Lineær Algebra Differentialligninger

15. LINEÆRT SYSTEM - 2 LIGNINGER 101
Lad
y(x) = C1e λ1x u1 + · · · + Cne λnx un
og Λ = U −1 AU. S˚a er U −1 z og U −1 y begge løsninger til diagonalsystemet
med koefficientmatrix Λ og derfor ens. Heraf følger resultatet.
Sætning 31 Betragt 2×2-matricen A = (aij) og 2-søjlerne b = (bi), y(x) =
(yi(x)) samt det lineœre differentialligningssystem
dy
dx
= Ay + b
En konstant funktion y(x) = v er en løsning, hvis Av = −b. Hvis matricen
U med søjler u1,u2 diagonaliserer A med egenvœrdier λ1, λ2, Auj = λjuj,
s˚a er den fuldstœndige løsning givet ved
hvor C1, C2 er arbitrœre.
y(x) = C1e λ1x u1 + C2e λ2x u2 + v
Følgende opgavetype er repræsentativ for resultaterne i dette afsnit.
Opgave 1. Betragt differentialligningssystemet
y ′ 1 = y1 + y2
y ′ 2 = 8y1 − y2
Det oplyses, at vektoren u = (1, 2) er en egenvektor for matricen
A =
1 1
8 −1
Angiv den løsning y(x) = (y1(x), y2(x)) der opfylder y(0) = u, alts˚a
(y1(0), y2(0)) = (1, 2).
Løsning. Egenværdien λ = 3 f˚as af udregningen
1 1 1 3
Au =
= = 3u
8 −1 2 6
Ifølge Sætning 27 er
y(x) = Ce 3x
1
2