L'HOSPITALOVO PRAVIDLO

L´Hospitalovo pravidlo - 7.4 -
CVIČENÍ K PŘÍKLADŮM 4 A 5
1. Určete následující limity.
a) lim ( x
2 log | x | )
−
x→0
b) lim ( ln x arctg x)
+
x→0
× c) lim ( xe )
n − x2
x→+∞
, n ∈ d)
⎛ 1 ⎞
lim ⎜x
arctg ⎟
x→−∞⎝
x ⎠
LIMITY TYPU 1 ∞ , 0 0 a ∞ 0
PŘÍKLAD 6
Určete ( ) 1/
lim 1+ ax , a ∈ .
+
x→0
x
Řešení
Převedení na L´Hospitalovu limitu
Ani při výpočtu této limity nelze použít L´Hospitalovo pravidlo přímo (jedná se o limitu typu
1 ∞ ) a je nutno nejdříve provést úpravu 4
Pak můžeme psát
( 1 )
( + ax)
ln 1
1/ x
1/ x ln( 1+
ax)
x
+ ax = e = e .
( )
1/ x
+ +
x→0 x→0
( + ax) ln( 1+
ax)
ln 1
lim
→ 0
x
x x
lim 1+ ax = lim e = e +
.
Použití L´Hospitalova pravidla
Především platí
ln ( 1+ ax
1
) ln ( 1+
ax) ′
1+
ax
a a
lim = lim = lim = lim =
+ + + +
x→0 x x→0 x′ x→0 1 x→0
1+
ax
a proto i
x a
lim 1+ ax = e .
+
x→0
( ) 1/
a ,
PŘÍKLAD 7
Určete lim x
x .
+
x→0
Řešení
Dříve, než použijeme L´Hospitalovo pravidlo, musíme provést úpravu
pomocí které již můžeme psát
x
= e ,
x xln
x
x
lim x
xln
x
lim e
lim xln
x
x→0
e +
+
x→0 +
x→0
= = .
4 viz Breviář, kap. 1.6