Vektorer og lineær regression - Forside for harremoes.dk

Tilbage er blot at udregne det sidste led
n
fi (vi − w) =
i=1
n
fivi −
i=1
= w − w
= 0.
Vi har set, at hvis et helt datasæt skal repræsenteret ved et enkelt punkt,
s˚a er tyngdepunktet det bedste valg. Vi vil nu forsøge at repræsentere hele
datasættet ved en ret linje af formen y = ax + b. Her vil vi opfatte x som
den uafhængige variable og y som den afhængige variabel. Vi vil igen bruge
gennemsnitlig kvadratisk afvigelse som m˚al for kvaliteten af vores rette linje,
hvor vi ved kvadratisk afvigelse forst˚ar størrelsen
n
i=1
n
fi (yi − (axi + b)) 2 .
i=1
Sætning 21 For et datasæt vil bedste rette linje g˚a gennem tyngepunktet og
hældningen vil være givet ved
n a =
Bevis. Først skriver vi
n
fi (yi − (axi + b)) 2 =
i=1
i=1 fi (xi − ¯x) (yi − ¯y)
n i=1 fi (xi − ¯x) 2 .
fi w
n
fi ((yi − axi) − b) 2
s˚a for fastholdt værdi af a skal vi minimere en kvadratafvigelse og skal derfor
vælge middelværdien
b =
i=1
n
fi (yi − axi)
i=1
= ¯y − a¯x
men det medfører at ¯y = a¯x + b s˚a linen skal g˚a gennem tyngdepunktet.
For at gøre den sidste del af beviset simplere vil vi antage at tyngdepunktet
11