Matematik B, hhx, den 20. december 2007 (pdf)

Undervisningsministeriet
Højere Handelseksamen
Handelsskolernes enkeltfagsprøve
December 2007
Matematik
Niveau B
Delprøven uden hjælpemidler
Prøvens varighed: 1 time
Dette opgavesæt består af 4 opgaver, der indgår i
bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med
følgende omtrentlige vægte:
Opgave 1 5%
Opgave 2 5%
Opgave 3 5%
Opgave 4 10%
I alt 25%
07-0-8-U
Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet med tydelig skrift.
Torsdag den 20. december 2007
kl. 9.00-10.00

Opgave 1
Løs ligningen
Opgave 2
1 1
2 2
(3x 4) + x= x6
En undersøgelse af, hvor mange timer folkepensionister motionerede om ugen,
resulterede i nedenstående fordeling:
ANTAL TIMER
pr. UGE
FREKVENS
[ 0 ; 4 [ 0,1
[ 4 ; 8 [ 0,3
[ 8 ; 12 [ 0,5
[12 ; 16 [ 0,1
Hvor mange timer motionerede folkepensionisterne i gennemsnit pr. uge?
Opgave 3
Bestem definitionsmængden for funktionen f( x) = 3x+ 6
Opgave 4
Grafen for funktionen
2
f( x) = 2x + x
5 er vist på Bilag 1.
Funktionen g har forskriften gx ( ) = x1 Side 1 af 1 side
Indtegn grafen for g på Bilag 1 og bestem løsningsmængden til uligheden f ( x)
< g(
x)
.

Undervisningsministeriet
Højere Handelseksamen
Handelsskolernes enkeltfagsprøve
December 2007
Matematik
Niveau B
Delprøven med hjælpemidler
Dette opgavesæt består af 7 opgaver, der indgår i
bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med
følgende omtrentlige vægte:
Opgave 1 10%
Opgave 2 15%
Opgave 3 10%
Opgave 4 10%
Opgave 5 10%
Opgave 6 10%
Opgave 7 10%
I alt 75%
07-0-8-M
Af opgaverne 7A og 7B må kun den ene afleveres til bedømmelse.
Hvis begge opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af
opgave 7A.
Opgavebesvarelsen skal afleveres med tydelig skrift.
Torsdag den 20. december 2007
kl. 9.00-13.00

Opgave 1
Side 1 af 5 sider
Jakobsen begyndte 18 år før sin 60-års fødselsdag at spare op på en konto. I 10 år indskød
han hver den 1. januar 15.000 kr. De følgende 8 år forhøjede Jakobsen det årlige beløb til
25.000 kr., som ligeledes blev indskudt hver den 1. januar.
I hele den nævnte periode fik Jakobsen 4% p.a. i rente.
a) Hvor stort et beløb stod der på Jakobsens konto efter 18 år?
Umiddelbart efter den sidste indbetaling besluttede Jakobsen at få udbetalt saldoen som et
fast beløb hvert år i de efterfølgende 10 år. Renten var uændret 4% p.a.
b) Hvor stort et årligt beløb kunne Jakobsen hæve i de efterfølgende 10 år?
Opgave 2
Ifølge Statistisk Tiårsoversigt faldt antallet af husstande, der opvarmes med oliefyr, eksponentielt
i perioden 2000 til 2006. I 2000 var der 464.000 husstande, der blev opvarmet med oliefyr. Dette
tal var i 2006 faldet til 399.000.
Lad f (x)
angive antallet af husstande, der opvarmes med oliefyr, hvor x betegner antal år efter
2000.
a) Bestem en forskrift for den eksponentielle funktion f.
I samme periode, det vil sige fra 2000 til 2006, var antallet af husstande, der opvarmes med
naturgas, eksponentielt stigende. Denne udvikling kan beskrives ved funktionen g, der har
forskriften
( ) 311000 1,0252 x
gx=
Udviklingen i antallet af husstande, der opvarmes med oliefyr, og antallet af husstande, der
opvarmes med naturgas, forventes at fortsætte uændret i de kommende år.
b) Vis ved beregning, at antallet af husstande, der opvarmes med oliefyr, og antallet af
husstande, der opvarmes med naturgas, vil være lige store i 2008.

Side 2 af 5 sider
Opgave 3
Funktionen f , der har forskriften
1
2
f( x) = x( x+ 3)( x2)
1 3 1 2
2 2
a) Beregn nulpunkter og bestem fortegnsvariationen for f .
Grafen for f har en tangent i punktet (2 ; f (2)).
b) Bestem en ligning for denne tangent.
f( x) = x + x 3x,
kan opløses i faktorer således:
Det oplyses, at f har lokalt maksimum i (–1,79 ; 4,10) og lokalt minimum i (1,11 ; –2,03).
Alle koordinater er afrundet til 2 decimaler.
c) Skitsér grafen for f og tangenten fra spørgsmål b) i samme koordinatsystem.
Opgave 4
Grafen for funktionen f , der har forskriften
Funktionen f har en tangent t med ligningen y = x4
a) Beregn koordinaterne til røringspunktet for t .
2
f( x) = x 3x,
ses på figuren herunder:
2
f(x) =
x
3 3x
b) Bestem størrelsen af den spidse vinkel, som t danner med y-aksen.

Opgave 5
Side 3 af 5 sider
Hansen har besluttet at lave en del af sin have om til en legeplads til sine børnebørn. I den
ene ende af haven skal der være et læhegn, som består af to hegn, der står vinkelret på
hinanden. Her skal der placeres en cirkelrund sandkasse med en radius på 1 meter.
Figuren herunder viser en skitse af sandkassen lagt ind i et almindeligt koordinatsystem.
Sandkassen skal placeres, så den tangerer siderne i læhegnet i punkterne A og B.
Fra punkt A til punkt B på sandkassen skal der placeres et bræt, der skal fungere som bænk.
a) Beregn længden af bænken AB.
b) Beregn afstanden fra sandkassens centrum C til bænken AB.

Side 4 af 5 sider
Opgave 6
På Hansens legeplads skal der også bygges en indianerhytte. Et tværsnit af hyttens
indgangsside, lagt ind i et almindeligt koordinatsystem, er vist på figuren herunder.
Enheden er meter.
Indgangen til hytten har form som en del af grafen for funktionen f , der har forskriften
2
f( x) = x + 2,5x1 Hyttens sider er dele af graferne for funktionerne g og h, der har forskrifterne
gx ( ) = 2xog hx ( ) = 2x+ 5
a) Beregn indgangens højde AB |AB| og bredde CD. |CD|.
b) Vis ved beregning, at hyttens højde |AH| AH og hyttens bredde GI |GI| begge er 2,5 meter.

Opgave 7A
Funktionen f har forskriften
f( x) = ln( x+ 2) + x , x ]
2;
[
a) Bestem monotoniforholdene for f.
b) Beregn eventuelle ekstrema for f.
Opgave 7B
2
Et polygonområde M er bestemt ved følgende uligheder:
y
y
2
3
y
1
6
x + 11
x + 6
1
5
x + 6
0 x 12
a) Indtegn M i et almindeligt koordinatsystem.
Funktionen f har forskriften
f ( x,
y)
= x + 5y
Af opgaverne 7A og 7B
må kun den ene afleveres til bedømmelse.
Hvis begge opgaver afleveres,
bedømmes kun besvarelsen af opgave 7A.
b) Bestem størsteværdien for f inden for M.
Side 5 af 5 sider

Bilag 1 til opgave 4 – skal afleveres.
SKOLE: KLASSE: NR:
NAVN:
2 5
2
f(x) = 2x + x 5
2
f(x)
= x + x