Billeder af Julia-mængder

1
Billeder af Julia-mængder
af Gert Buschmann
Dengang fraktalerne så dagens lys, var der endnu noget tilbage af den orden,
ifølge hvilken nyskabelser der ikke syntes at føje sig smukt ind i mønsteret af
det gamle, måtte ses kritisk an og næsten med sikkerhed blev dømt som nedbrydende
for den begrænsning og harmoni der måtte være i kulturen for at
tingene kunne have deres virkning. Ånden, mente man, havde ligesom naturen
love der måtte følges når man dyrkede, og fejl kunne føre til uoprettelige
skader. At en vækst på et ukultiveret sted skulle vise sig nyttig, var næsten
utænkeligt, og omvendt var der vækster på de kultiverede steder som var så
nyttige at deres betydning kun behøvede at kunne vurderes af få mennesker -
et paradoks som kom af at man havde forpligtelser overfor højere instanser
såsom Gud, nationen, fremtiden. Men denne kulturorden kunne ikke vare
ved. De højere instanser og uligheden i livsmulighederne kom i konflikt med
en ny tids ideer, og væksten i velstand og smag for nyhed og sjov betød at
man bekymrede sig mindre: der skulle mere til førend noget var skadeligt og
der skulle mindre til for at rette op på en skade.
Et typisk eksempel på den form for virke som var opstået i gammel tid og
som for det meste kun var tiltænkt at skulle ofres til en højere instans, var
matematikken. Den nye tids ugudelighed viste sig til at begynde med derved,
at jo mere lærdomskrævende matematikken blev, jo mere forsvandt matematikeren
fra den almindelige bevidsthed - og ligeledes hans håb om udødelighed,
idet man foretrak at læse og skrive om den nemme fortid frem for
den svære nutid. Men så blev matematikken pludselig synlig igen, men en
matematik som måtte kaldes et tilbageskridt, idet den blot var foranlediget af
den nye teknologis redskaber og problemstillinger - og latterlig elementær i
forhold til hans matematik - men dens folk kunne, oftest blot i kraft af det nyopfundne
apparatur, kapre en opmærksomhed som evnerne og tålmodigheden
ellers ikke havde berettiget til.
Den forkerte form for uretfærdighed? Næh såmænd nej, tænkte denne matematiker:
kulturens retfærdige uretfærdighed lader sig kun forstyrre midlertidigt.
Hans fagområde var så veletableret og nød så stor respekt blandt fagets
kendere, at intet anstændigt menneske hverken kunne eller ville anfægte
hans nytte. Thi hans virke gjaldt kulturens ædelsten, og disse skabes ved tid og
tryk. Og selv om sådanne forhold ikke er almindelige - og de mennesker som
forstår at værdsætte kulturskattene heller ikke er almindelige - så ligger driften
imod forædling i menneskets natur, og opretholder man blot et vist mål af

2
almen dannelse, så vil enhver indse og (inderst inde) godkende den højere
orden som menneskene og deres skaberværker har deres plads i. Og de vil
erkende, at det spektakulære altid er blændværk som kun berører følelserne
et øjeblik, idet det herefter kun vil vække latteren – enten fordi det er latterligt
eller fordi man ikke mere fatter at det kunne frembringe det postyr det gjorde.
Og tilsvarende, at det ægte stemmer os til alvor fordi det udfordrer og
stiller krav til os, og fordi det, da vores indsats altid vil være mangelfuld, har
en tendens til at undfly os, idet det så at sige søger ned imod det dyb hvorfra
det er hentet. Opretholder man disse erkendelser, vil kulturen støt og roligt
gå frem, fordi hoben vil have den portion dårlige samvittighed som den behøver
og geniet vil have den stiltiende anerkendelse som han behøver. Således
tænkte matematikeren (dengang).
Kunstneren, hvis billeder var ligeså abstrakte som matematikerens teorier,
havde ikke dennes stabile indkomst og tro på at kulturens dybere lovmæssigheder
er ligeså smukke som matematikkens, men hans forestilling om udviklingen
var ikke mindre absurd: "Nu er mennesket endelig, igennem en lang
lang udvikling, nået frem til den erkendelse, at den ædleste og sandeste
kunst er den hvori formerne og farverne og ordene og tonerne er gjort fri af
krav om at skulle efterligne og tjene interesser, og så vender virkeligheden
Gud hjælpe mig tilbage - og nu med fornyet styrke. For disse fraktaler må
kaldes afbildninger af noget virkeligt, og de mennesker som laver dem har en
tænkemåde som vinder mere og mere udbredelse og som man er afmægtig
overfor. Denne Mandelbrot-mængde er bare begyndelsen, deres formler har
ingen grænser, og billederne vil blive mere og mere barokke. Og det er noget
folk kan forstå og vil elske, de vil bruge timer på at gå på opdagelse i dem og
matematikerne vil tjene millioner".
Disse to venner - matematikeren og kunstneren - som nu er noget oppe i årene,
havde i sin tid mødt hinanden i Paris hvor de begge studerede. Matematikeren
har lige siden omtalt dette ophold som spild af skatteydernes penge og
distraherende for ham selv. Kunstneren er ikke ligeså uafhængig af menneskenes
vurderinger og materialernes egenskaber som matematikeren, og han
har lært at mestre disse så godt at han kan nyde deres genstridighed, men
han erkender at man, når man er ude i verden, må mobilisere ekstra selvtugt
hvis det ikke skal udarte til turisme. Og de deler den opfattelse at det netop
er den vej udviklingen er gået: engang var en højere uddannelse en rejse som
krævede møjsommelig forberedelse og hvor man sneglede sig frem, idag –
således forekommer det dem - er videnstilegnelse en sight-seeing hvor blikket
farter hid og did og på kryds og tværs af alle grænser. "Det er ubegribeligt at
en så løsagtig form for kunnen kan afstedkomme så megen iver og målrettet-

3
hed", sagde kunstneren en dag. "Det er ikke dér det ubegribelige ligger", svarede
matematikeren, "hoben skubbes frem – imod afgrunden kunne man tilføje
- eliten trækkes frem – af en tro på en højere verden og en drøm om et evigt
liv i den. Og det ubegribelige er, at vi har mistet troen i enhver betydning af
ordet. Du sagde engang, at du betragter et lærred med to signaturer for blasfemi.
Dette viser at du er et troende menneske!". Denne forandring af verden
– fra det at skulle forstå en orden og mening som var relativt uafhængig af tiden,
til det at skulle finde fortolkninger som kan tjene ens interesser og som
hele tiden må fornys - er et emne som altid berøres når de mødes. Dog aldrig
uden at de sandheder de når frem til viser uønskede sider.
En dag, under en god middag i matematikkerens hjem, var det fraktalerne
som erindrede dem om at antipati imod en ting ofte kommer af antipati imod
de mennesker som vi forbinder med tingen - hvilket naturligvis ikke altid
kan dadles. "Forstil dig", sagde matematikeren, "at der fandtes en orkidé-art
som groede efter et princip der mindede om de flotteste Julia-mængder og
som for alle mennesker stod som kronen på Gud skabervirksomhed i skønhedsmæssig
henseende - øh næst efter kvinden - og som derfor var lovprist
af digtere og malere. Men så opdager man - en matematiker måske - det princip
der genererer deres vækst - og generaliserer det - og får billeder frem på
computerskærmen som er endnu flottere. Så ville orkideerne være berøvet
deres hemmelighed, og digterne og malerne ville føle sig som idioter". "Ja",
svarede kunstneren, "det bliver sværere og sværere for den anstændige
kunstner at skildre verden. Han må enten søge imod fortiden eller imod verdener
som er uberørte af mennesker". "Uberørte af blandt andet matematikere",
indskød matematikeren. "Du véd hvad jeg mener - vi har talt nok om den
sag. Du søger selv - ligesom jeg og af samme grund - imod det abstrakte".
"Jeg vil sige, at jeg søger imod de ting som er dybest prægede af menneskene,
hvilket indebærer at de kommer sent i udviklingen, og det betyder paradoksalt
nok at de kan have et skær af umenneskelighed over sig. De ting som vi
forbinder med det umenneskelige – cykelrytternes maskinagtige ydre og indre
– rockmusikkens hamren – studieværternes rablen – er i virkeligheden
såre menneskelige: således bliver mennesket i tidsaldre til hvor kulturen er
sat ud af kraft og hvor naturen vender tilbage. Og så vil jeg sige, at jeg er taknemmelig
for den tid og det miljø som skæbnen placerede mig i. Ja man kan
jo egentlig sige, at vi uforbedrelige romantikere som insisterer på modstand,
lever i en slags guldalder lige nu. Vi kender ikke til fattigdom eller er truet på
livet, og vi bilder os ind at vores fredelige modstandere inderst inde værdsætter
og misunder os. Problemet er, at de ikke er til at råbe op, men den tanke
at man stillede dem nogle nærgående spørgsmål, pirrer mig. At man fik
dem til at fornemme den pris de betaler for deres sociale samvær. Tag nu

4
fraktalerne, billederne er fascinerende og vækker opsigt, men matematikken
er kedelig – den er uden dybde og skønhed. Dette kunne for resten tyde på at
de unge idag kaster sig over den. For resten nej, der er næppe penge i den.
For resten!", matematikeren brød ud i latter: "Ka' du huske hva' du forestillede
dig dengang?" "Ja, men det var jo ikke fraktalerne der var det afgørende i
det vi diskuterede. Jeg sagde, at der er noget sterilt over de naturlove som
menneskene kan fatte, og som de kaster sig over, enten bare for at vise at de
kan fatte dem eller fordi de kan drage nytte af dem". "Ja, og hertil svarede jeg,
som jeg lige har antydet, at dette netop er de naturlove hvis afdækning er en
naturlov, hvorimod den største og mest ægte videnskab i sig selv er ufattelig.
Fordi den er forårsaget af en trang som ikke på nogen måde kan forklares,
men som snarere synes i strid med menneskets natur. Men lad nu dette være
nok for i dag, lad os nu, for en kort bemærkning, lade fraktalerne være det afgørende.
Jeg foreslår at vi arrangerer en... øh sight-seeing i fraktalernes verden.
Jeg har ikke set dem i årevis, jeg ka' dårlig huske hvordan de egentlig ser
ud - jeg bliver helt nysgerrig – konkurrencen er jo hård i billedverdenen. Vi
må ud at surfe når vi er færdige".
Så efter middagen trak de lænestolene og bordet med kaffekopper og cognacglas
hen til matematikerens computer og indtastede "fractal". "Der er langt
imellem sjusserne her", mumlede matematikeren og satte farten op. Men af
og til opholdt han sig nogle sekunder ved et billede, og som minutterne skred
frem kom hovedet tættere og tættere på skærmen, hvorimod kunstneren sank
dybere og dybere tilbage i lænestolen. "Du må undskylde", sagde denne, "vi
fæstner os jo ved forskellige ting - men jeg ka' se at det optager dig - du er ligegodt
imponeret, hva'?" "Imponeret!", svarede matematikeren, "Det er skoledrenge
der er på spil her! Se det dér billede. Du har et iterationsudtryk med
et tiltrækkende fikspunkt og en lillebitte figur ved fikspunktet, så har du det
billede. Men se her, her er et program man kan købe - 50 $. Man ka' prøve
det, la' os se. Ja, der har vi jo gamle Mandelbrot! Man kan zoome ind med sådan
et rektangel. Se her, nu rejser vi ned i Søhestedalen, sådan, længere og
længere ned..." "Jamen? - hvor er søhestene?", udbrød kunstneren, "Joh de er
der, men hvorfor ser de sådan ud? - de er jo helt udtværede". "De har sgu' aldrig
været der!", brølede matematikeren, "Det er nogen tumber hele bundtet!
- og det har de altid været!" "Jamen søhestene har da været der!", insisterede
kunstneren. "Der er noget muggent ved déther", fortsatte matematikeren, "Jeg
indtastede i sin tid det program de havde lavet søhestene med, men jeg fik
det aldrig til at virke - ikke ordentligt - jeg havde en følelse af at der var noget
galt med proceduren, men jeg fik ikke set nærmere på det. Meeen den sag
ska' undersøges! Her er noget for os at gå igang med. Ja dig og mig!", sagde
han på vej ud af stuen.

5
Han kom tilbage med nogle fotokopier og en diskette. "Her har vi søhestene.
Joh, man ka' pludselig fornemme det sug i maven man følte dengang. Men
de er uden farver og dikkedarer, og så ka' de vel ikke kaldes kunst. Og du påstår
at de heller aldrig er blevet kunst og jeg påstår at de heller aldrig er blevet
matematik. Jeg synes sgu' ærlig talt at fraktalerne er blevet uretfærdigt behandlet!
Det er muligt at de i vores stopfyldte verden ikke kan kræve mere
opmærksomhed end et øjebliks forundring, men dette øjeblik skal da - det
formoder vi da - skænkes alle mennesker i al fremtid, og bør vi så ikke gøre
os den ulejlighed at skabe nogle anstændige billeder? Jeg tænker på billeder
som er helt naturlige i matematisk henseende - fri for al det søgte og tilfældige
– de skal demonstrere noget på én gang nærliggende og tankevækkende.
For resten, her vi måske en sådan verden som du og jeg længes efter. Jeg forestiller
mig nogle surrealistiske landskaber som man ikke forbinder med nogen
kultur - formationer skabt af sære og ukendte naturlove. Sterile? – det
kommer vel an på lyset og farverne. Jeg kan allerede se dem for mig. Ser du,
det der undrer mig ved alle de billeder vi så, er at afstandsfunktionen er totalt
fraværende. Afstandsfunktionen er der en formel for i de her papirer. For
et punkt udenfor fraktalen estimerer den afstanden ind til fraktalen - den er
altså ikke præcis, og langt væk fra fraktalen kan tallet sikkert afvige meget fra
den sande afstand – ja det skulle ikke undre mig om den har singulariteter -
men jo mere man nærmer sig til fraktalen jo mere korrekt bliver tallet. Det er
ved hjælp af den formel man i sin tid fik den flotte rand frem. Selve fraktalen
er uendelig tynd, og det betyder at computeren ikke umiddelbart kan tegne
den: sandsynligheden for at et af de punkter der tegnes ligger på fraktalen er
lig nul. Man får kun et indtryk af fraktalen igennem farvelægningen, men da
farverne kommer til at ligge tættere og tættere jo mere man nærmer sig fraktalen,
bliver billedet grumset og uæstetisk. Ved afstandsformlen kan man få
et klart billede af selve fraktalen, og man fjerner grumset. Men det jeg kommer
til at tænke på er, at afstandsfunktionen jo giver anledning til et landskab:
i ethvert punkt udenfor fraktalen går man ligeså højt tilvejrs som afstandsfunktionens
værdi i punktet, så får man et bakket landskab hvor igennem
fraktalen løber som en flod. Og det landskab kan man jo vise i perspektiv
- og i en belysning som får det til at fremtræde som virkeligt. Matematisk
set er det rutinearbejde - programmet det skal selvfølgelig laves sådan at man
kan zoome ind og finde det helt rigtige motiv. Men hva' siger du? Det er jo
dig der skal trække det tunge læs: farvelægningen. Den foregår - som du sikkert
lagde mærke til - og kan tænke dig til - ved en farveskala som bidder sig
selv i halen, og den skal konstrueres. Og det må være noget med at lægge en
lukket kurve i et område der parametriserer farverne. Kurven behøver nok
bare at være en cirkel eller ellipse, men det er området der er problemet.
Computerteknisk ville det være nemmest at lade det være terningen med

6
kantlængde 255 af RGB-værdierne, men det med ellipser i en firkant klinger
ikke godt, og hvordan er det nu med de rene farver? Det er dem enhver farve
fås af ved at iblande hvid og sort, så det må være dem hvor RGB-talsættet indeholder
både 0 og 255, og de ligger langs de seks kanter der ikke indeholder
det sorte og det hvide hjørne. Jeg vil hellere have dem til at ligge på en cirkel
- ligesom i farvelæren. Du fortalte engang hvordan cirklen af de rene farver
dannes - det er virkelig tankevækkende. Jeg lavede et program, det må vi finde
frem. Nuvel, enhver tænkelig farve fås ved blande hvidt og sort i en af farverne
på cirklen, og det betyder at farverne er parametriseret ved en dobbeltkegle
der har cirklen tilfælles og hvor sort er det ene toppunkt og hvid det
andet. Det er ved hjælp af denne kegle at vi skal farvelægge fraktalerne".
***
De første par dage gik alt som en leg for matematikeren. Senere da han skulle
se hvordan det går når man går fra rationale til trancendente funktioner, kom
hans matematiske intuition dog på en hård prøve: det er noget naturstridigt
ved Julia-mængderne, de udarter, men har ikke-trivielle tilnærmelser. Og da
han gik i lag med de ikke-holomorfe funktioner opstod nye besynderligheder,
flere ting måtte han opgive at forstå til bunds, men han mente at han
kunne forklare det man ser på skærmen, og desuden var hans tid udløbet.
Han nedskrev al sin teori, den kom til at fylde fire sider, og skulle nogen ønske
at se disse, er de her: www.juliasets.dk/Fraktaler_Outline.
Han gjorde dog den triste erfaring, at smukke motiver er meget vanskelige at
finde, der skal mange indtastninger af parametre til, og megen leden efter
brugbare lokaliteter, og det er åbenbart en naturlov at helheden og detaljen
ikke harmonerer sammen. Men sådan er det vel strengt taget med alting –
verden er disharmonisk. Og det kan vi ikke forlige os med, så derfor udvælger
og omordner vi, og sætter resultatet i glas og ramme. Matematikeren har
igennem årene fået mere blik for det menneskeskabte i sin matematik. Ikke
bare begreberne, men også den uforklarlige størrelse atmosfære. Hans matematik
hører en helt anden verden til end den vi lever i nu, den holdes kun i
live af ham selv og nogle få andre, og dette er han taknemmelig for. Tænk
hvis han havde valgt noget populært som speciale, f.eks. fraktalerne. Så havde
han været påtvunget et fællesskab med de mennesker de mødte da de surfede
på Internettet. Kunstneren havde åbenbart tænkt noget tilsvarende, for
han begyndte at gøre besværligheder. Men lad os nu tage tingene i den rigtige
følge: først matematikken og så kunsten.
Lad f(z) være en rational kompleks funktion. Når vi itererer et punkt z med
f(z) er det almindelige at iterationsfølgen konvergerer imod en endelig cykel

7
z1, ..., zr, og at alle punkter i en omegn af z konvergerer imod den samme cykel,
og der vil højst være endelig mange af disse cykler. Dette betyder en opdeling
af planen i endelig mange åbne områder - et sådant kalder vi et Fatouområde.
Komplementær-mængden til foreningen af Fatou-områderne er en ikke-tom
og ikke-numerabel nulmængde - den kalder vi Julia-mængden hørende
til f(z). Den er randen af hvert af Fatou-områderne. For z tilhørende Juliamængden
er iterationsfølgen i almindelighed kaotisk, men for numerabelt
mange z ender den i en endelig cykel. Undtagelsessituationen for et Fatouområde
er at den endelige cykel ikke er tiltrækkende men neutral, og dette betyder
at iterationsfølgerne blot ender med at kredse i cirkelagtige bevægelser
om dens punkter. Ethvert Fatou-område indeholder en løsning til ligningen
f'(z) = 0, en sådan kaldes et kritisk punkt for iterationen.
På et tiltrækkende Fatou-område kan vi definere en potentialfunktion φ(z). Vi
lader z* være et af cyklens punkter og betegner den n-te iteration af z ved zn.
Hvis cyklens orden er r, er z* fikspunkt for f (r) (z) og vi har f (r) (z) = (z – z*) p h(z)
+ z*, hvor p er et naturligt tal og h(z*) ≠ 0. For p = 1 er tallet α = 1/│(f (r) )'(z*)│
(= produktet af tallene 1/│f'(zi)│ over cyklens punkter = 1/│h(z*)│) et mål
for cyklens tiltrækning, og hvis m er et nummer således at zm er tilstrækkelig
nær z*, kan vi sætte
φ(z) = lim k→∞ 1/(│zm+rk – z*│α k ).
p > 1 betyder at α = ∞ og at f'(zi) = 0 for et af cyklens punkter, og i dette tilfælde
kaldes cyklen supertiltrækkende. Vi kan nu sætte
φ(z) = lim k→∞ log│zm+rk - z*│/α k ,
hvor α = p - eller, hvis cyklen er det supertiltrækkende fikspunkt ∞, hvilket
betyder at i f(z) er graden af tælleren mindst 2 større end graden af nævneren:
φ(z) = lim k→∞ log│zk│/α k ,
hvor α nu skal være forskellen imellem de to grader.
Hvis ε er et (meget) lille positivt tal og n er det første iterations-nummer således
at │zn+r - z*│< ε, er φ(z) tilnærmelsesvist givet ved:
1/(│zn – z*│α k ) henh. log│zn – z*│/α k ,

8
hvor k = [n/r] (+ en konstant som er uden betydning), og dette tal er 1/(εα k' )
henh. logε/α k' , hvor k' = k - κ og κ opfylder 0 ≤ κ < 1 og er givet ved:
log(ε/│zn – z*│)/log(│zn-r – z*│/│zn – z*│)
henh. log(log(│zn – z*│/logε))/logα
(i første formel er α erstattet med│zn-r – z*│/│zn – z*│). For fikspunktet ∞ har
vi at hvis N er et (meget) stort tal og k er det første iterations-nummer således
at │zk │≥ N, er φ(z) tilnærmelsesvist givet ved log│zk│/α k , og dette tal er
logN/α k' , hvor k' = k – κ og κ = log(log│zk │/log N)/logα.
Det er det reelle tal k' der giver den mest naturlige farvelægning, idet farvevariationen
følger fraktalens form - men metoden bruges ikke, for som der
står skrevet et sted: "Most fractal artists do not care about potential, but they
are very interested in continuous values" (underforstået: enklere metoder).
Hvis vi dividerer potentialfunktionen φ(z) med normen af dens gradient
φ'(z), får vi en funktion δ(z) = φ(z)/|φ'(z)| som må være et mål for en afstand,
nemlig fra Julia-mængden: ved tilnærmelse til denne bliver δ(z) proportional
med den sædvanlige afstand. Hvis vi lader z'k være den afledede af
zk (mht. z), har vi henh.
og
δ(z) = lim k→∞ │zk – z*│/│z'k│
δ(z) = lim k→∞ │zk│log│zk│/│z'k│,
hvor z'k succesivt udregnes ved z'k+1 = f'(zk) z'k, idet der startes med z'0 = 1.
Ved hjælp af afstandsfunktionen kan man få et klart billede af Julia-mængden,
idet denne "er" de z således at δ(z) er mindre end et givet lille positiv tal.
Og i modsætning til potentialfunktionen giver den anledning til et behageligt
bakkelandskab over planen som kan tegnes i perspektiv.
En Julia-mængde kan have forskellige grader af "sammenhænghed": den ene
yderlighed er at den er helt sammenhængende, den anden er at den er totalt
usammenhængende (en Cantor-mængde). Dette giver anledning til begrebet
Mandelbrot-mængde. Vi lader z1 og z2 være to kritiske punkter for f(z), og indfører
en parameter c således at vi betragter iterationsfamilien z → f(z) + c. Da
er Mandelbrot-mængden hørende til z1 og z2, mængden af de punkter c således
at z1 og z2 ikke tilhører samme Fatou-område ved iterationen z → f(z) + c.

9
Det indre af denne mængde må bestå af de c således at z1 og z2 itereres imod
tiltrækkende men forskellige cykler. Når c passerer denne mængdes rand, må
der ske en karaktermæssig ændring af Julia-mængden for f(z) + c, og disse
Julia-mængder er derfor mest interessante. Julia-mængderne er altid (helt)
selvsimilære, en Mandelbrot-mængde er lokalt selvsimilær, og på dens rand
er denne struktur identisk med Julia-mængdens struktur.
Vi får Mandelbrot-mængden frem ved at farvelægge dens ydre: For næsten
ethvert c bestemmer z2 en tiltrækkende cykel, og det at c er udenfor Mandelbrot-mængden
betyder at z1 itereres imod denne cykel, men dette betyder at
potentialfunktion φ(z) (for funktionen f(z) + c og denne cykel) er defineret i
punktet z1, og vi har således en potentialfunktion på området udenfor Mandelbrot-mængden
(i formlen for afstandsfunktionen δ(z) skal dog nu differentieres
med hensyn til c, så derfor foregår den succesive udregning af z'k nu
ved z'k+1 = f'(zk) z'k + 1, hvor der startes med z'0 = 0).
Programmet skal indrettes på denne måde: Først vælges to kritiske punkter
(de vælges grafisk og udregnes ved iteration), så kommer Mandelbrotmængden
frem, i denne kan man zoome og ændre farvelægning, og herefter
kan man, ved at flytte et variabelt punkt, gå over til Julia-mængderne.
Ved udregningen af zk+1 og z'k+1 i programmet, skal z'k+1 udregnes før zk+1, da
z'k+1 beror på zk og ikke zk+1. I bogen "The Science of Fractal Images" fra 1988
tales om at "save the orbit {z0, z1, ..., zk}", og dette betyder udover denne overflødighed,
at z'k kan give anledning til overflow, og (åbenbart også) at "the
images depend very sensitively on the various choices" (5 stk.). Denne "fejl" i
denne kendte bog er måske hovedårsagen til at randen kun findes på få billeder
og kun i det simpleste tilfælde f(z) = z 2 , og at der aldrig er tegnet detaljerede
snit i 3-dimensionale fraktaler. Men i virkeligheden er denne operation
helt uproblematisk, og den virker for alle iterationsudtryk og billedet tager
ikke længere tid.
Matematikeren var en smule stolt af sine billeder - kunstneren ville ikke kunne
gøre store indvendinger, men han måtte høres. Og matematikeren ville
også gerne have flere farvemuligheder, og dem kunne kunstneren få lov til at
fumle sig frem til - han havde godt af at snuse lidt til de moderne kunstneres
arbejdsredskab. Han sendte kunstneren sit kunstværk og et program som
kunne farvelægge motivet ved at man indtaster de parametre som bestemmer
en ellipse i dobbeltkeglen, samt en tegning af denne med tal og farveangivelser
på. Der gik påfaldede mange dage førend kunstneren ringede: "Sig
mig, har du selv kigget på den tegning?" "Nej", svarede matematikeren, "det
er jo det du skal gøre". "Jamen den hjælper ikke! – og otte parametre skal man

10
indtaste, det blir' man idiot af! - og dine ellipser er ikke den rigtige form". "Jamen
så ændrer vi dem, det er jo det du skulle undersøge". "Ja, så der kan blive
endnu flere parametre! Du ka' tro nej! Det her er ikke noget jeg står model
til! Jeg er kunstner! Det er farver der er mit fag, ikke tal!" "Javel, men er der
slet ikke noget der virker? - du sagde at man bare skal lægge ellipsen i overensstemmelse
med farvelæren - komplementærfarver overfor hinanden". "Jo,
der er lidt der er til at holde ud at se på - og det er uendelig langt fra dit... dit
kitsch".
Matematikeren bad om at få nogle af de tålelige billeder tilsendt, måske de
kunne give ham en idé. Han sagde selvfølgelig ikke hvad han tænkte, nemlig
at kunstnerens farvekunnen højst gælder hans egne billeder, og at kunstnere
i det hele taget er på skideren når de kommer lidt udenfor deres daglige rutine.
Og han undlod at sige, at hvis alt virkelig skal være så mikroskopisk nøjagtigt,
hvordan kan kunstneren så tillade, at farverne i de billeder han viser
på sin hjemmeside afviger ganske pænt fra originalernes. Denne tanke gav
matematikeren en lys idé: der er altid et eller andet galt med de billeder man
får frem på skærmen, de må efterbehandles, men de muligheder man har
med de almindelige billedbehandlingsprogrammer er for begrænsede, fordi
de ikke må forudsætte mere matematik end det der skal til for at kunne trække
i et håndtag. Men man kan sikkert opnå underværker, hvis man anvender
farvetransformationer som forudsætter en lille bitte smule tænkning i geometri
og tal.
Matematikeren gættede at det ville være nok med en lineær afbildning. Han
lavede et sådant program og prøvede det på kunstnerens billeder, såvel fraktalerne
som fotografierne af hans værker, og han var forbløffet over programmets
muligheder (det kan hentes på denne adresse: www.juliasets.dk/
Billedbehandling). Han bad kunstneren om at antyde hvilke forandringer i
fraktalerne der skulle foretages, og efter nogle billeder frem og tilbage, erklærede
kunstneren at "kunst og matematik strider imod hinanden", og da matematikeren
jo havde erkendt det samme og da han nu endegyldigt havde fået
bevis for at i hvert fald kunstnere og matematikere strider imod hinanden,
opdagede ingen af dem at de var blevet skånet for et dilemma: at skulle sætte
to signaturer på et og samme skaberværk.