Afleveringsopgave uge 17: Vejledende løsning

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Ib Michelsen, 1z 1 / 5 29-04-2011
Afleveringsopgave uge 17: Vejledende løsning
Opgave 1
Ligningen løses:
7x + 2 = 5x + 10 ⇔
7x + 2 − 2 = 5x + 10 − 2 ⇔
7x = 5x + 8 ⇔
7x − 5x = 5x + 8 − 5x
⇔
2x = 8 ⇔
2 8
x = ⇔
2 2
x = 4
L={4}
Opgave 2
f x x x
2
( ) = + 5 + 1
f
f(1) = 7
2
(1) = 1 + 5⋅ 1+ 1
Opgave 3
Da forbruget stiger med det samme beløb hvert år, er der tale om en lineær funktion. a = 18,5
Lader vi tidsmålingen starte i 2004, bliver begyndelsesværdien 388
Modellen er:
f(x) = 18,5x + 388
hvor x er tiden (som antal år efter 2004) og
f(x) er det offentlige forbrug x år efter 2004 angivet i mia. kr.
Opgave 4
18
19
20
21
22
23
24
I ΔABC beregnes |AB| med Pythagoras sætning
som gælder, da ∠C er ret.
2 2 2
c = a + b
De oplyste tal indsættes:
2 2 2
c = 3 + 4 = 25 ⇔
c = 5
|AB| = 5
Da de to trekanter er ensvinklede, er de

25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
Ib Michelsen, 1z 2 / 5 29-04-2011
ligedannede, og der findes en forstørrelsesfaktor k. Da a og a1 svarer til hinanden, kan k beregnes:
k = 9/3 = 3
Da c og c1 svarer til hinanden, kan c1 beregnes:
c 1 = 5⋅ 3 = 15
|A1B1| = 15
Opgave 5
Funktionerne med de oplyste forskrifter skal parres med graferne.
f og g har samme begyndelsesværdi – en værdi, der er mindre den sidste funktions begyndelsesværdi.
Det passer med graferne A og C. På parameteren 1,15 ses at f er voksende;
derfor har f grafen A.
Tilsvarende ses, at g med parameteren 0,88 er en aftagende funktion;
derfor har g grafen C.
Endelig ses, at h har den største begyndelsesværdi (6), og at den er voksende (vækstfaktor = 1,06),
hvilket passer med
at h har grafen B.
Opgave 7

44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
Ib Michelsen, 1z 3 / 5 29-04-2011
Beregning af |AB|
Først benyttes 180°-reglen, der gælder i enhver trekant:
∠B=180° - ∠A – ∠C = 75°
|AB| beregnes med sinusrelationerne, der gælder i enhver trekant:
c b
=
sin( C) sin( B)
c 20
= ⇔
sin(75 ° ) sin(72 ° )
20
c = ⋅ sin(75 ° ) ⇔
sin(72 ° )
c = 19,69 = 19,7
|AB| = 19,7
Beregning af areal
Da BM er en median, er længden af AM 10.
Derfor kan arealet af trekant ABM beregnes med arealformlen
T = ½ ⋅ | AM | ⋅| AB | ⋅ sin( A)
som gælder for alle trekanter; ved indsætning fås:
T = ½ ⋅10⋅19,7 ⋅ sin(33) = 53,62 = 53,6
T = 53,6
Opgave 8a
Desuden er det oplyst, at muslingeskallens længde kan findes som en potensfunktion af alderen.
Beregning af parametre
For at finde parametrene indtastes ovennævnte data i GeoGebras regneark, der laves en liste af punkter
og regression udføres med kommandoen potfit. Herved findes:
a = 0,65
b = 1,23
(se figuren herunder)

69
70
71
72
73
74
75
76
77
Ib Michelsen, 1z 4 / 5 29-04-2011
Opgave 8b
Lad
0,65
f ( x) = 1, 23⋅
x
Så beregnes længden af muslingeskallen (for den 24-årige musling) som
0,65
f ( x ) = 1,23 ⋅ 24 = 9,85 = 9,9
En 24-årig musling har ifølge modellen en skal, der er 9,9 cm lang

78
Ib Michelsen, 1z 5 / 5 29-04-2011
Opgave 13
79
80 Ovenstående publikumsområde er indhegnet på de 3 sider: den samlede længde skal være 300 m. Heraf
81 får ligningen:
y + 2x + y = 300 ⇔
2y = 300 − 2x
⇔
82
83 y = 150 − x
84 Områdets areal A er differensen mellem hele rektanglets areal og scenens areal; heraf fås:
A = y ⋅2 x −½ ⋅ x ⋅2 x ⇔
85
86
A x x x
2
= (150 − ) ⋅2 − ⇔
A x x x
A = 300x − 3x
= 300 − 2
2
−
2
2
⇔