noter om resonans.pdf

Kapitel 3: Resonans
Kapitel 3: Resonans
Øvelse: En spiralfjeder holdes udspændt. Sendes en bugt på fjeder
hen langs spiral-fjederen (blå linie på figur 3.1), så vil den når den
rammer hånden som holder fjederen, tilbagekastes på den
modsatte side af fjederen (rød linie). Den indfaldende bølge siges
at tilbagekastes i modfase, fordi dens udsving har modsat rettet
amplitude.
Figur 3.2 illustrerer en fremadskridende harmonisk bølge, der
løber ind mod et fast punkt som en bølge på et strengeinstrument.
Når bølgen på strengen når frem til det faste punkt, så kan de ikke
udbrede sig videre. Strengens endepunkt kan ikke flyttes, så det
bliver liggende stille på stedet. Både store som små udsving vil i
den indfaldende bølge blive "lagt død" ved strengen. Bølgen
returneres herefter i modfase (på figuren er den røde linie parallelforskudt
nedad)
Dette kan også beskrives som en fremadskridende harmonisk
bølge, der løber ind mod en fast flade som en bølge i luften i en
gedakt orgelpibe (en lukket eller overdækket orgelpibe). Når
luftdelene i orgelpiben når til overdækningen, så kan de ikke
udbrede sig videre. Luftdelene i orgelpiben kan ikke skubbes ud
gennem overdækningen, så de bliver liggende stille på stedet.
Både store som små udsving vil i den indfaldende bølge blive "lagt
død" ved orgelpibens afslutning.
Figur 3.1
Figur 3.2
Det er lettere at slette et lille end et stort udsving, men hvad kræves hertil? Ifølge
superpositionsprincippet må det virke som om, at den indfaldende bølge ved det faste punkt eller den
faste flade netop møder en tilbagekastet bølge i modfase (jævnfør indledningen), thi en sådan vil
netop udslette den indfaldende bølge i dette punkt. Vi kan konkludere:
En harmonisk bølge tilbagekastes i modfase fra en fast afslutning.
Det er ikke kun på en streng eller i en gedakt orgelpibe, at bølgen fra en fast afslutning sendes
tilbage i modfase. Det gælder generelt. Bemærkning. En harmonisk bølge er i modfase med sig selv
en halv bølgelængde længere fremme, for her er udsvinget det modsatte. Det kan man let overbevise
sig selv om ved at studere bølgebilledet af en harmonisk bølge og man kan formulere det på den
måde, at bølgen "vinder" en halv bølgelængde (λ/2) ved tilbagekastningen..
Øvelse: En spiralfjeder ophænges under loftet (se fig. 3.3). Da
endepunktet af fjederen ikke holdes fast, er der intet til at dæmpe
et udsving her. Endepunktet siges at være et frit punkt. Sendes en
bugt ned langs fjederen (blå til højre), så vil den, når den kommer
til endepunktet af fjederen, tilbagekastes opad fjederen på samme
side, som den løb nedad. Det viser, at en bølge tilbagekastes fra en
fri ende uden at den skifter fase, idet udsvinget i bølgen er det
samme lige før og lige efter strengens endepunktet.
Sendes bølgen hen ad en streng, hvis endepunkt ikke holdes fast,
er der ikke noget til at dæmpe strengens udsving ved endepunktet.
Er en orgelpibe åben i toppen, kan luftdelene forskyde sig næsten
frit udenfor pibens munding, da der ikke længere er noget rør til at
holde sammen på en luftfortætning her og luft kan frit falde ind fra
mhtml:file://C:\Documents and Settings\JP\Lokale indstillinger\Temp\kapitel3a.mht
Page 1 of 5
21-11-2008

Kapitel 3: Resonans
siden ved en fortynding (se fig). Man siger, at bølgen rammer et
frit punkt eller en fri flade. Man kunne med superpositionsprincippet
i tanken forestille sig, at den indfaldende harmoniske
bølge afleverer sin svingnings-energi, men at den ved endepunktet
(jævnfør forrige øvelse) møder en tilbagekastet bølge, der leverer
svingningsenergien tilbage. Dette gælder for enhver harmonisk
bølge, som møder en fri afslutning og vi kan konkludere:
En bølge tilbagekastes fra en fri afslutning uden faseskift
En stående bølge. Lad os se på forholdet ved en gedakt orgelpibe,
hvor overdækningen kan forskydes. Som model for en sådan
orgelpibe kan benyttes et resonansrør, der simpelthen er en
vandfyldt niveaukugle i forbindelse med et rør (se fig. 3.4).
Vandstanden i røret kan reguleres ved at hæve og sænke
niveaukuglen. Vandoverfladen i resonansrøret udgør en fast væg
mens mundingen af røret er en fri flade. Rørlængden L regnes fra
rørets munding til vandoverfladen.
Sender man en harmonisk bølge ned i resonansrøret fra en
lydgiver, f. eks. en stemmegaffel eller en højtaler, vil den
fremadløbende bølge i røret kastes tilbage fra den faste
vandoverflade i modfase og denne tilbageløbende bølge vil så igen
kastes tilbage i fase fra den frie overflade ved rørets munding osv.
Da lydgiveren til stadighed sender en harmonisk bølge ned i røret,
vil det efterhånden blive "fyldt helt op af bølger". Alle disse bølger
vil sædvanligvis udslukke hinanden ved destruktiv interferens,
men ved bestemte rørlængder vil der opstå konstruktiv interferens.
Halvt lukket rør
En harmonisk bølge, der først er reflekteret fra den faste væg og
dernæst netop reflekteret fra den frie flade, har gennemløbet røret
frem og tilbage, altså tilbagelagt vejlængden 2·L (rørlængde L).
Den vandt en halv bølgelængde (λ/2) ved tilbagekastningen fra
den faste væg, så bølgen vil svinge i takt med den indkommende
bølge, hvis strækningen 2L er en halv bølgelængde samt eventuelt
et helt antal bølgelængder. De superponerer til en kraftigere bølge.
Når denne er blevet tilbagekastet fra henholdsvis en fast og en fri
flade, vil den igen være i fase med den indkommende harmoniske
bølge osv. Disse bølger vil derfor samle sig sammen til en kraftig
fremadløbende harmonisk bølge i røret, men betingelsen for at den
opstår er som sagt, at den dobbelte rørlængde 2 L er en halv
bølgelængde plus evt. noglr hele. På fig. 3.5 er betingelsen
opstillet matematisk hvor n er et helt tal 0, 1, 2, 3, 4, ....). De
rørlængder L, for hvilke der opstår resonans er således givet ved
formlen :
mhtml:file://C:\Documents and Settings\JP\Lokale indstillinger\Temp\kapitel3a.mht
Figur 3.3
Figur 3.4
Figur
Page 2 of 5
21-11-2008

Kapitel 3: Resonans
I princippet skulle amplituden af den indfaldende bølge vokse sig uendelig stor, når der til stadighed
sendes harmoniske bølger ind i røret, men i praksis dæmpes bølgerne efterhånden, så amplituden
blot bliver stor. Når der opstår en kraftig fremadløbende bølge i røret, så vil der ligeledes opstå en
kraftig tilbageløbende harmonisk bølge i røret. Man kan blot tænke sig, at den kraftige fremadløbende
harmoniske bølge i røret tilbagekastes i modfase fra den faste flade som en kraftig
tilbageløbende bølge. Den kraftige fremadløbende og den kraftige tilbageløbende harmoniske bølge
danner ved interferens en såkaldt stående bølge i røret. Vi har opnået resonans i røret. At der opstår
en stående bølge i røret, kan vises ved beregning. Vi skal dog nøjes med at illustrere det ved hjælp af
internettet. På fysiks hjemmeside på intranettet vælges under virtuelt laboratorium punktet "5.
Superpositionsprincippet". Denne animation kan også demonstrere stående bølger – prøv efter! Hvis
man læser dette i en browser kan du klikke her for animationen.
Figur 3.6 illustrerer, hvordan en stående bølge opstår i
resonansrøret. Nogle steder er den resulterende bølgebevægelse til
stadighed i ro, mens der andre steder er store udsving. Den står og
svinger op og ned på stedet, hvorfor den kaldes en stående bølge.
Steder i bølgen uden udsving kaldes knuder (vist på figuren ved
kugle o), mens de steder, hvor udsvingene er størst kaldes buge
(vist ved lighedstegn =) . Ved vandoverfladen (den faste flade),
kan luftdelene ikke svinge, så her er knude. Ved rørets munding
(den frie flade) er der intet til at dæmpe udsvinget, så her er det
størst muligt, hvorfor her er bug. Alt efter rørets længde er der
flere knuder og buge mellem knuden ved den faste flade og bugen
ved den frie flade. På den stående bølge kan man aflæse, at der er
en halv bølgelængde både mellem knuderne og bugene: Afstanden
mellem to naboknuder eller to nabobuge er en halv bølgelængde
λ/2 og på figuren ses at rørlængden i dette tilfælde svarer til λ·5/4 i
henhold til formlen for rørlængder med resonans.
På de næste figurer ses tre af de øvrige muligheder for resonans i
henhold til formlen. Her er eksempler med rørlængder på 1/4 , 3/4
og 7/4 af en bølgelængde.
Figur 3.7
Figur 3.8
Figur 3.6
Figur 3.9
Øvelse: Overbevis dig selv om, at de forrige figurer svarer til forholdene i resonansrøret. Hvordan er
faseforholdet ved den faste flade? Er der knude eller bug ved "rørets" ender?
En stående bølge kan som vist kun opstå ved bestemte rørlængder. Den kaldes også for en
egensvingning. Selve dette fænomen, at svage bølger bygger op til en kraftig stående bølge kaldes
resonans eller egensvingninger. Det er selvfølgeligt ikke afgørende at røret er halvåbent for at
resonans kan opstå. Var bølgen blevet udsendt fra den fast flade og reflekteret fra en fri (byttet om
på munding og fast flade), ville der igen være resonans, hvis rørlængden passer med betingelserne
fra før.
Det er ikke kun i rør og orgelpiber at der kan opstå stående bølger.
Det kan der ligeledes på en udspændt streng, hvor en harmonisk
bølge som i et rør også tilbagekastes fra endepunkterne (se fig.
mhtml:file://C:\Documents and Settings\JP\Lokale indstillinger\Temp\kapitel3a.mht
Page 3 of 5
21-11-2008

Kapitel 3: Resonans
3.10). Der er knude, hvor strengen er i ro, og bug, hvor udslaget er
størst. En streng er fastspændt i begge ender, hvor der så må være
knude. Det er derfor ligesom ved det lukkede rør, og
resonansbetingelserne er som der (L er nu strengens længde):
Nedenfor er vist tre andre muligheder for resonans ven en
fastspændt streng. Argumenter for hvilke resonansbetingelser for
strenglængden der passer til hver figur!
Figur 3.11
Figur 3.12
Lukket rør og lukket streng
De fire eksempler med resonans ved en streng svarer også til
resonans i rør, hvor begge ender er lukkede. I begge tilfælde er der
knude ved enderne med faseskift til følge. Der kan herved udledes
en simpel betingelse for, hvornår resonans kan opstå. I det
følgende svarer L til enten rørets eller strengens længde: ved
passage frem og tilbage har bølgen tilbagelagt vejlængden 2·L.
Ved hver knude vindes en halv bølgelængde, altså en hel bølgelængde
i alt. Hvis også vejlængden er et helt antal bølgelængder,
vil der være konstruktiv interferens. Matematisk er udledningen
opskrevet til højre i fig. 3.14, og de givne værdier af L er således
bestemt ved værdierne :
Åbent rør
Endelig kan der også opstå resonans ved åbne rør. Her er
resonansbetingelsen, at der ikke optræder faseskift ved
reflektionerne fra de frie ender. Et eksempel er vist her til højre i
fig. 3.15, hvor der ses buge ved enderne.
Opgave: Udled matematisk resonansbetingelse for det åbne rør og
angiv de "lovlige" værdier for rørlængde L ved resonans!
Figur 3.10
Figur 3.13
Figur 3.15
Page 4 of 5
Resumé:
Resonansundersøgelser viser det er en fast regel, at der er knude ved en fast flade, og bug ved en fri.
Ved den faste flade vindes en faseskift på λ/2 mens der ikke er faseskift ved reflektion fra en fri
flade.
Ved resonans i rør og på strenge er forskellen mellem to nabosteder med resonans altid λ/2 .
mhtml:file://C:\Documents and Settings\JP\Lokale indstillinger\Temp\kapitel3a.mht
21-11-2008

Kapitel 3: Resonans
Eksperiment. En lang spiralfjeder holdes med hænderne udspændt imellem to personer. Den ene
person bevæger rytmisk eller harmonisk den hånd, som holder fast i spiralfjederen, op og ned med
små udsving. Han/hun vil ved at mærke fjederens ryk i hånden næsten automatisk falde ind i en
rytme, der får stående svingninger til at opstå på strengen.
1. Forklar, at der er knude ved den rytmisk bevægede hånd såvel som ved den hånd, som ikke
bevæges.
2. Udpeg buge og knuder på strengen.
3. Find bølgelængden.
4. Forsøg at frembringe andre stående svingninger på strengen
Eksperiment. Find lydens hastighed i luft ved hjælp af en stemmegaffel (440 Hz) og et resonansrør.
Opgave. Man siger, at mænd synger på store badeværelser og kvinder på toiletter. Hvorfor mon det?
(Vink: Frekvensintervallet for en bas er fra 66 til 350 Hz, mens det for en sopran er fra 200 til 1050 Hz.)
http://www.acskive.dk/virtex/
http://www.acskive.dk/virtex/Lyd_og_lys/lyd_lys.htm
mhtml:file://C:\Documents and Settings\JP\Lokale indstillinger\Temp\kapitel3a.mht
Page 5 of 5
21-11-2008