شروحات الوحدة الثانية

دروس
الرياضيات في محوسبة
توجيهي عشر الثاني
االشتقاق : الوحدة الثانية
األستاذ : خضر عساف األردن
- 2015 عمان –
للتواصل tawjihi@jordan-math.com:
االهداء،‏
بسم اهلل الرمحن الرحيم
واهلل ويل التوفيق
1

الوحدة
الثانية : االشتقاق
1w
2w
=
1s
2s
sr i sr
i
s r
sr
1 2
1s
2s
w
=
s
s r
s r
=
w
s
مالحظات :
متوسط التغير =
/
المشتقة األولى : ق ‏)س(‏ =
= ميل المستقيم كما نعرف
w]
s]
=
1 2
s
1 2
s
0 s
1 2s
/
ق ‏)س ) 1 =
نظرية : إذا كان ق قابال لالشتقاق عند نقطة فإن ق متصال عند تلك
نظرية : إذا كان ق غبر متصل عند نقطة فإن ق غير قابل لالشتقاق عند تلك النقطة
( غير مبرهنة )
قواعد االشتقاق :
/
1( ق ‏)س(‏ = ج ، ج ح ق
ن
ن
ق ‏)س(‏ = ن س
2( ق ‏)س(‏ = س
/
ه ‏)س(‏ ، ح ، ه ‏)س(‏ قابل لالشتقاق ق ه ‏)س(‏
النقطة ( مبرهنة )
h
‏)س(‏ = صفر ( مبرهنة )
1 –
/
( مبرهنة )
ص
/
‏)س(‏ =
h
( مبرهنة )
3 ‏)س(‏ ... ±
2
‏)س(‏ ( مبرهنة )
/
/ ‏)س(‏ ... ±
3
/
2 ‏)س(‏
، ن
h
3( ق ‏)س(‏ =
4( ق ‏)س(‏ = ل‎1‎ ‏)س(‏ ل±‏ ‏)س(‏ ل±‏ لن ‏)س(‏ ، ل قابل لالشتقاق
ل ن
ق ‏)س(‏ = ل ل ل±‏
5( ق ‏)س(‏ = ل ‏)س(‏ × م ‏)س(‏ ، ل ‏،م اقترانان قابالن لالشتقاق
ق ‏)س(‏ = ل ‏)س(‏ م ‏)س(‏ + ل م ‏)س(‏
/
/
/
1 ‏)س(‏ ±
‏)س(‏ ×
×
sg
6( ق ‏)س(‏ =
sl
s lsg s gsl
/
2
ق ‏)س(‏ =
sl
، ن
h
)2 ق ‏)س(‏ = ، h
sg
s
gh
/
2
ق ‏)س(‏ =
sg
، ل ، م قابالن لالششتقاق ، م ≠ صفر
/
ن
نتيجة : 1( ق ‏)س(‏ = س
األعداد الصحيحة السالبة ق
ح ، ل ‏)س(‏ قابل لالشتقاق
ن-‏ 1
‏)س(‏ = ن س
المشتقات العليا : وحسب منهاج التوجيهي المطلوب حتى المشتقة الرابعة
إعلم :
)4( ///
/// //
// /
مشتقة ق = ق ، ومشتقة ق = ق ، ومشتقة ق = ق
/
/
2

س‎2‎
س‎4‎
مشتقة
//
المشتقة األولى = المشتقة الثانية = ق ‏)س(‏ =
)4(
مشتقة المشتقة الثالثة = المشتقة الرابعة = ق ‏)س(‏ =
2
w ]
2
s ]
4
w ]
4
s ]
والمطلوب منا حتى المشتقة الرابعة
مشتقات االقترانات الدائرية :
( مبرهنة )
‏)س(‏ = جتا س 1( ق ‏)س(‏ = جا س 2( ق ‏)س(‏ = جتا س
( مبرهنة على قاعدة القسمة )
س ‏)س(‏ = قا 3( ق ‏)س(‏ = ظاس ( مبرهنة على قاعدة القسمة )
س قتا 4( ق ‏)س(‏ = ظتاس
‏)س(‏ = قا س ظا س ( مبرهنة على قاعدة القسمة )
5( ق ‏)س(‏ = قاس قتا س ظتا س ( مبرهنة على قاعدة القسمة )
6( ق ‏)س(‏ = قتاس
‏)س(‏ = - جا س ( مبرهنة )
2
2
‏)س(‏ = -
‏)س(‏ = -
ق /
ق /
ق /
ق /
ق /
ق /
u]
s]
×
w]
u]
=
w]
s]
=
/
قاعدة السلسلة :
1( إذا كان ص = ق ‏)ع(‏ ، ع = م ( س )
ص
/
/
/
2( ( ق ه ه ) ‏)س(‏ = ق ‏)ه ‏)س((‏ × ه ‏)س(‏
االشتقاق الضمني :
عليك أن تعرف : أن مشتقة ص
أن مشتقة س ص = س ص
/
= ‎2‎ص ص
/
2
وإن مشتقة ‏)س ص ) = س
بالنسبة إلى س
+ ص بالنسبة إلى س
s]
k]
+ ص
w]
k]
بالنسبة إلى ن
4
2
األمثلة : أوال : على متوسط التغير
1( إذا كان ه ‏)س(‏ = 2 ق ‏)س(‏ ، وكان متوسط تغير االقتران ق عندما تتغير س من :
يساوي )8( فما متوسط تغير االقتران ه عندما تتغيرس من ← 3 1
2( صفيحة معدنية مربعة الشكل تتمدد بالحررارة محافظة على شكلها ، إذا زاد طول ضلعها
) سم ، مقدار التغير في مساحتها بال سم
3( إذا كان متوسط تغير االقتران ق ‏)س(‏ في الفترة [
جد قيمة ق (
4( إذا كان ق ‏)س(‏ = ، فإن ميل القاطع لمنحنى ق ‏)س(‏ المار بالنقطتين
- 4 ] 1 ، = 3 ، وكان ق )1( = 2
2
،h في الفترة [ ب ، 2 ] = 4 ،
-
2
3 ← 1
من )5( سم إلى )1, 5
) 4 -
2
1 –
( 2 ، ق ))2( ، ( - 1 ، ق)-‏ ))1
5( إذا كان متوسط تغير االقتران ق ‏)س(‏ =
جد قيمة ب
6( في الشكل المجاور المستقيم ل قاطع لمنحنى االقتران ق ‏)س(‏
جد متوسط تغير االقتران ق عند نقط التقاطع
7( إذا كان متوسط تغير االقتران ق ‏)س(‏ في الفترة
ق)س(‏
ل
1 2 3
[ 1 ]3 ، = 5 ، وكان ق )1( × ق )3( = 12
س
3

س‎4‎
=
1
s
r
وكان ه ‏)س(‏ =
، جد متوسط تغير االقتران ه ‏)س(‏ في الفترة نفسها
8( متوسط تغبر االقتران ق ‏)س(‏ = │3 – ‏│عندما تتغير س من يساوي
9( إذا كان ق ‏)س(‏ كثير حدود من الدرجة ( ن ) وكان متوسط تغير االقتران ق ‏)س(‏ دائما 3
جد قيمة ( ن )
10( إذا تحرك جسيم في المستوى البياني على منحنى االقتران ق ‏)س(‏ من النقطة ل)‏‎2‎
إلى النقطة م ( 0 ، ق )0(( ، وكانت سرعته المتوسطة بين النقطتين ل ، م = 5 سم ‏/د ، جد ق)‏‎0‎‏(‏
4
3
) 3 - ،
4 ← 1 –
3r 1
r 1
r 3r
=
31
13
1
r 3r2
3r2 1
r2
16 = 8 × 2 =
=
ه)س(‏ =
13
31
2
2 2
)2 التغير في المساحة = Δ ص = ( 1 ) 5 , – ( 5 ) = 01 1 , سم
4
r 2
4 r 1
r
= 3 ق 3 = ( - )4 = - 13
)3
5
4
1
6 1 r 2
r
2 = =
3 3
f 2 f 24
h 2 f4 h 16
fr
2
r
=
=
=
= 4 )5
2
f
2
f 2
f
= 4 - 4 2( + ب ) ب = - 3
-
3
r 1
r
3
r1
r2
الحل : مالحظة
‎1‎‏(متوسط تغير
4( ميل القاطع = متوسط تغي االقتران =
6( متوسط تغير االقتران ق = ميل القاطع = ظل الزاوية المنفرجة = - ظل الزاوية الحادة =
1
1
1
r 3
r
=
1
3
5
12
6 7 13
= =
5 5
1
r 3r
= 5 )7
13
1 1 3r 1
r
- = × 5 - =
×
12 3
r1
r 2
1 r 4
r
5
8( متوسط تغير االقتران ق ‏)س(‏ =
متوسط االقتران ه ‏)س(‏ =
9( بما أن ق ‏)س(‏ كثير حدود ومتوسط تغيره ثابت ، إذا االقتران ق خطي ، ن = 1
3 0 r
2
10( 5 = السرعة المتوسطة = متوسط تغير االقتران =
ق )0( + 3 = - 10 ق )0( = - 13
ثانيا : تعريف المشتقة
4

س‎3‎
ق‎2‎
س‎3‎
w]
s]
h
sr i sr
=
i
s r
1 2
5
w
=
s
s r
1s
2s
1 r sr
7 =
1
s
s
3 r sr
3
s
3rs sr3
3
s
s
sr
1
r
1
s
s
3 1
r
s3
s
0 s
1 2s
+ ‎3‎س ، وكانت
/
األمثلة : تذكر ق ‏)س(‏ =
/
ق ‏)س ) 1 =
2
1( إذا كان ق ‏)س(‏ =
سh
3
2( إذا كان ق ‏)س(‏ = س ، جد
s
‏،جد قيمة
/
، ق )3( = 4 ، جد
، جد
2
)3 إذا كان ق )3( = 5
4( إذا كان ق ‏)س(‏ = 1 –
/
)5 إذا كانت ق )3( = 9 ، ق )1( = 5 ، جد
6( جد معدل تغير مساحة المربع بالنسبة إلى محيطه ، عندما يكون طول محيطه = 24 سم
، س ≠ 2
│
s
s2
/
7( استخدم تعريف المشتقة األولى إليجاد ق ‏)س(‏ لالقتران ق ‏)س(‏ =
8( استخدم تعريف المشتقة األولى للبحث في قابلية االقتران ق ‏)س(‏ = 2 + │2
لالشتقاق عند س = 2
2
9( استخدم تعريف المشتقة األولى إليجاد ق ‏)س(‏ لالقتران ق ‏)س(‏ = س
10( استخدم تعريف المشتقة األولى إليجاد ق ‏)س(‏ لالقتران ق ‏)س(‏ =
س–‏
+
1
s2
1
3 s5
/
/
/
11( استخدم تعريف المشتقة األولى إليجاد ق ‏)س(‏ لالقتران ق ‏)س(‏ =
12( إذا كان ق ‏)س(‏ قابال لالشتقاق ، اثبت أن :
‏)س(‏
/
i sr i sr
=
i
+s
13( إذا كان ق ‏)س(‏ =
/
14( إذا كان ق ‏)س(‏ = س جا س ، جد ق (
/
1
، جد ق ‏)س(‏ باستخدام تعريف المشتقة األولى
s
) باستخدام تعريف المشتقة األولى
2
1 r s
/
r
= 7 = ق )1( = ‎2‎أ + 3 أ = 2
1
s
27 1
/
3r sr
13 = )1(
s
3
s
2
ق≠‏
s
الحل :
s
)1
)2

s
3rs 3r3 3r3 sr3
=
3
s
s 33r
/ )3( – ق ))3(
=
3
s
=
2 p
16
=
،
م =
p
4
ق‎3‎
1 =
35
13
s u
=
s 2 u 2
s
u
s u2
s 2u 2s u
2
/
‏)س(‏ = 6
=
s
/
3rs sr3
)3
3
s
s
3r sr3
+
s 3
s
7 = 5 – 12 =
sr
1
r
=
)4
1
s
s
3 1
r
)5
s3
s
ق-‏
/
بما أن ق )3( موجودة =
2
6( طول الضلع = س ، م = س ، المحيط = ‎4‎س = ح س =
، الحظ أن ق متصل عند س = 2
ق
موجودتان وليس شرطا أنهما متساويتان
2 r sr
=
2
s
s2
1 - =
2
s
s3 2 s u3
2 u
s
u
s
=
s
2
p
3 =
8
/
م =
sr
U
r
/
=
7( ق ‏)س(‏ =
s
u
su s2 su u2
=
s 2u 2s u
2 2
=
s2
s 2u 2
2
=
2
/
ق
/
ق
2s 4
2
s
)8 ق)س(‏ = س ، س < 2
، س = 2
2
– 4 س ، س > 2
/
s
2
s
2
s
2
/
، 1 =
2 /
s
ق
ق≠‏ ق
ق(‏
)2( غير موجودة
sr
U
r
=
s
u
/ ‏)س(‏ =
9
6

=
s u3 s us u
s
u
=
s3 u3 2 s
2 u
= ‎2‎س + 3
s
u
s u3 s u
s
u
1
s2 1
u2 sr
U
r
/
=
10( ق ‏)س(‏ =
s
u
s
u
1
s2 1
u2
=
s u1 s2 1
u2
1
2
=
1
s2 1
s2 1
u2
1 1
3 s5 3 u5
sr
U
r
/
=
=
)11 )10 ق ‏)س(‏ =
s
u
s
u
= بالضرب بالمرافق
= بالضرب بالمرافق
=
3 s5 3 u5
s u3 s5 3 u5
3 s5 3 u5
s u3 s5 3 u5 3 s5 3 u5
5
3 s5 3 u5 3 s5 3 u5
=
5
- =
3
3 s52
i sr i sr
=
)12
i
i sr sr sr i sr
i
i sr sr
=
i
sr i sr
+
i
7

=
, sr sr
/
- ه = و ق ‏)س(‏ +
,
/
/
s r , s r
/
= ق ‏)س(‏ + ق ‏)س(‏ =
ق ‏)س(‏ +
,
نفرض أن
‏)س(‏ ق‎2‎
1 1
s u sr
U
r
/
=
s u
+
=
13( ق ‏)س(‏ =
s
u s
u
s
u
u
s
s
u
=
+
s
usu
s u s u
1
1 1
1
+ = +
2
s s 2 su s u
s r
s
r
2
/
=
2 2
=
)14 ق ( ) =
s
s
2
2
2
2
2
= ه
=
s s s
2 2 2 2
1
s
2 2
s
2
s
2 2
=
، نفرض أن
1= 1 + 0
1 +
= 1+
2
+
=
2
s
2
s
2
s
s
s 2 s
2
2
1 1
s
s
2s
2 2 2 2
i2
×
s
2
1
2 2 2 2
2
2
2
2
8

س‎6‎
س‎3‎
h
االتصال واالشتقاق ثالثا
‏)أ(‏ موجودة ق متصل عنند س = أ
موجودة ، ق
2( ق متصل عند س = أ ق ‏)أ(‏ غير موجودة
3( ق غير متصل عند س = أ
موجودة ، لكن ليس شرطا أنهما متساويتان
s
2
)1(
/
/
h
/
ق
: مالحظات
/
/
1( ق
األمثلة :
أ(‏ إذا كان ق ‏)س(‏ = جد ق
ب(‏ إذا كان ق ‏)س(‏ = ‏]س[‏ ، ق ‏)س(‏ = ‏│س│،‏ ق ‏)س(‏ = س ‏│س │، ق ‏)س(‏ =
أي من االقترانات اآلتية يعتبر مثاال القتران متصل وغير قابل لالشتقاق
ج(‏ برهن إنه إذا كان االقتران ق ‏)س(‏ قابال لالشتقاق عند س = أ فإنه يكون متصال عند س = أ
w]
، عند س = 2
s]
د(‏ إذا كان ص = ، جد
ه(‏ إذا كان ل ‏)س(‏ = ( س-‏ أ(‏ × ق ‏)س(‏ ، ق ‏)س(‏ اقتران متصل عند س = أ ، استخدم تعريف المشتقة
في اثبات أن ق ‏)أ(‏ = ل ‏)أ(‏ ، حيث أ ثابت
5 = ق ‏)س(‏
1 s
/
ق ‏)س(‏ = 4 ،
1 s
الحل :
أ(‏ بما أن
ق ‏)س(‏ غير موجودة
1 s
ق ‏)س(‏ غير متصل عند س = 1 ق ‏)س(‏ غير قابل لالشتقاق عند س = 1
ب(‏ ق ‏)س(‏ متصل وغير قابل لالشتقاق هو ق ‏)س(‏ = ‏│س│،‏
= ل ، ل ح ( اي موجودة )
hr
sr
h
s
× ( س - )h = ق ‏)س(‏
h
s
ق ‏)س(‏ = ق )h(
/
ج(‏ المعطيات : ق )h( =
h
s
المطلوب :
hr
sr
h
s
hr
sr
× ( س
(
h
s h
hr
sr
موجودة ،
s h
s
البرهان : الحظ أن
( ق ‏)س(‏
– ق )h( ، بأخذ النهاية للطرفين
– ق ))h(
h( = صفر ( بالتعويض ألنه كثير حدود (،
صفر = ))h
الطرف األيمن = ل × صفر = صفر
- ق (
h
s
h
s
= ))h
( س -
))h
h
-
ق )h( = ق )h( ( ألن ق )h( ثابت )
- ق (
h
s
s
والطرف األيمن =
( ق ‏)س(‏
( ق ‏)س(‏
h
س < 1
س = 1
س > 1
،
،
2 –
، 2 +
5
[ س + 2 ] 0 , ،

ق ‏)س((‏
=
s
ق ‏)س(‏ = ≠2 7 =
hrh h srh s
h
s
s
( ألن
h
s
د(‏ بما أن ق ‏)س(‏ غير متصل عند س = 2
=
h
/
ق )2( غير موجودة
ق ‏)س(‏ = ق (
h( ( ألن ق ‏)س(‏ متصل
hg
sg
h
s h s
srh
s
s
=
h
s
/
ه(‏ ل )h( =
قواعد االشتقاق رابغا : فهم القواعد والنتائج فهما جيدا
األمثلة : ضع دائرة حول رمز اإلجابة الصحيحة
h
s
2
s = فإن ق‎3(‏(‏ ، 2
3
1
أ(‏
1( إذا كان ق)س(‏ = س
ب(‏
ج(‏
د(‏ غير موجودة
0
2
=
3
– ‎2‎س|،‏ فإن ق
2( إذا كان ق)س(‏ = |3
3
1
0
أ(‏ – 2
ب(‏
ج(‏
د(‏
1
s
3
3
s
3( إذا كان ق)س(‏ =
أ(‏
ب(‏
/
، جد ق )3.5( إن وجدت
ج(‏ – 4
د(‏ غيرموجودة
0
1
2
4( إذا كان ق)س(‏ = س ‏|س|‏ فإن ق‎1(‏(‏ =
2
3
2 –
أ(‏ – 3
ب(‏
ج(‏
د(‏
ه(‏ غير موجودة
=
w]
s]
، فإن
2 s
s1
5( إذا كان ص =
2
s3 s2
s1
2
2
2
s s2
s1
2
s2
s1
أ(‏
ب(‏
ج(‏
د(‏ غيرذلك
)6 إذا كان ق)س(×ه)س(‏ = ،1 وكان ه )1( = ،3 ه‎1(‏(‏ = 5
أ(‏
ب(‏
ج(‏
فما قيمة ق‎1(‏(‏ =
5
3
د(‏
5
9
5
9
4
9
5
، وكانت ه‎3(‏(‏ = 4، ق)‏‎3‎‏(‏ = 1، فما قيمة ق‎3(‏(‏ =
si
7( إذا كان ق)س(‏ =
10

4
5
3
5
3
5
4
5
أ(‏
ب(‏
ج(‏
د(‏
5
=
2
8( إذا كان ق)س(‏ = [ س[‏ × ‏│س│،‏ حيث س )– 3، –
2(، فإن ق
2 –
0
3 –
أ(‏ 3
ب(‏
ج(‏
د(‏
،5–(
9( إذا كان ق)س(‏ = ‏]س+‏‎7‎‏[‏ –
‏]س[‏ + ‏]‏‎2‎س[‏ حيث س
–1( فجد ق‎3–(‏(‏
0
2
5
2
5
أ(‏
ب(‏
ج(‏
غير موجودة د(‏
= )0.8(
04 s2
10( إذا كان ق)س(‏ =
فجد ق
2
1
أ(‏ 0
ب(‏
ج(‏
د(‏ غير موجودة
/
/
، ل ( 1 ) = - 9 ، فجد قيمة ق ( 1 ) :
3 - = )
2 s
sg
11( إذا كان ق ‏)س(‏ =
وكان ل)‏ 1
1
3
1
3
-
5
3
-
5
3
أ(‏
ب(‏
ج(‏
د(‏
11( د
h
)9 د )10
h
)8
h
)3 ج )4 ج )5 ب 6 ‏(ب )7
الحل : الموضوعي
h
)1 د )2
المقالي :
3
H
1
sH 3
12( إذا كان ق)س(‏ =
حيث س ≠
وكانت ق‎1(‏(‏ = 2 جد قيمة الثابت أ
[ س + 2 ] 0 , ،

ب‎2‎
ب‎2‎
2 =
2
h
h3
0 = 18 +
9
2
=
h
= )1(
/
ق
2
h
sh 3
h13 + 2
‎12‎س + 18 + h2 h2 2
، 2 - =
h
المقالي :
/
12( ق ‏)س(‏ =
0 = ) 2 + h( ) 9 + h2 (
=
h
-
، تم بذلك إعادة التعريف
، 1 < س < 8 1 ,
، 8 1 , س≥‏ < 2
1
2
13( ق ‏)س(‏ =
، 2 س≥‏ ≤ 4
‎3‎س + 1
1 ,
‏)س(‏ = ألن ق غير متصل عند س = 8
ألن ق غير متصل عند س = 2
، 1 < س < 8 1 ,
14( بما إن ق قابل لالشتقاق عند س = 2 1( ق متصل عند س = 2
0
غير موجودة ، س = 8 1 ,
، 8 1 , س>‏ < 2
0
غير موجودة ، س = 2
، 2 س>‏ < 4
3
/
ق
+ 10 = 6 –
+
h
ق ‏)س(‏ 4
s
ق)س(‏ =
s
4 =
h
16 =
h
4
11
+ ب = 5 ب = -
h
4 )2(
/
ق
= )2(
/
ق
)2
المشتقات العليا خامسا : وحسب منهاج التوجيهي المطلوب حتى المشتقة الرابعة
إعلم :
)4( ///
/// //
// /
مشتقة ق = ق ، ومشتقة ق = ق ، ومشتقة ق = ق
األمثلة :
1( إذا كان
أ(‏
ن
ق)س(‏ = س ،
ن – 3
ن عدد طبيعي وكانت ق‏)س(‏ = 210 س ، فما قيمة ن
5
7
ب(‏ 10
ج(‏
د(‏
12
12

)4 ؟(‏
R
r
– ،1 ق‎4(‏(‏ = ،2
إذا كان ق)‏‎4‎‏(‏ = 5، ق‎4(‏(‏ =
فما قيمة
)2
6 –
6
أ(‏
ب(‏
ج(‏
– 9 د(‏
11 -
k
3
k ///
عدد طبيعي وكانت ق ‏)س(‏ = 120 s
؟ ، فما قيمة
، حيث k
3( إذا كان ق ‏)س(‏ = s k
ج(‏ 6 د(‏ 5
أ(‏ 10 ب(‏ 7
4( إذا كان ق)س(‏ = س.ه)س(،‏ حيث ه)س(‏ قابل لالشتقاق جد:‏
)4(
2( ق‏)س(‏ 3( ق‏)س(‏ 4( ق ‏)س(‏
)3
h
)2
1( ق‏)س(‏
الحل : 1( ج
د
/
/
4( ق ‏)س(‏ = س×‏ ه ‏)س(‏ + ه ‏)س(‏
/
//
/
/
//
//
ق ‏)س(‏ = س×‏ ه ‏)س(‏ + ه ‏)س(‏ + ه ‏)س(‏ = س×‏ ه ‏)س(‏ + 2 ه ‏)س(‏
//
)3(
/
//
)3(
)3(
ق ‏)س(‏ = س×‏ ه ‏)س(‏ + ه ‏)س(‏ + 2 ه ‏)س(‏ = س×‏ ه ‏)س(‏ + 3 ه ‏)س(‏
×
)3(
)3(
)4(
)4(
ق ‏)س(‏ = س × ه ‏)س(‏ ‏+ه ‏)س(‏ + 3 ه ‏)س(‏ =
مشتقة االقترانات الدائرية سادسا
1( ق ‏)س(‏ = جا س
2( ق ‏)س(‏ = جتا س
3( ق ‏)س(‏ = ظاس
4( ق ‏)س(‏ = ظتاس
5( ق ‏)س(‏ = قاس
6( ق ‏)س(‏ = قتاس
: إعلم :
ق /
ق /
ق /
ق /
ق /
ق /
‏)س(‏ = جتا س ( مبرهنة )
‏)س(‏ = - جا س ( مبرهنة )
2
2
)3(
)4(
ه ‏)س(‏ + ‎4‎ه ‏)س(‏
‏)س(‏ = قا س ( مبرهنة على قاعدة القسمة )
قتا س ( مبرهنة على قاعدة القسمة )
‏)س(‏ = قا س ظا س ( مبرهنة على قاعدة القسمة )
قتا س ظتا س ( مبرهنة على قاعدة القسمة )
‏)س(‏ = -
‏)س(‏ = -
األمثلة :
إذا كان 1(
،
1
s
ق)س(‏ =
فإن ق‏)س(‏ =
–
أ(‏ –
ظتاس قتاس
ب(‏
ظتاس قتاس
جاس جتاس د(‏ ظتاس ج(‏
=
فإن ق
6
،
s
2( إذا كان ق)س(‏ =
2
2
3
2
3
2
أ(‏
ب(‏
ج(‏
د(‏
13

w]
s]
2
s
3( إذا كانت ص =
فإنّ‏
أ(‏ 0
قاسظاس ب(‏
ج(‏
‎2‎قاسظاس
د(‏
‏–‏‎2‎قاسظاس
=
1
i
3
2
i
i
)4
1
2
1
2
-
3
2
3
2
أ(‏ -
ب(‏
ج(‏
د(‏
+ 1 = – جا‎2‎س
2
w ]
2
s]
5( إذا كان ص = جا س + جتا س ، أثبت أن:‏ ص
)6 ليكن ق)س(‏ = س|جاس|،‏ س 0[ 2 ،
7( إذا كان ق)س(‏ =
، فجد ق‏)‏
] ابحث في قابلية االقتران ق لالشتقاق عند س =
)
4
2
w ]
2
h
s
s
)4
s
3( ج
– جا س
2( د
h
= جتا س
- جا س
– جتا س الطرف األيمن =
– جتا س ) + 1 =
=
s]
+ 1 = ( جا س + جتا س ) (
الحل : )1
w]
s]
2
w ]
2
s]
)5
ص
- جا س
2 2
( جا س + جتا س ) - 2 جا س جتا س + 1 = - 1 – جا ‎2‎س + 1 = - جا ‎2‎س
/
- س جاس ق ‏)س(‏ = - س جتا س – جا س
+ ق ‏)س(‏ =
-
-
6( أ(‏ س ←
= )
/
ق (
ب(‏ س ←
ق ‏)س(‏ = س جاس
/
ق ‏)س(‏ = س جتا س + جا س
4
2 2
= )
4
) غير موجودة بشكل عام
ق‏)‏
/
- ق (
s ss s s 1
s
2
إعلم :
= )
/
ق (
/
7( ق ‏)س(‏ =
قاعدة السلسلة
والضمني سابعا :
14

س،‏
س‎2‎
u]
s]
×
w]
u]
=
w]
s]
=
/
1( إذا كان ص = ق ‏)ع(‏ ، ع = م ( س )
ص
/
ه
/
‏)س(‏ = ق
/
2( ( ق ه ه )
‏)ه ‏)س((‏ × ‏)س(‏
3( أن مشتقة ص = ‎2‎ص ص بالنسبة إلى س
أن مشتقة س ص = س ص + ص بالنسبة إلى س
/
/
2
s]
k]
+ ص
w]
k]
4( أن مشتقة ( س ص ) بالنسبة إلى المتغير ‏)ن(‏ = س
16
أوال الموضوعي : ضع دائرة حول رمز اإلجابة الصحيحة في ما يأتي
2
3
ق)س(‏ = س + ‎2‎س ، ه)س(‏ = س ، فإن ( ق ه ه ()1( =
10
6
إذا كان
األمثلة :
)1 )1
أ(‏ 12
ب(‏
ج(‏
د(‏
ه‎3(‏(‏ = ،5
2
، حيث ق)س(‏ = س – ،9
‏)ق ه إذا كان ه(‏‎3(‏(‏ = 15
فإن ه)‏‎3‎‏(‏ =
)2
6
3
ب(‏ 1.5
أ(‏ 0
ج(‏
د(‏
2
وكان ه)‏‎1‎‏(‏ = 0.5 ، ه‎1(‏(‏ = – ،1 فإن قيمة ‏)ه )1() =
2 –
0
إذا كان
ه)س(‏ اقتران كثير حدود،‏
10
1 –
)3
أ(‏
ب(‏
ج(‏
د(‏
عندما ص = 1
w]
s]
2
إذا كان ق)ص ) = س،‏ وكان ق‎1(‏(‏ = 3،
فإن
تساوي
)4
1
6
1
6
6
أ(‏ – 6
ب(‏
ج(‏
د(‏
=
6
إذا كان
ق)س(‏ = جاس،‏
ه)س(‏ = ‎2‎س،‏
فإن ( ه ه ق(‏
)5
3
3
2
9
2
أ(‏ 1
ب(‏
ج(‏
د(‏
20
w]
=
1s
s]
8
2
إذا كان ص = ق)س + ‎2‎س(،‏ ق‎3(‏(‏ = 5،
ب(‏
ج(‏
فإن
د(‏
5
)6
أ(‏ 4
– ،1 ه )1() =
2
، 0 ه)س(‏ =
≠
1
s
إذا كان ق)س(‏ =
فما قيمة ( ق ه
)7
4 –
1 –
4
أ(‏ 1
ب(‏
ج(‏
د(‏
15

؟(‏
ه )4() =
2
،s ه)س(‏ = س ،
إذا كان ق‏)س(‏ =
‏)ق ه فما قيمة
)8
16
32
4
أ(‏ 2
ب(‏
ج(‏
د(‏
ه ق()‏‎1‎‏(‏ = 24
2
ق)‏‎1‎‏(‏ = ،4 ه ‏)س(‏ = س – ،3
ق إذا كان
اقترانا معرفا على
وكان ح،‏
‏)ه
فإن
)9
ق‎1(‏(‏ =
3
8
12
أ(‏ 24
ب(‏
ج(‏
د(‏
ه(‏‎2(‏(‏ =
– ،1 ه‎2(‏(‏ = 4
5 2
إذا كان ق)س(‏ = س )| س |( ،
وكان ه)‏‎2‎‏(‏ =
فما قيمة ( ق 5
)10
10 –
ج(‏ 7
28
أ(‏ – 28
ب(‏
د(‏
=
12
، s
2
إذا كان ق)س(‏ =
فإن ق
)11
1
2
ب(‏ 0
ج(‏
د(‏
أ(‏ 3
إذا كان
2
ق)س(‏ = س – ‎2‎س،‏ وكانت ه‎2(‏(‏ = 6، ‏)ق ه ه(‏‎2(‏(‏ = 48 فما قيمة ه ‏)‏‎2‎‏(؟
5
12
8
)12
أ(‏ 0
ب(‏
ج(‏
د(‏
3
إذا كان ق)س(‏ = س – 2،
فما قيمة ( ق ه ق(‏‎1(
)13
18
9
9 –
أ(‏ – 18
ب(‏
ج(‏
د(‏
ق‎9(‏(‏ =
3
ق)س + )1 = س،‏
ق)س(‏ إذا كان
قابال لالشتقاق وكان
فإن
)14
2
1
1
6
1
12
أ(‏
ب(‏
ج(‏
د(‏
=
s
2 2
4
s4
4
s
)15
1
1 –
1
4
1
4
أ(‏
إذا كان
ب(‏
ج(‏
فإن
د(‏
عندما ص = 4 يساوي
w]
s]
ق)‏‎5‎‏(‏ = ،8
3
)16 ق)ص + )1 = س ، ق‎5(‏(‏ = ،4
48
12
3
أ(‏ 4
ب(‏
ج(‏
د(‏
16

3
إذا كان ق)س(‏ = ‏)‏‎2‎س + 1( ،
فإن ق‎1–(‏(‏ =
)17
6 –
12 –
6
أ(‏ – 24
ب(‏
ج(‏
د(‏
/
/
، ق -( )2 = 4 ، فما قيمة ه )3(
، ه )3( = - 2
/
)18 إذا كان ( ق ه ه ) )3( = 28
– 7 د(‏ 7
أ(‏ – 14 ب(‏ 24
ج(‏
تساوي :
w]
s]
، فإن
s
2
)19 إذا كان ص = 7 – 4 ع ، ع =
s
2
s
2
2 –
s 2
2
4 -
s 2
2
ب(‏ 2
s 2
2
أ(‏ – 2
ج(‏
د(‏
/
، فإن ق ( 2 ) :
2 2
s
3
20( إذا كان ق ‏)س(‏ =
ج(‏ 1
2
3
أ(‏ صفر ب(‏
د(‏ غير موجودة
=
1
i
3
2
i
i
)21
1
2
1
2
-
3
2
3
2
أ(‏ -
ب(‏
ج(‏
د(‏
h
)11
h
)5 د )6 د )7 د )8 ج )9 د )10
)16 ب )17
h
4( ج
)15
h
h
الحل : الموضوعي
20( د ‎21‎‏(ب
h
)18 د )19
h
)2 ب )3
)14
h
h
)1
)12 د )13
المقالي :
2
3
w
w
w 1
s 1
+ ص )
1( إذا كان ص = ظا ‏)سص(‏ أثبت أن ص =
/
2 /
ص = ظا ‏)سص(‏ ص = قا ( س ص ) ( س ص
17

3
3
w2
=
s
2
WS
W
=
2
WS
S 1
=
W2
1
S
1
4
2
W
2
S
3
3
2
s
w
- =
WS
2
/
1 W
2
WS
1 S 1
=
=
3
//
=
ص
وهو المطلوب
3
3
S
1
S
w2
s
2
2 / /
ص - س ص قا ( س ص ) = ص قا ( س ص )
/
2 2
الكن 1 ‏+ظا س = قا س ( متطابقة ) ص =
3
2
W
W W 1 W
=
2
2
WS
S 1
WS
S 1
إذا كان س + ص = سص أثبت أن ص =
ص
W
S
S
W
2
1
s
ص =
/ / //
= س ص + ص + ص
=
W1
1
S
3
3
=
/
W2
S
W
1
W
S
W
)2
س + ص = سص س =
//
/
/
+ 1 ص = س ص + ص ص
، س – 1 =
W
S
الكن ص – 1 =
ص،‏
وهو المطلوب
=
//
،
2
+ =
1
1
s
2
2
W 2
S
S
W
=
/
-
=
S
1
S
W2
1
S
//
ص =
حل آخر:‏ ص =
لما يلي:‏
ص
أ(‏ س ص = 1 عند س = 2
ص
2
ب(‏ ‎2‎ص = ق)‏‎2‎س – س(‏ ، ق‎6(‏(‏ = 4 عند س = 2
/
ص
ج(‏ س + ظا)سص(‏ = صفر
ص
1
2
س=‏ 2 ص =
W
S
- =
/
w]
s]
3( جد
/
أ(‏ س ص + ص = 0
18

س‎2‎
م‎3‎
م‎6‎
ص‎2‎
32 = ) 6 (
/
ق‎8‎
ص–‏
2
قا ‏)س ص )
=
/
– س ) عند س = 2
2
/
/
ب(‏ ‎2‎ص = ‎4‎س ق (
2 /
/
2
ج(‏ + 1 قا ‏)س ص ) ( س ص + ص ) = 0 س ص قا ‏)س ص ) = - 1
2
- جتا س – 1
2
ws
1
=
2
ws
/
ص =
=
w
2
1
=
w
2
1
2
1
s1
1
=
w
w]
=
s]
=
اثبت أن :
/
4( إذا كان جاص = س ، ‏|س|‏ < 1
/
جا ص = س ص جتا ص = 1
ص
2
1
1
16
عند ص = 2
=
/
w]
s]
/
) ص
5 (
– ‎2‎م + 1 ، م = ‎2‎س + 3 عند س = صفر
12
+ )1 ، ق )5( = 4
2
5( إذا كان س = ق)ص
ق‎4‎
جد
ص
/
2
2 /
= 1 ‎2‎ص ق ( ص + 1 ) ص / = 1
لكل مما يلي :
أ(‏ ص =
3
ب(‏ ص = جا ‎4‎س عندما س =
w]
32 =
s]
2
3
k
k
– 2 ) عند س = 0 ، م = 3
9
2
=
1
2
×
3
4
s]
l]
w]
s]
l]
( 2 =
s]
×
6( جد
w]
l]
2 /
ب(‏ ص = 12 جا ‎4‎س جتا ‎4‎س = 12 ×
= ،8 فجد
k]
l]
أ(‏
7( إذا كان س = جان ،
إعلم أنه إذا كان ص = ق ‏)ن(‏ ، س = ه ‏)ن(‏
عندما ن =
r
i
w]
=
s]
19

ص‎8‎
س‎2‎
ص‎8‎ ص‎4‎
ص‎8‎
ص‎3‎
س‎2‎
ص‎4‎
ص‎6‎
س‎2‎
k ik r k rk
i
=
2
k
i
=
w] ]
s] k]
s]
k]
=
1
16
w] ]
s] s]
- =
k
8
=
=
s]
l]
2
w ]
2
s ]
الحل :
)2 ،
0 = 2 – 4 – 4 +
w]
s]
2 2
8( إذا كانت س ص – ص س = 2، جد
2
2 /
‎2‎س ص ص + ص – ‎2‎ص س – س
عند النقطة )1
/
+ 4 ص = صفر
ص = 0
3
–
2
w ]
2
s]
1
2
/
ص =
9( إذا كان ص = قا ‎2‎س أثبت أن
2
//
/
ص = ‎2‎قا‎2‎س ظا‎2‎س ص = ‎4‎قا‎2‎س قا ‎2‎س + 4 ظا س قا ‎2‎س ظا ‎2‎س =
= ) 1 –
قا ‎2‎س الطرف األيمن =
وهو المطلوب
2
3
2
3
قا ‎2‎س + 4 قا ‎2‎س ظا ‎2‎س = 4 قا ‎2‎س + 4 قا ‎2‎س ( قا
4 -
+ 4 ص = 0
3
3
2
قا ‎2‎س = 8 قا
-
4 –
3
+ ‎4‎ص = 8 ص –
3
3
قا ‎2‎س + 4 قا
3
4
4
//
ص -
10( إذا كان ق)س(‏ = جتا ‎2‎س
)3(
، أوجد ق ‏)س(‏
)3(
//
ق ‏)س(‏ = - 4 جتا ‎2‎س ق ‏)س(‏ = 8 جا ‎2‎س
7
3
=
/
عند النقطة )2، 3(
+ 3 = ص
2 2
– ‎2‎ص قا س = 2 قا س
/
w]
s]
/
2
w ]
2
s]
/
ق ‏)س(‏ = - 2 جا ‎2‎س
2
2
11( إذا كان س + س ص = ص + 1، جد
/
‎2‎س + س ص + ص = ‎2‎ص ص / 4 +
12( إذا علمت أن ص = سظاس،‏ أثبت أن
2
//
2 /
ص = س قا س + ظا س ص = ‎2‎س قا س قا س ظا س + قا س الطرف األيمن
2
2
2
2
2
2
= ‎2‎س قا س ظا س + قا س – ‎2‎ص قا س = ‎2‎س قا س ظا س + قا س – ‎2‎س قا س ظا س
2
= قا س
20

ص‎3‎ س‎3‎
س‎4‎
ل‎2‎
ص‎6‎ ص‎4‎
ص‎4‎
س‎3‎ ع‎2‎
س‎2‎
عندما ع = 9
2 =
/
3
2
s3 w4
2
s4 w3
w]
s]
2
)3 ،1 –(
- ‎4‎ص = 0
s32
1
s2
21
w]
s]
=
2 s4
، ص = ل ، جد
1
s2
2
4
×
1
s2
3 3
للعالقة س + ص – 4 س ص = 64
/
=
/
g]
=
s]
2
w ]
2
s]
/
/
ص - ‎4‎س ص - ‎4‎ص = 0
13( إذا كان ل =
w] w]
× =
g] s]
2
14( جد قيمة
ص
//
2 /
// 2
‎6‎س + ‎3‎ص ص + ‎6‎ص ‏)ص ) – ‎4‎س ص -
2
2
3
3
، ع = س + 1 ، جد
× ) 10 –
عند النقطة
ص
w]
s]
- 8 = - ‎4‎ص/‏ + 12
w w6 s6 w4 w4
s4
2
w3
+
2
//
ص =
2
)15 إذا كان ص = ( ( ع – ‎10‎ع + 1 )
1
3 1 u10 2
u
(
، جد
/
6 -
=
w]
s]
= 4 س ص + 25
2 u]
=
3 s]
2
w] w]
× =
u] s]
ع = 9 س = 2
2
16( إذا كان ص +
/
/
‎2‎ص ص + ‎8‎س = ‎4‎س ص +
2
4
17( إذا كان ص = ‏)جا س + جتا س(‏ ، فاثبت أن ص + 4 ص = 12 جتا
3
/
ص = 4 ( جا س + جتا س ) ( جتا س – جا س )
2
2
3
//
ص = 4 ( جا س + جتا س ) ( - جا س – جتا س ) + 12 ( جا س + جتا س ) ( جتا س – جا س )
3
24 =
2 2 2
4
( جا س + جتا س ) + 12 ( جتا س – جا س ) + ‎4‎ص =
3
4 × 6 =
/
2
( جتا ‎2‎س )
6
12
4 -
2
( جتا ‎2‎س ) + ‎4‎ص =
w]
s]
الطرف األيمن =
- ‎4‎ص 12+
3
18( إذا كان ص = قا ‎2‎س ، جد
عندما س =
2 /
18( ص = 6 قا ‎2‎س قا ‎2‎س ظا ‎2‎س ، عنند س =
6
ص
3
)19 إذا كان ق)س(‏ = س ، ه)‏‎2‎‏(‏ = 3 ، ه‎2(‏(‏ = – ,2 ه‎2(‏(‏ = 5 ، احسب قيمة ‏)ق ه(‏‎2(‏(‏

ص‎8‎
ق
س‎2‎
س‎6‎
س‎5‎
ص‎4‎
س‎3‎
س‎6‎
// 2
، ق ‏)س(‏ =
20 - =
/
/
/
19( ( ق ه ه ) ‏)س(‏ = ق ( ه ‏)س(‏ ) ه ‏)س(‏
/
// 2 /
//
//
( ق ه ه ) ‏)س(‏ = ق ‏)ه ‏)س(‏ ) ( ه ‏)س((‏ + ه ‏)س(‏ ، ق ‏)س(‏ =
عندما س = 1
s16
2 2
3
s
- ×
w]
s]
2
3
// //
ه ) )2( = ق )3( × 4 + 5 = 18 4× + 5 = 77
8
، جد
3 2 s
15
2
u3
3
، ع =
w]
=
s]
2
u3
5 3
ع = 2
( ق ه
20( إذا كان ص =
)20 عندما س = 1
)4(
21( إذا كان ق)س(‏ = ‎3‎جا‎2‎س + ‎5‎جتا‎2‎س،‏ جد ق ‏)س(‏
//
/
21( ق ‏)س(‏ = ‎6‎حنا ‎2‎س – 10 جا ‎2‎س ق ‏)س(‏ = -12 جا ‎2‎س – 20 جنا ‎2‎س
)4(
ق ‏)س(‏ = 48 جا ‎2‎س + 80 جتا ‎2‎س
)3(
ق ‏)س(‏ = - 24 جتا ‎2‎س + 40 جا ‎2‎س
| 2 + ‎14‎س ، س < 1
، س ≥ 1
2
سه ‏)س(‏ + 10
1 |
22( إذا كان ق)س(‏ =
س–‏
وكان ه)س(‏ قابال لالشتقاق حيث ه)‏‎1‎‏(‏ = ه‎1(‏(‏ = 2 ابحث في قابلية ق)س(‏ لالشتقاق عند س = 1
s
ق ‏)س(‏ = 14 =
s
22( بما أن
ق ‏)س(‏ = ق )1( ، ق متصل عند س = 1
12 = )1(
- ‎2‎س + 14 r
‏)س(‏ =
/
عندما س < 1
12 = )1(
‏)س(‏ r
2
/
/
ق ‏)س(‏ = ‎2‎س ه ‏)س(‏ ه ‏)س(‏ + ه
2
+ ‎8‎ص + ‎3‎س = 45
/
ق )1( = 12
2
12 = )1(
عندما س > 1
r= )1(
w]
s]
بما أن r
لكل مما يأتي:‏
أ(‏
، عند س = 2
2
+
3
23( جد
ب(‏ ص =
ص
ج(‏ س = ظاص،‏ عند س = 3
s3
4
w4
=
s6
8
w8
=
2
2
قا ص = 1 + ظا ص = 10
/
+ ‎6‎س = 0
/
ص + ‎8‎ص
/
+ ‎10‎س ص = 44
2
/
23( أ(‏
/
ب(‏ ص =
2
ج(‏ = 1 قا ص ص / ظا ص = 3
22

س‎4‎
س‎2‎
( w)
( w) s 2
2 2
1
10
=
/
ص
/
= 1 10 ص
24( إذا كان جاص = ظاس،‏ اثبت أن ظاص =
//
2 /
2 /
24( جتا ص ص = قا س - جا ص ( ص ) + جتا ص ص =2 قا س قا س ظا س
5
2
وهو المطلوب
s3
، وكاااااان ‏)هااااا ق(‏‏)‏ ) = 0
6
1 2 s
r
)1()
g
5 =
=
/
0 =
w
2 2
w 2
0 = 16 +
عند النقطة )1، 2(
/
2 2 /
- ظا ص ‏)ص ) = 2 قا س ظاص ظا ص =
w]
s]
2
ص = 9 ، فجد
2
/
ص ص + ‎4‎س ص = 0 + 4
2
س‎2‎
//
ص
4
25( إذا كان س +
2
+
3
س‎4‎
ص‎8‎
ص
2
2
2
1
s
)25
26( إذا كاااااان ق)س(‏ = أجااااااس حياااااث أ ثابااااات،‏ أ ≠ 0، هااااا)س(‏ =
s3 3
h3 12
2
4
h
، ق‎1(‏(‏ = 2 ، فجد (
gr
2
g
rg
= )1(
/
ه ‏)س(‏ =
3 h
=
2
×)
h
2
(
3 h
2
/
) = ه
6
، وكان ق)‏‎1‎‏(‏ = – 4
r
g
) 1 –
H
، وكان ‏)ه ق(‏‏)‏ ) =
4
1
s2
/
جتا س ق ( ) =
6
(
/
2 ± =
))
6
جد مجموعة قيم أ.‏
ق×‏
/
) = ه ‏)ق (
6
h 4 = 2 h 0 = 2 h
3 2
1s s
4
1
4 1 s 2
s
(
h
/
26( ق ‏)س(‏ =
/
( ه ه ق ) (
3 – 12
27( إذا كان ل)س(‏ =
3
4
/
27( ل ‏)س(‏ =
28( إذا كان ق ‏)س(‏ = ‎2‎ظاس،‏ ه)س(‏ =
8
، فجد قيمة الثابت أ.‏
25
2
2
1
s2
8
25
/
/
2
/
)28 ق ‏)س(‏ = 2 قا س ق ( ) = 4 ه ‏)س(‏ =
4
/
/
/
/
( ه ه ق ) ( ) = ه ( ق ( ) ) ق ( ) = ه )2( × 4 = -
4 4 4
23

س‎4‎
سh
س‎3‎
ق‎2(‏(‏ =
3
، 1s4 s ق)‏‎2‎‏(‏ = ،3
5
29( إذا كاااااااااان هااااااااا)س(‏ =
فجد ل‎2(‏(.‏
–1، وكاااااااااان ل)س(‏ = هااااااااا)س(‏
8
5
/
) ه )2( =
4 –
2
(
4
5 1 s4 3
s
19
5
=
1
5
24
5
/
، ه ‏)س(‏ =
)29 ه )2( = 1
/ / /
ل = ه ق + ق ه = - 1 +
30( إذا كان ص
2
– س = جتاص،‏ اثبت أن:‏ ‏)ص‏(‏ =
ص–‏
ص
‏)قاص + ظاص(‏
/
//
- جا ص ‏×ص - جتا ص ‏)ص ) 2
//
2 /
‏)ص ) =
=
//
ص-‏ //
ص-‏
( ظا ص + قا ص )
/
/
)30 ص - 1 = - جا ص ‏×ص
//
2 /
جتا ص ‏)ص ) = - جا ص ‏×ص
3 2
كان ق)س(‏ = ‎2‎ظتاس،‏ ه)س(‏ = أس)س – 3( ، وكان ‏)ه ق(‏‏)‏ ) = – 50، فجد قيمة الثابت أ
4
/
/ 2
/
) = 2 ، ق ‏)س(‏ = - 2 قتا س ، ق ( ) = - 4 ، ( ه ه ق ) ( ) =
4
4
4
31( إذا
31( ق)‏
2
‏)س – 3 ) 2
2
3
6 + )
3 –
(h س 2
ه/‏ ‏)س(‏ =
/ /
ه )2( ق ( )
4
si
sr
24
2 - =
h
50 - =
4
2 = ق)–‏‎1‎‏(‏ = ،3 ق‎1–(‏(‏ ،1s8 s
h24 +
3
h
/ /
ه )2( ق ( ) =
4
32( إذا كان ه)س(‏ =
وكان د)س(‏ =
، فجد د‎1–(‏(‏
/
، ه ( - 1 ) = - 1
= - جا س = - ص
– 8 ) ه ( - )1 = 2
( w)2
s1
/
3
7
9
2
3 1 s8 4
s
(
- =
43
9
=
1
3
ri ir
2
r
/
32( ه ‏)س(‏ =
/
د ‏)س(‏ =
33( إذا كان ص – سص = جاس،‏ اثبت أن:‏ ص + ص =
/
ص-‏ ص-‏
– س ص
w2
s1
=
//
// //
/ /
33( ص - س ص - ص = جتا س ص - س ص
/
– س ) = ‎2‎ص
( 1 – س ) + ص ( 1
//
ص
34( إذا كان ق)س(‏ = ‏)س
ص
ق(‏‎3(‏(‏ فجد ‏)ه s
2
– )5 ، ه)س(‏ =

ص‎2‎
ص‎2‎
ص‎3‎
ص‎3‎‏(‏
ص‎3‎
ص‎2‎
1
3 2
= )3(
،3 ه /
1
1 - = 4 - × = )3(
4
0 =
0 =
+
//
، ه )3( =
1
s 2
/
/
)34 ق ‏)س(‏ = 2 ( س – 5 ) ، ه ‏)س(‏ =
/
/ /
/
، ق )3( = - 4 ( ه ه ق ) )3( = ه ( ق ))3( ق
–
ق )3( = 4
35( إذا كان سص – ‎3‎ص = ‎7‎س + 15، اثبت أن ‏)س
/ / //
= 7 س ص + ص + ص -
/
0 =
0 =
/
/
/
35( س ص + ص –
//
ص ( س – 3 ) +
//
ص ( س – 3 ) +
/
، ق ( ) = 24
8
s2
، فجد ‏)ه ق () )
8
1 2 s
3 = )
8
، ق (
2
2
s2
2 2
1
s
/ /
/
/
/
( ه ه ق ) ( ) = ه ( ق ( ) ق ( ) = ه )3( ق ( ) = 44 1,
8 8 8 8
،s s ها‎0(‏(‏ = ،1– ها)‏‎0‎‏(‏ = ،2 وكاان د)س(‏ = ها)س(‏ × ق)س(،‏
3
2
0 =
1
- = 2 -
2
/
/
/
1
، ه × ق + ق × ه =
4
/
، ق )0( =
36( إذا كان ق)س(‏ = ‎3‎ظا‎2‎س،‏ ه)س(‏ =
، ق )0( = 2
/ 2
/
36( ق ‏)س(‏ = 6 قا ‎2‎س ، ه ‏)س(‏ =
s
s
s s 2
6
100
كان ق)س(‏ =
/
ه )3( = -
جد د‎0(‏(‏
37( إذا
/
37( ق ‏)س(‏ =
38( إذا كان جتاص – سص = ‎2‎س،‏ اثبت أن ص‏)س + جاص(‏ + ص‎2( + ص جتاص(‏ = 0
/
ص-‏ ص-‏
2
قا س = 1
// 2 /
//
/ /
– جا ص ص - س ص - ص = 2 - جا ص ص - جتا ص ( ص ) - س ص
×
/
ه ) ( س(‏ = 1
s
2
1
/ /
‏)جا ص + س ) + ص ‏)ص جتا ص + 2 ) = 0
2
1
s1
//
)38
ص
/
39( إذا كان ق ‏)س(‏ =
، ه ‏)س(‏ = ظا س ، اثبت أن ( ق 5
/
/
/
( ق ه ه ) ‏)س(‏ = ق ( ه ‏)س((‏ ه ‏)س(‏ =
عندما ص = 1
w]
s]
2
/
39( ه ‏)س(‏ = قا س
2
‎40‎‏(إذا كان ص + س = 3 س ص ، فجد
25

ص‎2‎
س‎2‎
ص‎3‎ ص‎3‎ ص‎3‎ ص‎3‎
ص‎2‎
ص‎3‎
ص‎2‎
س‎3‎
=
2
4
،
4
3
4
3
1
2
س =
/
، فجد ( ق ه ه ) ( )
3
/
، ه ( ) =
3
×
1
3
1
1
3
12
/
/
)40 ‎2‎ص ص + 1 = ‎3‎س ص + ‎3‎ص ، ص = 1 + 1 س =
= )
3
=
s
2
4 =
/
ص
s 1
2
/
3
ص + 3
2
= 1 +
41( إذا كان ق ‏)س(‏ =
، ه ‏)س(‏ = ظا
1
، ه (
s 12
4 1
× )
3 3
/
/
s 1
، 2 ق ‏)س(‏ =
قا
2 2
/
41( ه ‏)س(‏ =
/
/
/
/
( ق ه ه ) ( ) = ق ‏)ه ( )) ه ( ) = ق (
3 3 3
42( إذا كان س = ظتا ‎2‎ص ،
/
2
قتا ‎2‎ص ص
//
فأثبت أن ص =
ص-‏
ص
جا ‎4‎س
/
- جا ‎2‎ص جتا ‎2‎ص)‏ ‎2‎ص )
2
s
1
w
2 /
3
ص ) =
2
(
1
1
w
ص // =
2
=
2
3
w
2
2
s
1
w
//
= 6 جتا ‎3‎ص جا ‎3‎ص ص = 1
1 =
/
//
2
جا
1
2
- =
/
2 2 s
/
2 - = 1 )42
/
جا ‎4‎س ص-‏
=
3 1 w
//
ص =
43( إذا كان
، فأثبت أن
/
3
ص =
2
12
/ 2
) ص = 2 ( س – 2 )
1
1
w
2
w ]
2
s]
=
3
)43 3 ‏)ص + 1
2
2
s
1w 1w
44( إذا كان س = ظا ‎3‎ص فجد
عندما ص =
= 0 ص
عند النقطة ( 1 ، - 1 )
/
– 1 +
/
ص–‏
w]
s]
2
2
= جتا
/
2
قا
/
= 1 )44
2
2
45( إذا كان س – س ص + ص = 3 ، فجد
0 =
/
/
– س ص - ص + ‎2‎ص ص
)45
تمت بعون هللا وحوله
26

وال تنسى أنه من أهم أسس النجاح رضى الوالدين .....
وَاخْفِضْ‏ لَهُمَا جَنَاحَ‏ الذُّلِّ‏ مِنَ‏ الرَّحْمَةِ‏ وَقُل رَّبِّ‏ ارْحَمْهُمَا كَمَا رَبَّيَانِي صَغِيرًا )24(
صدق هللا العظيم
27