Dominerende egenværdi. Positive matricer - Matematik og modeller ...

Det Biovidenskabelige Fakultet
Dominerende egenværdi. Positive matricer
Matematik og modeller 2009
Henrik L. Pedersen
Institut for Grundvidenskab og Miljø
Web: www.matfys.kvl.dk/Mat-Model/
4.5.2009
Dias 1/27
Dominerende egenværdi
Definition
Lad λ1, . . . , λn være egenværdierne for n × n matricen A (hver opskrevet
et antal gange som svarer til multipliciteten). Egenværdien λ1 kaldes
• dominerende, hvis |λ1| > |λi| (i = 2, . . . , n)
• svagt dominerende, hvis |λ1| ≥ |λi| (i = 2, . . . , n)
Sætning
Lad A være en diagonaliserbar matrix som har en dominerende
egenværdi λ1, med tilhørende egenvektor q1. Lad v0 ∈ Rn være vilkårlig
og sæt vt = Atv0. Så findes et tal c så
1
vt → c q1, t → ∞
λ t 1
Løst sagt siger sætningen vt ≈ c λ t 1 q1 for store værdier af t
4.5.2009
Dias 4/27
1 Dominerende egenværdi
2 Positive matricer
3 Overgangsmatricer
4 Lesliematricer
4.5.2009
Dias 2/27
Dominerende egenværdi
Bevis idé
Hvorfor gælder der
1
vt → c q1, t → ∞?
λ t 1
Vi har en basis bestående af egenvektorer q1, . . . , qn så. . .
Divider nu med λ t 1
4.5.2009
Dias 5/27
v0 = c1q1 + . . . + cnqn
vt = A t v0 = c1λ t 1q1 + . . . + cnλ t nqn
1
λt λ
vt = c1
1
t 1
λt 1
q1 + . . . + cn
= c1q1 + . . . + cn
→ c1q1 + 0
λt n
λt qn
1
t λn
qn
λ1

Positive matricer
Definition
En n × n matrix A kaldes
• ikke-negativ (A > 0), hvis alle elementer er ≥ 0,
• positiv (A ≫ 0), hvis alle elementer er > 0.
Vigtige eksempler:
• Overgangsmatricer
• Lesliematricer
4.5.2009
Dias 7/27
Vigtige typer af ikke-negative matricer:
overgangsmatricer
Definition
En matrix
⎛
⎞
p11 · · · p1n
⎜
P = ⎝
.
. ..
⎟
. ⎠
pn1 · · · pnn
er en overgangsmatrix hvis pij ≥ 0 og summen af alle elementer i hver
søjle er lig 1
Bemærk
• Ofte fortolkes pij som sandsynligheden for overgang fra tilstand j til
tilstand i.
• At summen af alle tallene i søjle j er 1 betyder at overgangen fra
tilstand j skal ske til en af de mulige tilstande 1, . . . , n.
4.5.2009
Dias 10/27
Perron-Frobenius sætning
Sætning: Perron-Frobenius
PF 1 Hvis A er positiv så har A en positiv og dominerende egenværdi
λ1 med en tilhørende positiv egenvektor q1. Endvidere gælder: for
given v0 findes der et tal c så
1
λ t 1
vt = 1
λt A
1
t v0 → c q1
t → ∞
PF 2 Hvis A er ikke-negativ så har A en ikke-negativ og svagt
dominerende egenværdi λ1 med en tilhørende ikke-negativ
egenvektor q1
PF 3 Hvis A > 0 og der findes m så A m ≫ 0, så gælder konklusionerne
i PF 1 om A.
Pointer i forhold til tidligere sætning
I PF 1 og PF 3 er λ1 som q1 positive; A behøver ikke at være
diagonaliserbar
4.5.2009
Dias 8/27
Eksempel: epidemimodellen
• A er en overgangsmatrix.
• Første søjle i A indeholder sandsynlighederne for at en rask forbliver
rask, bliver syg, dør eller bliver helbredt.
• A havde egenværdierne 0.7, 0.8 og 1 (dobbeltrod).
• λ1 = 1 er en positiv og svagt dominerende egenværdi.
• Egenvektorer til egenværdien 1 er alle vektorer af formen
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
0 0
⎜
s ⎜0⎟
⎜
⎟
⎝1⎠
+ t ⎜0
⎟
⎝0⎠
0 1
=
⎛ ⎞
0
⎜
⎜0
⎟
⎝s⎠
, s, t ∈ R
t
Spørgsmål
• Er 1 altid en egenværdi for en overgangsmatrix?
• Er 1 (svagt) dominerende?
4.5.2009
Dias 11/27

Overgangsmatrix
Sætning
Lad P være en overgangsmatrix.
• λ = 1 er en svagt dominerende egenværdi for P
• Hvis der findes m så P m ≫ 0, så findes for given v0 et c sådan at
der gælder
vt = P t v0 → c q,
Bemærk
hvor q er en egenvektor hørende til egenværdien 1
• Lad q være en egenvektor hørende til egenværdien 1. Da gælder
Pq = q.
• Egenvektoren q er altså en ligevægt for matricen.
• Sætningen medfører derfor
Enhver overgangsmatrix har en ligevægt!
4.5.2009
Dias 12/27
Lesliematrix
Sætning
Lad M være en (n + 1) × (n + 1) Leslie-matrix. Da gælder
M n+1 ≫ 0.
Dermed har M en positiv dominerende egenværdi λ1, en positiv
egenvektor q1, og for given v0 findes der c så der gælder (med
vt = M t v0)
1
λt vt → c q1 t → ∞ rettet den 30.4!
1
Mål
Vi vil illustrere resultaterne om dominerende egenværdi ved at gennemgå
to konkrete eksempler på modeller med aldresopdelt populationsvækst
med brug af R.
4.5.2009
Dias 15/27
Vigtige typer af ikke-negative matricer:
Lesliematricer
Definition: Lesliematrix
Matricen M er en Lesliematrix hvis
⎛
b0
⎜p0
⎜
M = ⎜ 0
⎜
⎝ .
b1
0
p1
.
· · ·
· · ·
· · ·
. ..
bn−1
0
0
.
⎞
bn
0 ⎟
0 ⎟
. ⎠
0 0 · · · pn−1 pn
hvor b0, . . . , bn, p0, . . . , pn−1 er positive tal og pn ≥ 0
Bemærk Disse matricer optræder i forbindelse med aldersopdelt
populationsvækst. Da kaldes tallene b0, . . . , bn fødselsrater og p0, . . . , pn
kaldes overlevelsesrater.
4.5.2009
Dias 14/27
Aldersopdelt populationsvækst
I en dyrepopulation opdeles hunnerne efter alder i n + 1 klasser
⎛
⎜
vt = ⎜
⎝
x0,t
x1,t
.
⎞
⎟
⎠
antal 0 årige i år t
antal 1 årige i år t
.
antal ≥ n årige i år t
xn,t
Fødselsrater Overlevelsesrater
0 årige får b0 hununger 0 årige har sandsynlighed p0 for at overleve
1 årige får b1 hununger 1 årige har sandsynlighed p1 for at overleve
.
.
n årige får bn hununger n årige har sandsynlighed pn for at overleve
4.5.2009
Dias 16/27

Fra et år til det næste
x0,t+1 = b0x0,t + b1x1,t + . . . + bn−1xn−1,t + bnxn,t
x1,t+1 = p0x0,t
x2,t+1 = p1x1,t
.
xn,t+1 = pn−1xn−1,t + pnxn,t.
Ligninger på matrixform vt+1 = Mvt, hvor
⎛
b0
⎜p0
⎜
M = ⎜ 0
⎜
⎝ .
b1
0
p1
.
· · ·
· · ·
· · ·
. ..
bn−1
0
0
.
⎞
bn
0 ⎟
0 ⎟
. ⎠
4.5.2009
Dias 17/27
0 0 0 pn−1 pn
Eksempel 1: fremskrivning i modellen,
R-kode
> M v0 V v V[1,4]/V[1,3]
[1] 2.49901
4.5.2009
Dias 19/27
Eksempel 1: To aldersklasser
• x0,t: antal 0-årige hunkaniner i år t
• x1,t: antal (mindst) 1-årige hunkaniner i år t
Model
x0,t+1 2.0 1.5 x0,t
=
0.7 0.4
dvs. vt+1 = Mvt med
Mål
Illustrere resultatet
4.5.2009
Dias 18/27
M =
1
λ t 1
x1,t+1
2.0
1.5
0.7 0.4
og vt =
vt = 1
λt M
1
t v0 → c q1
x1,t
x0,t
x1,t
t → ∞
> # udregning af succesive kvotienter ved for-loekke
> for (k in 1:6) {print(V[1,k+1]/V[1,k])}
[1] 2
[1] 2.525
[1] 2.49901
[1] 2.500040
[1] 2.499998
[1] 2.5
> # alternativ udregning af succesive kvotienter, foerste koordinat
> V[1,(2:7)]/V[1,(1:6)]
[1] 2.000000 2.525000 2.499010 2.500040 2.499998 2.500000
> # udregning af succesive kvotienter, begge koordinater
> V[,(2:7)]/V[,(1:6)]
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 2 2.525 2.499010 2.500040 2.499998 2.500000
[2,] Inf 2.400 2.504167 2.499834 2.500007 2.500000
> eigen(M)$values
[1] 2.5 -0.1
4.5.2009
Dias 20/27

# udregning af forholdene mellem foerste og anden koordinater
> V[1,]/V[2,]
[1] Inf 2.857143 3.005952 2.999762 3.000010 3.000000 3.000000
> eigen(M)$vectors
[,1] [,2]
[1,] 0.9486833 -0.5812382
[2,] 0.3162278 0.8137335
> # normalisering af egenvektor, andenkoordinat lig med 1
> eigen(M)$vectors[1,1]/eigen(M)$vectors[2,1]
[1] 3
>
4.5.2009
Dias 21/27
Tilnærmelse til dominerende egenværdi og
egenvektor vha fremskrivninger
• Lad v0 = (x0,0, x1,0, . . . , xn,0) ⊤
• Beregn vt = (x0,t, x1,t, . . . , xn,t) ⊤ vha vt = M t v0 (og vha R)
• Hvad betyder resultatet 1
λt vt → c q1?
1
Konsekvens 1 Tilnærmelser til dominerende egenværdi
x0,t+1
x0,t
λ1,
x1,t+1
x1,t
λ1, . . . , xn,t+1
xn,t
λ1
for store værdier af t.
Konsekvens 2 Tilnærmelser til en tilhørende egenvektor q1 kan fås ved
at “normere” vt; f.eks. ved dividere med den sidste koordinat:
x0,t
xn,t
for store værdier af t.
4.5.2009
Dias 23/27
, . . . , xn−1,t
T , 1 =
xn,t
1
vt q1
xn,t
Eksempel 1: Konklusioner
• Det ser ud til at vt+1 ≈ 2.5 vt for store værdier af t (vækstraten i
det lange løb er 2.5)
• Det ser også ud til at x0,t
3 for store værdier af t (fordelingen
x1,t
mellem klasserne i det lange løb er tre gange så mange unge som
gamle)
• Den dominerende egenværdi for M er 2.5 og 3
1 er en tilhørende
egenvektor
Hvad får vi ud af resultatet
4.5.2009
Dias 22/27
1
vt → c q1; i dette tilfælde
λ t 1
x0,t+1
x0,t
x0,t
x1,t
t+1
x0,t+1/2.5
= 2.5
x0,t/2.5t = x0,t/2.5 t
1
2.5 t vt → c
3
?
1
→ 2.5c3 = 2.5, t → ∞
c3
c3 3
→ = = 3, t → ∞
x1,t/2.5t c1 1
Eksempel 2: Tre aldersklasser
• x0,t: antal 0-årige hunkaniner i år t
• x1,t: antal 1-årige hunkaniner i år t
• x2,t: antal 2-årige hunkaniner i år t
• ingen ældre kaniner
Aldersspecifikke fødselsrater b0 = 0.4, b1 = 1.1, b2 = 0.6
Aldersspecifikke overlevelsesrater p0 = 0.8,
Fører til modellen vt+1 = Mvt med
p1 = 0.5, p2 = 0
⎛
0.4
M = ⎝0.8
1.1
0
⎞
0.6
0 ⎠ og
⎛ ⎞
x0,t
vt = ⎝x1,t⎠
0 0.5 0
4.5.2009
Dias 24/27
x2,t

Eksempel 2: fremskrivning i modellen,
R-kode
> N M v0 V v eigen(M)$vectors[,1]/eigen(M)$vectors[3,1]
[1] 3.932598+0i 2.508417+0i 1.000000+0i
>
# bestemmelse af egenvektor
# ved forholdet mellem 1., 2. og 3. koordinater
> for (k in (1:N)) {print(V[,k]/V[3,k])};
[1] Inf NaN NaN
[1] Inf Inf NaN
[1] 2.6 0.8 1.0
[1] 6.3 5.2 1.0
[1] 3.400000 1.938462 1.000000
[1] 4.222222 2.806349 1.000000
[1] 3.831222 2.407240 1.000000
[1] 3.971729 2.546466 1.000000
[1] 3.919003 2.495524 1.000000
[1] 3.937191 2.512661 1.000000
>
4.5.2009
Dias 26/27