangolari 1-3-6-10-15-21-28-36-45-55-66-78-91-105-120.
1+2=3; 1+2+3=6; 1+2+3+4=10; 1+2+3+4+5=15; 1+2+3+4+5+6=21
Formula di Gauss n(n+1)/2
152

GERUSALEMME 1229: Mentre Federico II di Svezia scaccia i
musulmani dalla città, un amanuense sta completando un libro di
preghiere destinato al monastero di San Saba, nel deserto del Sinai.
Scrive su vecchie pergamene riciclate, fogli di codici bizantini in cui
si conservano le copie di antichi testi greci.
NEW YORK: un anonimo miliardario si aggiudica all’asta quel libro
per due milioni di dollari. Che cosa può rendere tanto preziosi quei
vecchi fogli divorati dalla muffa? Al loro interno, cancellati e
ricoperti dalle preghiere medievali, si nascondono le parole e i
disegni di Archimede di Siracusa, il grande matematico greco: brani
inediti, destinati a rivoluzionare la storia della scienza occidentale.
R. Netz W. Noel
A.S.L- Azienda sanitaria letale. R.
La caratteristica generale più certa della tradizione scientifica
europea è che consiste in una serie di note aggiuntive ad
Archimede. Nei “Discorsi intorno a due nuove scienze” Galileo nel
1638 (1850 anni dopo Archimede) sia per lo sviluppo della statica sia
per quello della dinamica utilizza concetti che prende in prestito da
Archimede in maniera esplicita ed esprime sempre la sua
ammirazione per il matematico greco, citandolo spesso e con
riverenza. Questo vale anche per altre grandi figure della cosiddetta
“rivoluzione scientifica”, come Leibniz, Huygens, Fermat, Cartesio e
Newton. Sono in un certo senso tutti figli di Archimede.
Con Newton la scienza, in quel periodo, raggiunse la
perfezione, in una forma assolutamente archimedea.
R. Netz
Urologo: magistrato delle acque. R.
Oggi, la maggior parte dei libri di matematica è piena di simboli: bisogna fare
attenzione alla differenza tra i concetti matematici e la notazione che usiamo per
esprimerli. La notazione matematica non è la matematica, come la notazione
musicale non è la musica. Una pagina di musica rappresenta un pezzo musicale,
ma la musica è ciò che si ascolta quando le note stampate sulla pagina vengono
cantate o suonate da uno strumento musicale. Lo stesso vale per la matematica: i
simboli stampati sono solo una rappresentazione della matematica. Se vengono
letti da qualcuno che ha studiato matematica, essi diventano vivi- la matematica
vive e respira nella mente di chi legge. Senza i suoi molti simboli, gran parte
153

della matematica, semplicemente, non esisterebbe. Il riconoscimento dei concetti
astratti e lo sviluppo di un linguaggio appropriato per descriverli sono
effettivamente i due lati di una stessa medaglia. L’aspetto linguistico o concettuale
della matematica è spesso trascurato, soprattutto nella nostra odierna cultura, che
mette l’accento sugli aspetti procedurali e computazionali della matematica. Anzi
alcuni si lamentano per il fatto che la matematica sarebbe più semplice e piacevole
se non fosse per tutta quella notazione astratta, che è un po’ come dire che
Shakespeare sarebbe molto più semplice da capire se solo fosse scritto in un
inglese più semplice. Quando si va oltre i simboli, la matematica si riduce a un
modo di osservare il mondo: sia quello fisico, biologico e sociologico che abitiamo
sia quello interiore delle nostre menti e dei nostri pensieri.
Numeri quadrati 1-4-9-16-25-36-49-64-81-100-121-144-169
Anche somma di numeri triangolari successivi. Formula n 2
Zozzo- Chi tiene alto il proprio odore. R.
I matematici studiano la struttura in maniera indipendente dal contesto, e
la loro scienza è un viaggio di esplorazione attraverso tutti i tipi di struttura
e ordine che l’umana natura è capace di discernere.
Charles Pinter
Numeri pentagonali 1-5-12-22-35-51-70-92-117-145
Formula (3n 2 -n)/2
La dedizione alla matematica è una follia divina dello spirito umano.
Alfred North Whitehead
Il partito di Silvio l’ho inventato io. Ci avevamo messo cinquant’anni a
creare una classe politica di ladri. E Di Pietro in un mese li ha fatti fuori
tutti. Bella roba, e noi comici chi si prende più in giro? Così con
Berlusconi, abbiamo deciso di fare tutto daccapo. Ci metteremo un po’ di
anni a ricreare una bella classe politica di ladri e di corrotti, ma poi noi
comici torneremo a lavorare. R. Benigni
154

Nella misura in cui le leggi della matematica riguardano la realtà, non
sono certe; e nella misura in cui sono certe, non riguardano la realtà.
Albert Einstein (1879-1955)
Il vero viaggio di scoperta non consiste nel cercare nuovi paesaggi ma
nell’avere nuovi occhi. Marcel Proust
A tutti quegli “ics minuscoli” che avrebbero potuto diventare grandi
matematici e che invece, a causa delle ingiustizie che ancora affliggono il
mondo, hanno visto negato il loro diritto all’istruzione.
Furio Honsell
Grazie a quello che si è scoperto in questo libro (noto come il
palinsesto)
sappiamo che Archimede si occupò della matematica dell’infinito.
La matematica dell’infinito, o calcolo infinitesimale, è lo strumento
scientifico più efficiente che disponiamo per esplorare il mondo
fisico. R. Netz
La Lega è sacrosanta. ..E poi mi è bastato lo slogan: “la Lega ce l’ha
duro”. Mi ha fatto subito capire la serietà del partito. R. Benigni
Lucio Lombardo Radice avrebbe considerato come ridicolo il
tentativo di dissolvere la soggettività degli agenti del prodotto
educativo in una sorta di meccanismo fatto di “valutazioni”, di
“automatismi”, di “ crediti” e “ debiti”, di “ bollini blu e rossi” e
quant’altro tende oggi a ridurre la scuola a un processo produttivo
di tipo industriale, in totale spregio della specifità dei processi
culturali. Giorgio Ismael
Riservato ai professori recitava una targhetta su un attaccapanni in sala
professori. Qualcuno aggiunse: serve anche per i cappotti.
Numeri esagonali 1-6-15-28-45-66-91-120-153-190
Formula 2n 2 -n
155

Il signor I.C.S. seppe riconoscere d’improvviso la matematica nascosta
nella sua vita di ogni giorno e si accorse di quanto fosse affascinante,
divertente e, perché no, utile. F. Honsell
Il luogo più pericoloso è il letto, perché vi muore la maggior parte delle
persone. Mark Twain
I risultati più significativi nella storia della scienza non sono quelli che
offrono delle risposte ultime, ma quelli che aprono nuovi orizzonti.
F. Honsell
Ogni mistero sembra condurci nel cuore dell’Ignoto. Ci illude di
riassumere in sé tutti gli altri misteri. Ci dà l’emozione di credere che, se
sapremo svelarlo, troveremo le risposte a tutti gli interrogativi irrisolti. Se
affrontiamo il mistero con il ragionamento, lo chiamiamo problema o
interrogativo. Un problema del quale non conosciamo la soluzione ci
attrae perché ci fa pregustare la soddisfazione e l’autocompiacimento che
proveremo nel momento della risoluzione. E poiché la speranza dei
piaceri è altrettanto gradevole dei piaceri stessi, un problema ci attrae già
per il fatto che è stato posto, per la mera possibilità delle emozioni
piacevoli che ci potrà provocare. Un problema ha in sé il fascino della
sfida. F. Honsell
202+220+222=1310
Berlusconi l’ho conosciuto: gli ho dato la mano, mi ha lasciato tutt’olio,
è proprio unto dal Signore, è proprio una cosa tutta unta, gli si mette un
po’ d’aceto e di sale e viene un’insalata che è una cosa eccezionale.
R. Benigni 1997
La conoscenza è come un palloncino, più si gonfia e si arricchisce e
più aumenta la sua superficie di contatto con l’ignoto.
Citato da F. Honsell
156

303+330+333=2021
La scienza è “la luce che si alimenta dell’oscurità”.
Giorgio Pressburger
Al tempo stesso la scienza è anche “l’oscurità che nasce dalla luce”.
F. Honsell
Fini. Tutti pensano che Fini sia fascista, ma non lo è, lui invece è un
sessantottino, sta a destra solo per strategia politica, lui è di sinistra.
R. Benigni
Non bisogna subire passivamente la scienza. F. Honsell
Alles leben ist fragenstellen (Tutta la vita è porsi domande).
Karl Popper (filosofo della scienza)
Porsi dei problemi è un gesto autenticamente rivoluzionario!
F. Honsell
Mafia e ministri. Hanno organizzato una partita “ministri contro
mafiosi”: praticamente un’amichevole. L’hanno organizzata ma dopo non
si riconoscevano tra loro, tutti passavano la palla a tutti.
R. Benigni1997
Anche gli eventi più elementari e quotidiani sono delle straordinarie
finestre sul mistero. Bisogna essere curiosi, ingenuamente curiosi.
Bisogna avere il coraggio di porsi le domande, senza aver paura di essere
sciocchi. Una domanda semplice, ben posta, non è mai sciocca. Una
domanda complicata sì a volte può esserla. Una risposta sprezzante lo è
sempre. F. Honsell
La matematica e l’informatica prima ancora che uno strumento sono un
linguaggio e un metodo, che in molti casi ci permette di sottoporre le
nostre opinioni a verifica formale e rigorosa.
F. Honsell
157

3(2+1)=12+3=21
Non lasciatevi intimorire dalla scienza. Riflettete su ciò che fate
ogni giorno e vi scoprirete scienziati e matematici assai migliori di
quanto pensavate. F. Honsell
Agnelli ci ha rovinato con le macchine. Diceva “ Io vi do il benessere”.
Ma è meglio poveri in un giardino che ricchi in un garage.
R. Benigni
Il ragazzo, a scuola, deve capire, e per capire deve studiare in modo
attivo, ricostruendo in modo creativo ogni processo mentale, ogni
esperimento, ogni vicenda, ogni teoria che gli vengono esposti. La
passività intellettuale non genera conoscenze, ma imprime labilmente
nozioni. Lucio Lombardo Radice
XIII INSERTO
Una Formula e la sua storia
Qualsiasi studente che abbia frequentato almeno i primi anni delle scuole
superiori è stato tormentato dalla formula risolutiva dell’equazione di
secondo grado ax 2 +bx+c=0 e ha scoperto che tale formula codificata
permette di trovare le soluzioni se si conoscono i coefficienti a, b, c.
x=(-b±√b 2 -4ac)/2a oppure x=(-b/2±√(-b/2) 2 -ac)/a formula ridotta
Il teorema fondamentale dell’algebra, dimostrato dal matematico francese
Jean Baptiste d’Alembert (1717-1783), afferma che si troveranno sempre
due soluzioni (numeri reali se b 2 -4ac≥0, numeri complessi se b 2 -4ac

Khorezm), nato all’incirca nel 780. Ho già scritto che dal VIII secolo in
poi Baghdad, fondata dal califfo al-Mansur nelle vicinanze di Babilonia,
divenne la capitale culturale del mondo conosciuto con la sua famosa
biblioteca e la “Casa del Sapere”. A Baghdad furono tradotte le opere più
importanti greche da parte di scienziati e filosofi provenienti dalla Siria,
dall’Iran, dalla Mesopotania. Al-Khuwarizmi, ritenuto il padre
dell’algebra, scrisse Hisab al-jabr w’al-muqabala dal quale deriva la
parola algebra (si pensa che il significato del titolo sia “Restaurazione e
riduzione) dove tratta risoluzioni di vari tipi di equazioni di secondo grado.
Ritornerò successivamente su al-Khuwarizmi perché in verità la formula
risolutiva delle equazioni di secondo grado è molto più antica: la paternità
si deve attribuire alla civiltà babilonese o meglio ancora ai Sumeri. La
scrittura cuneiforme fu decifrata a metà del XIX secolo ma è solo dal 1930
che vengono analizzati i testi delle moltissime tavolette d’argilla da parte
di Otto Neugebauer. Tavolette risalente all’Antico Impero (1900-1650
a.C.), alcune conservate a Yale, presentano soluzioni di problemi di
secondo grado uguali a quelle che eseguiamo noi attualmente. Prima di
esaminare qualcuno di questi problemi premettiamo:
La nostra x era per i Sumeri “lato” (ush) di quadrato o rettangolo.
Nel caso di due incognite usavano “lunghezza” (ush) e larghezza (sag) e
per tre incognite introducevano anche “altezza” (sukud); il quadrato era
chiamato lagab, l’area asha e il volume sahar. Problema:
Dall’area (asha) di un quadrato sottraggo il lato (ush) e il risultato è
14;30, trovare il lato? Ricordo che nel sistema sessagesimale 14;30 è
uguale a 14x60 +30=840+30=870 e quindi è come risolvere x 2 -x=870.
Vediamo la soluzione proposta nella tavoletta: Prendi la metà di 1(0;30
per i babilonesi), e moltiplica per se stesso 1/2 x1/2=1/4 (0;15); aggiungi
870 (14;30) 1/4 +870=3481/4. Questo è il quadrato di 59/2. Aggiungi
ora 1/2 e avrai 30 che è il lato del quadrato.
La soluzione babilonese è quella della formula attuale
x = √ (1/2) 2 +870 + 1/2 e tale tipo di risoluzione si trova anche in altre
tavolette e quindi era un metodo che applicavano frequentemente:
La lunghezza (ush) di un rettangolo è superiore di 7 alla sua
larghezza.(sag). La sua area è 1;0 (notazione babilonese). Trovate
lunghezza e larghezza. (tavoletta di Yale).
Soluzione della tavoletta Soluzione in notazione moderna
Dimezzate 7, risultato 3;30 Siano y e x la lunghezza e la
Moltiplicate 3;30 per 3;30 larghezza.
159

il risultato è 12;15 y=x+7 e xy=60
Addizionate 1;0 a 12;15 x(x+7)=60; x 2 +7x-60=0
e si ha 1,12;15 (1x60+12+15/60) x=√(7/2) 2 +60 -7/2=5
Trovate la radice quadrata di 1,12;15 La larghezza è 5 e la lunghezza 12
risultato 8;30
Tracciate una figura con i lati 8;30 e
8;30. Sottraete 3;30 da uno (5) e
addizionatelo all’altro (12).
Nella tavoletta di Yale si trovano anche soluzioni di equazioni più generali
come: ax 2 +bx+c=0. L’equazione 11x 2 +7x=6;15 viene risolta
moltiplicando ogni termine per 11: (11x) 2 +7(11x)=1,8;45
6x11=60+6; 0;15x11=15/60 x11=165/60= 2+45/60; 60+6+2+45/60=
1,8;45
Si pone poi y=11x e si ha un’equazione del tipo precedente esaminato.
Se si pensa che questo procedimento veniva usato 4.000 anni fa, bisogna
affermare che è eccellente come esempio di trasformazioni algebriche.
Al-Khuwarizmi presenta e risolve in Al-jabr sei tipi di equazioni:
x 2 =a; x 2 =x; x=a; x 2 +ax=b; x 2 +b=ax; ax+b=x 2
Esaminiamo come risolve il quarto caso attraverso un esempio:
Un quadrato (mal) e 10 radici sono uguali a 39 unità.
Soluzione di Al-Khuwarizmi Spiegazione in notazione
moderna
Dividi per 2 il “numero” (coefficiente x 2 +10x=39
numerico) delle radici = 5
Moltiplica 5 per se stesso=25
Addiziona 25 a 39=64 x 2 +10x+25=39+25=64
Prendi la radice quadrata di (x+5) 2 =64
64=8 x+5=8
Sottrai da 8 il risultato del x=8-5=3
primo passaggio 8-5=3
Questo è il lato del quadrato
Le soluzioni negative vengono ignorate; si può notare l’influenza
babilonese nella soluzione. La vera novità di al-Khuwarizmi è che
continua con un approccio geometrico “Ora è necessario dimostrare
geometricamente la verità degli stessi problemi spiegati con i numeri”
Ritorniamo all’esempio precedente:
160

Disegniamo un quadrato di lato x, che è il numero da trovare, e
aggiungiamo a ciascun lato il rettangolo di altezza 5/2 (un quarto delle
radici). La figura ottenuta ha area x 2 +10x che nel problema è uguale a
39 (area tratteggiata); se aggiungiamo quattro quadrati di lato 5/2
otteniamo un quadrato più grande che ha area 39+ 4·25/4=39+25=64.
Il lato di questo secondo quadrato sarà 8 e il lato incognito cercato 8-5.
Ci sono moltissimi imbecilli e quasi tutti sono contenti,
Ho sempre detestato qualsiasi corso di matematica seguito nella mia vita,
con una sola eccezione: un corso tenuto da uno dei rari specialisti che
sanno dare vita e necessità ai concetti astratti, che quando tengono una
lezione parlano veramente con te.
David Foster Wallace romanziere
10122:21=112
George Cantor è il matematico più importante del XIX secolo e una
figura di grande complessità e pathos; morì nel 1918 in una casa di cura
mentale (Anche Gödel, il più importante matematico del XX secolo morì
per malattia mentale; ricordo anche Boltzmann e Caccioppoli morti
suicidi). Gli storici e gli studiosi tentano a dedicare molto tempo ai
problemi psichiatrici di Cantor in relazione al suo lavoro sulla matematica
dell’infinito. David Foster
Per qualcuno il destino è soltanto l’associazione fortuita d’infinite
combinazioni matematiche, un calcolo delle probabilità…………..
161

Altri credono alla presenza di un essere superiore onnipotente. Per
costoro tutto è deciso dall’inizio…………………………………………
Alcuni, infine, negano il determinismo e la casualità del destino. Sono
quelli che sostengono il libero arbitrio dell’uomo. Da “Asso di Picche”
Alla fine dell’Ottocento uno straordinario matematico languiva in un
manicomio….Più si avvicinava alle risposte che stava cercando, più queste
sembravano allontanarsi. Alla fine tutto ciò lo fece impazzire, come era successo a
qualche altro matematico prima di lui. Da una biografia di Cantor
I poeti non impazziscono, ma i giocatori di scacchi si. Impazziscono i matematici,
e anche i cassieri; ma agli artisti creativi accade di rado. Non voglio attaccare in
alcun senso la logica; dico soltanto che questo pericolo è insito nella logica, e non
nell’immaginazione. G. K. Chesterton
Chesterton, nel brano citato, è impreciso. Il pericolo che cerca di evocare non è la
logica. La logica è solo un metodo e i metodi non possono sconvolgere la mente
delle persone. Ciò di cui Chesterton vuole parlare è una delle caratteristiche
principali della logica ( e della matematica). L’astrazione.
D. F: Wallace
E’ difficile pensare a qualcosa se non si sa niente.
Dal giardino dei Finzi Contini a proposito dell’informazione di regime
ASTRAZIONE: dal latino abstractus= tirato via. L’Oxford English
Dictionary riporta nove definizioni principali dell’aggettivo
“astratto”, la più appropriata delle quali è “distante o separato dalla
materia, da un’incarnazione materiale, dalla pratica o da esempi
specifici. Contrario di concreto.
Come vengono insegnati i numeri ai bambini di prima e seconda
elementare, per esempio il numero cinque? Prima vengono date
loro cinque caramelle, per esempio. Qualcosa che possono toccare e
tenere in mano. Gli si chiede di contarle. Poi viene data loro
un’immagine con cinque caramelle. Poi un immagine che associa le
cinque caramelle alla cifra “5”, in modo che associno le due cose. Poi
un’immagine della sola cifra “5”, senza più le caramelle.
Successivamente i bambini fanno esercizi e parlano del numero 5
162

per se, come oggetto in sé, separato dalle cinque caramelle. In altre
parole vengono sistematicamente ingannati (o forse risvegliati): li
si spinge a trattare i numeri come cose anziché come simboli di
cose. A quel punto si può insegnare loro l’aritmetica, che
comprende i rapporti elementari tra i numeri. Alcuni bambini
hanno dei problemi perché vogliono sempre sapere 5 cosa? 5
arance? 5 monete? Questi bambini non riescono a trattare il 5
come oggetto in sé………………
Morale: la definizione base di “astratto” per quanto ci riguarda sarà
: distaccato da specificità concreta e esperienza sensoriale. Usato in
questo modo specifico, “astratto” è un termine che deriva dalla
metafisica. In tutte le teorie matematiche è infatti implicita una
qualche posizione metafisica. Il padre dell’astrazione matematica:
Pitagora. Il padre dell’astrazione metafisica: Platone.
D.F. Wallace
Le leggi bisogna farle inique e inutili così, se non si applicano, si è
ottenuto un successo. Da “Cuore”
L’astrazione porta con sé ogni genere di problemi e rotture di scatole, lo
sappiamo tutti. Wallace
1202: 13= 32
Cosa significa movimento? Sappiamo che delle cose specifiche e concrete
esistono e a volte si muovono. Esiste il movimento in sé? In che modo
esistono le astrazioni? Naturalmente l’ultima domanda è essa stessa molto
astratta. Vi è un tipo speciale di disagio, di impazienza, quando si ha a che
fare con roba del genere. E’ un disagio del tutto particolare che insorge
solo quando si raggiunge un certo livello di astrazione. Può essere che i
filosofi e i matematici che passano un sacco di tempo a pensare
astrattamente o ad astrazioni o entrambe le cose, diventino eo ipso
predisposti alla malattia mentale. Oppure può essere che le persone
predisposte alla malattia mentale siano più inclini a pensare a questo
genere di cose………………..Il pensiero astratto tende a colpire con
maggiore frequenza nei momenti di tranquillità. Tipo la mattina presto
quando può venirti in mente all’improvviso e senza motivo alcuno che sei
uscito dal letto tutte le mattine senza mai mettere in dubbio che il
163

pavimento ti avrebbe sorretto. Ora ti sembra teoricamente possibile che un
qualche difetto nella costruzione del pavimento o nella sua integrità
molecolare potrebbe farlo curvare. Non è che tu abbia davvero paura che il
pavimento possa cedere quando deciderai di uscire dal letto. E’ solo che
certi stati d’animo e certe linee di pensiero sono più astratte, e non si
concentrano esclusivamente sui bisogni o gli impegni a cui dovrai
ottemperare una volta uscito dal letto. Questo è solo un esempio.
D. F. Wallace
Ripresa
-Contro la droga più armi, aerei e elicotteri-
-Finalmente il mercato ha una reazione d’orgoglio.
Da “Cuore”
Nel 1900 David Hilbert, riconosciuto numero uno della
matematica mondiale, durante il II congresso internazionale di
matematica, descrisse i numeri transfiniti di Cantor come: il
prodotto più elegante del genio umano e come:una delle più
grandi realizzazioni dell’attività umana nell’ambito del puramente
intelligibile.
Terrore alla R.A.I.: leccare il fondoschiena può provocare l’A.I.D.S.
Da Cuore
Esiste una matematica senza numeri? Si, esiste ed è una porzione
significativa di questa scienza. Infatti, al di là del luogo comune-tanto
diffuso quanto ingiusto e riduttivo- che identifica la matematica con il “far
conto”, esistono ampi territori di questa disciplina che prescindono dai
numeri; si tratta spesso di territori di confine, in cui la matematica
s’incontra in modo proficuo con altre discipline, quali la logica,
l’informatica, la linguistica. Occuparsi quindi della > non è un gioco di prestigio fine a se stesso né una sorta di
esercizio di stile, bensì un modo per ampliare la propria concezione della
regina delle scienze o per accostarsi “dolcemente” ad essa. Giuliano
Spirito
343: 12=24
164

Spira aria di unità a sinistra…Lasciamola spirare in pace.
Da Cuore
La matematica gode di una immagine riduttiva, conseguente anche da
una tradizione didattica che mortifica gli aspetti creativi e problematici
della materia, privilegiando tecniche e procedimenti meccanici e ripetitivi,
tant’è che il sapere matematico viene spesso identificato con la precisione,
la scioltezza e la rapidità nel fare calcoli. Ma se davvero fosse così, il più
abile matematico sarebbe il computer. Giuliano
Spirito
Attualità
Se a qualche giornalista non piace l’aria pesante che si respira, smettesse
di respirare. Da Cuore
La teoria degli insiemi è la teoria più generale di tutta la matematica, una
specie di capitolo zero che funge da premessa comune alle singole e
particolari teorie di cui si compone l’edificio di questa scienza.
Giuliano Spirito
Il governo della Nazione esorta giornali ed opinione pubblica a isolare i
seminatori di zizzania e i nemici del popolo e precisa:
Silvio ha molti capelli; Licio Gelli è un perseguitato; Brunetta è alto; la
Casa delle libertà è un partito con ampio dibattito interno e variegate
posizioni; Schifani è spiritoso; le vittime di Ustica e quelle morte sul
lavoro stanno benissimo. Da variazione di “Cuore”
Esistono territori della matematica dove ci si addentra facendo ricorso a
sensibilità e attenzioni che non hanno nulla a che fare con l’idea della
matematica che ci portiamo dentro. Questi territori si rivelano vasti, fertili
e persino divertenti, al di là di ogni previsione…. Forse anche la
matematica “classica” può essere guardata con spirito libero, creativo e
critico, con il gusto della costruzione e della scoperta, invece che
presumendo di confrontarsi con una verità assoluta, indiscutibile.
Giuliano Spirito
Dibattito nel P.D.
165

D’Alema è stato durissimo con Marino, ad un certo punto gli ha dato
persino del sinistrorso. Da variazione di” Cuore”
5.000 anni di matematica- tante regioni
La storia della matematica inizia intorno al 3.000 a.C. con i Sumeri.
Questo popolo dal 3.500 a.C. fonda un gran numero di piccole città-stato
nella Mesopotania meridionale (attuale Iraq) tra le quali Ur, Uruk,
Nippur, Lagash. Nelle loro città-stato i Sumeri (chiamati dalle popolazioni
locali “teste nere”) raggiunsero un alto sviluppo culturale e intellettuale,
creando il primo impero, la prima scrittura, un sistema numerico
posizionale, l’insegnamento scolastico…Tra il 2.400 e il 2.200 a.C.
elaborarono tabelle per la moltiplicazione, la divisione e altre operazioni.
Esistono come fonte delle loro conoscenze circa 500.000 tavolette di
argilla risalenti a quel periodo di cui varie trattano di matematica. Per
circa 2.000 anni, anche se ci sono nella regione varie invasioni, la loro
cultura e quindi la loro matematica si diffonde nei vari territori conosciuti.
La matematica babilonese era molto più avanzata di quella egiziana (che
da essa appunto discendeva) e molti storici dicono che regge il confronto
con la matematica dell’Europa del XVI secolo. Le fonti maggiori della
matematica egizia sono due papiri scritti il primo nel 1850 a.C. e il
secondo nel 1650 a.C. (papiro di Ahmes dallo scriba che lo compose).
Le fonti principali della matematica greca sono codici manoscritti
bizantini scritti 500-1500 anni dopo la composizione delle opere originali
e traduzioni latine di traduzioni arabe. Esistono anche due importanti
commentari di Pappo (III secolo d.C.) e di Proclo (410-485 d.C.). Dopo il
medioevo ellenico durato circa 500 anni in seguito alla misteriosa
distruzione della civiltà micenea avvenuta nel XII secolo a.C., l’opera dei
poeti ionici Omero ed Esiodo segna la rinascita della cultura greca; la
scrittura basata sull’alfabeto fenicio fu usata per metter per iscritto
proprio l’epica omerica. L’inizio della matematica avviene con Talete
(640-546 a.C. circa) nella città di Mileto; furono suoi allievi
Anassimandro (610-547 a.C. circa) e Anassimene (550-480 a.C. circa).
Anche Anassagora (500-428 a.C. circa) apparteneva a questa scuola e si
pensa che Pitagora (585-500 a.C circa) abbia imparato la matematica da
Talete.
Pitagora, viaggiando in Egitto, Italia, Mesopotania apprese gran parte
delle conoscenze matematiche. Verso il 530 a.C. si trasferì con i suoi
166

seguaci a Crotone dove fondò una sua scuola. Platone (427-347 a.C.) fu
influenzato dai pitagorici e molte idee pitagoriche entrarono a far parte
della corrente predominante del pensiero greco. Nella sua Accademia ci
furono brillanti allievi tra i quali Aristotele (384-322 a.C.). La tradizione
della matematica greca continua con Euclide, Eudosso, Apollonio e
Archimede. Solo i confini dell’Europa e precisamente l’Italia meridionale
con Crotone e Siracusa vengono in contatto con le conoscenze
matematiche del tempo. La matematica romana risulterà insignificante.
Compio cinquant’anni tra qualche giorno, eppure mi sento ancora
abbastanza stupido. P.K. Feyerabend
I numeri perfetti sono quelli uguali alla somma dei propri divisori.
Esiste una formula che permette di trovare solo quelli pari: 2 n-1 (2 n -1)
con n numero primo. Per n=2 si ha 6; n=3 28; n=5 496; n=7 8128;
2.096.028 33.550.336 8.489.869.056
I successori dei Greci nella storia della matematica furono gli Hindù
dell’India. La matematica risalente all’800 a.C. divenne significativa solo
dopo che essi conobbero le opere dei Greci tra il 200 e il 1200 d.C. con
Aryabhata I, Brahmagupta, Mahavira, Bhaskara II.
Grandioso è il contributo degli Arabi dal 700 al 1400 sia perché
recuperarono le opere greche traducendole e ingaggiando i maggiori
studiosi siriani e bizantini sia per il loro diretto contributo con al-
Khuwarizmi, creatore dell’algebra, ibn Qurra, Omar Khayyam grande
matematico e poeta di valore, al-Kashi. A loro il merito di aver diffuso il
sistema di numerazione hindù.
Rigore c’è quando arbitro fischia, V. Boskov
Agli Hindù e agli Arabi spetta il merito di aver coltivato la scienza -in
particolare la matematica- in un’epoca in cui in Europa infuriava la
barbarie. I loro risultati non avrebbero avuto diffusione se in Italia il
sorgere dei comuni e la grande attività commerciale non avessero
permesso relazioni tra popoli di tutto il mondo.
I mercanti italiani portano da terre lontane, con le droghe e l’oro, nuove
idee e manoscritti soprattutto scientifici. E’ appunto un mercante,
167

Leonardo Pisano, il principale matematico italiano del Medioevo. Egli è
noto con l’appellativo di Fibonacci, forse derivante dal nome del padre
Bonaccio o dal nome del membro più illustre della sua famiglia. Nacque
tra il 1170 e il 1180 e si recò giovane a Bougie (italianizzata Bugia, città
nei pressi dell’attuale Algeri) dove il padre esercitava l’ufficio di scrivano
(notaio). Leonardo, che i suoi concittadini chiameranno Bigollo, apprese i
procedimenti arabi nell’uso dell’aritmetica con il sistema posizionale
indiano e affascinato dalle nuove idee viaggiò per tutto il Mediterraneo e
incontrò eruditi che gli fecero conoscere le opere di Euclide, di al-
Khwarizmi e di Diofanto. In Europa introdusse il sistema decimale e le
cifre arabe oltre alla celebre successione che porta il suo nome. Nel 1202
pubblicò un opera colossale: il Liber Abaci.
L’erba? Conviene piantarla. Da Cuore
Non si pensa mai abbastanza. M. Emmer
Nel 1085 Alfonso VI di Castiglia sconfisse gli Arabi, conquistando la città
di Toledo, dove esisteva una grandissima biblioteca. Furono tradotte opere
scientifiche dall’arabo, dal greco e dall’ebraico. Le Crociate (1100-1300
circa) portarono gli Europei a contatto con gli Arabi dai quali ricevettero le
prime informazioni sulle opere greche. Il contatto con le opere greche creò
una grande eccitazione; furono cercate e tradotte queste opere. Il lavoro
scientifico tra il 1150 e il 1450 fu svolto dagli Scolastici, che sostenevano
dottrine basate sull’autorità dei padri della Chiesa e di Aristotele e i
risultati furono abbastanza miseri. L’unico oppositore agli Scolastici forse
fu Ruggero Bacone (1214-1294), detto il doctor mirabilis. Egli sosteneva:
Se avessi il potere sopra le opere di Aristotele, le brucerei tutte perché lo
studiarle è soltanto una perdita di tempo e una causa di errore, nonché
una moltiplicazione d’ignoranza al di là dell’immaginabile. Ci furono
traduttori soprattutto attivi in Spagna quali Gherardo da Cremona (1114-
1187), l’inglese Roberto da Chester, Platone Tiburtino etc.; le loro
traduzioni comunque presentano talvolta errori perché le conoscenze
scientifiche in Europa in quel periodo erano scarse.
Se si dice la verità si è sicuri, prima o poi, di essere scoperti.
Oscar Wilde
168

Si può affermare che fu solo durante il XV secolo che l’Europa inizia il
suo percorso scientifico; i Bizantini in guerra con i Turchi, chiesero aiuto
agli Stati italiani e, in virtù delle migliorate relazioni, insegnanti di greco
arrivarono in Italia e studiosi italiani si recarono nell’impero bizantino.
L’invenzione della stampa da parte di Gutenberg intorno al 1450 accelerò
anche la diffusione della cultura. La conoscenza sia pure indiretta delle
opere di Platone e Pitagora favorì lo sviluppo della matematica; le nuove
dottrine del Rinascimento ritenevano che Dio avesse progettato l’universo
matematicamente. Attribuendo a Dio la qualifica di matematico supremo
divenne possibile considerare la ricerca delle leggi matematiche della
natura come un fatto religioso.
I maggiori matematici del XV secolo sono: Luca Pacioli (1445-1514), che
scrisse un famoso trattato di algebra Summa de aritmetica, geometria,
proporzioni et proporzionalità, Albrecht Dürer (1471-1528) e Johannes
Müller (1436-1476) noto Regiomontano, che sviluppò la trigonometria
studiando a Roma. Il XVI secolo fu fecondo per la matematica europea (in
questi periodi la cultura scientifica si sviluppa per lo più in Europa; in Cina
e in America latina ci sono solo poche ricerche); si distinsero algebristi
tedeschi tra i quali lo Stiefel (1487 c.-1567) , gli italiani Gerolamo
Cardano (1501-1576), Niccolò Fontana, detto Tartaglia, che svilupparono
equazioni di grado superiore al secondo e Raffaele Bombelli ((1526 circa-
1573) che diede definizioni chiare di numeri negativi e iniziò lo studio dei
numeri immaginari, Francesco Viète (1540-1603) che ha grandi meriti nel
campo della trigonometria ma anche per aver per primo usato il
simbolismo. John Napier (Nepero) inventore dei logaritmi opera tra la fine
del XVI secolo e l’inizio del XVII.
Non è tardi se non guardi l’orologio. Enrico Ruggeri
I numeri che hanno somma dei divisori minore del numero stesso
sono detti mancanti o difettivi. I numeri primi sono mancanti; 10 è
mancante perché 1+2+5=8

All’inizio del Seicento gli scienziati europei erano impressionati
dall’importanza della matematica per lo studio della natura. In questo
secolo due scienziati, Descartes e Galileo, ridefiniscono gli obiettivi
dell’attività scientifica e modificano profondamente la metodologia della
scienza.
Per essi la scienza teoretica divenne la matematica. Galileo fu un uomo
straordinario in molti campi; per lui (anche successivamente in Newton) la
parte matematico-deduttiva dell’attività scientifica svolgeva un ruolo più
importante di quella sperimentale e come altri dopo di lui si accostò allo
studio della natura da matematico. Nel Seicento dallo studio del moto la
matematica derivò un concetto fondamentale che rimase centrale in tutte le
ricerche dei successivi duecento anni: il concetto di funzione o di relazione
fra variabili.
A Descartes è attribuibile la scoperta della geometria delle coordinate
(geometria analitica) anche se esistono prove che a conclusioni simili o
forse migliori prima di lui fosse giunto Fermat. Fermat fu sicuramente il
più grande matematico del secolo perché insieme a Pascal creò il calcolo
delle probabilità, portò a livelli eccezionali la teoria dei numeri e recenti
prove (una lettera di Newton) dimostrano che avesse delle idee chiare sul
calcolo infinitesimale. L’adozione del concetto di funzione e la geometria
delle coordinate permisero l’invenzione del calcolo infinitesimale che,
insieme alla geometria euclidea, è la più grande creazione di tutta la
matematica. Sono da ricordare tra i grandi matematici di questo periodo
Girard Desargues creatore della prospettiva in geometria; Bonaventura
Cavalieri noto per alcune scoperte in geometria ma anche profondo
conoscitore di matematica applicata; Gregory (studia in Italia con un
allievo di Torricelli), conosciuto per lo sviluppo di alcune serie, Wallis,
Rolle, Hospital, Barrow ma soprattutto Leibniz e Newton che vengono
collocati anche nel secolo successivo e ritenuti i padri del calcolo
infinitesimale.
L’Europa diventa il fulcro della ricerca scientifica e quindi della
matematica dal ‘600 ossia circa 4.000 anni dopo le prime grandi scoperte
sumeriche; l’Italia, che per prima aveva stabilito contatti con le altre
170

culture soprattutto quella greca attraverso traduzioni di opere o con contatti
diretti (vedi Fibonacci o i gesuiti che in Cina appresero molta matematica),
ha un ruolo non preminente in questo periodo. Sicuramente la Storia della
matematica avrebbe avuto altro sviluppo se Galileo e Descartes si fossero
incontrati in occasione del Giubileo o se nel 1647 non fossero morti
Cavalieri e il giovane Evangelista Torricelli (1608-1647) che
rappresentava la nuova generazione di matematici impegnata nello
sviluppo dell’analisi infinitesimale troppo generica di Cavalieri. Di fatto la
Francia divenne il centro indiscusso dell’attività matematica della seconda
metà del XVII secolo (Mercenne, Descartes, Fermat, Desargues, Pascal, de
Roberval) ma anche in Inghilterra e in Germania si manifesta curiosità e
ricerca in questo periodo con la comparsa di qualche grandissimo genio
quali Newton (1642-1727) e Leibniz (1646-1716).
Quando non si capisce si prende un’aria solenne. F. Nietzsche
Numeri primi gemelli sono quelli la cui differenza tra il maggiore e il
minore è 2. Esempio 11- 13 o 17-19 o 29-31; si deve dimostrare che sono
infiniti.
All’inizio del Seicento Galileo riteneva ancora necessario discutere con il
passato. Entro la fine del secolo, la matematica aveva avuto cambiamenti
vasti e radicali che erano la manifestazione di una nuova era. La
matematica non era praticata da pochi come nell’antica Grecia ma in
Francia, Inghilterra, Germania, Olanda e Italia molti la coltivavano
favoriti anche dalla scoperta della stampa. L’algebra con l’uso del
simbolismo e con la geometria delle coordinate divenne prevalente sulla
geometria (aritmetizzazione della geometria) e si affermò con chiarezza
che essa forniva metodologia migliore; la matematica si caratterizza e si
caratterizzerà per la generalità dei metodi e dei risultati. I matematici
creano dei concetti invece di astrarre delle idee dal mondo reale (Kline).
I matematici del Settecento perfezionarono il calcolo infinitesimale e
fondarono nuove branche dell’analisi; molti si fecero condurre
dall’intuizione fisica e non si fece distinzione tra algebra e analisi. Il più
grande matematico del secolo fu sicuramente lo svizzero Leonhard Euler
(1707-1783)(altri due svizzeri si distinsero a cavallo dei due secoli: i
fratelli Bernouilli) che ebbe una produzione incredibile in tutti i campi
della matematica. In Germania, in Francia ma anche in Russia e in
171

Inghilterra si rivelano grandi studiosi quali: Taylor, De Moivre,
D’Alembert, Cramer, Bezout, Lagrange, Legendre, Laplace, Carnot.
Sovrano come er popolo sovrano
che viceversa nun cummanna mai. Trilussa
Kline afferma che se il Seicento è chiamato il secolo del genio, il
Settecento può essere definito il secolo dell’ingegno per l’abilità con cui fu
sfruttato il calcolo infinitesimale dando origine alle equazioni differenziali
e alle derivate parziali, alle serie, alla geometria differenziale e al calcolo
delle variazioni. La Germania, che aveva avuto nei secoli precedenti un
ruolo marginale nello sviluppo della ricerca matematica, diventa
nell’Ottocento la nazione guida.
I prestigiosi istituti di ricerca voluti da Napoleone tra i quali spicca
l’Ecole Polytechnique ebbero influenza sulle università di Berlino e di
Gottinga. Un ruolo chiave ebbe un brillante matematico nato in Germania
ma di origine francese: Peter Gustav Dirichlet. Anche in Inghilterra nel
XIX secolo si ebbe un vigore notevole nella ricerca matematica con la
fondazione dell’Analytical Society di Cambridge. In questo secolo la
matematica si sviluppò notevolmente perché divenne molto ampio il
gruppo di persone che s’interessò alla ricerca matematica. I matematici più
celebri sono Gauss e Riemann (1826-1866) tedeschi, Evariste Galois
(1811-1832) e a cavallo di due secoli Hilbert (1862-1943), Hardy (1877-
1947) coadiuvato da Littlewood e dal geniale indiano Srinivasa
Ramanujan in Inghilterra. Sono di questo periodo anche Poncelet, il
norvegese Abel, Feuerbach, il russo Lobacevskij, Poincaré, Peano,
Hadamard, Weierstrasse, Dedekind e Hermite. Il XIX secolo porta grandi
cambiamenti vitali in se stesso e per i loro effetti sugli sviluppi futuri.
L’algebra riceve nuovo slancio con Galois (sviluppo della teoria degli
insiemi); la geometria ebbe nuovo impulso e venne radicalmente rivisitata
con l’introduzione delle geometrie non-euclidee (importanza culturale e
effetti sulla natura della matematica); l’analisi si ampliò enormemente con
la teoria delle funzioni complesse e con l’espansione delle equazioni
differenziali ordinarie e parziali. In questo periodo la matematica si
sviluppò in cento branche e fu certo che la miniera di questa disciplina non
era esaurita. Germania, Francia e Gran Bretagna furono le nazioni più
importanti come già detto; ma anche l’Italia ricomparve (Peano con la
172

teoria degli interi; Cremona, Pieri) e soprattutto si affacciano alla ribalta
della ricerca scientifica gli Stati Uniti con i matematici Peirce, Hill e Gibbs
(nel 1863 fu fondata la National Academy of Sciences e dal 1897 si ebbe
la consuetudine di tenere un congresso internazionale). In varie opere si
nota la specializzazione e solo in Gauss e Cauchy si evidenzia ancora una
visione globale della matematica.
Tra un numero e il suo doppio c’è sempre un numero primo.
E’ più facile assumere un sottosegretario che una responsabilità.
Leo Longanesi
Nel 1900 la matematica possedeva una sistemazione rigorosa. Ancora
alcuni matematici pensavano che bastasse l’intuizione ma la
rigorizzazione era stata raggiunta del tutto attraverso l’assiomatizzazione.
L’essenza di uno sviluppo assiomatico consiste nel partire con alcuni
termini indefiniti le cui proprietà sono specificate dagli assiomi;
successivamente si deducono le conseguenze degli assiomi. Nella prima
parte del XX secolo il metodo assiomatico permise di stabilire i
fondamenti logici di vecchie e nuove branche della matematica e affermò
con chiarezza quale ipotesi sono alla base di ciascuna branca (movimento
assiomatico). L’ aspetto più importante della matematica del secolo fu
l’acquisizione di una corretta immagine del rapporto tra l’uomo e la
natura. Nei secoli precedenti dai Greci a Euler si era affermato che la
matematica fosse un’accurata descrizione dei fenomeni reali e i
matematici ritenevano di aver svelato con il loro lavoro il disegno
matematico dell’universo; le astrazioni erano per essi la forma ideale
degli oggetti e degli eventi fisici. Ma involontariamente introdussero nelle
loro opere concetti che avevano significato fisico diretto scarso o nullo (i
numeri negativi-i numeri complessi). L’introduzione e l’accettazione di
concetti che non hanno una controparte nel mondo reale resero
necessario l’affermare che la matematica è una creazione umana e
alquanto arbitraria, piuttosto che un’idealizzazione delle realtà naturali
(Kline). All’inizio del XIX secolo Gauss aveva affermato che la geometria
era una scienza empirica assimilabile alla meccanica, mentre l’aritmetica
e l’analisi erano verità a priori. Solo dopo anni i matematici accettarono
173

questa idea di Gauss ossia che non esiste una garanzia della verità fisica
della geometria euclidea (scoperta delle geometrie non euclidee);
successivamente anche l’aritmetica e l’analisi costruite su di essa
divennero sospette. In effetti la creazione di algebre non commutative ,
soprattutto dei quaternioni e delle matrici, creò incertezze sul fatto che i
numeri ordinari posseggano le proprietà privilegiate di verità sul mondo
reale. Ritorniamo all’inizio del secolo; la matematica si presentava come
una raccolta di strutture costruite ciascuna con il proprio sistema di
assiomi. La proprietà necessaria di una qualsiasi di queste strutture era la
coerenza dei suoi assiomi; ma la scoperta delle geometrie non-euclidee
con la loro apparente discordanza dalla realtà sollevò la questione della
coerenza.
Si pensò di giustificare la coerenza delle geometrie non-euclidee
facendola dipendere da quella della geometria euclidea. Peano
s’interessò del problema intorno al 1890 e Hilbert pensò di averlo risolto
dimostrando la coerenza della geometria euclidea partendo dall’ipotesi
che l’aritmetica fosse coerente. Ma la coerenza dell’aritmetica non era
stata dimostrata!
Un avviso particolarmente divertente letto in un’agenzia.
Avviso ai sigg. rapinatori:
Le rapine in questa agenzia si devono effettuare solo dalle 11 alle
12.30. Sabato l’agenzia è chiusa. Il lunedì non ci sono soldi in cassa.
Quando non possiamo esprimerla con i numeri, la nostra conoscenza è
povera e insoddisfacente. William Thomson(lord Kelvin; 1824-1907)
Nel XX secolo furono sviluppati e approfonditi molti dei problemi
affrontati nel secolo precedente. La ricerca dei fondamenti della disciplina
rappresentò l’attività più profonda dei matematici dell’ultimo secolo. La
scoperta di contraddizioni (paradossi) fece indirizzare energie sul
problema della coerenza. Sin dalla fine del secolo precedente, nello
studiare i rapporti tra matematica e logica, qualche matematico pensava
che la matematica potesse essere fondata sulla logica. I matematici
dell’inizio secolo sono spesso raggruppati in due o tre scuole di pensiero: il
174

gruppo intuizionista legato alle concezioni di Poincaré (asseriva che
l’aritmetica non può essere giustificata da una fondazione di assiomi; la
nostra intuizione precede una simile struttura; l’intuizione matematica è
un’intuizione fondamentale); il gruppo formalista di cui fu promotore
Hilbert (ogni fondazione della matematica deve tener conto della logica e
le due discipline vanno trattate contemporaneamente; la fondazione
assiomatica della matematica deve consistere di concetti e principi logici e
matematici; introduzione del simbolismo per concetti e relazioni quali
“e”, “o”, “esiste”…(Kline)- la matematica è un gioco privo di significato
in cui si gioca con contrassegni privi di significato secondo certe regole
formali concordate in partenza (seguaci di Hilbert-riportato da Boyer)).
Si parla di un terzo gruppo, scuola logistica, legato ai formalisti, ma che
negavano la natura interamente arbitraria delle regole del gioco e seguendo
Russell volevano identificare la matematica con la logica. Nel 1931 Kurt
Gödel (1906-1978) dimostrò che, all’interno di un sistema rigidamente
logico come quello che Russell e Whitehead avevano sviluppato per
l’aritmetica, è possibile formulare proposizioni che sono indecidibili o
indimostrabili nell’ambito degli assiomi del sistema ossia all’interno di un
sistema esistono asserzioni che non possono essere né dimostrate né
confutate. Il teorema precedente ha aperto nuove frontiere nel campo della
ricerca della matematica con qualche ulteriore progresso che va esaminato
in un periodo storico più lungo. Gli Stati Uniti, soprattutto durante e dopo
la seconda guerra mondiale, si rivelano la nazione più prolifica per la
ricerca matematica anche se gli scienziati che operano sono per la maggior
parte europei. Cambridge all’inizio è un centro importante con Hardy,
Littlewood e Ramanujan; importanti sono anche i matematici russi anche
se il loro isolazionismo non permette il giusto migrare delle idee. La
gloriosa Gottinga subisce una notevole migrazione delle sue menti più
illustri verso Princeton negli Stati Uniti in particolate Siegel , Selberg ,
Weyl, Gödel, lo stesso Einstein, Erdös e altri, soprattutto fisici. L’Europa
aveva ceduto la supremazia matematica. In Italia si forma un importante
scuola con De Giorgi, Segre, Castelnuovo, Enriques, Severi e
Caccioppoli.
175

Talvolta è più difficile governare un solo individuo che un grande popolo.
Luc de Clapiers De Vauvenargues
I numeri che hanno somma dei divisori maggiore del numero stesso
sono detti eccessivi o abbondanti.
12 è abbondante perché 1+2+3+4+6=16>12
30 è abbondante perché 1+2+3+5+6+10+15=42>30
Riepilogando la storia della matematica ha questo percorso:
Sumeri-Babilonesi (Mesopotania-attuale Iraq) dal 3.500 (Sumeri) al 300
a.C. circa (dinastia dei Seleucidi).
Egiziani: dal 2.000 a.C. al 395 d.C. (papiro di Ahmes del 1650 a.C.
risalente a matematica di tre secoli prima fino alle fonti minori dei periodi
ellenistico e romano).
Greci: dal 500 a.C. al 500 d.C.
Hindù: dal 1500 a.C. (Vedanga e Sulbasutra) al 400-1200 d.C. (periodo
classico della matematica indiana).
Arabi: dal 700 al 1200 circa d.C.
Europa : gli ultimi quattro secoli- dal 1500 circa a metà del secolo XX
Stati Uniti: dal 1940
Il fatto che l’Europa e le sue dipendenze culturali dal 1500 abbiano avuto
un ruolo predominante negli avvenimenti mondiali ha fatto sì che
l’impostazione delle opere di storia delle scienze, scritte da europei, siano
quasi del tutto eurocentriche. In verità se in queste opere compaiono altri
popoli, oltre i Greci e L’Europa, lo fanno in maniera fugace. Il progresso
dell’Europa è connesso alla rapida crescita della scienza e della tecnologia
ed è rappresentato esclusivamente come europeo. In effetti studi recenti
riguardanti l’India, la Cina e parte dell’Africa hanno attestato l’esistenza di
una creatività scientifica e di conquiste tecnologiche molto tempo prima
dell’Europa; da considerare poi l’influenza che la lunga e geniale cultura
176

sumerica effettuò sul mondo greco. Un discorso a parte meriterebbe la
storia della matematica cinese; dal 500 a.C. fino al 1600 d.C. i cinesi
dimostrano di possedere conoscenze ampie che precedono di molto alcune
scoperte attribuite ad europei (500-200 a.C. teorema di Pitagora e frazioni
e operazioni aritmetiche--- 300 a.C.-200d.C. estrazioni di radici, rapporti,
soluzioni di equazioni, geometria etc.). Sembra che non ci fossero
relazioni tra l’Europa e la Cina ma, oltre il famoso viaggio di Marco Polo,
sono documentati collegamenti tra gli Arabi e la Cina e un viaggio in Cina
del 1582 del gesuita italiano, matematico e scienziato, Marco Ricci.
Numeri di Germain sono i numeri primi p tali che anche 2p+1 è primo.
Esempi: 2; 3; 5; 11; 23; 29; …………………..
XIV INSERTO
Un numero e la sua storia: e
e=2,71828182845904523536028747135266249775724709369995..
I primi 50 decimali di e
Forse la nascita di questo numero è dovuta ad un anonimo matematico
del Seicento impegnato a calcolare interessi sui prestiti di danaro ma il
simbolo e è sicuramente del famoso matematico svizzero Leonhard Euler
(Eulero 1707-1783). Probabilmente scelse la vocale e perché successiva ad
a già scelta per un altro numero ma il suo prestigio era tale che il nuovo
simbolo fu accettato da tutti. Egli dimostrò anche che e è irrazionale, cioè
non è il rapporto di due numeri interi, e quindi ha un’espressione illimitata
non periodica. La natura fondamentale di e viene messa in luce dal modo
come può crescere una grandezza: supponiamo che depositiamo in banca
1000 euro all’interesse semplice del 4% annuo. Dopo un anno la banca
aggiunge 40 euro al vostro conto e alla fine del primo anno il vostro
deposito è di 1000+1000x0,04=1040 euro (se la cifra prestata è P e
l’interesse è r, avremo: P+rP=P(1+r)). Se la banca ogni anno aggiunge
quaranta euro al nostro conto dopo 25 anni avremo 2000 euro.
I anno-1040; II anno-1080; III anno-1120; X anno-1400
XV anno- 1600; XX anno- 1800; XXV anno- 2000.
177

Se però la banca paga l’interesse composto, i 1000 euro aumentano più
rapidamente, perché ogni pagamento d’interesse verrebbe a sommarsi al
capitale, facendo sì che il guadagno negli anni successivi al primo è un
pochino maggiore:
I anno -1040 II anno- 1040x1,04=1.081,6
III anno-1.081,6x1,04=1.124,864 IV anno 1.124,864x1,04=1.170
Dopo 4 anni si guadagnano 10 euro circa e dopo 25 anni
1000 (1+1/25) 25 =2660. Se passano mille anni si guadagna abbastanza.
Formula I anno: P+rP=P(1+r)
II anno: P(1+r) (capitale) + P(1+r)r (interesse)=P(1+r) 2
25 anni P(1+r) 25
Potrebbe essere ancora più conveniente se la banca applica, invece del 4%
annuo, il 2% ogni sei mesi; gli istituti di credito amano reclamizzare la
frequenza con cui attribuiscono l’interesse.
I semestre: 1.020 II semestre: 1020x(1,02)=1.040,4 (40 centesimi di
guadagno). La formula per un anno d’interesse (due rate) è :
P+Pr/2 + (P+Pr/2)r/2=P(1+r/2) 2
In questo caso dopo 25 anni la somma percepita è di 2690 euro.
P(1+1/50) 50 ricordo r=4% e quindi r/2 = 2/100 = 1/50.
Si potrebbe pensare che se il rateo d’interesse fosse abbastanza frequente,
diciamo 10 milioni di volte all’anno, un euro in 25 anni diventerebbe una
fortuna. Non è così perché la cifra, che la banca vi dà, cresce sempre di
meno fino ad avere un aumento d’interesse insignificante al crescere della
frequenza. Se poniamo r=1, l’interesse (1+1/n) n , (con n il numero di volte
che l’interesse viene pagato), quando n si avvicina all’infinito, tende al
limite 2,718…
Qualunque fosse l’interesse pagato dalla banca, nello stesso tempo in cui
un euro raddoppia il suo valore a un interesse semplice, lo stesso euro
raggiungerebbe il valore 2,718 (questo è il numero e).
n (1+1/n) n
2
1
10
2,59374
100 2,70471
1000 2,71692
178

10.000
2,71815
100.000 2,71827
1.000.000 2,71828
Tabella
Il tipo di accrescimento del denaro in questo modo è unico perché il tasso
di variazione in ogni momento è sempre la stessa frazione del valore
della quantità posseduta in quel momento. Siamo di fronte al fenomeno
della crescita organica (si presenta in molti processi organici) che interessa
l’attuale crescita della popolazione mondiale e tanti aspetti della fisica,
biologia, chimica, medicina (diffusione di una malattia in una popolazione
animale) ecc. Tutti questi processi vengono descritti da formule in cui
compare la funzione y=e x chiamata spesso la funzione esponenziale per
distinguerla da altre funzioni esponenziali.
L’espressione (1+1/n) n è interessante se l’esaminiamo, analizzando
separatamente base e esponente. 1/n diventa sempre più piccolo al crescere
di n, avvicinandosi a 0 quando n tende a valori molto grandi.
Ma se l’esponente diventa sempre più grande, (1+1/n) n dovrebbe diventare
sempre più grande, dato che la base comunque è maggiore di 1.
C’è un evidente contraddizione causata dal fatto che abbiamo usato in
modo scorretto il concetto di limite. (1+1/n) n , al tendere di n all’infinito, si
presenta in una forma indeterminata che ha valore 2,71828..=e.
Risulta inutile dunque frazionare l’interesse composto in intervalli di
tempo sempre più piccoli.
Il successo del numero e è dovuto a John Napier (Nepero 1550-1617) che
lo scelse come base delle sue tavole logaritmiche e quindi lo introdusse nel
linguaggio di tutte le scienze.
Nel 1873 Charles Hermite dimostrò che è trascendente, come π, cioè
non può essere soluzione di un’equazione algebrica a coefficienti
interi.
Se si tengono ferme le due estremità di una catena flessibile, lasciandola
pendere, la sua disposizione prende la forma di una curva catenaria.
L’equazione di questa curva contiene e (vedi figura). Splendida è la
descrizione della catenaria da parte dell’entomologo Jean Henri Fabre “
Ecco riapparire il numero abracadabrico e, impresso nel filo del ragno.
Esaminiamo, in un mattino umido la tela costruita durante la notte. A
causa della loro natura igroscopica, i fili sono carichi di goccioline e,
piegandosi sotto il peso, sono diventati altrettanto catenarie, collane
179

sistemate con ordine squisito secondo la curva di una voluta. Se il sole
fora la nebbia, il tutto si illumina di fuochi iridescenti e diviene un
risplendente mucchio di diamanti. Il numero e si mostra in tutta la sua
gloria” Il numero e viene spesso collegato al più famoso π, la cui storia
ha più di cinquemila anni ed è legata al cerchio. I due numeri sono legati in
varie relazione ma la più celebre è: e iπ + 1=0 scritta da Eulero su una
scoperta di Abraham de Moivre. In tale formula compaiono i cinque
numeri fondamentali della matematica 1, 0, i, e, π. Tale relazione è stata
ritenuta la più bella tra le formule matematiche:
“Elegante, concisa e piena di significato. Noi possiamo solo riprodurla e
non soffermarci a indagare le sue implicazioni. Essa attrae ugualmente il
mistico, lo scienziato, il filosofo e il matematico.” Kasner e Newmann
“ Signori è certamente vero che essa è assolutamente paradossale; non
possiamo capirla e non sappiamo cosa significa; ma l’abbiamo dimostrata
e perciò sappiamo che deve essere vera.
Beniamin Peirce matematico di Harward
Per gli Americani è facile ricordare le prime nove cifre decimali perché il
7° presidente(Andrew Jackson) fu eletto nel 1828---2,718281828 .
Come π, e può essere scritto come frazione continua:
e= 2 + 1
1+ 1
2+ 2
3+ 3
4+ 4
Sviluppando la formula (1+1/n) n si ottiene la serie infinita che converge
verso e:
e= 1+1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5!.......
(! Significa fattoriale; determina che il numero deve essere moltiplicato a
tutti i suoi successivi 4!=4x3x2x1 ed è legato al numero di modi in cui n
oggetti possono essere permutati)
Una frazione che esprime e con sei decimali è 2721/1001.
Con numeri di tre cifre la migliore approssimazione si ha con
878/323=2,71826 (quattro cifre corrette)
180

Togliendo l’ultima cifra avremo 87/32=2,71875 (tre cifre corrette)
Un capo dello stato deve pensare ad essere più giusto che popolare.
Da un film su un presidente degli Stati Uniti
Henrì Poincaré (1854-1912) è stato uno dei più grandi geni della storia
della matematica e i suoi studi hanno aperto la strada a tantissime ricerche
sviluppate nel corso del Ventesimo secolo. La sua famosa congettura è in
grado di descrivere la natura e la forma del nostro universo e ha impegnato
le maggiori menti del Novecento. E’ stata a lungo inclusa tra i sette
“problemi del millennio” fino al 2002 quando il matematico russo Grigori
Petelman è riuscito a risolverla, rifiutando il premio di un milione di
dollari che era stato messo in palio. Donal O’
Shea
Perché viaggiamo? Per incontrare della gente che non pensi di
conoscerci una volta per tutte, e per renderci conto ancora una volta di
che cosa ci sia ancora possibile nella vita. Che del resto è molto poco.
M. Frisch
Il terzo millennio si è aperto, nel 2000, con un Anno Mondiale della
Matematica, quasi a voler indicare una metaforica radicale inversione di
rotta rispetto all’irrazionalismo del secondo millennio, iniziato con i secoli
bui del Medioevo e terminato con il secolo tetro dei totalitarismi e delle
Guerre Mondiali. C’è un’ attenzione verso la matematica che sta crescendo
in questi anni, stimolata anche da alcune notizie quali l’assegnazione nel
1994 del premio Nobel per l’economia a John Nash, celebrato nel film A
181

eautiful mind, la dimostrazione dell’ultimo teorema di Fermat da parte di
Andrew Wiles, primo matematico a finire sulla copertina del New York
Times per un risultato matematico e la recente dimostrazione della
congettura di Poincaré………Rimane, in generale, il grande problema di
come la matematica si insegna. Nel 1993 Howard Gardner, psicologo
americano, elaborò la teoria delle “intelligenze multiple”: tutti noi ne
avremo a disposizione diverse tipologie. Oggi sappiamo che il primo tipo
si sviluppa nei bambini verso i 3-4 anni ed è l’intelligenza musicale.
L’ultima forma di intelligenza che si sviluppa è quella logica-deduttiva e
matematica: compare intorno ai 13-14 anni, quindi alla fine delle scuole
medie inferiori.
Ciò significa che per i primi 8 anni d’insegnamento sia lo studente che
l’insegnante fanno molta fatica. Sicuramente occorrerebbe tenerne conto
nei piani di studio e nei metodi di insegnamento. Purtroppo lo si fa poco;
per questo c’è spesso una reazione di rigetto tra i ragazzi. In assoluto non
credo che l’insegnamento delle discipline scientifiche sia negativo.
L’insegnamento della matematica, però, è ancora molto noioso e
meccanico. Prevale il metodo mnemonico, per cui a lezione si insegna un
teorema e poi all’esame si pretende che l’allievo ne abbia imparato a
memoria la dimostrazione. In altre realtà, come in Usa, si batte molto di
più sul chiodo della risoluzione dei problemi e sul fare esercizi.
Così, mentre negli Stati Uniti all’Università si danno i compiti agli
studenti ogni settimana (corretti e giudicati dagli assistenti dei professori),
da noi la verifica della preparazione si risolve in un’unica prova a fine
corso (magari orale).
Piergiorgio Odifreddi
Scusami se ti ho scritto una lettera così lunga, ma non ho avuto il tempo
per scriverne una più breve. Autori vari
La teoria dei giochi è una recente disciplina che si occupa dello studio di
situazioni di interazioni strategiche fra individui. Il suo nome si rifà
appunto al gioco come primo semplice esempio di interazioni fra individui
tesi a ottenere un risultato che non dipende soltanto dalle proprie scelte.
Essa ha applicazioni in economia, teoria delle scelte sociali, biologia e
psicologia. Qualche anno fa, negli Stati Uniti, lo studio della procedura
d’asta con cui assegnare concessioni per l’uso delle bande radio ad alta
182

frequenza per telecomunicazioni e cellulari è stato affidato ad esperti della
teoria dei giochi. Il loro compito consisteva da un lato nel massimizzare i
profitti del governo, dall’altro nell’evitare la concentrazione delle
concessioni a poche grosse compagnie, con il rischio di creare un
oligopolio. La procedura che essi hanno adottato ha permesso profitti otto
volte superiori a quelli preventivati e le imprese minori hanno ottenuto il
47% delle bande disponibili contro il 12% che una simulazione ha
mostrato essere il risultato più probabile di una procedura tradizionale.
Roberto Lucchetti insegnante di Analisi
Un sasso, due case, tre ruderi, quattro becchini,
un giardino, dei fiori, un orsetto lavatore. Jacques Prevert
John Nash per la giornalista Sylvia Nasar rievoca il mito di Icaro, ossia la
storia di una straordinaria ascesa e poi di una repentina caduta. In verità
John Nash aggiunge qualcosa a questo mito perché, dopo il crollo, ritorna
al suo modo di “pensare”. Non ancora trentenne Nash era già noto anche al
di fuori della ristretta cerchia dei matematici, tanto che la rivista Fortune
gli aveva dedicato la copertina come uno dei più promettenti talenti
scientifici. Ventenne già come uno spettro silenzioso scarabocchiava
messaggi silenziosi alla lavagna e trascorreva il tempo immerso in calcoli.
Proveniente dalla Virginia si era presentato al dipartimento di matematica
di Princeton (1948) con una lettera di presentazione lunga una riga
soltanto: Quest’uomo è un genio. L’anno dopo, Nash scrisse per il
dottorato una tesi di 27 pagine che nel seguito gli farà assegnare il premio
Nobel. Nel decennio successivo i suoi strabilianti risultati e il suo
comportamento eccentrico lo resero una celebrità nel mondo della
matematica.“La sua mente:chiara, logica, meravigliosa”.(Shapley).
Ossessionato dall’originalità, sdegnoso di ogni autorità ed estremamente
sicuro di se stesso, sembrava a trent’anni avere tutto. “ Per raggiungere
una vetta chiunque altro cercherebbe un sentiero su per la montagna;
Nash invece scalerebbe una montagna vicina e da quella cima lontana
illuminerebbe la prima vetta con una potente torcia” (Newman). La
diagnosi di schizofrenia paranoide interruppe la sua carriera; scappò a
Parigi e per dieci anni entrò ed uscì da ospedali psichiatrici. A
quarant’anni aveva perso tutto: amici, famiglia, professione. Eppure
mentre vagava per Princeton in preda al delirio, il suo nome appariva in
183

iviste e testi che andavano dall’economia alla biologia, dalla matematica
alle scienze politiche: “L’equilibrio di Nash”, “La soluzione di Nash per il
problema della contrattazione”, “Il programma di Nash”, “teorema di De
Giorgi-Nash”, “Il teorema di immersione di Nash”, “Il teorema di Nash-
Moser”, “Il blowing up di Nash”. Le sue idee erano vive e vegete e
diventavano essenziali per importanti sviluppi nel campo della matematica
pura. Negli anni ’80 del secolo scorso il suo precedente lavoro sulla teoria
dei giochi aveva permeato gli studi di economia ed aiutato a creare nuovi
campi all’interno della disciplina stessa, inclusa l’economia sperimentale.
Filosofi, biologi ed esperti di scienze politiche adottarono le sue intuizioni;
gli esperti della teoria dei giochi diventano consulenti di governanti e nelle
scuole di economia e commercio la teoria dei giochi diventa un elemento
basilare per la formazione manageriale.
Nel 1994 l’Accademia delle Scienze svedesi gli assegnò il Premio Nobel
per l’economia per i suoi primi lavori sui giochi non-cooperativi. Il
riconoscimento delle sue idee non solo ha recuperato l’uomo-restituendolo
alla società e alla matematica- ma ha trasformato Nash in una specie di
eroe culturale: ha ispirato tra l’altro un’opera teatrale a Broadway Proof,
una biografia Il genio dei numeri, un film A beautiful mind
Roberto Lucchetti e Sylvia Nasar
Se anche avessi il dono della profezia, la scienza di tutti i misteri e tutta la
conoscenza, se anche avessi tutta la fede sì da muovere le montagne: se
non ho l’amore, non sono nulla. San Paolo
200:10=20
Il poeta, anche il più refrattario alla matematica, deve pur saper contare
fino a dodici per comporre un alessandrino.
Raymond Queneau
Le nostre conoscenze matematiche dipendono strettamente
dall’organizzazione del cervello. Ogni nostro pensiero, ogni calcolo, è il
risultato dell’attività di circuiti neurali specializzati che si trovano nella
corteccia cerebrale. Le costruzioni matematiche più astratte sono il frutto
maturo dell’attività coerente del nostro cervello e di quello di altri milioni
184

di persone che, prima di noi, hanno forgiato e selezionato gli strumenti
matematici. Stanislas Dehaenne
Numeri ottagonali 1-8-21-40-65-96-133-176-225-280
Formula n(3n-2)
Nel corso degli anni e con l’evolversi della specie, si sono sviluppati
organi mentali sempre più perfezionati. Uno di questi organi mentali è
costituito da un sistema di calcolo che prefigura, pur non eguagliandoli, gli
algoritmi aritmetici che impariamo a scuola. Numerosi animali che
giudichiamo stupidi o nocivi, come i ratti e i piccioni, sono capaci di
calcoli elementari. Le loro capacità si basano sull’accumulatore, un
circuito mentale che funziona come una calcolatrice.
Si tratta di un vero e proprio sesto senso numerico che permette la
percezione del numero allo stesso modo di quello del colore, della forma o
della posizione degli oggetti e offre, sia all’animale che all’uomo, un
istinto del numero, un’intuizione diretta delle quantità numeriche. Fin
dall’età di sei mesi, un bambino è in grado di comprendere addizioni e
sottrazioni elementari. L’uomo, poi, è stato dotato di un meccanismo
supplementare: il linguaggio. Mediante il linguaggio, l’uomo impara ad
“etichettare” un’infinità di numeri e queste etichette, le più evolute delle
quali sono i numeri arabi, simbolizzano e discretizzano le quantità. A
questo punto può avere inizio la progettazione di regole puramente
formali che permettono di confrontare, sommare o dividere due
numeri. Il numero acquista una vita propria, indipendente da
qualsiasi riferimento agli insiemi di oggetti reali. La struttura della
matematica si fa sempre più raffinata, sempre più astratta. Il nostro
cervello è rimasto praticamente immutato da almeno centomila anni; le
culture si evolvono più in fretta. Il concetto di numero, intuito dai
Babilonesi, raffinato dai Greci, purificato dagli scienziati indiani e arabi,
assiomatizzato da Peano, generalizzato da Galois, non ha mai cessato di
evolversi da una cultura all’altra, mentre il materiale genetico dei
matematici rimaneva immutato.
185

Non è importante fare molto, l’importante è fare con amore.
Madre Teresa di Calcutta
La storia della probabilità è più antica della storia
La probabilità, il caso e l’interesse dell’umanità per essi precedono i
tempi storici: sono stati scoperti dadi, simili a quelli moderni, fatti con
ossa di animali che risalgono all’epoca neolitica, oltre seimila anni fa.
Questi primi dadi si chiamavano astragaloi ed erano ricavati da certe
particolari falangi di pecore; avevano due facce arrotondate e quattro
facce quadrate quasi uguali. Quando gli antichi giocavano con questi dadi
scommettevano sui quattro esiti possibili corrispondenti alle facce
quadrate. Questi dadi furono usati ancora dopo l’invenzione del dado a
sei facce. Si giocava a dadi in Egitto, in Mesopotania e a Roma. Il
misterioso popolo degli Etruschi, vissuto in Italia prima dell’avvento dei
Romani, giocava con dei dodecaedri (dadi a dodici facce pentagonali)
secoli prima della nascita di Gesù. Lo storico romano Svevo nella “Vita
dei dodici Cesari”, scritta poco dopo il 100 d. C., racconta che
l’imperatore Augusto (62 a.C-19 d.C.) era un accanito giocatore di dadi;
il gioco prediletto dal sovrano consisteva nel lanciare quattro astragaloi e
vinceva chi otteneva per primo una “Venere”, cioè quattro numeri
diversi sulle facce. Svetonio racconta che anche l’imperatore Claudio (10
a.C.-54 d.C.) era un abile giocatore di dadi tanto da scrivere un libro
sull’argomento. I giochi di dadi erano popolarissimi pure in India e in
Cina; nel poema epico indiano del 400 d.C. “Mahabbarata” il re
Ripaturna, capace di stimare il numero delle foglie di un albero basandosi
sul numero di quelle di un ramo scelto a caso, parla di probabilità con
Nala, uomo posseduto dal demone del dado, e dice: Dei dadi possiedo la
scienza, e per tal modo son bravo nei numeri. Anche i rabbini dei primi
secoli dopo la distruzione del tempio di Gerusalemme (70 d.C.)
possedevano qualche nozione di probabilità: infatti nel “Talmud” si parla
di argomenti probalistici. I seguaci del “Talmud” usavano anche regole di
addizione e moltiplicazione delle probabilità. Stranamente gli antichi
matematici greci non si occuparono di calcolo delle probabilità. Nel
mondo antico i dadi erano usati come meccanismo di casualizzazione non
solo dai giocatori d’azzardo ma anche per la divinazione. Quando re o
generali volevano consigli dagli oracoli per affari di stato o per battaglie,
186

si consultava un oracolo che spesso usava dadi (logicamente i sacerdoti).
Una “Venere” voleva dir si; un “Cane” (quattro uno) voleva dir no.
I primi elementi della teoria delle probabilità sono del Seicento e
scaturirono dal gioco d’azzardo e motivati dal desiderio di capire le leggi
del caso così da poter giocare vittoriosamente contro il banco.
Nel Seicento, in Francia, un celebre scommettitore Chevalier de Méré
consultò il celebre matematico Blaise Pascal per un problema di
scommesse; Pascal scrisse all’altro matematico, il grande Pierre de
Fermat e dalla loro corrispondenza vennero fuori le regole quantitative
della probabilità. Amir D. Aczel, matematico.
Diciamo mille e scriviamo 1.000 ma si potrebbe anche scrivere:
1111101000 o 1101001 o 33220 o 13000 o 4344 o 2626
o 1750 o 1331
La teoria delle probabilità è una delle invenzioni più stupefacenti del
genere umano. La probabilità, in sintesi, è il tentativo dell’umanità di
usare la matematica pura per comprendere l’incomprensibile, il nostro
modo di cercare qualcosa sul funzionamento del caso. Il caso resterà
indomabile in eterno, perché il fato fa ciò che vuole di noi e dell’universo
intorno a noi, e l’universo è governato da leggi che forse non capiremo
mai in modo completo: eppure, la teoria delle probabilità ci dà un idea di
come opera il caso con fenomeni che forse non penetriamo a fondo, ma
che con l’aiuto di un po’ di matematica forse riusciamo a valutare.
Amir D. Aczel
Il potere logora chi non ne ha mai abbastanza. Antonio Loriero
La teoria delle probabilità, quindi, è il tentativo del genere umano di
comprendere l’incertezza dell’universo, di definire l’indefinibile. Una
probabilità è una misura quantitativa della verosimiglianza di un certo
evento; se siamo sicuri che l’evento avrà luogo gli assegneremo la
probabilità 1, se siamo sicuri che non avrà luogo gli assegneremo la
probabilità 0. Agli altri eventi, quelli di cui non è sicuro né l’accadere né
il non accadere, si assegnano invece probabilità intermedie tra 0 e 1. E’
poco verosimile che accada un evento con probabilità 0,1 mentre è molto
verosimile che ne accada uno con probabilità 0,9.
187

L’assegnazione di
una probabilità, cioè un numero compreso tra lo
zero e uno, deve rispettare certe leggi logiche e matematiche (leggi di
Fermat, Pascal e altri) per essere valida. Se vogliamo che la probabilità
che assegniamo a un evento sia corretta, l’evento deve essere ripetuto più
e più volte. La teoria delle probabilità viene usata ogni giorno quando ci
troviamo a scegliere tra varie opzioni.
Amir D. Aczel
La metà delle bugie che dicono di lui sono vere.
Raymond Smullyan
Gli animali conoscono la matematica? Un aneddoto del XVIII secolo.
Un castellano voleva uccidere una cornacchia che aveva fatto il nido in
cima a una torre, ma, tutte le volte che si avvicinava, l’uccello volava via,
fuori dalla portata del suo fucile e restava nascosto a spiare se il
cacciatore si fosse allontanato. Non appena questi se ne andava, ecco che
la cornacchia tornava in cima alla torre. Il castellano ebbe l’idea di
chiedere aiuto ad un vicino. I due uomini entrarono armati insieme nella
torre, ma, poco dopo, uno solo ne uscì. La cornacchia non si lasciò
ingannare e attese che anche il secondo cacciatore si allontanasse prima
di ritornare al nido. Tre uomini, poi quattro e infine cinque non bastarono
ad ingannarla: ogni volta la cornacchia aspettava che tutti si fossero
allontanati. Alla fine, raggiunto il numero di sei, i cacciatori ebbero la
meglio. La cornacchia riusciva a contare fino a cinque.
Consideriamo 6174 e cambiamo le cifre dalla più grande alla più piccola,
otteniamo 7641. Se invece le scriviamo dalla più piccola alla più grande,
otteniamo 1467. La differenza 7641-1467=6174.
Siamo sicuri di alcune cose importanti:
Il cucciolo dell’uomo viene al mondo con meccanismi innati di
individuazione degli oggetti e di percezione dei piccoli numeri.
Questo “senso dei numeri” è presente anche negli animali ed è quindi
indipendente dalla capacità di linguaggio e possiede una lunga storia
evolutiva. Nel bambino la stima numerica, il confronto, il contare, le
addizioni e sottrazioni semplici esistono spontaneamente senza
un’educazione esplicita.
188

La regione parietale inferiore dei due emisferi cerebrali contiene circuiti
neurali preposti alla manipolazione delle quantità numeriche.
Stanislas Dehaene, studioso di matematica applicata
Sempre 6174. Consideriamo un qualsiasi numero di quattro cifre, per
esempio 2638 e ripetiamo le operazioni fatte precedentemente anche più
volte. Avremo 8632-2368=6264; poi 6642-2466=4176; 7641-1467=6174.
Dunque il procedimento porta, per qualsiasi numero di quattro cifre a
6174. In alcuni casi anche rapidamente 2648…..8642-2468=6174
XV INSERTO
La congettura di Syracuse - una congettura di cui non si parla
Congettura---affermazione indimostrata, ma reputata vera.
Dal latino conjecturam-“congiacenza” da cum-“insieme” e jacere-
“gettare”.
Syracuse----città degli Stati Uniti dello stato di New York,
all’estremità meridionale del lago Onondaga, fondata a metà
dell’800 da emigrati siciliani. Abitanti circa 170.000; sede
universitaria.
Intorno al 1950, nell’università di questa città, si cominciò a discutere di
un problema semplice ma anche sconcertante; tale problema prese il nome
di “problema di Syracuse” e successivamente “congettura di Syracuse”
(ricordiamo che la Siracusa siciliana fu patria del grande Archimede).
Vediamo il problema: Prendiamo un numero n intero positivo qualsiasi;
se è pari dividiamolo per 2;
se è dispari moltiplichiamolo per 3 e aggiungiamo 1;
ripetiamo l’operazione sul risultato trovato.
Si può osservare che, qualunque sia il numero, dopo un percorso più o
meno lungo si arriva sempre al ciclo 4, 2, 1.
Succederà per tutti i numeri?
I matematici si sono impegnati per anni per dimostrarlo senza riuscirci.
Vediamo qualche esempio: partiamo da 16 (questo vale per tutti i multipli
di 2) 16-8-4-2-1.
189

15-3x15+1=46-23-3x23+1=70-35-106-53-160-80-40-20-10-5-16-8-4-2-1
oppure 7-22-11-34-17-52-26-13-40-20-10-5-16-8-4-2-1
o 124-72-36-18-9-28-14-7-22-11-34-17-52-26-13-40-20-10-5-16-8-4-2-1.
Possiamo continuare con una moltitudine di numeri, il risultato è sempre
lo stesso; il punto di arrivo è sempre 1 con sequenze 16-8-4-2-1.
Purtroppo aver verificato che questo comportamento vale per miliardi di
numeri non significa averlo dimostrato. I numeri sono infiniti e quindi la
verità che tutti i percorsi finiscono con il ciclo 4-2-1 deve essere
dimostrata con un ragionamento di carattere generale.
Talvolta la congettura viene indicata con altri nomi quali problema di
Collatz, di Kahutani, di Hasse o di Ulam , dal nome dei matematici che si
sono impegnati nella dimostrazione.
I matematici, nel tentativo di dimostrare la congettura, hanno creato
anche delle parole che la caratterizzano:
volo è la successione di numeri ottenuta a partire dall’intero dato;
durata del volo è il numero di tappe per arrivare a 1.
altezza massima del volo è il più grande intero raggiunto;
durata del volo in altezza è il numero di tappe consecutive superiori al
numero iniziale. Riportiamo qualche grafico relativo ai numeri 16, 5 e 30.
190

Tra i numeri minori di 100 il record del volo è del numero 27; durata
111, altezza max. 9232, durata in altezza 95.
Volo di 27
27-82-41-124-62-31-94-47-142-71-214-107-322-161-484-242-121-364-
182-91-274-137-412-206-103-310-155-466-233-700-350-175-526-263-
790-395-1186-593-1780-890-445-1336-668-334-167-502-251-754-377-
1132-566-283-850-425-1276-638-319-958-479-1438-719-2158-1079-
3238-1619-4858-2429-7288-3644-1822-911-2734-1367-4102-2051- 6154-
3077-9232-4616-2308-1154-577-1732-866-433-1300-650-325-976-488-
244-122-61-184-92-46-23-70-35-106-53-160-80-40-20-10-5-16-8-4-2-1
191

Con l’ausilio di computer potenti la congettura è stata verificata per
miliardi di numeri e il record è di 3,2 x 10 16 numeri (per dare un’idea si
tratta di 3,2 di dieci milioni di miliardi e potrebbe già essere stato
superato). I programmi del computer possono verificare un numero ogni
quattro; infatti accertato che la congettura vale per i numeri da 1 a n-1, i
successivi quattro numeri sono del tipo n=4k, 4k+1, 4k+2, 4k+3. I numeri
del tipo 4k al primo passaggio diventano 2k

Da modelli e da esperimenti è venuto fuori che il tempo medio affinché un
volo passi al di sotto di n, è di 3,49265. Bisogna comunque dimostrare che
il modello è corretto.
Il record convalida che è estremamente probabile di non trovare numeri
che non verificano la congettura. Ma ai matematici non basta e per essi è
valida solo se si trova una dimostrazione che, usando ipotesi certe e
proprietà note, convaliderà che è valida per qualsiasi numero. Potrebbe
sempre capitare che un numero grandissimo non verifichi la congettura.
Il famoso matematico Paul Erdös affermava che “I matematici non sono
pronti a risolvere questo tipo di problema”.
Notizie ricavate da Newton “Che numeri” di Silvana Leggerini
Come ci impastano la bocca
queste piste di polvere
per vent’anni o per cento
e come cambia poco una sola voce.
Nel coro del vento
ci si inginocchia su questo sagrato immenso
dell’altipiano barocco d’oriente,
per orizzonte stelle basse,
per orizzonte stelle basse
oppure niente.
Ivano Fossati
Che cos’è un numero perché un uomo possa conoscerlo? E che cos’è
un uomo perché possa conoscere il numero?
W. McCulloch
La più semplice formalizzazione dell’aritmetica è costituita dagli assiomi
di Peano. Sorvolando su uno stretto linguaggio matematico, essi sono:
● 1 è un numero
● Ciascun numero n possiede un solo successore, che si indica con n+1.
● Ciascun numero, a partire da 1, possiede un predecessore
● Due numeri, diversi tra loro, non possono avere lo stesso predecessore.
● Assioma di ricorrenza: quando una proprietà viene verificata per il
numero 1 e quando, se si verifica per un numero qualsiasi n, si verifica
193

anche per il successore n+1, allora questa proprietà è vera per qualsiasi
numero.
Questi assiomi formalizzano la nozione molto concreta di catena dei
numeri interi positivi 1, 2, 3, 4, 5…Soddisfano la nostra intuizione che
questa catena può prolungarsi all’infinito e che ciascun numero sarà
seguito da un nuovo numero diverso dai precedenti. Gli assiomi di Peano
permettono anche di definire le operazioni di addizione (successori) e di
moltiplicazione (ripetizione di addizione n volte). E’ però notevole
constatare che il nostro migliore sistema di assiomi non è tuttavia
sufficiente a delimitare in modo univoco la nostra intuizione del concetto
di numero. Stanislas Dehaene
E’ impossibile proporre una definizione formale univoca di quelli che
noi chiamiamo “numeri”, perché si tratta di un concetto primitivo e
indefinibile. Husserl
Se sai di essere più forte, devi avere tanta umiltà. Tani Aguero
Il nostro cervello non si serve di assiomi. Con il pretesto di insegnare ai
ragazzi un po’ più di rigore (idea ragionevole), sono stati propinati loro,
fin dalla più tenera età, assiomi e formalismi astrusi. Si seguiva una teoria
implicita dell’apprendimento fondato sulla metafora cervello-calcolatore
(matematici del gruppo Bourbaki- insegnare subito al bambino le basi
formali della matematica).
Non si considera che il cervello del bambino non è una spugna, ma un
organo già strutturato che impara soltanto ciò che è in risonanza con le
sue conoscenze anteriori. L’evoluzione non l’ha mai preparato a
ingurgitare vasti sistemi di assiomi o lunghi algoritmi simbolici e quindi
nei loro confronti si mostra molto riluttante. E’ così che l’intuizione ha la
meglio sugli assiomi.
“ Sono molti quelli che sanno che 1+2 fa 3 senza aver mai riflettuto sugli
assiomi che lo dimostrano” Locke nel 1689
E’ inutile bombardare un giovane cervello di assiomi astratti. Bisogna
arricchire progressivamente l’intuizione dei bambini, stuzzicando la loro
curiosità con giochetti divertenti e passando successivamente poi ad
esporre a poco a poco le notazioni simboliche. Si tratta di tracciare, nel
194

cervello di ciascun allievo, la storia della matematica e delle sue
motivazioni.
Stanislas Dehaene
Gli piacerebbe essere migliore, ma costa troppo.
Elias Conette
Come rispondere alla domanda:”Che cos’è un numero perché un uomo
possa conoscerlo?”
I matematici del nostro secolo sono divisi sul problema fondamentale
della natura degli oggetti matematici.
Per i platonici la realtà matematica esiste su un piano astratto e i suoi
oggetti sono altrettanto reali di quelli della vita quotidiana. Questa era
l’opinione di Hardy, Ramanujan e altri: Credo che la realtà matematica
sia fuori di noi, che il nostro compito sia di scoprirla e di osservarla, e
che i teoremi che noi dimostriamo, qualificandoli come nostre
“creazioni”, siano semplicemente annotazioni delle nostre osservazioni.
Anche il matematico C. Hermite fa una professione di fede:Credo che i
numeri e le funzioni dell’Analisi non siano il prodotto arbitrario del
nostro spirito. Penso che esistano fuori di noi e che noi li incontriamo o
li scopriamo, e li studiamo … I matematici che seguono queste idee hanno
veramente l’impressione di muoversi in un paesaggio di numeri e di figure
indipendenti dalla loro persona.
Tale posizione per alcuni è difficile da difendere: Se questi oggetti sono
reali ma immateriali, per quale tramite extrasensoriale il matematico
riesce a percepirli? Anche se l’introspezione del matematico lo persuade
della realtà degli oggetti che studia, è probabile che questo sentimento sia
soltanto un illusione. Certamente i più alti livelli in matematica si
raggiungono solo formandosi un’immagine mentale molto nitida dei
concetti che si manipolano. Questa immagine acquista allora la forza di
un’illusione.
S. Dehaene
Perché si va all’università? Per diventare un morto di fame.
195

Da Cuore
La seconda categoria di matematici, detti formalisti, ritengono che il
problema dell’esistenza degli oggetti matematici non si ponga. Secondo
loro la matematica è soltanto un gioco in cui si maneggiano dei simboli
con regole formali ben precise. Oggetti matematici come i numeri non
hanno alcuna realtà: essi possono definirsi semplicemente come un
insieme di simboli che verificano assiomi arbitrari. Il capogruppo di
questa schiera è il famoso D. Hilbert. I formalisti sono nel vero quando
affermano che buona parte della matematica è diventata un gioco formale.
Eppure io non credo che si possa ridurre tutta la matematica alla
esplorazione delle conseguenze di scelte formali o arbitrarie. La posizione
formalista, pur rendendo conto in modo esauriente della recente
evoluzione della matematica pura, non mi pare che ne spieghi l’origine. A
me pare che i matematici, per lo meno all’inizio delle loro ricerche, non
maneggino i simboli secondo regole puramente arbitrarie.
S. Dehaene
Qual è quella mamma che non sogna che un giorno verrà un industriale
o un politico alto o basso, distinto o sciatto, più brutto che bello, con gli
occhi chiari o scuri con una Porsche fiammante, a portarsi via la sua
bambina? Da Cuore
Una terza categoria di matematici è quella degli intuizionisti per i quali
gli oggetti matematici sono costruzioni dello spirito umano. Secondo loro
la matematica non esiste nell’universo, ma soltanto nel cervello del
matematico che l’inventa. L’aritmetica, la geometria, la logica non
preesistono alla specie umana; gli oggetti matematici sono soltanto
categorie fondamentali e presenti a priori nel pensiero umano, che il
matematico raffina e formalizza (Poincaré-Delbrück). I fondatori
dell’intuizionismo evidenziano il carattere primitivo e irriducibile
dell’intuizione di numero. Kline afferma che le radici dell’intuizionismo
sono in Cartesio, Pascal e Kant. Fra tutte le teorie sulla natura della
matematica, mi pare che l’intuizionismo sia quella che spiega meglio i
196

apporti tra l’aritmetica e l’organizzazione del cervello umano (la
psicologia moderna sull’aritmetica conferma il pensiero di Poincaré “il
numero fa parte degli oggetti naturali del pensiero). S. Dehaene
La parola “scienziato”, come aggettivo riferito a una persona che si
presumeva “dotata di scienza” era già in uso nel Seicento. L’introduzione
del sostantivo “scienziato”, nel senso a noi noto, in inglese scientist, si fa
risalire al filosofo e storico della scienza William Whewell (1794-1866),
che propose la nuova parola nel 1834.
Numeri vampiri sono quelli che, moltiplicati, sono formati dalle stesse
cifre nei loro prodotti 27x81=2187 o 35x41=1435
Abbiamo citato tra i matematici importanti il prof. Renato Caccioppoli,
autentico genio dei numeri quasi nell’oblio in questi anni (dopo la stesura
di questo libro c’è stata una manifestazione di commemorazione da parte
del capo dello Stato, Giorgio Napoletano).
Renato Caccioppoli nacque a Napoli il 20-1-1904. Si laureò a 21 anni.
Vincitore di concorso a cattedra nel 1930, fu socio dell’Accademia dei
Lincei. Pubblicò 80 libri in 34 anni di carriera. Morì suicida l’8
maggio 1959.
XVI INSERTO
La matematica è “bella”—qualche problema lo conferma.
1)
Una azienda di portata nazionale cerca un dipendente particolarmente
dotato intellettualmente ed effettua in tal senso una selezione rigorosa che
dura vari giorni. L’ultimo giorno di selezione è il 18 marzo quando il
presidente della commissione incaricata della scelta comunica che le prove
dimostrano un buon grado intellettivo di vari concorrenti e per questo
l’azienda ha deciso di assumere più persone; dice anche che i risultati
saranno comunicati per lettera tra un mese e avvisa tutti i partecipanti di
197

passare quel giorno stesso dalla segretaria per lasciare il proprio indirizzo.
I candidati si recano tutti lo stesso giorno dalla segretaria e, poiché hanno
stabilito tra loro un rapporto di amicizia, decidono che, quando qualcuno
saprà di essere stato assunto, si ritroveranno lo stesso giorno per una
cena. La segretaria, che conosce i risultati, è abbastanza loquace per cui
comunica ad ogni candidato il numero di amici che sono stati assunti,
escludendo comunicazioni che riguardano l’interessato. Il 22 marzo si
ritrovano tutti a festeggiare; si chiede quanti sono stati assunti?
2)
Il quartiere
In un quartiere vi sono 250 villette monofamiliari. 200 hanno il telefono,
152 hanno il televisore, 94 il garage e 125 l’impianto per il
condizionamento d’aria. Nessuna villetta è sprovvista sia di telefono sia di
televisore e il numero di villette che non hanno né il garage né l’impianto
per il condizionamento d’aria è la metà di quello delle villette che hanno
sia il telefono sia il televisore. Quante villette hanno sia il garage sia il
condizionatore?
3) La logica
Un emiro, in occasione di un evento importante, pensò di liberare uno tra
tre prigionieri che avevano avuto buona condotta. Dei tre prigionieri uno
aveva la vista buona, il secondo non ci vedeva da un occhio e il terzo era
cieco. Li convocò alla sua presenza e disse: Ho qui cinque cappelli, tre
bianchi e due rossi. Metterò in testa a ciascuno di voi un cappello; potrete
vedere il cappello che hanno in testa gli altri due e colui che dirà il colore
del suo cappello sarà libero. Se date una risposta inesatta, inasprirò la
pena. Chiamò il prigioniero che aveva buona vista e questi, dopo aver
guardato i cappelli in testa agli altri due, dichiarò che non era in grado di
dire il colore del suo cappello; successivamente fece la stessa domanda al
prigioniero con un occhio solo e anche lui dichiarò di non essere in grado
di rispondere. L’emiro, scoraggiato, li stava rimandando in cella quando il
cieco disse “Non ho bisogno degli occhi per dire che il mio cappello è
bianco”. Il cappello era effettivamente bianco e il cieco fu libero.
Gli occhi della mente bastano nella vita.
4) Bello ma abbastanza noto
198

Un giorno, il re chiese al suo giullare : “Sai dirmi l’età delle mie tre figlie?
Sappi che il prodotto delle tre età è 36, e che la somma è uguale al numero
delle finestre del palazzo che abbiamo di fronte.”
Il giullare replicò: “Sire, la soluzione è alla mia portata, ma per essere
certo ho bisogno di un piccolo aiuto” Il re allora aggiunse: “La più grande
ha gli occhi azzurri” e il giullare subito diede la risposta corretta. Quanti
anni avevano le figlie del re?
5) L’indovinello dei commedianti.
“Io ho lo stesso numero di fratelli e sorelle!” diceva un attore
incappucciato in modo che non si potesse stabilire se era maschio o
donna. Dopo di lui interveniva sulla scena una donna che diceva: “Io
sono la sorella di chi ha appena parlato e ho due volte più fratelli che
sorelle. Quanti siamo in famiglia?
6) Una variante del problema del lupo, della pecora e del cavolo.
Tre mariti gelosissimi si trovano sulla sponda di un fiume con le
rispettive mogli e hanno a disposizione una imbarcazione nella quale
possono trovare posto solo due persone. Poiché nessuno vuole lasciare
la propria moglie in compagnia degli altri due, come effettueranno la
traversata?
I testi dei problemi sono tratti da “Giochi dell’intelligenza “ di
Agostani-De Carlo e da problemi da discutere di C. Bernardi sulla
rivista “Archimede”.
Le soluzioni nella prossima pagina.
Soluzioni:
I problema. La risposta è 6. Se la segretaria avesse comunicato a
qualche concorrente il 18 marzo “è stato assunto solo uno degli altri”
poiché il presidente aveva comunicato che sarebbero state assunte più
persone, questo concorrente avrebbe dedotto che gli assunti erano due e
uno di essi era lui stesso. Quindi la sera stessa ci sarebbe stata una
telefonata. Non c’è stata telefonata e quindi si escludono due vincitori.
Se la segretaria avesse detto a qualcuno dei concorrenti “sono stati
assunti due degli altri”(possibilità di due o tre assunzioni) , questo
concorrente, non avendo ricevuto telefonate il 18, avrebbe dedotto che i
199

vincitori non erano due ma tre e uno di questi era lui stesso. Quindi ci
sarebbero state telefonate e cena. Questo non è avvenuto e quindi si
escludono tre vincitori. Reiterando il ragionamento si ha l’esclusione di 4
persone (telefonate giorno 20), di 5 persone (telefonate il giorno 21). Le
telefonate del 22 permettono di affermare che i vincitori sono 6.
II problema. La risposta è 20 villette.
Il numero complessivo di telefoni e televisori è 352.
352-250 (villette)=102 ville con telefono e televisore.
1/2 di 102=51 ville senza garage e condizionatore.
250-51=199 avranno garage o-e condizionatore.
94+125=219 numero di condizionatori e garage.
219-199=20 case con condizionatore e garage.
III problema. Il cieco ragionò così: il primo prigioniero non ha dato la
risposta e quindi i cappelli che ha visto sulla mia testa e su quella del
prigioniero con un occhio non sono entrambi rossi. Dunque ci sono due
possibilità o sono entrambi bianchi o uno bianco e l’altro rosso. Il secondo
prigioniero se avesse visto che il mio cappello era rosso avrebbe dedotto
che il suo era bianco e poiché non ha risposto, il mio cappello è
sicuramente bianco.
IV problema. La risposta è 2, 2, 9.
Vediamo le terne che hanno per prodotto 36.
1, 1, 36 somma 38
1, 2, 18 somma 21
1, 3, 12 somma 16
1 ,4, 9 somma 14
1, 6, 6 somma 13
2, 2, 9 somma 13
2, 3, 6 somma 11
3, 3, 4 somma 10
Il giullare, che conosce il numero delle stanze, è indeciso e quindi le
stanze sono 13 (unico caso in cui sarebbe insicuro). L’ultima
informazione che parla di una sorella maggiore chiarisce che è da
escludere la soluzione 1, 6, 6.
200

V problema. L’attore incappucciato non può essere una donna perché
avrebbe dovuto dire le stesse cose della sorella e quindi è un maschio;
questo ci fa dedurre che i maschi sono uno in più rispetto alle donne. La
donna dice che, tolta lei, i maschi sono il doppio delle donne e quindi
l’unica possibilità è 3 donne e 4 maschi (senza una donna avremo 2 e 4
mentre per altre coppie tipo 2 e 3, o 4 e 5, o 5 e 6,.. l’affermazione della
donna viene ad essere falsa). Qualche bravo allievo l’ha risolto
rapidamente usando però l’algebra: x numero femmine e x+1 numero
dei maschi e quindi x+1 (numero dei maschi) = 2(x-1) (doppio del
numero delle donne meno una) x=3
VI problema Indichiamo con A, B, C i mariti e a, b, c le rispettive
mogli.
1) A B C a sponda di partenza
---------------
Fiume passano due mogli
--------------
b c
2) A B C
--------------
Fiume una delle mogli torna indietro e attraversa con l’altra
--------------
a b c
3) C c
-------------
Fiume c torna indietro e i mariti A e B attraversano
--------------
A B a b
4) b c
---------------
Fiume B con la moglie b torna indietro e attraversa con C
--------------
A B C a
5) a torna dall’altra parte e traghetta una delle due donne e poi cede la
barca al marito dell’altra, che va a prenderla.
Per concludere un divertente fatto di cui parla J.R.R. Tolkien.
201

Un giovane gentiluomo inglese innamorato di una ragazza molto
altezzosa si reca insieme alla sorella in un negozio di oggetti femminili
per comprare un paio di guanti per la sua bella. La sorella ne approfitta
per comprarsi un paio di mutande di lana in vista del rigido inverno.
Purtroppo la commessa sbaglia nel recapitare i pacchi e manda
all’indirizzo della signorina i mutandoni con la seguente lettera:
Cara Velma
Non ho dimenticato il tuo compleanno. Non l’ho scelto ritenendo che tu
ne avessi bisogno, o che non avessi l’abitudine di portarne, o perché la
sera usciamo insieme. Non fosse stato per mia sorella, ne avrei preso di
lunghi, ma lei dice che tu li porti corti, con un bottone solo. Sono di un
colore molto delicato, lo so, ma la commessa me ne ha mostrato un
paio portato da lei per tre settimane, e non avevano la minima macchia.
Quanto mi piacerebbe metterteli io stesso per la prima volta.
Indubbiamente molte altri mani maschili li toccheranno prima che io
abbia la possibilità di rivederti, ma spero che penserai a me ogni volta
che li infili. Li ho fatti provare alla commessa e su di lei facevano un
ottimo effetto. Non conosco la tua misura esatta, ma penso di essere in
grado di giudicare meglio di chiunque altro. Quando te li infili per la
prima volta, mettici dentro un po’ di talco, così scivoleranno meglio; e
quando te li togli, soffiaci dentro prima di riporli, perché saranno
leggermente madidi Nella speranza che tu li accetti con lo stesso spirito
con cui ti vengono offerti, e che li porterai al ballo di venerdì sera, mi
segno. Il tuo affezionatissimo John
P.S. Tieni nota, ti prego, del numero di volte che li bacerò nell’anno.
Ragionare nella totale astrazione, con la sola percezione di modelli
logici. Pensiero puro, così Renato Caccioppoli si sentiva un uomo libero.
“ Il desiderio di libertà, l’indipendenza da ogni costrizione, la rettitudine
sono i valori più forti che trasmetteva a quanti gli stavano vicini. Per i
giovani sono ancora attuali” (prof. Salvatore Rionero, suo allievo).
Matematico di assoluto genio, caposcuola nell’università Federico II,
non può essere nascosto dalla polvere del tempo; bisogna chiedersi cosa
resti di lui, della sua umanità sofferta, dei gesti incisivi come esempi, oltre
202

il ricco bagaglio di teoremi e modelli matematici indispensabili tuttora ai
matematici di ogni paese (Ottavio Ragione). Il padre Nicola era un noto
chirurgo napoletano che aveva sposato in seconde nozze Sofia Bakunin
(1870-1956), figlia del celebre rivoluzionario russo, il principe Michail
Aleksandrovic, e madre di Renato. Importante nella vita di Caccioppoli
risulterà la zia, Maria Bakunin, che occupò dal 1909 al 1948 varie
cattedre di chimica presso la Scuola Politecnica e l’Università di Napoli e
fu amica dei maggiori scienziati e intellettuali napoletani di quel periodo,
tra i quali Benedetto Croce.
Caccioppoli, appena laureato, fu assistente del celebre prof. Mauro
Picone. La sua carriera universitaria iniziò a Padova (1931-34) e
continuò a Napoli (1934-59). Nel 1953 fu insignito del premio nazionale di
Scienze Fisiche Matematiche e Naturali da parte dell’Accademia dei
Lincei. Fu poliedrico, estroverso e cupo, di folgorante umorismo e
abissale malinconia. Esperto di letteratura e di cinema, conosceva i
massimi poeti francesi, in particolare Rimbaud. Fu un eccellente pianista,
ma non esistono sue registrazioni; si dice che amasse follemente la
compagna ma non riusciva a comunicare questo suo sentimento se non
attraverso la musica (la sua compagna lo lascerà). Comunista, coraggioso
antifascista, non rifiutava mai di fare comizi per il Movimento per la Pace.
Un giorno fu inviato a Bari per una grande assemblea dove era l’oratore
principale; salito sul palcoscenico e avendovi trovato un pianoforte, si
mise a suonare Brahms e, poiché la gente diceva “continua”, lui si esibì
per tutto il tempo tra la disperazione degli organizzatori.
Anticonformista e poliglotta, semplice ma a tratti inavvicinabile, ostile a
stupidi e ipocriti, aveva una personalità inafferrabile come tentò di
raccontare il regista Mario Martone nel film “Morte di un matematico
napoletano”. Faceva esami in modo originale: poteva lanciare il libretto
universitario contro allievi che, affermava, offendevano la matematica, o
dare rapidamente trenta e lode a una ragazza dicendo al suo assistente il
prete Coronato: “La vedi? E’ una donna, eppure ragiona!”. “Lo
scienziato resta, la figura dell’uomo è legata a ricordi personali e quindi
tende, purtroppo, a passare” (Guido Trombetti, rettore della Federico II);
il teorema di Banach-Caccioppoli si studia al terzo anno della facoltà di
matematica ed è un bagaglio di tutti i matematici. Si racconta che, per
mettere alla berlina Achille Storace, segretario nazionale del partito
fascista, che aveva fatto divieto ai cittadini napoletani di condurre a
passeggio cani, camminava per le strade tenendo a guinzaglio una gallina.
203

Nel 1938 al ristorante “il Grottino”, dopo aver polemizzato sul duce,
ordinò all’orchestra di suonare la Marsigliese. Intervenne la polizia e fu
arrestato. I fascisti che lo scortavano al commissariato promisero di
prenderlo a calci e lui rispose: “E’ logico, i calci sono l’arma degli
asini”. Si uccise con un colpo di pistola alla nuca nella casa in cui
abitava, palazzo Cellammare, in via Chiaia 149, vicino alla pizzeria
Umberto che frequentava spesso con gli amici.
Un numero riproduttore di Fibonacci (repfigit) ha la proprietà di
ripetersi in una sequenza generata partendo con le n cifre di un numero e
poi continuando la sequenza con un numero che è la somma dei precedenti
n termini. 47 è un repfigit: infatti abbiamo 4, 7, 11, 18, 29, 47 e la
sequenza contiene il 47. 1537 determina la sequenza 1, 5, 3, 7, 16
(7+1+5+3), 31 (16+15), 57(31+26), 111, 215, 414, 797, 1537.
Termino con la sintesi di tre interviste rilasciate al Corriere della
Sera la prima di David Mumford (19-8-2002), medaglia Fields nel
1974, la seconda di Michael F. Atyah (14-3-2007), premio Abel e
medaglia Fields e la terza di John Nash.
Intervista di Piergiorgio Odifreddi a David Mumford.
Un’ immagine stereotipata dei matematici li raffigura distratti e chiusi
nelle loro torri d’avorio, oblivi del mondo degli oggetti perché troppo
catturati da quello delle idee. Tale immagine non corrisponde a David
Mumford passato, dopo aver conseguito la medaglia Fields (equivalente
per i matematici del premio Nobel), alla matematica applicata.
In occasione del Congresso Internazionale di agosto 2002 a Pechino
abbiamo chiesto a Mumford di parlarci della matematica.
“Mi sono accorto di amare la matematica all’università. La facilità nel
fare conti o espressioni è necessaria per tutte le professioni quantitative
(scienza, ingegneria, economia), ma la “vocazione” si sente quando si
vede che la matematica vive, crea un suo mondo che può essere esplorato
alla stesso modo dell’universo fisico, benché esiste soltanto a livello
mentale.”
“Ho amato il lavoro di Castelnuovo, Enriques e Severi, anche se più che
leggerlo ho cercato di ricrearlo nel nuovo linguaggio introdotto da
204

Zariski. La cosa meravigliosa è che, con i soli strumenti molto semplici di
cui disponevano, gli italiani avessero compreso cose molto sottili. Io,
spesso, mi sentivo come un muratore, che aggiungeva cemento alle pietre
dell’edificio che quegli architetti avevano costruito…avevano
un’intuizione formidabile.”
“ Mi stavo solo divertendo a dimostrare teoremi quando è arrivata la
medaglia Fields che mi ha fatto comprendere che ciò che facevo era
buono….vincere comunque ti divide dagli amici. I premi sono una cosa
strana.”
“Nell’assegnazione delle medaglie in passato la logica è stata penalizzata.
Ma la peggiore omissione è quella della scuola russa: la colpa in parte è
della nostra ignoranza del loro lavoro, e in parte dell’inefficienza dei loro
membri nel comitato di assegnazione.”
A proposito della logica si dice che lei non l’ama come fondamento della
matematica?
“La camicia di forza in cui la logica costringe il mondo è stata utile
all’inizio, per permettere alla matematica di prendere piede come impresa
intellettuale. Con il passare del tempo, però, ora che stiamo cercando di
capire l’intelligenza e il pensiero in maniera scientifica, ci stiamo
accorgendo che il mondo si capisce meglio, in generale, con la probabilità
e la statistica.”
“La mia speranza è che si possa insegnare l’amore per i numeri
mostrando che sono utili e potenti per descrivere il mondo. Ho notato che i
nostri giornali evitano di pubblicare numeri nei loro articoli, e io trovo la
cosa insultante. Se la gente fosse più abituata a pensare
quantitativamente, le cose cambierebbero”
“ Il risultato più importante raggiunto nella matematica pura penso che
sia stato quello di Wiles: non tanto la dimostrazione dell’ultimo teorema
di Fermat, quanto piuttosto quello della congettura di Tanyama e Weil che
da essa deriva.”
“ I problemi più importanti per il futuro sono le dimostrazioni della
congettura di Poincaré( nel 2006 sarà dimostrata da Perelman) e la teoria
della turbolenza di Navier e Stokes.”
“ Una persona acculturata dovrebbe anche essere “enumerata”, e sapere
che nel mondo delle idee contare e misurare sono attività tanto importanti
quanto il parlare. E forse anche di più, visto che la matematica è il
linguaggio in cui Dio ha scritto le leggi dell’universo”
205

Senza la matematica non ci sarebbe la musica. Nicola Piovani
Intervista a John Nash di Alessandra Farkas
John Nash, l’uomo che con i suoi studi di matematica applicata alla
“Teoria di giochi” ha rivoluzionato l’economia e ha conseguito il premio
Nobel nel 1994, aveva visioni di messaggi criptati, provenienti da
extraterrestri, credeva di essere imperatore dell’Antartide o il piede
sinistro di Dio, insomma stava per diventare pazzo. Il film “A Beautiful
Mind” ripercorre la sua odissea attraverso il tunnel della schizofrenia da
cui Nash è miracolosamente guarito dopo circa 30 anni.
“La matematica, il calcolo e i computer sono stati la medicina che mi ha
riportato ad un’idea più razionale e logica, aiutandomi a rifiutare il
pensiero allucinante. La matematica è curativa e in America viene usata
nella terapia occupazionale al posto dei farmaci.”
“ Russell Crowe l’ho sentito vicino a me nella parte relativa alla malattia
mentale anche se il film si prende varie licenze poetiche, inventando
episodi mai avvenuti, come le visioni o il compagno di stanza
immaginario”
“ Matematica è una parola greca che all’inizio includeva i concetti di
musica e astronomia. Solo nell’accezione contemporanea è diventata una
materia a sé. Ma secondo me continua ad essere intrinsecamente collegata
a tantissime altre discipline”
“ Gemelle della matematica tra le arti sono l’architettura, che è
matematica applicata e la pittura.
Penso a Vermeer, Leonardo, Michelangelo che hanno usato proporzioni,
prospettiva e tridimensionalità come fossero geometria pura.”
“ La matematica per me non è mai stata memoria numerica. Non riesco a
memorizzare alcuni numeri telefonici e non mi sforzo per farlo. Conosco
persone capaci di memorizzare sequenze di numeri per nulla portati alla
matematica.”
“Non si può sapere chi sarà il prossimo genio matematico della storia.
Pensi all’indiano Ramanujan, completamente autodidatta, che diventò uno
dei più grandi geni matematici partendo da un libricino. O alla grande
206

Ipazia che visse in Egitto tra il IV e il V secolo d.C..Le donne sono forse
più adatte alla matematica degli uomini perché lo studio e l’applicazione
di questa disciplina non richiedono forza fisica; Nello studio dei numeri
l’unica forza necessaria è mentale.”
E’ bene pensare tutti come il capo del governo, sarà un bel risparmio.
Numeri schizofrenici.
Per ogni intero positivo n, sia f(n) il numero intero dato dalla formula:
f(n)= 10xf(n-1) + n con f(0)=0
f(1)= 10x0+1=1; f(2)=10x1+2=12; f(3)= 10x12+3=123; f(4)=1234
La schizofrenia sta nel fatto che le radici quadrate di questi numeri per
interi dispari danno una struttura bizzarra e persistente: sembrano essere
numeri razionali per certi periodi e poi diventano irrazionali.
√f(49)=1111111111111111111111111,1111111111111111111111086055
555555555555555555555555555555555555555555527305412222222222
222222222222222222222222222222222042656394092881944444444444
44444444444444444444 e continua in questa maniera.
La formula del mondo - articolo di Michael F. Atyah, premio Abel e
medaglia Fields.
Per gran parte della gente la matematica è un’austera disciplina
intellettuale, comprensibile solo ad un esiguo numero di eccentrici
terrestri e caratterizzata da una scarsa attinenza con l’esperienza umana.
Molti si portano dentro la penosa memoria dei grandi sforzi e delle
energie impiegate nei banchi di scuola nel disperato tentativo di risolvere
problemi apparentemente intelligibili. Questi sopravvissuti alla
matematica scolastica ricordano con sommo gaudio l’ultimo giorno in cui
207

dovettero avere a che fare con un’equazione. E anche se pochi
metterebbero in discussione l’idea che la matematica sia vera, la bellezza
è l’ultimo tra gli aggettivi con cui descriverebbero questa materia.
Tuttavia non sono poche le celebri citazioni di altrettanto insigni
matematici che non solo vedono bellezza nella loro disciplina, ma le
attribuiscono un’importanza suprema.
Non solo dovremmo riuscire a cogliere l’estetica della matematica ma,
peggio ancora, ci verrebbe richiesto di sacrificare la verità in nome del
bello (Hermann Weyl). Gli studiosi della disciplina gongolano all’idea che
la loro materia sia l’unica attività umana in cui possa essere raggiunta
una certezza assoluta.
Credo che il modo migliore per far capire come i matematici intendano il
concetto di bellezza sia attraverso un confronto tra matematica e
architettura. L’architettura trae molte delle sue caratteristiche
dall’impatto visivo del suo insieme, dalla natura artistica della sua
progettazione, dall’ingegneria che sottintende la sua struttura e
dall’attenzione sofisticata al dettaglio delle decorazioni. Diversi artigiani
lavorano contemporaneamente a parti differenti della costruzione, la
quale risulta permeata da una costante tensione tra estetica e funzionalità.
La matematica può essere vista sotto la stessa luce: un edificio astratto, la
cui struttura elegante esprime un progetto d’insieme di estrema bellezza,
in cui la raffinatezza del dettaglio può essere ammirata nella sua intricata
argomentazione e la cui solidità è costantemente rafforzata da una tecnica
rigorosa e dall’utilità nelle sue innumerevoli applicazioni pratiche.
Sia nella matematica sia nell’architettura è possibile elencare le qualità la
cui somma crea bellezza: l’eleganza, la simmetria, l’equilibrio, la
precisione, la profondità, ma alla fine l’estetica matematica inizia a
esistere soltanto quando diventa finalmente visibile ai nostri occhi. Per
potere apprezzare lo splendore della matematica in tutta la sua
grandiosità, come fosse la Basilica di San Pietro, è necessario ricorrere
ad un esempio: la storia della risoluzione delle equazioni. La formula per
quelle quadratiche si insegna a scuola, dopo secoli di tentativi venne
scoperta quella per le equazioni di terzo e quarto grado. Ogni sforzo per
208

quelle di quinto grado andava incontro ad un sistematico fallimento.
Furono due giovani matematici, Niels Henrik Abel in Norvegia ed Evariste
Galois in Francia, a dimostrare che tutto ciò era inevitabile: la formula
cercata semplicemente non esisteva. I loro ragionamenti astratti
portarono alla costruzione di un grande edificio astratto, chiamato la
teoria di Galois, il quale spiega la simmetria nascosta che sottintende le
equazioni e può essere utilizzata per arrivare ad una comprensione più
profonda della matematica. Questa è, senza ombra di dubbio, la più
grande cattedrale mai costruita dai matematici. La bellezza potrebbe
anche indirizzarci verso la verità, ma come potrà mai superare
l’importanza di quest’ultima?
Come poteva Weyl giustificare la sua preferenza del bello al posto del
vero quando si trovava dinnanzi a una scelta conflittuale tra i due valori?
La risposta può essere filosofica. La percezione della bellezza è
soggettiva, pertanto si può essere certi della sua validità. L’individuo sa
infatti cosa gli piace. La verità è invece un concetto oggettivo e dunque
non possiamo essere sicuri: in quanto valore sfuggente la nostra
percezione del vero può essere distorta. Di conseguenza sorge un conflitto
quando ciò che riteniamo vero è soltanto illusorio. Un esempio proprio il
lavoro di Hermann Weyl lo fornisce. Nel 1918, dopo che Einstein aveva
ideato le sua teoria generale della relatività, la quale rimpiazzò le teoria
della forza di gravità di Newton, Weyl fece un tentativo di unificarla con la
teoria dell’elettromagnetismo di Maxwell. La sua idea fu un esempio
splendido di lavoro matematico ma purtroppo, come fece notare lo stesso
Einstein, il suo sforzo contraddiceva la realtà della fisica. Comunque il
calcolo matematico di Weyl venne pubblicato con una obiezione redatta
da Einstein.
Pochi anni dopo la comparsa nel campo scientifico della meccanica
quantistica, l’idea originaria di Weyl fu leggermente modificata. Così,
oggi, mentre l’obiezione di Einstein è decaduta, la teoria di Weyl è stata
globalmente accettata ed è diventata la base su cui è stato postulato tutto
il lavoro successivo della fisica teorica. Se Weyl avesse abdicato alle sue
convinzioni e non avesse insistito per pubblicare il suo lavoro, la fisica
non si sarebbe evoluta. Un caso simile è accaduto anche a me e al mio
amico Raoul Bott; avevamo concepito una teoria dotata di un’armonia che
ci aveva sedotto e, oltre a ciò, permetteva innumerevoli applicazioni. I
209

matematici non sono persone irresponsabili e per non essere fuorviati
dalla bellezza, proponemmo nel caso più semplice la nostra idea al gruppo
di esperti che partecipava a una conferenza. Dopo un breve ma attento
esame, il verdetto fu negativo. Noi, attratti dal canto delle sirene, la
bellezza della sua musica, non accettammo la sconfitta. Riesaminammo
l’intero sistema scoprendo che i colleghi avevano commesso un errore di
calcolo e, alla fine, rivendicammo la correttezza della nostra tesi. La
bellezza aveva trionfato. Concludo con le parole di Weyl, un matematico
con l’animo del poeta: Credo che certe caratteristiche della matematica
avvicinino questa materia più alle arti creative piuttosto che alle altre
discipline sperimentali.
Italo Di Feo
Appendice
Spero che questa miscellania di aforismi, di considerazioni sulla
matematica e sul suo insegnamento e d’ironia non vi abbia notevolmente
annoiati. Mi scuso per eventuali errori od omissioni (vi rimando
all’osservazione fatta nel testo). Penso che si può avere qualche curiosità
per scoprire la bellezza della matematica e coglierne lo spirito di libertà
che anima i cultori della disciplina.
210

Vorrei concludere sul tema della libertà, della guerra e sull’immagine
dell’uomo moderno, temi importanti anche per la ricerca, con le parole di
un grande scrittore e giornalista: Tiziano Terzani (“Lettere dalla guerra”
del 2002).
Qualcuno si chiederà quale legame esiste tra questa appendice e la
matematica? Il problema è che la “vera” ricerca matematica presenta uno
sviluppo intenso quando si presentano determinate condizioni politiche
ossia quando l’uomo è interessato alla scoperta disinteressata e alla
bellezza e quindi favorisce, attraverso finanziamenti pubblici o privati, la
ricerca di genialità nei campi scientifici e artistici. Gli scienziati, filosofi e
poeti di Alessandria d’Egitto o di Baghad godevano di privilegi e non
avevano nessun problema di vita quotidiana e quindi potevano dedicare
tutto il loro tempo allo studio e alla ricerca; invece qualche scienziato del
cinquecento o del seicento ma anche moderno fu avvantaggiato dal
provenire da famiglia agiata (Descartes, Majorana, Caccioppoli….).
In India non fu possibile una ricerca più speculativa perché gli scienziati
non avevano mezzi né protettori come succederà in Europa 300-400 anni
dopo con protezioni o committenze di grandi mecenati e quindi molti
scienziati hindù studiavano solo nel tempo libero (vedi Ramanujan….).
Solo negli ultimi secoli governanti più illuminati hanno favorito la ricerca
senza fini immediati. La domanda è: può l’attuale classe politica, figlia del
consumismo e del globalismo, favorire una ricerca che darà probabili frutti
dopo molti anni ( la ricerca di matematica pura)?
La guerra.
A proposito della guerra “Frastornati dai dettagli di tanti fatti, perdiamo
sempre di più il senso dell’insieme. A che serve essere informati ora per
ora sulla caduta di Mazar-i-Sharif e di Kabul quando queste ci sono
presentate come “vittorie” e non ci rendiamo conto che, come umanità,
stiamo comunque subendo alcune terribili sconfitte: quella di ricorrere
ancora alla guerra come soluzione di conflitti e quella di rifiutare la nonviolenza
come la più grande prova di forza. E’ un vecchio detto che in
tutte le guerre la verità è la prima a morire. Quelli che davvero contano
in questa guerra di bugie sono gli esperti in comunicazione, gli addetti
211

alle pubbliche relazioni. Sono loro che offuscano il fondo d’inutilità della
guerra e a impedire così all’opinione pubblica del mondo di prendere una
posizione morale e creativa in proposito. La verità sulla guerra è che ha
bisogno di essere “gestita”, di essere oggetto di un’astuta campagna di
marketing. Così è il nostro mondo: la pubblicità ha preso il posto della
letteratura e gli slogan ci colpiscono più della poesia e dei suoi versi.
L’attuale, diffusa indifferenza verso quel che sta succedendo nel mondo,
anche a noi stessi, ha radici profonde. Anni di sfrenato materialismo
hanno ridotto e marginalizzato il ruolo della morale nella vita della gente,
facendo di valori come il denaro, il successo e il tornaconto personale il
solo metro di giudizio.
Senza tempo per fermarsi a riflettere, preso sempre più dall’ingranaggio
di una vita altamente competitiva che lascia sempre meno spazio al
privato, l’uomo del benessere e dei consumi ha come perso la sua
capacità di commuoversi e di indignarsi. E’ tutto concentrato su di sé,
non ha occhi né cuore per quel che gli succede intorno. E’ questo nuovo
tipo di uomo occidentale, cinico e insensibile, egoista e politicamente
corretto, prodotto della nostra società di sviluppo e di ricchezza, che oggi
fa paura quanto l’uomo con il mitra e l’aria da grande tagliagole.
Sono esempi diversi dello stesso fenomeno: quello dell’uomo che
dimentica di avere una coscienza, che non ha chiaro il suo ruolo
nell’universo (non è forse questa una delle cause del calo di giovani che si
dedicano allo studio della matematica, disciplina che notoriamente non
porta ricchezze) e diventa il più distruttivo di tutti gli esseri viventi, ora
inquinando le acque della terra, ora tagliandone le foreste, uccidendone
gli animali ed usando sempre più sofisticate forme di varia violenza contro
i suoi simili.
L’India è un paese povero, ma ha ancora una sua e profonda cultura di
stampo spirituale, capace di resistere in parte all’ondata materialistica
della globalizzazione che appiattisce ogni identità e ingenera ovunque un
soffocante conformismo. L’India avrebbe potuto in questo momento fare
l’elogio della diversità, avrebbe potuto ricordare che il mondo ha bisogno
di una coalizione contro la povertà, contro lo sfruttamento, contro
l’intolleranza. Ma l’India appartiene ai paesi sottosviluppati e con ciò
212

“deboli”, che fanno politiche che aumentano solo la ricchezza dei ricchi, la
povertà dei poveri e rendono gli uni e gli altri sempre più infelici. Solo in
India milioni di uomini e donne rinunciano a tutto ciò che è di questa vita
(possedimenti, affetti, desideri, nome) per diventare rinunciatari e vivere di
elemosina. In India molti giovani studiano matematica senza pensare a
benefici economici (n.d.r)
Libertà.
Le montagne sono sempre generose. Mi regalano albe e tramonti
irrepetibili; il silenzio è rotto solo dai suoni della natura che lo rendono
più vivo. Posso guardare le montagne senza il desiderio di scalarle.
Quant’ero giovane le avrei volute conquistare. Ora posso lasciarmi
conquistare da loro. Tiziano Terzani
L’uomo
A volte mi chiedo se il senso di frustrazione, d’impotenza che molti,
soprattutto fra i giovani, hanno dinanzi al mondo moderno è dovuto al
fatto che esso appare così complicato, così difficile da capire che la sola
reazione possibile è crederlo il mondo di qualcun altro: un mondo in cui
non si può mettere le mani, un mondo che non si può cambiare. Ma non è
così: il mondo è di tutti
L’homo sapiens è il risultato della nostra evoluzione dalla scimmia. Non ci
sono dubbi che nel corso degli ultimi millenni abbiamo fatto enormi
progressi. Siamo riusciti a volare come gli uccelli, ad andare sott’acqua
come i pesci, andiamo sulla luna e siamo persino in grado di clonare la
vita. Eppure, con tutto questo progresso non siamo in pace con noi stessi
né con il mondo attorno. Abbiamo appestato la terra, dissacrato fiumi e
laghi, resa infernale la vita degli animali, tranne quella di quei pochi che
chiamiamo “amici” e che coccoliamo finché soddisfano la nostra
necessità di un surrogato di compagnia umana.
La speranza
Fermiamoci. Immaginiamoci il nostro momento di ora dalla prospettiva
dei nostri pronipoti. Guardiamo all’oggi dal punto di vista del domani
213

per non doverci rammaricare poi d’aver perso una buona occasione.
L’occasione è di capire che il mondo è uno, che è possibile rimpiazzare
la logica della competitività con l’etica della coesistenza, che nessuno ha
il monopolio di nulla, che l’idea di civiltà superiori è solo frutto
d’ignoranza, che l’armonia, come la bellezza, sta nell’equilibrio degli
opposti. Tiziano Terzani.
Cominciamo a prendere le decisioni che ci riguardano e che riguardano
gli altri sulla base di più moralità e meno interesse. Facciamo quel che è
più giusto, invece di quel che ci conviene, Educhiamo i figli ad essere
onesti, non furbi. E’ il momento d’impegnarci per i valori in cui si crede.
Soprattutto fermiamoci. Spesso ci sentiamo angosciati dalla vita che
facciamo, come l’uomo che scappa dalla sua ombra. Più corre, più vede
la sua ombra stargli dietro; più corre, più il rumore dei suoi passi si fa
forte e lo turba, finché non si ferma e si siede all’ombra di un albero.
Facciamo lo stesso. Tiziano Terzani
INDICE
Aforismi e considerazioni pag. 3-158
I Inserto inserito a pag.10 - formato da tre facciate
Moltiplicazione babilonese
II inserto inserito a pag.18 - quattro facciate
Moltiplicazione egiziana
III inserto inserito a pag.28 - quattro facciate
Moltiplicazione romana
IV inserto inserito a pag.38- una pagina
Moltiplicazione russa
V inserto inserito a pag.46 – cinque facciate
Moltiplicazione cinese
VI inserto inserito a pag.56 – cinque facciate
Moltiplicazione con le dita
VII inserto inserito a pag.64 – quattro facciate
214

Moltiplicazione hindù
VIII inserto inserito a pag.74 – tre facciate
Moltiplicazione araba “per gelosia”
IX inserto inserito a pag.82 – due facciate
Moltiplicazione con i bastoncini di Nepero
X inserto inserito a pag.92 – tre facciate
Moltiplicazione inca
XI inserto inserito a pag.102 - due facciate
Moltiplicazione yoruba
XII inserto inserito a pag.110 - una facciata
I fogli A
XIII inserto inserito a pag.118 - tre facciate
Una formula e la sua storia
XIV inserto inserito a pag.134 - quattro facciate
Un numero e
XV inserto inserito a pag.142 – quattro facciate
Congettura di Syracuse
XVI inserto inserito a pag.146 – cinque facciate
Qualche problema
Elenco degli autori citati.
A. Aczel 140-141 A.Adler 88 C.Adwards 89 D. Alighieri 86 W.Anglin
76 Appendice pag. 155-158 Aristotele 70 Articoli pag. 152-154
I.Asimov 59 Bachelard 4 F. Bacone 4 R. Bacone 4-17 J.Barrow 5-
63-64 Belles 101 E. Bell 7-9 T. Bell 20 D. Bernouilli 10
M.Berry 19 A.Beutelspacher 58 M.Bill 10 al Bìruni 32 W.Blake 82
S. Bochner 13 J. Boivin 3 A.Boiler 38 C. B. Boyer 32-38-40-112
B.Bolzano 14 J.L.Borges 24 Bourbaki 40 Brahmagupta 32
T. Briffault 103 J.Bronowski 14 Brouwer 15 G. Bruno13 S.Butler 9
R. Caccioppoli 15 G. Canning 9 G. Cantor 11-15 J. Cash 60
Cavalli-Sforza 91 C. B.Cavour 16 G.K. Chesterton 119 D.Chopra 64
J. Coates 108 J. Cocteau 9 G. Cocuzza 17 A.Comte 17 A.Conte 37
Courant-Collins 89 D’Alembert 77 T.Dantzig 58 C. Darwin 18-45-46-85
215

P. Davis 59 R.Dawkins 108 M. Deakin 106 A.De Carlo 26
P. De Fermat 22-75 B.de Fontanelle 55 E. De Giorgi 18
S. Dehaenne 138- da 142 a 146 A. De Morgan 18 G. De Santillana 18
R. Descartes 21-34 K. Devlin 105-106-109-110-111-112 M. Diamone 110
D. Diderot 70 J. Dieudonné 19 Diamond 99 G. Di Feo 71
P.Dirac 19-44 Don Antonio 11-12 don DeLillo 107 A. Doxiadis 18-19-20
A. Dumas 84 A. Eddington 77 Egrafov 22 A. Einstein 10-22-40-43-45-58
F. Enriques 31 Enzensberger 69 V. Erath 31 P. Erdos 8-27-32-52-63-64-65
Erodoto 85 M.Escher 38 Eulero 18 H. Eves 81 R.Feynmann 39
Filolao 15 D.Foster 119 G. Frege 11 C. Fried 47 F. Fröbel 56
M. C. Frontone 69 I. Fuchs 56 E. Galois 56-67-93 G.Galilei 25-56
P. Galluppi 16 M. Gardner 16-54-55-57-109 F.Gauss 48
G.Gheverghese 30- 31 - 33 I.Gibbs 57 Glashow 6-7 K.Gödel 27-57
W.Goethe 27-91 J. Golden 10 V. Gornik 85 F.Gouvea 22
P. Govoni 3-103- 107-108 R.Graham 42 D.Guédy 21 R.Guy 65
Hankel 33 G.H.Hardy 8-9-66-71-75-80-78 Hearns 58 L.Henkin 57
C.Hermite 11-71 H.Hertz 58-83 D.Hilbert 12-21-27-58 L. Hogben 10
F.Honsell 90-110-115-116-117-118 V. Hugo 8 Husserl 143 T.Huxley 39
Ione di Chio 14 Interviste da pag.148 a 151 G. Ismael 103-116
C. Jacobi 8 W. James 8 J. Jeans 12 C. Jung 26 E. Kant 15
R. Kaplan 67 Kasner- Newmann 41 W. Kelvin 20 J. Kepler 34-41
J.King 43 S.King 59-61 ibn Khaldun 42 O. al Khayyam 12-29
F. Klein 44 M.Kline 6-32-33-63-104 S.Knight 22S. Kovalevskaya 44-62
L. Kronecker 8 C. N. Yang 85 A. Lang 9 P. de Laplace 44 E. Laser 44
H. Lebesque 47 G.Leibniz 16-19-45-62-77 Mittag-Leffler 43 Lemoine 20
J.Lennon 79 G. Leopardi 46 A.Levenstein 9 C. Levi-Strauss 46
R. Lewis 9 J.Lynch 22 J.Locke 46 H.Lovecraft 61 R. Lucchetti 136-138
J.Lukasiewicz 24 W.Mcculloch 143 E.Mach 53 Maharaviracarya 12
Malcom X 91 Maometto 31 Mazzoni 14 J.Maxwell 50 McCulloch 143 H.
Mearns 60 J.Michel 60 J.Mill 43 H.Minkowski 42 R.Musil 43
Napoleone 60 S.Nasar 132 Netz-Noel 111-113-114-116
I.Newton 29-45-62-69 Nicomaco 37 Novalis 8-46-49 C.Oakley 46
P.Odifreddi 25-26-64-65-66-136 J.Oppenheimer 47 J.Ozanam 47
A.Padoa 47-87 A. Papy 48 I.Pappas 62 Parmenide 25 M.R. Pars 105
B. Pascal 69 G.Peano 48 K.Pearson 49 Pellerey 15 E.Peres 65-66
Petsinis 67-90-92… F.Pessoa 48 I.Peterson 41 P.Picasso 3
216

C.Pickower 43-46-49-50-55-56-57-107 C.Pinter 115 Pitagora 25
J.D. Philipps 113 Platone 8-12-26-49-110 A. Poges 75 E.A. Poe 48-49
H.Poincaré 17-49-50 J.Poisson 50 K. Popper 118 G. Pressburger 117
Proclo 36-37 M.Proust 40 R. Queneau 67-138 L.L.Radice
16-38-103-104-118 Ramakhrishna 13 S.Ramanuyan 19 B.Recaman 35-41-
42 J.Renard 76 A.Rényi 50-63 Reymond 27 B.Riemann 27 A.Rodin 82
L.Rollin 50 D.Rusin 51 B. Russel 10-20-35-39-40-45-51-52-74
Sant’Agostino 17-26-68 May Sarton 100 M. du Sautoy 28
D. Schattschneider 54 G. Scharnhorst 52 Schellbach 52 G.Scorza 52
T.Sekì 52 A.Selberg 87 L.Cavalli-Sforza 16-91 D. O’Shea 30-61-68-135
A.Shalev 53 B.Shaw 53 A.Siety 59-60-68 Sylvester 40 Sikorsky 60
Singh 23-71-74-75-76-79-80 H.Smith 51 Socrate 12-110 A.Spelser 53
G. Spirito 122-123 J.Sullivan 64 Talete 74 M. Twain 9 S.Ulam 91
Vàsquez 54-60 G.Veronese 85 L.da Vinci 12-45 Voltaire 11-34
R.Wagner 19 D.F. Wallace 119-120-121 J. Waters 53-94
K.Weierstrasse 27 H.Weyl 28-34-41-77-90 D.Wells 70 A.
Whithead 35-90-115 Wigner 11 O.Wilde 83 A.Wiles 80-87 E.Witten 109
M.Wodman 76 P.Zumthor 87.
Per gli inserti:
Silvana Leggerini- Newton R.C.S.
George Gheverghese - C’era una volta un numero il Saggiatore
Agostini-De Carlo – Giochi dell’intelligenza A. Mondadori
Lucio Lombardo Radice- La matematica da Pitagora a Newton Muzzio
Morris Kline – Storia del pensiero matematico Einaudi
Robert Ghattas- Insalate di matematica Sironi
Carl. B. Boyer- Storia della matematica Oscar Mondadori
Martin Gardner- Enigmi e giochi matematici Sansoni
217

Spiegazione delle relazioni matematiche presenti nel testo:
(in alcune entrambi i membri sono espressi nella stessa base, in altre
l’uguaglianza è tra numeri di basi diverse)
1+1=10 è stata usata la base 2.
1+2=10 è stata usata la base 3
2+3=11 è stata usata la base 4
3+4=12 è stata usata la base 5
1+4=10 è stata usata la base 5
218

4+5=13 è stata usata la base 6
5+6=14 è stata usata la base 7
1+6=10 è stata usata la base 7
6+7=15 è stata usata la base 8
7+8=16 è stata usata la base 9
2+4=11 base 5 5+4=12 base 7
5+4=11 base 8 5+5=11 base 9
1000=8; 1000 è in base 2; 1x2 3 +0x2 2 +0x2+0
22=8, base 3 8=2x3+2=22
½ 2 100 =2 100-1 =2 99 20=8; base 4
13=8; base 5 8=1x5+3=13
12=8; base 6 8=1x6+2=12
11=8; base 7 8=1x7+1=11 10=9; base 9
1001=9; base 2 1x2 3 +0x2 2 +0x2+1=9
100=9; base 3 1x3 2 +0x3+0=9
21=9; base 4 2x4+1=21
14=9; base 5 1x5+4=14
13=9; base 6 1x6+3=13
219

12=9; base 7 11=9; base 8
10=11; base 9 per 11 potrebbe ipotizzarsi base 11 per 10
12+11=100; base 3; 1x3+2+1x3+1=9=1x3 2 +0x3+0=100
11+11+11=110; base 3; 4+4+4=12=9+3+0=110
11x12=202; base 3; 4x5=20=2x9+0x3+2
11:2=2; base 3; 4:2=2 11:2=3; base 5; 6:2=3
10:2=2; base 4; 4:2=2. 10:2=3; base 6. 11:2=4 base 7.
10:2=4; base 8; e 11:2=5; base 9
13+13=32; base 4; 7+7=14=3x4+2=32
2x3x4=44; base 5; 24=4x5+4=44
13x13=301; base 4; 7x7=49=3x16+0x4+1
103+112=220; base 5; 28+32=60=2x25+2x5+0=220
112x103=12041; base 5; 32x28=896=1x625+2x125+0x25+4x5+1
443:3=131; base 5; 4x25+4x5+3=123; 123:3=41=1x25+3x5+1
4+4+4=22; base 5; 12=2x5+2;
44+42=141; base 5; 24+22=46=1x25+4x5+1=141
4x4=31; base 5; 16=3x5+1=31
51:3=15; base 7; 5x7+1=36; 36:3=12=1x7+5=15
220

55+44=143; base 6; 5x6+5+4x6+4=63=1x36+4x6+3=143
11+22+33=132; base 4; 5+10+15=30=1x16+3x4+2=132
5x5=41; base 6; 25=4x6+1=41
52:4=12; base 6; 32:4=8=1x6+2=12
66+11=110; base 7; 6x7+6+8=56=1x49+1x7+0=110
33+33+33=132; base 7; 24x3=72=1x49+3x7+2=132
1+1+1+1=100; base 2; 1+1+1+1+1=101; 1+1+1+1+1+1=110…..
14x14=220; base 8; 12x12=144=2x64+2x8+0=220
2+2=11; base 3; 3+3=12; base 4; 4+4=13; base 5…….
111x111=20021; base 3; 13x13=169=2x81+0x27+0x9+2x3+1
9x9=81; 8x8=71 (base 9); 7x7=61 (base 8); 6x6=51 (base7)…..
11 2 =1001; base 2; 3x3=9=1x8+0x4+0x2+1=1001
111+222=1110; base 3; 13+26=39=1x27+1x9+1x3+0=1110
8x9=1001000-base 2; 8x9=2200-base 3; 8x9=1020-base 4…
15 in base 2 è 1111, in base 3 è 120, in base 4 è 33, in base 5 è 30…
2x2x2=11x2=22; base 3
3x3x3=21x3=123; base 4
110+101+111=1022; base 3; 12+10+13=35=1x27+0x9+2x3+2
221

4x4x4=31x4= (30+1)x4=220+4=224 base 5
5x5x5=41x5=(40+1)x5= 320+5=325 base 6
6x6x6=51x6=(50+1)x6=420+6=426 base 7
7x7x7=61x7=527 base 8 8x8x8=71x8=628 base 9
202+220+222=1310; base 4 303+330+333=2021; base 5
3x(2+1)=12+3=21; base 4
10122:21=112; base 3; (98:7=14 nel sistema decimale)
1202:13=32; base 4; (sempre 98:7=14 nel sist. dec.)
343:12=24; base 5 (98:7)
210:30=5; base 7 (105:21)
Bibliografia
Carl B. Boyer- Storia della matematica Mondatori
Morris Kline –Storia del pensiero matematico Einaudi
George J. Gheverghese C’era una volta un numero il Saggiatore
Amir D. Aczel Chance Cortina
Stanislas Dehaenne Il pallino della matematica Mondadori
Marcus du Sautoy L’enigma dei numeri primi BUR
Paola Govoni Che cos’è la storia della scienza Carocci
Giuliano Spirito Matematica senza numeri Newton
Keith Devlin L’istinto matematico Cortina
Simon Singh L’ultimo teorema di Fermat Rizzoli
Lucio Lombardo Radice La matematica Muzzio
Romarin Le Male Voci Technipress
222

John Nash Giochi non cooperativi Zanichelli
Roberto Lucchetti Di duelli, scacchi e dilemmi Paravia
Donal O’ Shea La congettura di Poincarè BUR
R. Netz- W Noel Il codice perduto di Archimede Rizzoli
Enrico Giusti La matematica in cucina Boringhieri
Bernard Recamàn Giocare con Pitagora B. Mondadori
Martin Gardner Enigmi e giochi matematici BUR
Keith Devlin La lettera di Pascal Rizzoli
Anne Siety Matematica, mio terrore Salani
John D. Barrow Da zero a infinito Mondatori
Piergiorgio Odifreddi Il diavolo in cattedra Einaudi
Nando Geronimi Giochi matematici del medioevo B. Mondatori
Denis Guedj Il teorema del pappagallo Longanesi
Robert Kaplan Zero storia di una cifra BUR
B. Russell I fondamenti della geometria Newton
Ennio Peres L’elmo della mente Salani
Robert Ghattas Insalate di matematica Sironi
Italo Ghersi Matematica dilettevole e curiosa Hoepli
Enciclopedia La Scienza Repubblica
Clifford Pickover La magia dei numeri RBA
Gabriele Lolli Il riso di Talete Boringhieri
Arthur Bloch Leggi di Murphy Mondadori
Agenda del viaggio di Antonio Politano E.D.T.
Mancano gli autori di alcune citazioni solo perché non erano riportati sul
floppy in cui le avevo annotate negli anni. Italo Di Feo
223

Pagina 28
Palazzo dell’Orologio della Gherardesca—Sede della Biblioteca della Scuola Normale Superiore di Pisa
Acquarello di Giancarlo Mikò (2005)
Via Eschilo 110 Roma
Telefono e fax 06 5053392
e.mail: danilo.sacchi@aliceposta.it
www.ilpiaceredimparare.com
Stampato in proprio - distribuito gratuitamente
Comune
di Roma
presentano
Nel ciclo di:
“Perché leggere i classici”
“Perché il mondo
è matematico”
XIII
Municipio
Pagina 1
Almanacco n. 13
Incontro con la
Prof. Francesca R. Nardi
Ricercatrice in Fisica Matematica e Teoria
delle Probabilità presso l’Università di
Eindhoven (Olanda)
Letture dell’attrice
Eugenia Scotti
Con il patrocinio
20 aprile 2007
Disegno di Giancarlo Mikò
Scuola Normale
Superiore di Pisa
ROMAIL Editrice
Giuntina

Che cos’è l’Associazione
Guido Sacchi - Il piacere d’imparare
L'Associazione ha come fine la promozione
del "sapere", inteso come interesse
nell'apprendimento, curiosità intellettuale,
passione per la ricerca, desiderio di
trasmettere ad altri la fiducia nello studio.
L'Associazione persegue tali finalità con
iniziative diverse, quali:
- l’assegnazione annuale del Premio (o più
premi) “Il piacere d’imparare” destinato a
studenti delle scuole superiori del XIII
Municipio;
- l’organizzazione di cicli di incontri dedicati
ai classici della letteratura;
- l’organizzazione di concerti, letture recitate,
proiezioni cinematografiche, incontri su
discipline diverse;
- la destinazione, a fine esercizio, di
contributi per la ricerca dell’Associazione
Italiana contro le leucemie e i linfomi -
Sezione di Roma - ROMAIL ONLUS e
per il sostegno di iniziative finalizzate alla
formazione dei giovani.
Pagina 2
Chi sostiene l’Associazione
Per svolgere le sue attività
l’Associazione confida nel sostegno di
chi desidera contribuire in diversi modi:
come socio sostenitore, amico
sostenitore, contributi diversi.
Può diventare socio sostenitore,
chiunque intenda partecipare all’attività
dell’Associazione versando la quota
associativa prevista per l’anno.
Oppure può essere amico sostenitore
chiunque intenda contribuire, anche
solo saltuariamente, versando una quota
liberamente decisa.
Chiunque può sostenere l’Associazione con
contributi diversi sponsorizzando anche
singole iniziative.
Socio sostenitore:
quota anno 2007 € 50,00
Amico sostenitore:
quota libera
"Associazione Guido Sacchi
Il piacere d'imparare"
c/c bancario n.9648
c/o Banco di Brescia, ABI 03500,
CAB 03202
PAESE IT - DIGIT 77 - CIN A
Pagina 27

Programma incontri 2007
Pagina 26
25 maggio 2007, ore 21.00
Per il ciclo “Perché leggere i classici”, presso il Salone del Centro
Culturale L’Areopago, via Eschilo 100, Axa “Parliamo di Leopardi”
Prof. Achille Tartaro, Università La Sapienza di Roma, con letture
dell’attrice Viviana Mancini.
9 ottobre 2007
Sala della Protomoteca in Campidoglio Cerimonia di proclamazione
dei vincitori della III edizione del
Premio “Il piacere d’imparare”.
L’uomo e il mistero:
Eventi sulle Arti Figurative e Mostra delle opere
di Giancarlo Mikò
- Sala Riario di Sant’Aurea - Ostia Antica
16 novembre 2007 - Incontro con una personalità dei musei di Roma
sul tema “La salvaguardia delle opere e dei monumenti”.
16-17-18 novembre 2007 - Esposizione delle opere di scultura e
pittura di Giancarlo Mikò.
- Sala della Galleria La Pigna - Roma
20/24 novembre 2007 - Incontro con un accademico sul tema “La
spiritualità nell’arte”.
Esposizione delle opere di scultura e pittura di Giancarlo Mikò.
- Centro Culturale L’Areopago - Axa
30 novembre 2007 - Incontro con un esperto sul tema “La scienza
moderna per il restauro delle opere d’arte”, con proiezione di
diapositive.
Presentazione delle opere di Giancarlo Mikò con letture di brani
classici da parte di giovani attori.
- Dal 1 al 7 dicembre 2007 - apertura al pubblico della mostra, visite
guidate di studenti con dimostrazioni pratiche dell’autore sulla
modellazione. Incontro della Prof. Armida Sodo con studenti per
parlare del restauro delle opere d’arte.
- 7 dicembre 2007 - Incontro con un esperto sul tema “Il difficile
compito del recupero del patrimonio artistico rubato”, e chiusura
della mostra.
Perché leggere i classici
Il numero governa l’Universo.
Pitagora
Benedici noi, numero Divino, tu hai generato gli
dei e gli uomini.
Discepolo di Pitagora
La matematica è la scienza che trae conclusioni
necessarie.
Benjamin Pierce
Pagina 3
La matematica, vista nella giusta luce, possiede non soltanto verità ma
anche suprema bellezza, una bellezza fredda e austera, come quella della
scultura.
Bertrand Russell
La scienza della matematica pura, nei suoi sviluppi moderni, può aspirare
a definirsi la creazione più originale della spirito umano.
Alfred North Whitehead
L'universo non potrà essere letto finché non avremo imparato il
linguaggio ed avremo familiarizzato con i caratteri con
cui è scritto. E' scritto in linguaggio matematico, e le
lettere sono triangoli, cerchi ed altre figure geometriche,
senza le quali è umanamente impossibile comprendere
una singola parola.
Galileo Galilei
Non preoccuparti delle tue difficoltà in matematica, ti
assicuro che le mie sono maggiori.
Albert Eistein
A.Eistein
La differenza fra noi e gli allievi affidati alle nostre cure sta solo in ciò,
che noi abbiamo percorso un più lungo tratto della parabola della vita. Se
gli allievi non capiscono, il torto è dell'insegnante che non sa spiegare.
Né vale addossare la responsabilità alle scuole inferiori. Dobbiamo
prendere gli allievi come sono, e richiamare ciò che essi hanno

Carta dei diritti di chi ha paura della matematica
di Sandra L. Davis
Pagina 4
Il primo passo per superare la paura della matematica è assumersi la
responsabilità del proprio processo di apprendimento, smettere di farsi intimidire
sia dalla sfiducia sia dalle consacrate tradizioni dei corsi di matematica, che ci
impediscono di star bene con noi stessi. Tempo fa Sandra L. Davis, lavorando per
alleviare il rifiuto della matematica negli studenti, stilò l'ormai celebre “Carta
dei diritti di chi ha paura della matematica”:
Ho il diritto di imparare al mio proprio ritmo e di non sentirmi inferiore e stupida
se sono più lenta di un'altra.
Ho il diritto di fare tutte le domande che mi vengono in mente.
Ho il diritto di aver bisogno di un aiuto speciale.
Ho il diritto di chiedere aiuto a un insegnante o a un assistente.
Ho il diritto di dire che non capisco.
Ho il diritto di non capire.
Ho il diritto di sentirmi bene con me stessa indipendentemente dalla mia abilità in
matematica.
Ho il diritto di non basare la mia autostima sulle mie capacità in matematica.
Ho il diritto di considerarmi capace di imparare la matematica.
Ho il diritto di giudicare i miei insegnanti di matematica e il loro metodo.
Ho il diritto di rilassarmi.
Ho il diritto di essere trattata come un'adulta preparata.
Ho il diritto di non amare la matematica.
Ho il diritto di misurare il successo in base ai miei parametri.
Perchè studiare la matematica?
di Gabriele Martufi
Lo studio della matematica: abitua al ragionamento e alla riflessione, stimola le
capacità di intuizione e lo spirito di ricerca, ha funzione educativa di pensiero,
abitua alla chiarezza espositiva e precisione del linguaggio, sviluppa le capacità
logiche e di astrazione, affina le capacità di sintesi, abitua a descrivere e
matematizzare la realtà nei suoi vari aspetti e a considerare criticamente
informazioni e ipotesi. La matematica ha profondi legami con l'arte, la musica e
altre forme espressive, altresì è una disciplina indispensabile per tutta la ricerca
scientifica e tecnologica, è uno strumento di modellazione e di calcolo per le
scienze applicate e teoriche quali: la fisica, la chimica, la biologia, la medicina,
l'economia, l'informatica, l'ingegneria... non sei convinto?
Per chi vuole approfondire
Pagina 25
S. Tobias, Come vincere la paura della matematica, Ed. TEA (su
licenza Longanesi).
Barrow, Perché il mondo è matematico, Ed. Laterza.
G. Spirito (?), Matematica senza numeri, Tascabili Economici
Newton.
J. Steward, Come è bella la matematica, Bollati Boringhieri.
C. Bartocci, Racconti matematici, Einaudi.
C. B. Boyer, Storia della matematica, Arnoldo Mondatori Editore.
E. Segre, Personaggi e scoperte della fisica classica, Oscar Saggi
Mondatori.
H M. Enzensberger (?), Il mago dei numeri, Einaudi.
L. Russo, La rivoluzione dimenticata, Saggi Univers. Economica
Feltrinelli.
Abbagnano Foriero, Filosofi e filosofia nella storia, Paravia.
Reale - Autiser (?), Il pensiero occidentale dalle origini ad oggi,
Ed. La Scuola.
L. Rabin, Storia del pensiero grego, Einaudi.
L. Canfora, Storia della letteratura greca, Ed. Laterza
G. Battimelli e R. Stilli, Le vie della fisica, Ed. Laterza

Pagina 24
A questo punto siamo davvero in una situazione critica e imbarazzante.
Infatti:
- abbiamo individuato tre diversi modi di soluzione del problema che
conducono a un identico risultato: Achille raggiunge la tartaruga dopo
20 secondi di corsa;
- abbiamo poi seguito un quarto metodo di soluzione che sembra
contraddire questo risultato: ragionando “al modo di Zenone” siamo
arrivati a concludere che Achille non raggiunge mai la tartaruga.
Quale dei due risultati è giusto?
Eppure, il ragionamento di Zenone sembra del tutto sensato.. Perchè,
allora, ci conduce a una conclusione in aperta contraddizione con la
realtà, e dunque inaccettabile? Il fatto è che quel ragionamento, a prima
vista così convincente, nasconde un errore (o, quanto meno,
un'ambiguità). Cerchiamo dunque di individuare con l'aiuto della
matematica dove Zenone “fallisce”.
Francesca Romana Nardi
Pagina 5
E’ nata a Roma. Attualmente ricercatrice in Fisica Matematica e Teoria delle
Probabilità presso la facoltà di Matematica e Informatica dell’Università di
Eindhoven (Olanda), ha conseguito la laurea in Matematica presso
l’Università degli Studi di Roma Tor Vergata, con la tesi Dinamica stocastica
di bassa temperatura per il modello di ising con campo alterno, nonché il
Dottorato di Ricerca in Matematica presso la stessa Università.
Invitata negli Stati Uniti presso l’Università di Rutgers, ha inoltre vinto una
borsa di studio biennale post-dottorato presso Eurandom, centro di ricerca
europeo specializzato in probabilità e statistica con applicazioni alla fisica e
alla biologia ad Eindhoven (Olanda). Partecipa a conferenze e workshop con
seminari riguardanti il suo lavoro di ricerca, pubblicato su riviste
internazionali.
E’ stata titolare di un assegno di ricerca presso le Università di Roma La
Sapienza e di Roma Tre. Ha avuto incarichi d’insegnamento per corsi di
Analisi Matematica presso le Facoltà di Ingegneria e Architettura e la Facoltà
di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali presso il Dipartimento di Fisica.
Ha svolto corsi di esercitazioni in Meccanica Razionale presso la Facoltà di
Ingegneria Aerospaziale e in Statistica e Probabilità presso la Facoltà di
Ingegneria Informatica e Ingegneria Gestionale e per il Dipartimento di
Biologia.
Eugenia Scotti
Nata a L’Aquila il 4 ottobre 1984, si è diplomata attrice nel 2006 presso
l’Accademia Nazionale d’Arte Drammatica “Silvio D’Amico” di Roma.
All’Accademia ha studiato recitazione con i Maestri Mario Ferrero, Rossella
Falk , Massimiliano Farau e Lorenzo Salvati. Nel dicembre 2004 è stata
finalista al “Premio delle Arti” con il monologo di Giulietta, tratto dall’atto
IV di “Romeo e Giulietta” di W. Shakespeare. Dal 2002 sta interpretando in
teatro diversi ruoli in opere di Jodorowskji, Shakespeare, Molière, Pinter,
Churchill, Brecht .
Nel 2006 è stata Giulietta in “Street Romeo and Juliet” da W. Shakespeare
con la regia di Giovanni Greco, spettacolo che ha aperto il Dyalog Festival di
Berlino e poi rappresentato al Teatro del Lido di Ostia.
Nel 2006 ha scritto e interpretato “Il Paese dei miei sogni”, testo di teatro di
narrazione che racconta la tragica odissea contemporanea di Talip, un
immigrato clandestino in Italia. Lo spettacolo è stato rappresentato con
successo in vari teatri e centri culturali ed è stato presentato e commentato
nel corso del programma di Rai due “Un mondo a colori”.

Compito di filosofia di Guido Sacchi - Liceo Vivona - 19/5/92
“Dal metodo al dubbio: Cartesio”
Pagina 6
Già nelle sue prime opere, le “Regulae ad directionem ingenii” e il
“Discorso sul metodo”, Cartesio annuncia i temi principali della sua
filosofia. Lo scopo che si prefigge è quello di dare un fondamento
metafisico alla scienza, cioè di risolvere e sviluppare quanto Galileo
(con l’immagine del mondo scritto in termini matematici) aveva solo
accennato. Con la ricerca di una scienza metafisica si giunge inoltre ad
una metafisica scientifica, ovvero ad una metafisica condotta con i
metodi della ricerca sperimentale, filosofia che Cartesio indica col
nome di mathesis universalis. Prima necessità per il francese è perciò
quella di svolgere una critica al principio di autorità e all’istruzione
tradizionale (i gesuiti del Collegio de La Flèche), bocciata come
esclusivamente formale non euristica. Altra istanza è quella di ridurre il
più possibile le regole della nuova scienza in modo da avere pochi saldi
punti di riferimento. Già nelle “Regulae” Cartesio introduce la sua
richiesta di ordine, spiega di sfruttare la terminologia scolastica con
nuovi significati, presenta per la prima volta il criterio di evidenza. Ma
è solo nel Discorso che il problema metodologico viene affrontato alla
radice, con l’enunciazione di quattro canoni, applicabili ad ogni
scienza: il primo è proprio quello dell’evidenza, secondo cui sono
accettabili solo conoscenze che appaiono alla mente chiare (non oscure
in nessuna delle loro parti) e distinte (separate da ogni altra idea). Il
criterio dell’evidenza è il fulcro del sistema conoscitivo cartesiano e
costituisce la logica esplicazione della metafisica soggettivistica del
filosofo francese. Il secondo criterio è quello dell’analisi, cioè la
scomposizione in problemi semplici (risolvibili ciascuno con l’evidenza
intuitiva) di ogni problema complesso; all’analisi si oppone la sintesi,
che consiste nel risalire dal particolare al generale. Variamente
interpretato, ma in ogni caso importante, è l’ultimo criterio, o
dell’enumerazione completa, che prescrive di controllare il
procedimento per evitare di saltare passaggi. Si tratta di regole
chiaramente ispirate dal sistema scientifico, e matematico in
particolare. Ma perché il metodo sia accettabile da tutti esso deve
ricevere un fondamento ontologico.
Un paradosso del movimento
Dove si scopre che a volte la matematica serve davvero...
Pagina 23
Il movimento dei corpi è uno dei fenomeni fisici che più ha interessato i
pensatori di tutti i tempi.
Quello che ti proponiamo qui di seguito, ad esempio, è un problema
suggerito da un famoso «rompicapo» ideato da Zenone di Elea, un filosofo
greco vissuto intorno al 500 a.C.
Il piè veloce Achille, che corre alla velocità di dieci metri al secondo, vuole
raggiungere una tartaruga che lo precede di cento metri e la cui velocità è di
cinque metri al secondo.
Dopo quanto tempo Achille raggiungerà la tartaruga?
È bene sottolineare che i valori delle due velocità sono scelti per comodità di
calcolo. Per Achille, la scelta è ragionevole: la sua velocità corrisponde a
quella di un centometrista moderno. La velocità della tartaruga è
chiaramente inverosimile; se credi, puoi sostituire questa tartaruga-missile
con un asino o un altro animale equivalente.
Si arriva per questa via a concludere che Achille raggiunge la tartaruga dopo
20 secondi: risulta dalla tabella, infatti, che la posizione occupata dai due
«atleti» a quell’istante è la stessa.
Ma si può anche seguire un diverso tipo di ragionamento, che è appunto quello
proposto da Zenone: Achille, per affiancare la tartaruga, deve anzitutto
raggiungere la posizione T1 occupata all'inizio dalla tartaruga; ma nel tempo in
cui egli compie questo tragitto, la tartaruga si sarà spostata fino a un altro
punto T2; e mentre il nostro raggiunge il punto T2 la caparbia avversaria sarà
arrivata in T3; e, ancora, quando Achille arriverà in T3 la tartaruga sarà in T4...
e così via, all'infinito,
Se si adotta questo tipo di ragionamento, sembra proprio di dover concludere
che la rincorsa di Achille non possa aver termine, ossia che Achille non possa
mai raggiungere la tartaruga, dato che ogni volta che il piè veloce arriva alla
posizione occupata precedentemente dalla tartaruga il dispettoso animaletto si
è comunque spostato più avanti!

Reichstag - Berlino
Cupola del Reichstag - Berlino
Pagina 22
Pagina 7
A tale scopo già nel Discorso Cartesio introduce il tema del dubbio. Si
tratta di un espediente utile anzitutto per eliminare le conoscenze
precedenti all’adozione del nuovo metodo (cioè rappresenta uno
sviluppo della critica al principio di autorità). Nella prima delle
Meditationes de prima philosophia il dubbio è affrontato direttamente:
esso deve essere metodico, cioè l’applicazione continua dello spirito
critico (eredità evidente della filosofia rinascimentale), ma anche
iperbolico, cioè spinto alle estreme conseguenze. La metodicità del
dubbio non esclude che si possano raggiungere certezze: non è un
dubbio scettico, ma una garanzia di approfondimento critico. Infatti
Cartesio giungendo alla certezza del Cogito, trova un punto saldo con
cui uscire dal dubbio, il quale tuttavia permane come continua revisione.
(…)
Numeri che i Pitagorici definirono “numeri triangolari”, “tetractys”: 1,3,6,10,15,...
I “numeri quadrati”: 1,4,9,16,...
Relazione tra i “numeri triangolari” e i
“numeri quadrati”.

I principi della matematica, di B. Russell
Pagina 8
Il metodo che useremo è analitico, ed il problema che ci siamo posti è filosofico,
nel senso, cioè, che tenteremo di passare dal complesso al semplice, dalle cose
dimostrabili alle premesse indimostrabili. Da un altro punto di vista, tuttavia,
molti nostri ragionamenti saranno differenti da quelli che normalmente si
definiscono filosofici. Saremo in grado, grazie al lavoro dei matematici, di
giungere alla soluzione della maggior parte dei problemi posti; tra i problemi
risolvibili esattamente, troveremo molti problemi che, in passato, costituivano le
tradizionali incertezze della disputa filosofica. La natura del numero,
dell'infinito, dello spazio, del tempo, del movimento, e della stessa deduzione
matematica, sono tutti problemi ai quali sarà data, in questo lavoro, una
soluzione dimostrabile con matematica certezza, una risposta che, tuttavia,
consiste nel ridurre questi problemi in problemi della logica pura. [...]
Grazie al progresso della logica simbolica, l'intera matematica può essere
rigorosamente e formalmente dedotta. Secondo questa affermazione, la
matematica include non solo l'aritmetica e l'analisi, ma anche la geometria,
euclidea e non euclidea, la dinamica razionale, ed un numero indefinito di altre
discipline non ancora nate o allo stato infantile. Il fatto che tutta la matematica
sia logica simbolica è una delle scoperte più importanti della nostra epoca; una
volta stabilita questa circostanza, ciò che resta dei principi della matematica
consiste nell'analisi della logica simbolica stessa.
La dottrina generale secondo la quale tutta la matematica consiste nella
deduzione per principi logici da principi logici è stata tenacemente sostenuta da
Leibniz, che insisteva sulla necessità di dimostrare gli assiomi e sulla possibilità
di definire tutti i concetti tranne alcuni fondamentali. Ma a causa in parte di una
logica errata, in parte della fede della necessità logica della geometria euclidea,
egli cadde in errori sostanziali nel tentativo di esporre un punto di vista che,
nelle sue linee fondamentali, ora sappiamo essere corretto.
Le proposizioni di Euclide, ad esempio, non discendono solo dai principi della
logica; e l'intuizione di questo fatto portò Kant alle sue innovazioni nella teoria
della conoscenza. Ma da quando è sorta la geometria non euclidea, è parso
chiaro che la matematica pura non deve risolvere il problema se gli assiomi e le
proposizioni di Euclide valgano o no nello spazio reale: si tratta di un problema
di matematica applicata, che deve essere risolto, nella misura in cui è possibile
una soluzione, con l'esperienza e l'osservazione. La matematica pura afferma
semplicemente che le proposizioni di Euclide discendono dagli assiomi di
Euclide - i. e. [id est = cioè] afferma l'esistenza di un'implicazione: ogni spazio
che ha certe proprietà ha tali e tal'altre proprietà. Pertanto, per quel che concerne
la matematica pura, le geometrie euclidee e non-euclidee sono ugualmente vere:
in ognuna di esse non si affermano altro che implicazioni.
Minareto di Malwiyya
Scala a spirale (Musei Vaticani)
Pagina 21

Conchiglia
Pagina 20
Considerando un
cono, un punto
che si muova
sulla sua
superficie con
movimento
rotatorio e
traslatorio lungo
l’asse zeta forma
un’elica conica
Il Saggiatore, di G. Galilei
Pagina 9
Parmi di scorgere nel Sarsi ferma credenza, che nel filosofare sia necessario
appoggiarsi all'opinioni di qualche celebre autore, sicché la mente nostra,
quando non si maritasse col discorso di un altro, ne dovesse
in tutto rimanere sterile e infeconda; e forse stima che la
Filosofia sia un libro e una fantasia di un uomo come
l’Iliade e l’Orlando Furioso, libri ne' quali la meno
importante cosa è che quello che vi è scritto sia vero.
Signor Sarsi la cosa non istà così. La Filosofia è scritta in
questo grandissimo libro, che continuamente ci sta aperto
innanzi agli occhi (io dico l'Universo) ma non si può
intendere se prima non s'impara a intender la lingua e
conoscer i caratteri ne' quali è scritto. Egli è scritto in
lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi ed altre figure geometriche,
senza i quali mezzi è impossibile intenderne umanamente parola; senza questi è
un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto.
La caduta dei gravi
da Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo, di G.Galilei
SALVIATI Io grandemente dubito che Aristotele non sperimentasse mai quanto
sia vero che due pietre, una più grave dell’altra dieci volte, lasciate nel
medesimo instante cader da un’altezza di cento braccia, fusser talmente
differenti nelle lor velocità, che all'arrivo della maggior in terra, l'altra si
trovasse non avere néanco sceso dieci braccia.
SIMPLICIO Si vede pure dalle sue parole ch'ei mostra d'haverlo sperimentato,
perché ei dice: Veggiamo il più grave; hor quel vedersi accenna l'haverne fatta
l'esperienza.
SAGREDO Ma io, Sig. Simplicio, che n'ho fatto la prova, vi assicuro che una
palla d'artiglieria, che pesi cento, dugento e anco più libbre, non anticiperà di un
palmo solamente l'arrivo in terra della palla d'un moschetto, che ne pesi una
mezza, venendo anco dall'altezza di dugento braccia.
SALVIATI Ma, senz'altre esperienze, con breve e concludente dimostrazione
possiamo chiaramente provare, non esser vero che un mobile più grave si
muova più velocemente d'un altro men grave, intendendo di mobili dell’istessa
materia, ed in somma di quelli de i quali parla Aristotele. Però ditemi, Sig.
Simplicio, se voi ammettete che di ciascheduno corpo grave cadente sia una da

natura determinata velocità, sì che accrescergliela o diminuirgliela non si
possa se non con usargli violenza o opporgli qualche impedimento.
Pagina 10
SIMPLICIO Non si può dubitare che l'istesso mobile nell'istesso mezzo
habbia una statuita e da natura determinata velocità, la quale non se gli possa
accrescere se non con nuovo impeto conferitogli, o diminuirgliela salvo che
con qualche impedimento che lo ritardi.
SALVIATI Quando dunque noi havessimo due mobili, le naturali velocità de i
quali fussero ineguali, è manifesto che se noi congiugnessimo il più tardo col
più veloce, questo dal più tardo sarebbe in parte ritardato, ed il tardo in parte
velocitato dall'altro più veloce. Non concorrete voi meco in quest'opinione?
SIMPLICIO Parmi che così debba indubitabilmente seguire.
SALVIATI Ma se questo è, ed è insieme vero che una pietra grande si muova,
per esempio, con otto gradi di velocità, ed una minore con quattro, adunque,
congiugnendole amendue insieme, il composto di loro si moverà con velocità
minore di otto gradi: ma le due pietre, congiunte insieme, fanno una pietra
maggiore che quella prima, che si moveva con otto gradi di velocità: adunque
questo composto (che pure è maggiore che quella prima sola) si muoverà più
tardamente che la prima sola, che è minore; che è contro alla vostra
supposizione. Vedete dunque come dal suppor che 'l mobile più grave si
muova più velocemente del men grave, io vi concludo, il più grave muoversi
men velocemente.
SIMPLICIO Io mi trovo avviluppato, perché mi par pure che la pietra minore
aggiunta alla maggiore le aggiunga peso, e, aggiugnendole peso, non so come
non debba aggiugnerle velocità, o almeno non diminuirgliela.
SALVIATI Qui commettete un altro errore, Sig. Simplicio, perché non è vero
che quella minor pietra accresca peso alla maggiore.
SIMPLICIO Oh, questo passa bene ogni mio concetto.
SALVIATI Non lo passerà altrimente, fatto ch'io v'habbia accorto
dell'equivoco nel quale voi andate fluttuando: però avvertite che bisogna
distinguere i gravi posti in moto da i medesimi costituiti in quiete. Una gran
pietra messa nella bilancia non solamente acquista peso maggiore col
soprapporgli un'altra pietra, ma anco la giunta di un pennecchio di stoffa la
farà pesar più quelle sei o dieci once che peserà la stoppa; ma se voi lascerete
liberamente cader da un'altezza la pietra legata con la stoppa, credete voi che
nel moto la stoppa graviti sopra la pietra, onde gli debba accelerar il suo moto,
o pur credete che ella la ritarderà, sostenendola in parte? Sentiamo gravitarci
Dal Canto XVII del Purgatorio
Noi eravam dove più non saliva
la scala sù, ed eravamo affissi,
pur come nave ch'a la piaggia arriva.
E io attesi un poco, s'io udissi
alcuna cosa nel novo girone;
poi mi volsi al maestro mio, e dissi:
«Dolce mio padre, dì, quale offensione
si purga qui nel giro dove semo?
Se i piè si stanno, non stea tuo sermone».
Ed elli a me: «L'amor del bene, scemo
del suo dover, quiritta si ristora;
qui si ribatte il mal tardato remo.
Ma perché più aperto intendi ancora,
volgi la mente a me, e prenderai
alcun buon frutto di nostra dimora».
«Né creator né creatura mai»,
cominciò el, «figliuol, fu sanza amore,
o naturale o d'animo; e tu 'l sai.
Lo naturale è sempre sanza errore,
ma l'altro puote errar per malo obietto
o per troppo o per poco di vigore.
Mentre ch'elli è nel primo ben diretto,
e ne' secondi sé stesso misura,
esser non può cagion di mal diletto;
ma quando al mal si torce, o con più cura
o con men che non dee corre nel bene,
contra 'l fattore adovra sua fattura.
Quinci comprender puoi ch'esser convene
amor sementa in voi d'ogne virtute
e d'ogne operazion che merta pene.
Or, perché mai non può da la salute
amor del suo subietto volger viso,
da l'odio proprio son le cose tute;
e perché intender non si può diviso,
e per sé stante, alcuno esser dal primo,
da quello odiare ogne effetto è deciso.
Resta, se dividendo bene stimo,
che 'l mal che s'ama è del prossimo; ed esso
amor nasce in tre modi in vostro limo.
E’ chi, per esser suo vicin soppresso,
spera eccellenza, e sol per questo brama
ch'el sia di sua grandezza in basso messo;
è chi podere, grazia, onore e fama
teme di perder perch'altri sormonti,
Dante Alighieri
Pagina 19
onde s'attrista sì che 'l contrario ama;
ed è chi per ingiuria par ch'aonti,
sì che si fa de la vendetta ghiotto,
e tal convien che 'l male altrui impronti.
Questo triforme amor qua giù di sotto
si piange; or vo' che tu de l'altro intende,
che corre al ben con ordine corrotto.
Ciascun confusamente un bene apprende
nel qual si queti l'animo, e disira;
per che di giugner lui ciascun contende.
Se lento amore a lui veder vi tira
o a lui acquistar, questa cornice,
dopo giusto penter, ve ne martira.
Altro ben è che non fa l'uom felice;
non è felicità, non è la buona
essenza, d'ogne ben frutto e radice.
L'amor ch'ad esso troppo s'abbandona,
di sovr'a noi si piange per tre cerchi;
ma come tripartito si ragiona,
tacciolo, acciò che tu per te ne cerchi».

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La struttura del Purgatorio
Il Purgatorio ha la forma di un cono, con il vertice in alto. La base del monte
costituisce l’Antipurgatorio. Il Purgatorio è diviso in sette ripiani, avente dal
lato interno la parete a piombo sul monte, e dal lato esterno il vuoto. Le anime
dei purganti giungono in una barchetta guidata da un angelo.
Nell’Antipurgatorio stanno i negligenti, coloro che si sono pentiti in punto di
morte. Nel Purgatorio le colpe sono classificate secondo i sette peccati
capitali: male nei confronti del prossimo (superbi, invidiosi, iracondi), scarso
amore verso Dio (accidiosi), troppo amore per i beni materiali (avari, golosi,
lussuriosi). In cima al Purgatorio è situato il Paradiso.
Pagina 11
su le spalle mentre vogliamo opporci al moto che farebbe quel peso che ci sta
addosso; ma se noi scendessimo con quella velocità che quel tal grave
naturalmente scenderebbe, in che modo volete che ci prema e graviti sopra?
Non vedete che questo sarebbe un voler ferir con la lancia colui che vi corre
innanzi con tanta velocità, con quanta o con maggiore di quella con la quale
voi lo seguite? Concludete pertanto che nella libera e naturale caduta la minor
pietra non gravita sopra la maggiore, ed in consequenza non le accresce peso,
come fa nella quiete.
SIMPLICIO Ma chi posasse la maggior sopra la minore?
SALVIATI Le accrescerebbe peso, quando il suo moto fusse più veloce: ma
già si è concluso che quando la minore fusse più tarda, ritarderebbe in parte la
velocità della maggiore, tal che il lor composto si moverebbe men veloce,
essendo maggiore dell'altra; che è contro al vostro assunto. Concludiamo per
ciò, che mobili grandi e i piccoli ancora, essendo della medesima gravità in
spezie, si muovono con pari velocità.
SIMPLICIO Il vostro discorso procede benissimo veramente: tuttavia, mi par
duro a credere che una lagrima piombo si abbia a muover così veloce come
una palla d'artiglieria.
SALVIATI Voi dovevi dire, un grano di rena come una macina da guado. Io
non vorrei, Sig. Simplicio, che voi faceste come molt'altri fanno, che,
divertendo il discorso dal principale intento, vi attaccaste a un mio detto che
mancasse dal vero quant'è un capello, e che sotto questo capello voleste
nasconder un difetto d'un altro, grande quant'una gomona da nave. Aristotele
dice: “Una palla di ferro di cento libbre, cadendo dall'altezza di cento braccia,
arriva in terra prima che una di una libbra sia scesa un sol braccio”; io dico
ch'ell'arrivano nell'istesso tempo; voi trovate, nel farne esperienza, che la
maggiore anticipa due dita la minore, cioè che quando la grande percuote in
terra, l'altra ne è lontana due dita: hora vorreste dopo queste due dita
appiattare le novantanove braccia d'Aristotele, e parlando solo del mio
minimo errore, metter sotto silenzio l'altro massimo.

Il ragionamento di Newton
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Già nel XVII secolo Newton spiegava come sia possibile far girare un satellite
intorno alla Terra. Seguiamo il suo ragionamento (fig. 1). Supponiamo
di trovarci su una montagna molto alta e di sparare un proiettile con un potente
cannone.
La gittata sarà di qualche chilometro. Ripetiamo il lancio con velocità via via
crescenti; la traiettoria del proiettile si incurva sempre di meno ed esso cade
sempre più lontano (D, E, F, ...). Se il proiettile ha una velocità sufficientemente
elevata, non ricadrà sulla Terra. Potrà, invece, entrare in orbita e diventare
un satellite terrestre.
Scala a chiocciola elicoidale
Considerando un cilindro, un punto che
si muova sulla sua superfice con movimento
rotatorio e traslatorio lungo
l’asse zeta forma un’elica cilindrica
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Struttura elicoidale a doppio
filamento del DNA

Grafite Segmento della grafite
Fiocco di neve
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Dal Discorso al Convegno di Verona, ottobre 2006
di S.S. Benedetto XVI
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“Come ho scritto nell'Enciclica “Deus caritas est”, all'inizio dell'essere
cristiano - e quindi all'origine della nostra testimonianza di credenti - non
c'è una decisione etica o una grande idea, ma l'incontro con la Persona di
Gesù Cristo, "che dà alla vita un nuovo orizzonte e con ciò la direzione
decisiva". La fecondità di questo incontro si manifesta, in maniera
peculiare e creativa, anche nell'attuale contesto umano e culturale,
anzitutto in rapporto alla ragione che ha dato vita alle scienze moderne e
alle relative tecnologie. Una caratteristica fondamentale di queste ultime
è infatti l'impiego sistematico degli strumenti della matematica per poter
operare con la natura e mettere al nostro servizio le sue immense energie.
La matematica come tale è una creazione della nostra intelligenza: la
corrispondenza tra le sue strutture e le strutture reali dell’universo - che è
il presupposto di tutti i moderni sviluppi scientifici e tecnologici, già
espressamente formulato da Galileo Galilei con la celebre affermazione
che il libro della natura è scritto in linguaggio matematico - suscita la
nostra ammirazione e pone una grande domanda. Implica infatti che
l'universo stesso sia strutturato in maniera intelligente, in modo che esista
una corrispondenza profonda tra la nostra ragione soggettiva e la ragione
oggettivata nella natura. Diventa allora inevitabile chiedersi se non debba
esservi un'unica intelligenza originaria, che sia la comune fonte dell’una e
dell’altra. Così proprio la riflessione sullo sviluppo delle scienze ci
riporta verso il Logos creatore. Viene capovolta la tendenza a dare il
primato all’irrazionale, al caso e alla necessità, a ricondurre ad esso anche
la nostra intelligenza e la nostra libertà. Su queste basi diventa anche di
nuovo possibile allargare gli spazi della nostra razionalità, riaprirla alle
grandi questioni del vero e del bene, coniugare tra loro la teologia, la
filosofia e le scienze, nel pieno rispetto dei loro metodi propri e della loro
reciproca autonomia, ma anche nella consapevolezza dell’intrinseca unità
che le tiene insieme. E’ questo un compito che sta davanti a noi,
un'avventura affascinante nella quale merita spendersi, per dare nuovo
slancio alla cultura del nostro tempo e per restituire in essa alla fede
cristiana piena cittadinanza. Il "progetto culturale" della Chiesa in Italia è
senza dubbio, a tal fine, un’intuizione felice e un contributo assai
importante.
Cosi arriviamo alla persona umana.

La ruota
1) Esempio di ruota di Ur (Mesopotamia) da un bassorilievo del
2500 a.C.: è la più antica raffigurazione della ruota;
2) ruota egizia del XVI a.C.;
3) ruota di Mercurago (Italia settentrionale) del sec. XV a.C., la più
antica rinvenuta in Europa;
4) ruota etrusca del sec. V a.C.;
5) ruota di legno per carro;
6) una delle prime ruote per automobile;
7) ruota di locomotiva;
8) ruota di bicicletta;
9) ruota per autotreno.
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Diamante
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