Vejledende besvarelse

Ib Michelsen Svar: HFE B August 2012 Side 1
Vejledende besvarelse
1. Skitse af et andengradspolynomium
Da a>0 og da parablen går gennem (3,-1)
skal f(3)=-1.
Begge dele er opfyldt, hvis f (x)=x 2 −10 ,
hvor en skitse ses her:
Da grafen skærer x-aksen 2 steder (som
den altid vil gøre med a>0 og et punkt
under x-aksen), er diskriminanten d>0
eller: fortegnet er ”+”. 1
2. Formel for maksimalpuls
Variable er personens alder (x ), som måles i år, og dennes maksimalpuls ifølge modellen
(f(x)), som måles i hjerteslag pr. minut. 2
f (x)=220− 2⋅x
3
3. Ensvinklede trekanter 3
Da trekanterne er ensvinklede, er alle
sider i den store trekant en forstørrelse
af den tilsvarende side i den lille trekant
med den samme forstørrelsesfaktor k. Da
siderne b og b1 svarer til hinanden
beregnes k som:
k= b 1
b
og med de oplyste tal indsat:
1 Principielt kunne man nøjes med støttepunktet (3,-1), men så bliver grafen måske for skitseagtig. Jeg har valgt en
nem funktion at skitsere, idet den er symmetrisk om y-aksen. Støttepunkter ses i regnearket, men kan nemt findes
ved hovedregning (2 ad gangen).
2 I en eksamensbesvarelse ville jeg ikke tilføje måleenheder, der ikke er henvist til i opgaven.
3 Det er kun antydet gennem betegnelser, hvilke vinkler der er ens i trekanterne, men det antages, at ens bogstaver er
signal om ens vinkelstørrelser.

Ib Michelsen Svar: HFE B August 2012 Side 2
k= 12
4 =3
Idet hhv. siderne c og c1 og a og a1 svarer til hinanden fås:
c 1 =k⋅c hvor indsættes de kendte størrelser: ∣A 1 B 1∣=3⋅5=15 og
a=a 1 / k hvor indsættes de kendte størrelser: ∣B 1 C 1∣=18/3=6
∣A 1 B 1∣=15 - ∣B 1 C 1∣=6
4. Løs ligningen
3 x 2 −5 x+2=0
Diskriminanten d beregnes med formlen:
d =b 2 −4⋅a c , hvor
a=3,b=−5,c=2
De kendte tal indsættes:
d =25−4⋅3⋅2=25−24=1
Da d>0 er der to forskellige løsninger, som findes med formlen:
−b±√(d )
x=
2⋅a
De kendte tal indsættes:
x= −(−5)±√(1)
=
2⋅3
5±1
6 ={6
6
4
6
L={2/3 ; 1}
5. Er F(x) en stamfunktion?
F ( x)=2 x 5 +4 x 3 −2 x 2 +9
f (x)=10 x 4 +8 x 2 −4 x
F(x) er en stamfunktion til f(x), hvis F'(x) =f(x).
F differentieres:

Ib Michelsen Svar: HFE B August 2012 Side 3
F ' ( x)=(2 x 5 +4 x 3 −2 x 2 +9)' =2⋅5⋅x 5−1 +4⋅3⋅x 3−1 −2⋅2⋅x 2−1 +0
F ' (x)=10⋅x 4 +12⋅x 2 −4⋅x≠ f ( x)
F(x) er IKKE en stamfunktion til f(x)
6. Find grafen
hvor f(0)=8 og som har halveringskonstanten 3.
Som den blå pil viser har både A og C
skæringspunktet (0,8) med y-aksen og dermed er
første betingelse opfyldt.
Men da funktionen med grafen A er voksende, er
den udelukket.
Til gengæld viser de røde pile, at grafen C går
gennem punktet (3,4), hvilket bekræfter, at den
tilsvarende funktion har halveringskonstanten 3: y-værdien 8 er halveret til 4
samtidig med at x-værdien er gået fra 0 til 3.
C er grafen for f.
7. Aztekerriget
a Befolkningens størrelse i 1550
Da 1550 er 19 år efter 1531, kan
befolkningens størrelse beregnes
som f(19) = 1,44 (se figur); dvs.:
Befolkningen var (ifølge modellen)
på 1,44 mio. mennesker
b Betydningen af parametrene
5,5 er befolkningens størrelse i
(startåret) 1531 målt i mio. mennesker. 0,932 er vækstfaktoren a = 1+r; r=0,932-1 =
-6,8%. Dvs. at befolkningen hvert år bliver 6,8 % mindre.

Ib Michelsen Svar: HFE B August 2012 Side 4
c Hvornår blev indbyggertallet 2,75 mio.?
På figuren er der fundet skæringspunktet for f og linjen y = 2,75: A = (9,84 ; 2,75).
Det viser, at befolkningstallet 2,75 mio. blev nået 9,84 år efter 1531.
Befolkningstallet 2,75 mio. blev nået ca. 1541 ifølge modellen.
8. Trekantsberegninger
Givet trekanten med de anførte mål. For at finde
øvrige mål, konstrueres trekanten i GeoGebra således:
Siden AC afsættes med længden 65. Der tegnes to
cirkler: én med centrum i A og radius 44, én med
centrum i B og radius 62. Cirklerne skærer hinanden i B. Fra B tegnes en linje (e)
vinkelret på b. Skæringspunktet D er fodpunktet for højden fra B.
Alle de ønskede mål fremgår nu af figuren:
a: Vinkel A = 66,1º
b: Trekantens areal = 1310
c: Højden = 40,2

Ib Michelsen Svar: HFE B August 2012 Side 5
9. Puslespil
I en tabel angives sammenhængende værdier mellem antal brikker i et puslespil og
den tid, det tager at lægge det. Tabellen genfindes i regnearket herunder. 4
a Find parametre
Det er oplyst, at sammenhængen kan beskrives med en potensfunktion. Punkterne
med koordinater fra tabellen indtegnes og funktionen findes med regression: se
ovenover.
a = 1,43 ogb = 1,56
b På 3000 sekunder
kan man lægge et puslespil på 194 brikker;
4 Nej, der er ikke tastet forkert ind, men der er benyttet en indstilling, der viser 3 betydende cifre (og altså ikke cifret 4
i 4024.

Ib Michelsen Svar: HFE B August 2012 Side 6
det ses i skæringspunktet H mellem grafen og linje y =3000.
c Tid til et dobbelt så stort puslespil
Forholdet mellem tiderne er uafhængigt af om puslespillet er stort eller lille. Her
beregnes det med udgangspunkt i x-værdien i H og den halve x-værdi (dvs. for ca.
194 og ca. 97 brikker). Forholdet mellem y-værdierne er så beregnet til 2,70.
Hvis puslespillet bliver dobbelt så stort, skal der bruges 2,70 gange så megen tid på
at lægge det.
10. f(x) = 2x – e x + 3
Funktionsforskriften for f indtastes; så findes f' ved at indtaste f'(x).
f'(x) = 2 – e x
P indtegnes som P=(0,2); det bemærkes, at det er et punkt på grafen, da
f(0) = 0-1+3 = 2

Ib Michelsen Svar: HFE B August 2012 Side 7
Tangenten findes med tangentværktøjet og ligningen kan aflæses som:
Tangentligning: y = x + 2
Monotoniforhold
Skæringspunkterne mellem x-aksen og grafen for f' findes: Der er ét: A. At der ikke
kan være flere kan ses ved, at f' er en aftagende funktion (da e x er voksende).
x x

Ib Michelsen Svar: HFE B August 2012 Side 8