Forelæsning A2 i matematik, torsdag 28/8 2008

M&D Forelæsning A2 28/8/2008
Funktionsundersøgelse
Oversigt
• Undersøge egenskaberne ved en given funktion
• Særlig vægt på bestemmelse af maksimum og minimum
• Også funktionsundersøgelse af funktioner med parametre
• Størrelsesforhold
• Anvendelseseksempel A.21: Høstudbytte
Matematisk problembehandling
Praktiske oplysninger Grupper til miniprojekterne, Eksamen
Motivation
1
Funktionsundersøgelse
• Anv.eks. A.21 om høstudbytte (gennemgås senere i dag): Maksimér fortjenesten
20 t
F(t) = 4000 + 10 − 5000 t
t + 1
Mere generelt:
20 t
F(t) = 4000 t+1 + 10 − pt hvor p er gødningsprisen
• Tilsvarende for andre modeller for høstudbytte (f.eks. Opgave A.22 og A.23)
• Maksimering og minimering i andre biologiske og økonomiske modeller
• Mange andre, f.eks.
– Optimal udformning af konservesdåser
– Maksimalt indhegnet område
2
Aktivering Funktionsundersøgelse
Opgave A.20: En funktions graf er angivet på figuren nedenfor.
Angiv hvilke af punkterne A, B og C, der er lokale maksima.
1.2
–0.2
–0.4
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
A
B
0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
3
C
Funktionsundersøgelse
Sætning A.5.1 (Metode til funktionsundersøgelse)
(1) Find definitionsmængden for f (x)
(2) Find nulpunkter for f (x)
(3) Find maksimum og minimum for f (x):
• Find f ′ (x) og bestem x ud fra ligningen f ′ (x) = 0
• Bestem fortegnet for f ′ (x), og lav f.eks. et sildebensdiagram.
Bestem herved lokale maksima og minima
• Undersøg f (x) i endepunkterne af definitionsmængden
(og i punkter hvor f (x) ikke er differentiabel)
• Bestem endelig maksimum og minimum for f (x)
(4) Tegn grafen for f (x)
4

Eksempel A.5.2(a) f (x) =
x − 1
x 2 + 3
Funktionsundersøgelse
(1) Definitionsmængde: f (x) defineret for alle x, men kun interesseret i x ≥ 0.
(2) Nulpunkter: x = 1 eneste nulpunkt.
(3) Maksimum i x = 3 med f (3) = 1 6 .
Minimum i x = 0 med f (0) = − 1
3 .
(Endvidere vil f (x) → 0 når x → ∞.)
(4) Grafen for f (x):
0.2
0.1
0
–0.1
y
–0.2
–0.3
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5
Aktivering Funktionsundersøgelse
Om funktionen
oplyses det at
samt følgende værdier af f ′ (x):
f (x) = 3x 4 − 16x 3 + 30x 2 − 24x + 9
f ′ (x) = 0 ⇔ x = 1 eller x = 2
x 0.5 1.5 1.6 3
f ′ (x) −4.5 −1.5 −1.728 48
Benyt disse oplysninger (ikke lommeregneren!) til at
• lave en grov skitse af grafen for f (x)
• drage konklusioner vedrørende maksimum og minimum for f (x)
6
Eksempel A.5.2(b) Funktionsundersøgelse
Grafen for f (x) = x−a
x2 for a = 0.5, 1 og 2:
+3
0.2
y
0.1
0
–0.1
–0.2
–0.3
Grafen for f (x) = x−1
x2 for b = 1, 3 og 10:
+b
0.2
y
0.1
0
–0.1
–0.2
–0.3
x
0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 1 2 3 4 5 6
x
0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 1 2 3 4 5 6
7
Brug af den dobbelt afledede f ′′ (x)) Funktionsundersøgelse
Sætning A.5.2
(a) Antag at f ′ (x0) = 0. Så gælder:
f ′′ (x0) > 0 ⇒ f (x) har lokalt minimum i x0
f ′′ (x0) < 0 ⇒ f (x) har lokalt maksimum i x0
f ′′ (x0) = 0 ⇒ undersøges nærmere
(b) f ′′ (x) > 0 for alle x ⇒ f (x) konveks (Grafen “krummer opad”)
f ′′ (x) < 0 for alle x ⇒ f (x) konkav (Grafen “krummer nedad”)
8

Lokale og globale ekstrema Funktionsundersøgelse
Eksempel f (x) = x sin x har lokalt men ikke globalt minimum i x = 0:
1
x
–6 –4 –2 2 4 6
–1
–2
–3
–4
x
–15 –10 –5 5 10 15
0
6
4
2
0
–2
–4
–6
10
5
–5
–10
–15
9
Størrelsesforhold
eksponential
potens
logaritme
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
x
Sætning A.5.3 Lad a > 0 og r > 0. Da har vi
ln x
→ 0 og
xa xa → 0 for x → ∞
er x
I ord Logaritmer vokser langsommere end potensfunktioner, som igen vokser
langsommere end eksponentialfunktioner
10
Aktivering Størrelsesforhold
(a) Hvilken af følgende funktioner går hurtigst mod uendelig når x → ∞?
f (x) = 7e x , g(x) = e 2x , h(x) = x 7
(b) Opgave A.12: Bestem grænseværdien af funktionen
for y → ∞.
[Vink: Brug evt. omskrivningen
y ln y
e y
f (y) =
y ln y
e y
= y
ey/2 ln y
·
ey/2 ]
11
Anvendelseseksempel A.21: Høstudbytte
Udgangspunkt NPK-gødning . . . afgrøden vokser mere hvis der gødes . . . hvad er
salgsprisen? . . . hvad koster gødningen? . . . hvordan bliver vejret mon? . . . hvordan er
jordbunden? . . . hvor meget skal vi gøde?
Afgrænsning Hvad skal med?
Præcisering Hvordan kan situationen beskrives?
Simplificerende antagelse Høstudbyttet afhænger udelukkende af gødningsmængden
12

Anvendelseseksempel A.21: Høstudbytte (fortsat)
Udbyttet som funktion af gødningsmængden
Generelt om udbyttefunktioner
U(t): Udbyttefunktion i tons pr. ha
t: Gødningsmængde i tons pr. ha
Karakteristika Fortolkning
U(0) ugødet udbytte
limt→∞ U(t) asymptotisk udbytte
limt→∞ U(t) − U(0) asymptotisk merudbytte
U ′ (t) marginalt merudbytte
U ′ (t) > 0 voksende udbytte
U ′′ (t) < 0 aftagende effekt
Eksempel på udbyttefunktion U(t) =
Problemformulering
13
20 t
+ 10
t + 1
Anvendelseseksempel A.21: Høstudbytte (fortsat)
Matematisk modellering af fortjenesten
• Vi kender salgsprisen på udbyttet: 4000 kr. pr. tons
• Vi kender prisen på gødningen: 5000 kr. pr. tons
• Vi antager sammenhængen
20 t
U(t) = + 10
t + 1
mellem gødningsmængde og høstudbytte
• Formål Bestemme hvor meget gødning vi skal bruge for at tjene mest muligt
14
Anvendelseseksempel A.21: Høstudbytte (fortsat)
Matematisk beskrivelse og analyse af modellen
Størst fortjeneste ↔ maksimum for F(t).
Redskab: funktionsundersøgelse.
Resultat
Fortjeneste = Indtægt − udGift
20 t
I(t) = 4000 · U(t) = 4000 + 10
t + 1
G(t) = 5000 · t
20 t
F(t) = 4000 + 10 − 5000 t
t + 1
Fmax = F(3) = 85000
Fortolkning af resultatet 3 tons gødning pr. ha. Fortjeneste: 85000 kr. pr. ha.
15
Anvendelseseksempel A.21: Høstudbytte (fortsat)
Spørgsmål Hvordan afhænger det optimale gødningsniveau af prisen på gødning?
Prisen på gødning p (kr. pr. tons)
Fortjeneste
Resultat F(t) har maksimum i
20 t
F(t) = 4000 + 10 − pt
t + 1
topt =
80000
− 1
p
p 3000 4000 5000 6000 7000
topt 4.2 3.5 3.0 2.7 2.4
16

Anvendelseseksempel A.21: Høstudbytte (fortsat)
Mere generel model for fortjenesten
U(t): Udbyttefunktion i tons pr. ha
t: Gødningsmængde i tons pr. ha
q: Salgspris pr. tons udbytte
p: Pris pr. tons gødning
Fortjenestefunktion F(t) = qU(t) − pt
Optimalt gødningsniveau topt:
F ′ (topt) = 0 dvs. U ′ (topt) = p
q
Egenskaber som kan aflæses af ligningen U ′ (topt) = p
q
• Større værdi af p ⇒ mindre værdi af topt
• Større værdi af q ⇒ større værdi af topt
Analyse: Hvad er problemet?
17
Matematisk problembehandling
• Hvad VED du? Hvad VIL du VIDE? (“VVV”)
• Omformulér de givne oplysninger. Lav evt. en tegning
(da U ′ (t) er aftagende):
• Hvilke metoder og matematiske sætninger kan benyttes ved løsningen?
Løsning: Hvad kan jeg gøre?
• Del evt. problemet op i mindre skridt
• Der er ikke noget galt i at gå i stå! Prøv igen
• Benyt det du ved og de metoder, du har til rådighed
Konklusion: Hvad fandt jeg ud af? Reflektér over løsningen og løsningsmetoden:
• Er løsningen korrekt? Check om muligt
• Kan metoden bruges i andre situationer?
• Forklar løsningen til din sidemand
18
Eksempler på matematisk problembehandling
• Anv.eks. A.6 om nedbrydning af organisk materiale (fra i mandags)
Hvor lang tid går der før 20% af materialet er nedbrudt? →
Løs ligningen 80 = 100 · e −0.002 t → Resultat: t ≃ 112
• Anv.eks. A.16 om graddage og ukrudtsbekæmpelse (fra i mandags)
Hvornår skal man sprøjte for at bekæmpe agertidsler? → Graddage = 350
Løs ligningen (numerisk) 8t2 −
→
1460
π cos
2π
365 t2
+ 1460
π = 350 →
Resultat: t2 ≃ 34 som svarer til 19. maj
• Anv.eks. A.21 om Høstudbytte
Hvordan afhænger det optimale
gødningsniveau
af prisen på gødning? →
20 t
Maksimér F(t) = 4000 t+1 + 10 − pt → Resultat: topt =
19
80000
p
Aktivering Matematisk problembehandling
Opgave A.25: Lad f (x) = ax 2 + bx + c. Find a, b og c, når det er opgivet, at
f (0) = 1, f (1) = 0 og
1
0
f (x) dx = 1
[Prøv at anvende “Jeg ved – jeg vil vide” tankegangen i denne opgave]
20
− 1

Mangelfuld brug af matematisk problembehandling ¨⌣
21
Eksempler på brug af programmet R
• Funktionsundersøgelse af f (x) = e x − x − x 2
> f plot(f,0,2)
f (x)
0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
• R kan ikke differentiere, så det gør vi: f ′ (x) = e x − 1 − 2x
22
x
Eksempler på brug af programmet R (fortsat)
• Vi kan ikke løse ligningen e x − 1 − 2x = 0 så det får vi R til:
> fdiff plot(fdiff,0,2)
fdiff (x)
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
> uniroot(fdiff,c(1,2))
$root
[1] 1.256431.836881 with absolute error < 2.0e-14
• Checker fortegn af f ′ (x) på hver side af 1.256:
> fdiff(1); fdiff(2)
[1] -0.2817182
[1] 2.389056
Konklusion: f (x) har (lokalt) minimum i x = 1.256
23
Grupper til miniprojekterne
Hvert af de 4 matematikmoduler afsluttes med gruppevis aflevering af et miniprojekt.
Det er en forudsætning for at gå til eksamen, at mindst 3 af de 4 miniprojekter er
godkendt. Se “Kursusoversigt” for detaljer.
Miniprojekt A finder sted torsdag 4/9. Yderligere praktiske oplysninger mandag 1/9.
Miniprojekterne laves i grupper med grupper med 3 personer; dog kan grupper med 2
accepteres efter aftale med øvelseslæreren.
Hver gruppe skal senest til øvelserne mandag 1/9 kl. 15-17 angive til øvelseslæreren
(evt. pr. email), hvem gruppen består af. Emailadresser på øvelseslærerne kan ses på
CampusNet.
Bemærk at grupperne ikke må gå på tværs af øvelsesholdene. Hvis I er i en gruppe, der
går på tværs af øvelseshold, så skal en eller flere af jer skifte til et andet øvelseshold.
Anmodning om dette sendes til Morten Larsen: ml@dina.kvl.dk.
24
x

Eksamen
Kurset afsluttes med en 4-timers skriftlig eksamen torsdag 30/10 (kl. ??)
Der gives karakterer efter 7-trinsskalaen.
Halvdelen af eksamen har samme format som modultestene, dvs. 15 korte spørgsmål,
som tester basale færdigheder.
Den anden halvdel består af opgaver i stil med dele af miniprojekterne. I har ikke
computere med til eksamen, men der vil være spørgsmål om R og regneark, hvor I f.eks.
kan blive bedt om at rette i eller forklare R-kode.
Fra eksamenssættet:
“Alle hjælpemidler er tilladte, herunder brug af lommeregnere (NB! ikke
computere). Det er dog ikke nok, at opgaverne eller dele af dem er løst
alene ved brug af lommeregner, og derfor skal mellemregninger angives i
rimeligt omfang i besvarelsen.”
Eksamenssættene fra sidste år findes på hjemmesiden
25