Flersidet variansanalyse og hierarkiske modeller

Flersidet variansanalyse og hierarkiske modeller 

Helle Sørensen 

E-mail: helle@math.ku.dk 

StatBK (Uge 50, mandag) Flersidet ANOVA 1 / 19 

Eksempel: iltoptag for krabber 

Data fra Zar, Biostatistical Analysis, eksempel 14.1. 

Iltoptag for 72 krabber 

Tre forskellige arter (1, 2, 3) 

Tre temperaturer (lav, medium, høj) 

Begge køn 

Fire krabber per kombination af art, temperatur og køn 

Interesseret i effekten af art, køn og især temperatur p˚a iltoptaget. 


Program 


Eksempel: iltoptag for krabber 

For alle de følgende modeller vil vi antage følgende: 

Iltoptag for en krabbe af art i, køn j ved temperatur k er normalfordelt med 

middelværdi µijk og spredning σ. 

Bemærk antagelsen om ens spredning: checkes med residualplot. 

Hvordan skal µijk afhænge af i, j og k (art, køn, temperatur)? 

Lad os et kort øjeblik betragte den additive model, kun med hovedeffekter af art, 

køn og temperatur: 

µijk = µ + αi + βj + γk 

I proc glm i SAS: model iltoptag = art kon tmp; 

Hvillke antagelser ligger der i denne model? 

Hvordan kan vi komme væk fra disse antagelser? 

StatBK (Uge 50, mandag) Flersidet ANOVA 4 / 19

Model med vekselvirkninger 

Skal tage højde for at en effekt af en faktor kan afhænge af en af de andre 

faktorer, eller begge. 

Skal alts˚a inddrage vekselvirkninger! 

Tofaktorvekselvirkninger (første orden): art*kon, art*tmp, kon*tmp 

Trefaktorvekselvirkningen (anden orden): art*kon*tmp 

Modellen med trefaktorvekselvirkning: 

µijk = µ + αi + βj + γk + δij + ηik + φjk + ψijk 

Svarer til ensidet variansanalyse med 3 · 2 · 3 = 18 grupper. 

Krabber: fit af model og residualplot. Er modellen rimelig? 


Krabber: test og slutmodel 

Konklusioner p˚a test: 

art*køn*tmp ikke-signifikant (p = 0.22) 

køn*tmp ikke-signifikant (p = 0.11 eller p = 0.10) 

art*kon signifikant (p = 0.01) 

art*tmp signifikant (p < 0.0001) 

Slutmodellen er derfor: 

µijk = µ + αi + βj + γk + δij + ηik 

Vekselvirkninger kan evt. illustreres med “vekselvirkningsgrafer”. 

Bemærk: p˚a grund af de signifikante vekselvirkinger giver det ikke mening at teste 

for hovedeffekter. 


Modelreduktion 

Ønsker at gøre modellen simplere ved at fjerne ikke-signifikante led. 

Starter med at teste om trefaktorvekselvirkningen art*kon*tmp er signifikant. 

Dette svarer til H0 : φijk = 0 for alle i,j,k. 

Hvis trefaktorvekselvirkningen er signifikant, kan vi ikke komme videre! 

Hvis trefaktorvekselvirkningen ikke er signifikant, undersøger vi om 

tofaktorvekselvirkningerne er signifikante. Dette svarer fx. til hypotesen 

H0 : δij = 0 for alle i,j. 

Hvis en faktor ikke indg˚ar i en signifikant vekselvirkning kan vi teste for 

hovedeffekten. Dette svarer fx. til H0 : αi = 0. 

Krabber: Udfør modelreduktionen! Hvilke led kan vi reducere væk? Hvilke led er 

signifikante? Hvad bliver slutmodellen? 


Krabber: effekt af temperatur 

Vi har p˚avist at effekten af temperatur p˚a iltoptaget er forskellige for arterne. 

Bliver derfor nødt til at angive effekten af temperatur for hver art. 

Hvordan ser modellen ud hvis vi analyserer en art ad gangen? 

For eksempel f˚ar vi for art 1: 

hoj − middel : 0.63 (0.34,0.91) 

middel − lav : 0.75 (0.46,1.04) 

hoj − lav : 1.38 (1.09,1.66) 


Vigtigt! 

Det er meningsløst at teste for hovedeffekten af en hovedeffekt hvis den indg˚ar i 

vekselvirkning med andre faktorer. 

For eksempel meningsløst at undersøge om der er en effekt af temperature hvis vi 

har fastsl˚aet at effekten af temperatur afhænger at arten. 

SAS rapporterer et test, men det m˚a I aldrig bruge! 

Bliver i stedet nødt til at undersøge effekten af temperatur for hver art for sig. 

Tilsvarende meningsløst at teste for en tofaktorvekselvirkning hvis 

trefaktorvekselvirkningen er signifikant. 


Eksempel: kolesterolkoncentration 

Data fra Zar, eksempel 15.1. 

Kolesterolkoncentration i blod for 12 kvinder 

Tre medikamenter: 1, 2 og 3 

Hvert medikament findes i to varianter 

I alt seks varianter: 1A, 1Q, 2D, 2B, 3L, 3S 

Observationer fra to kvinder for hver variant 

Først og fremmest interesseret i om der er forskel p˚a medikamenterne. 

Men den undersøgelse giver kun mening hvis der ikke er forskel p˚a varianterne 

indenfor medikament. 

Varianterne svarer til en underinddeling af medikamenterne. 

Vi taler om hierarkiske faktorer, og om grupper og undergrupper. 


Bemærkninger 

Tresidet variansanalyse uden gentagelser: 

Kun en observationer per kombination af de tre faktorer 

Kan ikke inddrage trefaktorvekselvirkningen i analysen 

Kan i stedet starte med modellen med de tre tofaktorvekselvirkninger 

Tresidet variansanalyse med tomme celler: 

Ikke alle kombinationer af de tre faktorer indg˚ar i forsøget 

Kan være umuligt (og eller kunstigt) at teste for vekselvirkninger 

Det er i øvrigt ikke altid klart at alle vekselvirkninger skal med i modellen. 

Generelt r˚ad: tag vekselvirkninger med i det omfang de giver mening fra et 

biokemisk (fagligt) synspunkt. 


Startmodel og test for effekt af undergrupper 

I modellerne nedenfor antages følgende: 

observationen for en kvinde fra medikament (gruppe) i og variant 

(undergruppe) j er normalfordelt med middelværdi µij og spredning σ. 

Hvordan skal µij afhænge af i (medikament) og j (variant)? 

Som udgangspunkt lader vi middelværdien afhænge af varianten, dvs. µij 

afhænger b˚ade af i og j. 

Kan s˚a undersøge om forskellen mellem varianterne udelukkende skyldes de 

forskellige medikamenter. 

Dette svarer til at de to varianter indenfor medikament ikke er forskellige. 

Hypotesen er H0 : µij = αi eller 

µ1A = µ1Q, µ2D = µ2B, µ3L = µ3S 

Dette svarer til at vi kan sl˚a varianterne sammen inden for medikament. 


Test for effekt af gruppe 

Hvis hypotesen om at der ikke forskel p˚a undergrupper /varianter) indenfor 

grupper (medikamenter), har vi 

µij = αi 

Dette svarer til en ensidet variansanalyse. 

Nu giver det mening at teste om grupperne (medikamenterne) er forskellige: 

H0 : α1 = α2 = α3 


Vigtigt: meningsfulde hypoteser 

Det er meningsløst et teste for en gruppeeffekt hvis der er signifikant effekt af 

undergrupperne. 

For eksempel meningsløst at undersøge om medikamenterne er forskellige hvis 

varianterne er forskellige indenfor medikament. 

Det svarer fuldstændigt til problemstillingen i den tresidede analyse: 

hovedeffekter svarer til grupper 

vekselvirkninger svarer til varianter 

Generel regel: Test aldrig for en “grov faktor” (grov inddeling) s˚a længe der er en 

“finere faktor” (finere inddeling) med i modellen. 


Kolesterol 

I proc glm i SAS: 

model konc = med medvar; 

Alts˚a gruppe før undergruppe — SAS “tester” bagfra 

Konklusioner: 

Ikke signifikant forskel p˚a varianter indenfor medikament (p = 0.80) 

Klar signifikant forskel p˚a medikamenterne (p = 0.0002 eller p = 0.0021) 

“Medikament 2 > medikament 3 > medikament 1” (alle parvise forskelle er 

signifikante) 


Faktordiagrammer 

Faktordiagrammer kan hjælpe os til at holde styr p˚a sammenhænge mellem 

faktorer. 

Diagram over alle relevante faktorer, incl. vekselvirkninger 

Pil fra en faktor A til en faktor B hvis A svarer til en finere enddeling af 

observationerne end B. 

Alternativ formulering: pil fra A til B hvis det er s˚adan at “hvis jeg kender 

værdien af A s˚a kender jeg ogs˚a værdien af B”. 

Lav faktordiagrammer for krabber og kolesterol. 

Reglen er nu: Test aldrig for en faktor A hvis der findes signifikante faktorer “som 

peger p˚a” A. 


Eksempel: havre˚al 

Eksempel p˚a mere kompliceret eksperiment med hierarkiske faktorer. 

Data fra Cochran og Cox, Experimental designs. 

antallet af havre˚al (en art skadedyr) p˚a marlplots med havre 

plottene inddelt i fire marker/blokke 

fire skadedyrsmidler (CN, CS, CM, CN) eller ingenting 

To doser (1, 2) eller ingenting 

specielt alts˚a behandlet eller ikke-behandlet 

Interesseret i effekten af skadedyrsmidlerne, herunder brugen af forskellige doser. 


Resumé — og lidt om fremtiden 

Overvejelser ved forsøg/data med flere faktorer: 

Hvilke hovedeffekter og vekselvirkninger skal med i modellen? 

Forholder nogle af faktorerne sig hierarkisk til hinanden? 

Faktordiagram og meningsfulde hypoteser: 

Overblik over faktorer og relevante hypoteser via faktordiagram 

Test aldrig for en faktor s˚a længe der er finere faktorer (svarende til finere 

inddeling) i modellen. Dette gælder ogs˚a for vekselvirkninger. 

De sidste gange inden jul: 

Torsdag d. 11/12: Start p˚a lineær regression 

Mandag d. 15/12: Transformation (eks.: havre˚al), projekt fra 2006. 

Torsdag d. 18/12: Mere lineær regression — og s˚a juleferie. 


Havre˚al: model mm. 

Faktorer og deres hierarkiske struktur: 

Hvilke faktorer er relevante for analysen? 

Er der hierarkiske faktorer? 

Faktordiagram? 

Hvilke hypoteser kan vi teste hvorn˚ar? 

En anden problemstilling: 

antal havre˚al som respons → uacceptabelt residualplot 

log(antal havre˚al) som respons → fint residualplot 

Mere om transformation af data p˚a mandag!

Flersidet variansanalyse og hierarkiske modeller

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?