Note om talrummet - TalentCamp

Note om talrummet
Først vil jeg definere begrebet mængdeprodukt. Herefter ser jeg nærmere på elementerne i ,
og til sidst indfører jeg regnereglerne for og definerer jeg talrummet .
1 Mængdeprodukt
Hvis man har to mænger A og B, kan der dannes en ny mængde: det såkaldte mængdeprodukt.
Mængdeproduktet betegnes (udtales ”A kryds B”) og er alle de ordnede par, der har et
element fra A som førstekomponent og elementerne i B er andenkomponent. Her følger et
eksempel.
Eksempel 1.1
Vi har to mængder: M og N. Mængderne indeholder følgende elementer:
{ }
{ }
Mængdeproduktet skrives da og er i sig selv en mængde. indeholder de ordnede
talsæt, der har et element fra N som første koordinat og et element fra M som anden koordinat.
{( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}
Mængdeproduktet mellem N og M har altså ”punkter” fra planen som elementer.
Bemærk desuden at (lighedstegnet med en streg igennem betyder ”er ikke lig”).
Dette gælder idet:
{( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}
Der er simpelthen byttet om på rækkefølgen af komponenterne i talsættene.
Hvis man tager mængdeproduktet af to ens mængder bruges potensskrivemåden. Det vil sige, at:
Og
I det følgende vil vi se på mængdeprodukter af mængden (de reelle tal). Mængdeprodukter af
med sig selv kaldes ”reelle talrum”. Mængdeproduktet (udtales ”R2”) er det vi
kender som et ”koordinatsystem” i grundskolen og gymnasiet. Mængden indeholder altså alle
punkterne i planen:

Elementer i har altså 2 koordinater og er på formen ( ), som det er kendt fra folkeskolen.
Vi kan også visualisere mængden . Dette gøres ved at tilføje en ekstra akse til
koordinatsystemet, der står vinkelret på både 1. og 2. aksen:
2. akse
2. akse
3. akse
1. akse
1. akse
Man skal forestille sig, at 3. aksen går direkte gennem papiret – vinkelret på papirets plan.
Elementer i har altså 3 koordinater og er på formen ( ).
Vi kan imidlertid ikke visualisere , men det betyder ikke, at vi ikke kan beskrive det matematisk
og regne med elementerne i . Elementerne har blot 4 koordinater. Faktisk vil vi opstille
regneregler for et vilkårligt reelt talrum, , hvor n er et naturligt tal. Vi vil altså opstille
regneregler for både osv.

2 og dets elementer
Vi ved nu at mængden er mængden krydset med sig selv n gange. Altså:
Hvor de 3 punktummer blot betyder at samme mønster fortsætter indtil vi har krydset med sig
selv det ønskede antal gange, altså n gange.
Elementerne i må altså være talsæt med n koordinater. Det svarer til at elementerne i er
punkter i et koordinatsystem med n akser. Det kan vi desværre ikke forestille os – men vi kan
stadig regne på det. At lave matematik i er altså abstrakt matematik, fordi det ikke beskriver
noget konkret, vi kan forholde os til. Det betyder imidlertid ikke at det ikke kan bruges til noget –
tværtimod. Desværre er vi nødt til at lære lidt mere før vi kan begynde at regne på reelle
problemer.
2.1 Vektorrum og vektorer
er et eksempel på det vi i lineær algebra kalder for et vektorrum (eller et talrum). Elementerne
i et sådant vektorrum kaldes vektorer.
En vektor er et objekt, der har en størrelse (længde) og en retning. En vektor bekriver altså et
punkts placering i forhold til et andet punkt. Den letteste måde at forstå vektorbegrebet på er ved
at se på et eksempel:
Eksempel 2.1
Vi tager udgangspunkt i vektorrummet , som kan illustreres som et koordinatsystem i planen –
altså det samme koordinatsystem som vi kender fra grundskolen. En vektor illustreres med en pil:
vektor
2. akse
3
vektor
1
vektor
1. akse

De tre pile på figuren illustrerer den samme vektor, nemlig vektoren, der går 3 enheder i retningen
af 2. aksen for hver enhed den går i retningen af 1. aksen. Vektoren har derfor koordinatsættet
(1,3). Hvis vektoren kaldes v kan vi altså skrive:
(
)
Læg mærke til at vi skriver vektoren på søjleform i modsætningen til den normale skrivemåde for
et punkt. Denne måde at skrive en vektor op på kaldes at skrive vektoren som en søjlevektor. Det
er ligeså korrekt at skrive:
( )
Denne skrivemåde kaldes en rækkevektor. Man vil se begge skrivemåder i litteraturen. Derfor vil
jeg også benytte begge skrivemåder i denne note.
Det kan synes ligegyldigt at benytte vektorbegrebet frem for bare at sige ”punkter” om
elementerne i . Men om lidt vil vi opstille regneregler for elementerne i og vi vil faktisk
betragte elementerne i som en generalisering af vores talbegreb. Derfor giver det mening at
skelne mellem ”punkter” og vektorer (identifikationen af punkter). Vi kan nemlig opstille og
benytte regneregler for vektorer, mens det fx ikke giver mening at ”lægge punkter sammen”.
2.2 Opskrivning af mængder (notation)
I lineær algebra arbejder vi rigtig meget med mængder. Derfor er det nødvendigt at have en måde
at skrive mængder op på. I det følgende vil vi gennemgå hvordan man skriver en mængde op. Vi vil
gøre det således, at vi først beskriver en mængde i ord og dernæst med matematisk notation.
Selvom notationen i første omgang kan virke uoverskuelig, bliver den et fantastisk værktøj, når
man har øvet sig lidt.
Eksempel 2.2
En mængde, A, indeholder tallene fra 3 til 7, tallene 35, 67, talsættet (7,7) og bogstaverne a, b og
d. En sådan mængde kan skrives på liste form:
{ ( ) }
Den særlige type parenteser, { }, kaldes akkolader (eller bare tuborg-parentes) og bruges, når vi vil
beskrive mængder. Det er simpelthen blot fordi vi ønsker at gøre det lettere at se forskel på de
forskellige parenteser.
Listeformen giver overblik over alle elementerne i mængden, men der opstår et problem, når der
er mange elementer i en mængde. Det bliver et kæmpe arbejde at skrive alle elementerne op – og
det giver desuden ikke overblik over store mængder. Særligt udtalt bliver problemet, når en
mængde indeholder uendeligt mange elementer. Vi vil nu se på en mængde af sidstnævnte type.

Eksempel 2.3
En mængde, B, indeholder alle naturlige tal større end 7, dvs. 8,9,10,11... En sådan mængde kan
skrives på følgende måde:
{ }
Lad os prøve at forstå udtrykket ovenfor. Udtrykkets ramme er den samme som før, nemlig
mængdens navn, B, og de to tuborg-parenteser. Det er indholdet mellem de to tuborg-parenteser,
der nu er helt anderledes end før. Jeg vil nu gennemgå tegnene ét ad gangen:
– er et (vilkårligt) element i mængden B.
- er et matematisk symbol, der betyder ”tilhører”.
- er symbolet for de naturlige tal, altså den mængde, der indeholder de tal, som vi tæller med.
- betyder ”hvorom det gælder”
Nu er vi faktisk i stand til at forstå udtrykket. Oversat til almindeligt dansk, skal udtrykket læses:
Mængden B indeholder de elementerne fra de naturlige tal, hvorom det gælder at elementerne er
større end 7.
Denne måde at skrive mængder op på kan bruges til at gøre meget store mængder meget
overskuelige. I hvilke tilfælde kan man så få brug for at skrive sådanne mængder op? Det kan man
fx, hvis en ligning har flere løsninger. Dette vil vi nu se lidt nærmere på i et eksempel:
Eksempel 2.4
Løs ligningen
( )
Dette er én ligning med to variable (eller ubekendte). Den kan løses akkurat som én ligning med én
ubekendt – den har blot mere end 1 løsning. Vi kan starte med at gætte på løsninger. Fx løser x=1
og y=2 ligningen og det samme gør x=7 og y=14. Problemet er at vi kan blive ved med at gætte på
løsninger i det uendelige. Vi vil derfor gerne finde en regel alle løsningerne følger og dernæst
skrive løsningen op på mængdeform. Mængden der indeholder løsningerne til et problem kaldes
for ”løsningsmængden” og betegnes som regel med L.
Men allerførst skal vi se om vi kan gøre ligningen lidt pænere:
( )
⇔ ⇔

Det vil sige at for at løse ligningen skal y være dobbelt så stort som x. Nærmere bestemt er alle de
talsæt (x,y) hvor x er dobbelt så stort som y løsning til ligningen – derudover kan x og y altså være
hvilket som helst tal. Løsningsmængden kan altså skrives op således:
{( ) }
Løsningen er altså de vektorer i , hvor førstekoordinaten er halvt så stor som
andenkoordinaten. Løsningen er faktisk alle de punkter der ligger på den rette linje, der er
beskrevet ved funktionen y=2x. Dette kan illustreres som i figuren nedenfor:
Vi vil nu afslutte afsnittet om mængdenotation. Vi vil benytte os af denne notation på den
forestående TalentCamp, men vi har samtidig fuld forståelse for at notation er noget af det, der er
sværest at lære fra en tekst. Derfor vil vi også gennemgå mængdenotation på TalentCamp.

3 regneregler i
Vi vil nu fortsætte med at definere hvad vi vil forstå ved addition og multiplikation. Det vil sige, vi
vil simpelthen beslutte hvordan man lægger sammen og ganger (at trække fra og division følger
heraf). Fra nu af vil vi desuden benævne ”at lægge samme” addition, ”at trække fra” subtraktion
og ”at gange” multiplikation.
Definition 3.1: Addition i
Lad ( ) og ( ) være elementer i . Summen af de to talsæt
defineres således:
( ) ( ) ( )
Bemærk, at man ikke kan lægge to vektorer sammen, som ikke har samme antal koordinater. Det
skyldes at vektorer med forskelligt antal koordinater ikke tilhører samme talrum/mængde.
Lad os tage definitionen på multiplikation med et reelt talt med det samme. Et reelt tal kaldes en
skalar.
Definition 3.2: Multiplikation med skalar
Lad ( ) være et element i og lad k være et reelt tal. Produktet af vektoren
( ) og skalaren k defineres således:
( ) ( ) ( )
Vi vil nu se på nogle eksempler. Det første eksempel viser, hvordan man skal forstå addition, mens
det næste eksempel viser hvordan man skal forstå multiplikation med en skalar.
Eksempel 3.1
Lad os forestille os at vi har to vektorer fra , og :
(
(
)
)

Vi finder nu summen af de to vektorer ved at lægge de enkelte elementer sammen:
Den nye vektor (summen af og ) ligger altså også i .
Eksempel 3.2
Vi vælger vektoren (
er da:
(
( ) ) (
)
(
)
(
)
(
) og skalaren 2. Produktet mellem og skalaren 2
Læg mærke til at vektoren har samme retning som , den er blot dobbelt så lang.
Samlet bemærker vi at addition og multiplikation altså foregår pladsvis!
Inden vi er klar til at opskrive alle regnereglerne for skal vi først se på nulelementet og
modsatte elementer.
Vektoren ( ) bestående af n nuller kaldes for nulelementet i . Skæringen mellem
akserne i koordinatsystemet kendt fra grundskolen er identificeret med koordinaterne ( ).
Dette svarer til nulelementet i . Vi betegner nulelementet i med :
( )
Nulelementet kaldes også neutralt, da det gælder for enhver vektor at, v:
)

Det modsatte element til elementet ( ) betegnes – og er defineret ved:
( )
Og det opfylder at:
( )
Det er klart at:
4 Vektorrummet
udstyret med regneoperationerne fra definition 3.1 og 3.2 kaldes det n-dimensionale reelle
talrum eller vektorrummet . Ud fra definitionerne på addition og skalarmultiplikation kan man
opstille følgende regneregler for elementerne i .
Sætning 4.1
For vilkårlige (dvs. hvilke som helst) elementer ( ), ( ) og
( ) i og vilkårlige skalarer og gælder:
1.
2. ( ) ( )
3.
4. ( )
5. ( ) ( )
6. ( )
7. ( )
8.
Sætningen kan bevises ud fra definitionerne, der er givet tidligere i noten her. Bevis(erne) er dog
relativt trivielle (indlysende), hvorfor vi ikke gennemgår dem her. Hvis det har interesse kan vi
gennemgå dem på TalentCamp. I stedet vil vi nu gennemgå de 8 regneregler og forklare i ord, hvad
de betyder:
1. Siger at addition er kommutativ. Det betyder vektorenes indbyrdes placering er
ligegyldig, når vi lægger sammen.
2. Siger at addition er associativ. Det betyder at additionsrækkefølgen i et udtryk, hvor
der forekommer flere additioner er ligegyldig.

3. Som omtalt tidligere betyder denne at er neutral.
4. Siger at ethvert element har et modsat element.
5. Siger at multiplikation med skalar er associativ. Det er altså ligegyldigt hvilken
multiplikation man udfører først
6. og 7. Kaldes de distributive regler. De siger at man kan ”gange ind i” en parentes.
8. Siger blot at 1 gange et element er elementet selv.
Bemærk at subtraktion svarer til at lægge negative elementer til, og at division svarer til at
multiplicere med skalarer mellem 0 og 1.
Hermed har vi defineret vektorrummet og beskrevet de regneregler, der gælder i .