Vektorer og lineær regression - Forside for harremoes.dk

More documents

Recommendations

Info

3 Prikprodukt Vi vil nu definere endnu et produkt mellem vektorer. Hvor planproduktet bruges til at beregne arealer, vil vi bruge det nye produkt til at beregne længder og vinkler. Definitionen af det nye produkt kombinerer defintionerne af planprodukt og tværvektor. Definition 15 Ved prikproduktet af vektorerne v og w forst˚as planproduktet af v og tværvektoren af w. I symboler ser definitionen s˚aledes ud v · w = v ⊗ w. Andre betegnelser for prikproduktet er skalarprodukt og indre produkt. Sætning 16 Lad v = x1 og w = x2 være vektorer. Da kan prikproduktet af de to vektorer beregnes som: y1 Bevis. Vi benytter definitionen y2 v · w = x1x2 + y1y2. v · w = v ⊗ w x1 = ⊗ y1 x2 y2 x1 -y2 = ⊗ y1 = x1x2 − y1 (-y2) = x1x2 + y1y2. Hermed er sætningen bevist. For hver regneregel vi har for planproduktet har vi en tilsvarende regel for prikproduktet. Sætning 17 For tre vektorer v, w og c og en konstant k ∈ R gælder følgende regneregler: 1. v · w = w · v (kommutativ lov). 2. (k · v) · w = k · (v · w) = v · (k · w) . 3. v · (w + c) = v · w + v · c (distributive lov). 7 x2
4. v · v = |v| 2 . Bevis. De første tre regneregler kan f˚as direkte ud fra tilsvarende regneregler for planprodukt. Alternativt kanman bevise dem ud fra sætning 16. Regel x1 x2 1 bevises s˚aledes. Lad v = og w = . Da gælder v · w = y1 y2 x1 x2 · = x1x2 + y1y2 y1 y2 x2 x1 = x2x1 + y2y1 = · y2 y1 = w · v. Regel 2 og 3 f˚as tilsvarende og beviserne er skrevet ud i alle detaljer i bogen. Den sidste regneregel f˚as ved at bemærke, at v·v = v⊗ v. Prikproduktet af en vektor med sig selv er derfor lig med arealet af et kvadrat med sidelængde |v| , hvilket som bekendt er |v| 2 . Vi har defineret prikproduktet ved hjælp af planprodukt og tværvektor. Mange bøger definerer prikproduktet først og udleder derefter følgende formel til udregning af arealer/planprodukt v ⊗ w = v · w. 4 Pythagoras og vektorer længder Sætning 18 (Længdeformlen) Lad v = bestemt ved: |v| = (x2 + y2 ) 1/2 . Bevis. Vi ved at |v| 2 = v · v = x · x + y · y = x 2 + y 2 . x y . Da er længden af v Formlen f˚as ved at tage kvadratroden p˚a begge sider af lighedstegnet. For punkter A = (x1, y1) og B = (x2, y2) har vektoren −→ AB koordinater x2 − x1 . Hvis vi anvender længdeformlen p˚a denne vektor, f˚ar vi afs- y2 − y1 tandsformlen |AB| = (x2 − x1) 2 + (y2 − y1) 21/2 . 8
Page 1 and 2: Vektorer og lineær regression Pete
Page 3 and 4: v w u v + w Figure 2: Summen af are
Page 5 and 6: Eksempel 6 En trekant har hjørner
Page 7: I stedet for at sige ”tværvektor
Page 11 and 12: 5 Lineær regression Vi tænker os
Page 13 and 14: ligger i origo s˚a (¯x, ¯y) = (0
Page 15: C a B b c A Figure 6: Trekant og ti

Vektorer og lineær regression - Forside for harremoes.dk

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?