Vektorer og lineær regression - Forside for harremoes.dk

More documents

Recommendations

Info

Med disse regneregler kan vi udlede en formel til beregning af planprodukter i koordinatsystemer. x1 x2 Sætning 3 Lad v og w være vektorer med koordinater og . Da er planproduktet fra v og w givet ved Bevis. Vi skriver v ⊗ w = x1y2 − y1x2. v = x1 i + y1 j , w = x2 i + y2 j . Vi vil benytte, at i ⊗ j = 1 og at j ⊗i =-1 til at vise v ⊗ w = x1i + y1j ⊗ x2i + y2j = x1i ⊗ x2i + x1i ⊗ y2j + y1j ⊗ x2i + y1j ⊗ = x1x2 i ⊗i + x1y2 i ⊗ j + y1x2 j ⊗i + y1x2 j ⊗ j = x1x2 · 0 + x1y2 · 1 + y1x2 · (-1) + a2b2 · 0 = x1y2 − y1x2. Hermed er sætningen bevist. Med denne formel er det nu let at beregne arealet af diverse polygoner. 1 -2 Eksempel 4 Vektorerne og udspænder et parallelogram. Plan- 2 3 produktet er 1 2 ⊗ -2 3 Parallelogrammets areal er derfor 7. 2 Eksempel 5 Vektorerne og 1 produktet er 2 1 ⊗ 2 -3 = 1 · 3 − 2 · (-2) = 7. 2 -3 y1 y2 y2 j udspænder et parallelogram. Plan- = 2 · (-3) − 1 · 2 = -8. Planproduktet er negativt, hvilket afspejler at vektorerne er negativt orienterede. Arealet er 8. 3
Eksempel 6 En trekant har hjørner A = (1, 2) , B = (5, 3) og C = (2, 6) . Vi bestemmer vektorer svarende til to af siderne. −→ 5 − 1 4 AB = = , 3 − 2 1 −→ 2 − 1 1 AC = = . 6 − 2 4 Planproduktet beregnes som −→ AB ⊗ −→ AC = 4 1 ⊗ 1 4 = 4 · 4 − 1 · 1 = 15. Arealet af det udspændte parallelogram er dermed 15. Arealet af den udspændte trekant er halvt s˚a stort, hvilket er 15/2 = 7 1/2. Notation 7 I dette afsnit har vi brugt ⊗ som notation for planproduktet. Brugen af ⊗ som symbol for planprodukt stammer fra C.A Bishop 1978 og har ikke vundet større udbredelse uanset at den er ganske raktisk til væres form˚al. Den mest almindelige notation for planprodukt er at skrive det (v, w) og kalde planproduktet for determinanten af v og w. Hvis vektorerne er givet ved koordinaterne x1 v = , y1 x2 w = , s˚a er det almindeligt at skrive determinanten som det (v, w) = . y2 x1 x2 y2 y2 Historisk set startede vektorregning som et systematiske studie af determinanter (i 2 eller flere dimensioner). Sætning 8 (Snøreb˚andsformelen) Lad A1, A2, · · · , An betegne hjørnerne i en polygon s˚a nummereringen af hjørnerne er i positiv omløbsretning. Da er arealet af polygonen 1 −−→ OA1 ⊗ 2 −−→ OA2 + −−→ OA2 ⊗ −−→ OA3 + · · · + −−→ OAn ⊗ −−→ OA1 , hvor O er koordinatsystemets begyndelsespunkt. 4
Page 1 and 2: Vektorer og lineær regression Pete
Page 3: v w u v + w Figure 2: Summen af are
Page 7 and 8: I stedet for at sige ”tværvektor
Page 9 and 10: 4. v · v = |v| 2 . Bevis. De førs
Page 11 and 12: 5 Lineær regression Vi tænker os
Page 13 and 14: ligger i origo s˚a (¯x, ¯y) = (0
Page 15: C a B b c A Figure 6: Trekant og ti

Vektorer og lineær regression - Forside for harremoes.dk

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?