Vektorer og lineær regression - Forside for harremoes.dk

More documents

Recommendations

Info

B a C b c A Figure 4: Retvinklet trekant og tilhørende vektorer. Ofte bruger man Pythagoras’ læresætning til at bevise længdeformlen og afstandsformlen, men vi har vist dem uden hjælp fra Pythagoras. Det er faktisk endnu bedre, idet vi nu er i stand til at give et ganske simpelt bevis for Pythagoras læresætning. Sætning 19 (Pythagoras’ Læresætning) Lad A, B og C betegne hjørnerne i en trekant, hvor ∠C er ret. Lad a og b betegne længderne af kateterne og lad c betegne længden af hypotenusen. Da gælder Bevis. Vi indfører følgende vektorer a a 2 + b 2 = c 2 . a = −→ CB , −→ b = CA , c = −→ AB , s˚aledes at a = |a| , b = b og c = |c| . Da gælder c = a −b og dermed c 2 = c · c = a − b · a − b = a · a + b · b − 2a · b = a 2 + b 2 − 2a · b. Da trekanten er retvinklet, er a · b = 0. 9 b c
5 Lineær regression Vi tænker os at vi har m˚alt sammenhørende værdier af to variable X og Y et antal gange. Hvert datapunkt (xi, yi) kan repræsenteres ved den tilhørende xi stedvektor vi = . Hvis datapunktet (xi, yi) er observeret hi gange og yi det samlede antal observationer er n, s˚a er frekvensen af datapunktet fi = hi/n. Vi er interesseret i at bestemme et enkelt punkt (x, y) med stedvektor v, som giver en god repræsentation af hele datasættet. Til at m˚ale hvor meget et datapunkt afviger fra (x, y) vil vi bruge den kvadrerede afstand |vi − v| 2 . Følgende sætning blev bevist af M. Stewart i 1746 i det specielle tilfælde, hvor der kun er to forskellige datapunkter. Sætning 20 (Stewarts Sætning) Lad w betegne stedvektoren for tyngdepunktet givet ved n w = fi · vi . Da gælder at n fi · |vi − v| 2 = i=1 i=1 n i=1 fi · |vi − w| 2 + |w − v| 2 . Specielt gælder der, at den gennemsnitlige kvadratafvigelse er minimal n˚ar v = w. Bevis. Beviset best˚ar i følgende udregning n fi · (vi − v) 2 = i=1 = = n fi · ((vi − w) + (w − v)) 2 i=1 n i=1 fi · (vi − w) 2 + (w − v) 2 + 2 (vi − w) · (w − v) n fi · (vi − w) 2 + i=1 n fi · (w − v) 2 + i=1 Nu bruger vi, at w − v ikke afhænger af i og f˚ar n fi · (vi − v) 2 = i=1 n i=1 n fi · 2 (vi − w) · (w − v) . i=1 fi · (vi − w) 2 + (w − v) 2 + 2 (w − v) · 10 n fi (vi − w) . i=1
Page 1 and 2: Vektorer og lineær regression Pete
Page 3 and 4: v w u v + w Figure 2: Summen af are
Page 5 and 6: Eksempel 6 En trekant har hjørner
Page 7 and 8: I stedet for at sige ”tværvektor
Page 9: 4. v · v = |v| 2 . Bevis. De førs
Page 13 and 14: ligger i origo s˚a (¯x, ¯y) = (0
Page 15: C a B b c A Figure 6: Trekant og ti

Vektorer og lineær regression - Forside for harremoes.dk

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?