Forelæsning A2 i matematik, torsdag 28/8 2008

Eksempel A.5.2(a) f (x) =
x − 1
x 2 + 3
Funktionsundersøgelse
(1) Definitionsmængde: f (x) defineret for alle x, men kun interesseret i x ≥ 0.
(2) Nulpunkter: x = 1 eneste nulpunkt.
(3) Maksimum i x = 3 med f (3) = 1 6 .
Minimum i x = 0 med f (0) = − 1
3 .
(Endvidere vil f (x) → 0 når x → ∞.)
(4) Grafen for f (x):
0.2
0.1
0
–0.1
y
–0.2
–0.3
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5
Aktivering Funktionsundersøgelse
Om funktionen
oplyses det at
samt følgende værdier af f ′ (x):
f (x) = 3x 4 − 16x 3 + 30x 2 − 24x + 9
f ′ (x) = 0 ⇔ x = 1 eller x = 2
x 0.5 1.5 1.6 3
f ′ (x) −4.5 −1.5 −1.728 48
Benyt disse oplysninger (ikke lommeregneren!) til at
• lave en grov skitse af grafen for f (x)
• drage konklusioner vedrørende maksimum og minimum for f (x)
6
Eksempel A.5.2(b) Funktionsundersøgelse
Grafen for f (x) = x−a
x2 for a = 0.5, 1 og 2:
+3
0.2
y
0.1
0
–0.1
–0.2
–0.3
Grafen for f (x) = x−1
x2 for b = 1, 3 og 10:
+b
0.2
y
0.1
0
–0.1
–0.2
–0.3
x
0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 1 2 3 4 5 6
x
0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 1 2 3 4 5 6
7
Brug af den dobbelt afledede f ′′ (x)) Funktionsundersøgelse
Sætning A.5.2
(a) Antag at f ′ (x0) = 0. Så gælder:
f ′′ (x0) > 0 ⇒ f (x) har lokalt minimum i x0
f ′′ (x0) < 0 ⇒ f (x) har lokalt maksimum i x0
f ′′ (x0) = 0 ⇒ undersøges nærmere
(b) f ′′ (x) > 0 for alle x ⇒ f (x) konveks (Grafen “krummer opad”)
f ′′ (x) < 0 for alle x ⇒ f (x) konkav (Grafen “krummer nedad”)
8