L'HOSPITALOVO PRAVIDLO

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné - 7.3 -
LIMITY TYPU 0.∞
Řešení
PŘÍKLAD 4
Určete lim ( x ln x)
+
x→0
Převedení na L´Hospitalovu limitu
Limita, kterou se máme zabývat nyní, není ani neurčitou limitou typu 0/0, ani limitou typu
∞/∞. L´Hospitalova pravidla nemůžeme tedy použít, aniž provedeme jisté úpravy limitovaného
výrazu. V tomto případě vede k cíli úprava
ln x
xln
x= ,
1/ x
která uvedenou limitu převádí na limitu typu ∞/∞. Platí totiž
Použití L´Hospitalova pravidla
lim ln x = −∞ a
+
x→0
( ln x)
( 1/ x)
+
x→0
.
1
lim = +∞ .
x
2
ln x
′
1/ x ⎛1
x ⎞
( )
+ + + + 2
+ ⎜ ⎟
+
x→0 x→0 x→0 x→0 x→0 x→0
lim xln x = lim = lim = lim =− lim × =− lim x=
0 .
1/ x ′ −1/ x ⎝ x 1 ⎠
PŘÍKLAD 5
2
2 x
Určete lim ( xe )
−
x→+∞
Řešení
Převedení na L´Hospitalovu limitu
Úprava
2
2
2 − x x
xe =
2
,
x
e
převádí uvedenou limitu na typ ∞/∞. Platí totiž
lim x
x→+∞
2
= +∞ a
lim e
x2
= +∞ .
x→+∞
Při výpočtu této limity již můžeme použít L´Hospitalovo pravidlo.
Použití L´Hospitalova pravidla
2
2
2
( x
′
2 − x x
) 2x
1 1
lim ( xe ) = lim
2
= lim = lim
2
= lim
2
= = 0 .
x→+∞ x→+∞ x x→+∞ x→+∞ x x→+∞
x
e ′ 2xe e +∞
2
x
( e )
.