Lærebog i matematik.pdf

KAPITEL 2
TESTS
2.1 Statistik kontra sandsynlighedsregning
Inden for sandsynlighedsregning opstiller vi en model, som vi kan benytte til at
beskrive de hcendelser, som vi forventer kan indtrceffe. Vi kan ikke vcere sikre pa,
at hcendelserne indtrceffer, men vi kan scette tal pa vore forventninger i form af
sandsynligheder.
Et klassisk eksempel er kast med en m0nt. Nar m0nten er "cerlig", er sandsyn­
ligheden 50 % for at fa krone og 50 % for at fa plat. Det betyder ikke, at hvert
andet m0ntkast skal give krone, sa det vil ikke komme bag pa os, hvis tre kast
med m0nten giver os 3 gange krone, men hvis 10 kast med m0nten giver 10 gan­
ge krone, vil vi for alvor begynde at betvivle m0ntens cerlighed. Kaster vi m0nten
et start antal gange, vil vi forvente, at ca. halvdelen af kastene giver krone. Ved
10 kast med m0nten er 7 gange krone ikke uscedvanligt, men ved 100 000 kast er
70 000 gange krone meget uscedvanligt.
Ved brug af sandsynlighedsregning kan vi beregne sandsynligheden for de data,
vi observerer ved udf0rte eksperimenter. Sandsynlighedsregning henregner vi til
en matematisk disciplin.
Inden for statistik er udgangspunktet i stedet observerede data, og statistik gar
ud pa at gcette/ give bud pa en sandsynlighedsmodel, som kan forklare de obser­
verede data.
Som eksempel pa data kan vi se pa en liste med kr, kr, kr. Som statistikere kan
vi opstille en hypotese om, at data stammer fra et simpelt fors0g, hvor vi kaster
en m0nt tre gange, og hvor sandsynligheden for bade plat og krone er 50 % ved
hvert kast.
Har vii stedet et datascet, der indeholder 10 gange krone, vii vi tage den f0rste
hypotese op til revision og erstatte den med en hypotese om, at m0nten har krone
43

pa begge sider, dvs. at sandsynligheden for at sla krone er 100 %, og sandsynlig­
heden for plat er 0 %.
Hvis datascettet skiftevis bestar af krone, plat, krone, plat, krone, plat kan vi fast­
holde vor f0rste hypotese. Men hvis datascettet skiftevis bestar af krone og plat
svarende til i alt 25 par, vil vi cendre vor hypotese. Data svarer da nceppe til et
kast med en m0nt, men er bedre beskrevet ved et eksperiment, hvor vi systema­
tisk vender m0nten. Hvis resultatet af en udf0relse af fors0get er krone, vil den
nceste udf0relse af fors0get resultere i plat med 1 00 % sandsynlighed.
Forskellen mellem sandsynlighedsregning og statistik er illustreret i figur 2.1.
Sandsynlighedsregning
Statistik
Figur 2.1
Ved en statistisk test fors0ger vi at bekrcefte eller afkrcefte formodninger, sammen­
hcenge eller egenskaber ud fra indsamlede data.
Udgangspunktet er nogle observerede vcerdier, som vi har skaffet os ved en un­
ders0gelse f.eks. et eksperiment, en stikpmve eller en systematiske indsamling
af data. De observerede vcerdier sammenligner vi med forventede vrerdier, som vi
beregner ud fra en hypotese, som vi opstiller.
Safremt der er god overensstemmelse mellem observerede og forventede vcerdi­
er, kan denne sammenligning, som vi altsa kalder en test, f0re til, at vi accepterer
hypotesen. At vi accepterer hypotesen svarer ikke til, at vi har bevist, at hypotesen
er sand, men kun til at de observerede data ikke er "ekstreme" under hypotesen.
Hvis vi ved sammenligningen rna forkaste hypotesen, har vi ikke bevist, at hypo­
tesen er forkert. Det betyder sa blot, at de observerede data er sa ekstreme, at vi
har rigtig god grund til at mene, at vor hypotese formodentlig er forkert.
De data, vi ser pa, er ofte indsamlet for at pavise en bestemt sammenhceng. Vi
opstiller sa en hypotese om mangel pa netop denne sammenhceng. Den s0gte
sammenhreng far vi sa pavist ved at forkaste hypotesen.
44 KAPITEL TESTS

2.2 Hypotesetest
Ved en statistisk test sammenligner vi observerede data med forventede data ud
fra en hypotese, som vi har opstillet.
Den hypotese, vi tester, betegner vi med H 0 og kalder den nulhypotesen. En test af
hypotesen f0rer nu til, at vi en ten accepterer hypotesen eller forkaster hypotesen.
Eftersom en hypotese enten er sand eller falsk, vii vi i testsituationen kunne bega
to typer af fejl.
Hvis vi forkaster en sand hypotese, begar vi en type-1 fejl.
Hvis vi accepterer en falsk hypotese, begar vi en type-2 fejl.
OK
Figur 2.2
At acceptere en hypotese svarer som mevnt ikke til at have vist, at hypotesen er
sand, kun at data ikke giver anledning til, at vi kan afvise den. Vi opnar saledes
kun ny viden ved at forkaste en hypotese, og derfor vii vi ofte formulere nul­
hypoteser, som indeholder en pastand, der er den omvendte af det, vi gerne vii
konkludere. Saiedes vii nulhypoteser ofte rumme pastande om "ingen sammen­
hceng" mellem st0rrelser eller 11ingen virkning" af f.eks. en medicinsk behand­
ling.
Nar vi har opstillet en nulhypotese, skal vi desuden opstille en alternativ hypotese
Ha, som svarer til, hvad der rna gcelde, hvis H 0 ikke er opfyldt. Den simpleste
alternative hypotese Ha svarer til negationen af H 0 , som sjceldent er scerlig infor­
mativ. Den alternative hypotese er imidlertid vigtig, da den influerer pa, hvornar
vi accepterer nulhypotesen.
Ved selve testen tager vi udgangspunkt i nulhypotesen og beregner nogle sand­
synligheder ved hjcelp af en teststorrelse X. Disse sandsynligheder benytter vi sa
til at afg0re, i hvor h0j grad data passer til nulhypotesen H 0 •
45

Vi er naturligvis interesseret i at begrrense risikoen for at forkaste en sand hypo­
tese, dvs. bega en type-1 fejl.
Derfor knytter vi en testsandsynlighed, som vi omtaler som p-vcerdien, til testen.
p-vrerdien er sandsynligheden for den observerede vrerdi Xobs eller noget, der er
vrerre under nulhypotesen, dvs. noget, der er mere ekstremt i forhold til nulhy­
potesen. p-vrerdien viser os, hvor rimeligt deter at tro pa, at data er fremkommet
ved tilfreldigheder, nar nulhypotesen er sand, og jo mindre p-vrerdien er, jo mere
tyder det pa, at H 0 ikke er sand.
Vi rna derfor acceptere en vis sandsynlighed for at bega en type-1 fejl, ogden­
ne sandsynlighed fastsretter vi selv uafhrengigt af data, og vi omtaler den som
testens signifikansniveau a.
Hvis p-vrerdien er mindre end signifikansniveauet, forkaster vi nulhypotesen, og
vi siger, at resultatet er signifikant pa signifikansniveau a. Vi siger ogsa, at resul­
tatet er signifikant pa signifikansniveau p, nar p ::5 a.
De hyppigst anvendte signifikansniveauer er a = 5 %, a = 1 % og a = 0, 1 %, og
hvis p-vrerdien er under signifikansniveauet, forkaster vi nulhypotesen.
Et signifikansniveau fastlregger en kritisk mcengde K, som bestar af de ekstreme
vrerdier af testst0rrelsen, inden for hvilken vi forkaster nulhypotesen, samt en
acceptmcengde A, inden for hvilken vi accepterer nulhypotesen.
De ekstreme vrerdier kalder vi ogsa de kritiske vrerdier, og hvis de kritiske vrerdi­
er alle er sma, eller alle er store, kalder vi testen ensidet. Hvis de kritiske vrerdier
af testst0rrelsen bade kan vrere sma eller store bestar den kritiske mrengde af to
dele, og vi kalder testen tosidet. I dette tilfrelde deler vi signifikansniveauet lige
pa de to dele.
Hojre kritisk
mrengde
Figur 2.4 Kun store kritiske
v

Ha: Forekomst af autistiske tegn blandt b0rn er ikke 7%
Vi udf0rer en test pa 5 %-niveau, og som testst0rrelse anvender vi den b(384, 0, 07)­
fordelte stokastiske varia bel X, der an giver antallet af b0rn med tegn pa autisme.
Da bade et meget lille og et meget stort antal bmn med tegn pa autisme under­
st0tter den alternative hypotese, benytter vi en tosidet test med tilh0rende todelt
kritisk ma:ngde. De to dele af den kritiske ma:ngde fastla:gger vi ved at kra:ve, at
sandsynligheden for hver af delene ikke rna overstige 2,5 %.
Idet
P(X::::; 17) = 0,0247 = 2,47%
P(18::::; X::::; 37) = 0, 9546 = 95,46%
P(X ::::: 38) = 0, 0207 = 2, 07%
bliver den kritiske ma:ngde K og acceptma:ngden A
K = {0, 1,2, ... , 17} U {38, 39, ... , 384}
A= {18,19, ... ,36,37}
Da Xobs = 46 tilh0rer den kritiske ma:ngde, forkaster vi nulhypotesen, og resulta­
tet er signifikant pa 5 % niveau.
p-va:rdien finder vi i dette tosidede tilfa:lde som 2 gange den mindste af sand­
synlighederne P(X ::::; Xobs) og P(X ::?: X 0 b 5 ).
Nuer
P(X::::; 46) = 0, 9998
P(X ::::: 46) = 0, 000293
sa p-va:rdien er 0,059 %.

Eksempel22
Tabellen nedenfor viser fordelingen af unge ud fra deres foretrukne drik.
Drik Kaffe Te Sodavand Mrelk Vand Juice Saft
Frekvens 14% 12% 40% 6% 16% 8% 4%
Tabel 2.4
En stikpnwe blandt 250 gymnasieelever gav folgende fordeling
Drik Kaffe Te Sodavand Mrelk Vand Juice Saft
Hyppighed 28 33 112 6 49 14 8
Tabel 2.5
Vi vil undersoge, om stikproveresultatet stemmer overens med fordelingen i
tabel 2.4 pa signifikansniveau 1 %, sa nulhypotesen er
H 0 : Gymnasieeleverne foretrrekker drikke som i tabel 2.4
De forventede vrerdier udregner vi med procenterne i tabel 2.4.
Drik Kaffe Te Sodavand Mrelk Vand Juice
Forvent. hyp. 35 30 100 15 40 20
som giver teststorrelsen
Tabel 2.6
X 2 (28-35)2 (33-30) 2 (112-100) 2 (6-15) 2 (49-40) 2 (14-20) 2 (8-10) 2
beregn = 35 + 30 + 100 + _1_5_ + 40 + 20 + _1_0_
=12,765
Antallet af frihedsgrader er 6, og dermed finder vi p-vrerdien ved brug af
x 2 -fordelingen med 6 frihedsgrader.
p = P(x 2 2:: 12, 765) = o,0469 = 4,69%
Da p-vrerdien er storre end 1 %, accepterer vi vor hypotese.
Saft
for of Fit 55
10

Eksempel23
Et firma lover, at dets olieboreteknologi, hvor man udforer fire samtidige borin­
ger, vil sikre, at 60 % af de udforte boringer giver aktive oliekilder. Teknologien
er blevet afprovet ved at udfore fire boringer og herefter optrelle antallet af aktive
kilder. Dette blev gentaget 500 gange.
Resultatet fremgar af tabel 2.7.
Vi opstiller nu hypotesen
Antal aktive kilder 0 1 2 3 4
Observeret hyppighed 21 72 152 197 58
Tabel 2.7
H 0 : Antallet af aktive boringer er binomialfordelt med p = 0, 6
ved brug af den nye teknologi
Vi vil teste denne hypotese pa signifikansniveau 1 %.
De tilhorende binomialfordelingssandsynligheder er
P(X = 0) = b(4, 0, 6, 0) = 0, 0256
P(X=1)=b(4, 0,6, 1)=0,1536
P(X=2)=b(4, 0,6, 2)=0,3456
P(X = 3) = b(4, 0,6, 3) = 0,3456
P(X = 4) = b(4, 0,6, 4) = 0,1296
Vi benytter sandsynlighederne som frekvenser, sa de forventede vrerdier er
Teststorrelsen er
56
Antal aktive kilder 0 1 2 3 4
Forventet hyppighed 12,8 76,8 172,8 172,8 64,8
Tabel 2.8
xz - (21-12,8) 2 (72-76,8) 2 (152-172,8) 2 (197-172,8) 2 (58-64,8) 2
beregn - 12,8 + 7 6,8 + 172,8 + 172,8 + 64,8
= 12,16

Vi skal benytte en x 2 -fordeling med 4 frihedsgrader. I denne er (se tabel 2.15 side
67)
ks% = 9,488, k1 % = 13,277 og k 0 , 1 % = 18,467
Dermed rna vi forkaste nulhypotesen pa 5 %-niveau og acceptere den pa 1 %niveau
og 0, 1 %-niveau.
2.3 -test for Goodness of Fit
57

2.4.2 Test i n x m-tabeller
Vi kan ogsa teste for uafhc.engighed i stmre krydstabeller. En krydstabel med n
rc.ekker og m sojler kalder vi en n x m-krydstabel.
Som eksempel ser vi pa 4x2-krydstabel tabel 2.12, der viser, ved hvilken praktisk
korepmve 319 tilfc.eldigt udvalgte bilister erhvervede korekortet.
Kvinder Mc.end
1. prove 37 56
2. prove 63 60
3. prove 47 43
4. prove 7 6
Tabel 2.12 Observerede hyppigheder
Vi vii undersoge, om antallet af aflagte korepmver er uafhc.engigt af kon, sa vi
opstiller nulhypotesen
H 0 : Antallet af aflagte korepmver er uafhc.engig af kon
Som signifikansniveau benytter vi 5 %.
Hvis vi forkaster nulhypotesen, accepterer vi den alternative hypotese
Cellerne i tabellen
Ha : Antallet af aflagte korepmver afhc.enger af kon
Kvinder Mc.end Sum
1. prove 93
2. prove 123
3. prove 90
4. prove 13
Sum 154 165 319
Tabel2.13
udfylder vi med forventede hyppigheder, som vi pa baggrund af vor antagelse
2.4 for uafha:ngighed 63

om uafhrengighed kan udregne som
fi
. h d rrekkesum · sojlesum
orventet h ypp1g e =
tota 1 sum
De forventede hyppigheder er
som giver teststorrelsen
Kvinder Mrend Sum
1. pmve 44,90 48,10 93
2. pmve 59,38 63,62 123
3. pmve 43,45 46,55 90
4. pmve 6,28 6,72 13
Sum 154 165 319
Tabel 2.14 Forventede hyppigheder
xz = \ (oij- /ij)2 = 3 83
beregn L_, f; . '
1
aile celler 1
Antallet af frihedsgrader er 3, og x 2 -fordelingen med 3 frihedsgrader giver OS
testsandsynligheden p = 0, 28 = 28 %.
Dermed accepterer vi nulhypotesen og konkluderer, at undersogelsen understot­
ter, at antallet af aflagte korepmver er uafhrengigt af kon.
Generelt kan vi udregne antallet af frihedsgrader svarende til en n x m - krydsta­
bel, hvor vi tester for uafhrengighed, som
antallet af frihedsgrader = (antallet af rrekker- 1) · (antallet af sojler- 1)
64 TESTS

2.4.3 Oversigt til x 2 -test af uafhrengighed
Udgangspunkt er en n x m-krydstabel.
Niv. 1
Niv. n
Kat. 1 Kat. 2 ... Kat. m
65