Konfidensintervaller Hypotesetest og

Konfidensintervaller
Hypotesetest
og
Konfidensinterval for andele
χ2-fordelingen og konfidensinterval for variansen
Hypoteseteori
Hypotesetest af middelværdi, varians og andele

Repetition fra sidst: Konfidensintervaller
Et punkt-estimat
punkt estimat estimerer værdien af en ukendt populations
parameter ved en enkelt værdi.
Fx: Middelhøjden blandt oecon studernde x
= 172,
73.
Et konfidens interval er et interval, der estimerer værdien af en
ukendt populations parameter. Kaldes også et interval estimat. estimat
Sammen med intervallet gives et mål for, hvor sikker man er på, at
den sande populations parameter ligger i intervallet. Dette mål
kaldes for konfidens niveauet. niveauet
Et punkt estimat indeholder ikke meget information om den faktiske
værdi af μ – fx hvor sikkert er vores punkt estimat?
Et interval estimat indeholder flere informationer, for eksempel:
Vi er 95% sikre på, at intervallet [164,8 ; 180,7] indeholde den sande
middelværdi μ.
Eller vi er 90% sikre på, at intervallet [166,1 ; 179,3] indeholder den
sande middelværdi μ.

Repetition fra sidst
(1-α)100% konfidens interval for:
Populations middelværdi μ, når X er normal fordelt (eller
stikprøven er stor) og σ er kendt:
x
±
z
α
2
Populations middelværdi μ, når X er normal fordelt og σ er
ukendt:
x ± t
s
n
α
α
2
Husk: n-1 frihedsgrader
σ
n
zα
tα
α

Konfidensinterval
for andele
Estimatet af populations-andelen, p, er stikprøve-andelen
, ,dvs. andelen af succeser i stikprøven.
pˆ
Hvis np>5 og n(1-p)>5, så er stikprøve-fordelingen af
stikprøve-andelen ca normalfordelt:
⎛ p − p ⎞
Pˆ
( 1 )
~ N⎜
p,
⎟
⎝ n ⎠
Et (1-α)100% konfidensinterval for p er
pˆ
± zα
2
pˆ
( 1−
pˆ
)
n

Eksempel 6-4
For For en en given produkttype: Hvor stor stor en en andel af af det det amerikanske
marked er er besat af af udenlandske virksomheder?
En En stikprøve på på100
100 forbrugere udtages og og 34 34 af af disse bruger et et
udenlandske produkt; resten bruger et et amerikanske produkt.
Giv Giv et et 95% 95% konfidensinterval
for for andelen af af brugere af af udenlandske
produkter.
ˆ
p ± zα
2
pˆ
qˆ
n
( 0.
34)(
0.
66)
= 0.
34 ± 1.
96
100
= 0.
34 ± ( 1.
96)(
0.
04737)
= 0.
34 ± 0.
0928
=
[ 0.
2472,
0.
4328]

χ 2 -fordelingen
χ 2 -fordelingen [ki-i-anden] er
asymmetrisk og kun defineret for
positive tal.
χ 2 -fordelingen er (li’som t-fordelingen)
specificeret ved antal frihedsgrader (df).
Notation: X~χ 2 (n) [X følger en χ 2 -
fordelingenmed n frihedsgrader].
χ2-fordelingen er sandsynligheds
fordelingen for en sum af uafhængige
kvadrerede standard normal fordelte
stokastiske variable.
Hvis X~χ2 (df) gælder:
Chi-Square
D istrib ution: df=10 , df=3 0, df=50
0
df = 10
df = 30
Middelværdien er lig med antallet af frihedsgraden, E(X)=df
Variansen er lig med to gange antallet af frihedsgrader, V(X)=2df
5 0
χ2 df = 50
100

χ 2 -fordelingen og stikprøvevariansen
Stikprøve variansen,
S
2
er en central estimator for populations variansen σ².
Hvis stikprøven er taget fra en normal-fordeling, så er den
stokastiske variabel:
2
2 ( n −1)
S
χ = 2
σ
χ 2 -fordelt med n-1 frihedsgrader.
( ) n
X
n
2 n 2
∑ ( X − X ) n −
1 ∑ X
i=
i
i=
1 i ∑i=
=
=
n −1
n −1
Konfidensintervaller for populations-variansen er baseret på
χ 2 -fordelingen.
1
i
2

Sandsynligheder i χ2 fordelingen
Tabel 4 s778 α
Areal i højre hale (α)
.995 .990 .975 .950 .900 .100 .050 .025 .010 .005
1 0.0000393 0.000157 0.000982 0.000393 0.0158 2.71 3.84 5.02 6.63 7.88
2 0.0100 0.0201 0.0506 0.103 0.211 4.61 5.99 7.38 9.21 10.60
3 0.0717 0.115 0.216 0.352 0.584 6.25 7.81 9.35 11.34 12.84
4 0.207 0.297 0.484 0.711 1.06 7.78 9.49 11.14 13.28 14.86
5 0.412 0.554 0.831 1.15 1.61 9.24 11.07 12.83 15.09 16.75
6 0.676 0.872 1.24 1.64 2.20 10.64 12.59 14.45 16.81 18.55
7 0.989 1.24 1.69 2.17 2.83 12.02 14.07 16.01 18.48 20.28
8 1.34 1.65 2.18 2.73 3.49 13.36 15.51 17.53 20.09 21.95
9 1.73 2.09 2.70 3.33 4.17 14.68 16.92 19.02 21.67 23.59
10 2.16 2.56 3.25 3.94 4.87 15.99 18.31 20.48 23.21 25.19
11 2.60 3.05 3.82 4.57 5.58 17.28 19.68 21.92 24.72 26.76
12 3.07 3.57 4.40 5.23 6.30 18.55 21.03 23.34 26.22 28.30
13 3.57 4.11 5.01 5.89 7.04 19.81 22.36 24.74 27.69 29.82
14 4.07 4.66 5.63 6.57 7.79 21.06 23.68 26.12 29.14 31.32
15 4.60 5.23 6.26 7.26 8.55 22.31 25.00 27.49 30.58 32.80
16 5.14 5.81 6.91 7.96 9.31 23.54 26.30 28.85 32.00 34.27
17 5.70 6.41 7.56 8.67 10.09 24.77 27.59 30.19 33.41 35.72
18 6.26 7.01 8.23 9.39 10.86 25.99 28.87 31.53 34.81 37.16
19 6.84 7.63 8.91 10.12 11.65 27.20 30.14 32.85 36.19 38.58
20 7.43 8.26 9.59 10.85 12.44 28.41 31.41 34.17 37.57 40.00
21 8.03 8.90 10.28 11.59 13.24 29.62 32.67 35.48 38.93 41.40
22 8.64 9.54 10.98 12.34 14.04 30.81 33.92 36.78 40.29 42.80
23 9.26 10.20 11.69 13.09 14.85 32.01 35.17 38.08 41.64 44.18
2
χα

Konfidens interval for populations
variansen, σ 2
Et (1-α)100% konfidens interval for populations variansen σ2 (hvis populationen
er normal fordelt) er givet som:
α
hvor er fraktilen i χ2 2
χ α 2
2
( )
, ( )
⎡
2
⎢ n−1 s n−1 s
2
2
⎢ χ α χ α
1− ⎣ 2
2
fordelingen
og
2
2
χ α
1− 2
⎤
⎥
⎥
⎦
er 1− fraktilen.
2
α
Bemærk: Fordi χ2 fordelingen er skæv, er konfidens-intervallet
for populations-variansen ikke symmetrisk omkring s2 Bemærk: Fordi χ
.
2 fordelingen er skæv, er konfidens-intervallet
for populations-variansen ikke symmetrisk omkring s2 .

Eksempel 6-5
En maskine fylder kaffekander (med kaffe ;-) Hvis det gennemsnitlige
indhold er forskellig fra hvad det skal være, kan maskinen justeres.
Hvis variansen er for høj, skal maskinen sendes til reparation. En
stikprøve på 30 kander giver et varians estimat på s2 = 18,540. Giv et
95% konfidens interval for populations variansen, σ2 En maskine fylder kaffekander (med kaffe ;-) Hvis det gennemsnitlige
indhold er forskellig fra hvad det skal være, kan maskinen justeres.
Hvis variansen er for høj, skal maskinen sendes til reparation. En
stikprøve på 30 kander giver et varians estimat på s
.
2 = 18,540. Giv et
95% konfidens interval for populations variansen, σ2 .
⎡
⎢(
n −1)
s
⎢ 2
χα
⎢
⎣ 2
2
( n −1)
s
, 2
χ
α
1−
2
2
⎤
⎥
⎥
=
⎥
⎦

Eksempel 6-5
⎡
⎢(
n
−1)
s
⎢ 2
χα
⎢
⎣ 2
2
( n −1)
s
, 2
χ
α
1−
2
2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
f(χ 2 )
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0.00
0
Areal i højre hale
Chi-Square Distribution: df = 29
0.025
10
20
30
40
0.95
50
χ2 2
2
χ = 16. 05
0. 975
χ 0. 025
0.025
60
= 4572 .
df .995 .990 .975 .950 .900 .100 .050 .025 .010 .005
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
28 12.46 13.56 15.31 16.93 18.94 37.92 41.34 44.46 48.28 50.99
29 13.12 14.26 16.05 17.71 19.77 39.09 42.56 45.72 49.59 52.34
30 13.79 14.95 16.79 18.49 20.60 40.26 43.77 46.98 50.89 53.67
70

Hypoteser og hypotesetest.
En hypotese er et udsagn om nogle karakteristika af en variabel eller
mængde af variable
Fx ”Er middelhøjden af de Oecon studerende lig 175cm?”
I en hypotesetest testes værdier, der er opstillet i en hypotese, ved at
sammenligne med værdier beregnet fra data.
For eksempel kan gennemsnittet af en stikprøve af jeres vægte beregnes til
172,7 cm. Er det (signifikant) forskellig fra 175? Det er forskellig fra 175,
men kan vi derfra konkludere, at det ikke bare skyldes tilfældig variation,
afhængig af eksempelvis stikprøvestørrelsen?
En hypotesetest består af 5 elementer:
I. Antagelser
II. Hypoteser
III. Teststørrelser
IV. p-værdi
V. Beslutning/konklusion

I:
Antagelser
Type af data: Se på om det er diskrete eller kontinuerte data.
Populationsfordeling: Se på hvilken fordeling populationen
har.
Stikprøve: Hvilken metode er brugt til at indsamle data. Skal
være en simpel stikprøve i de test vi bruger.
Stikprøvestørrelse: Hvor stor er den stikprøve vi har til at
beregne test størrelsen?

II: Hypoteser
Nul hypotesen H0 : En påstand om en
populationsparameter. Er sand indtil vi
statistisk er bevist at den er sand.
Den alternative hypotese H1 : En
påstand om alle situationer, der ikke er
dækket af H0 , dvs. det ”modsatte af
H0 ”.
Nul hypotesen er sand indtil det
modsatte er bevist.
Oecon
eksempel: H0: μ
= 175 vs
H1: μ
≠
175
Eksempel: Nulog alternativ-hypoteser
for middelværdien
•H
H
0
1
•H
H
•H
H
0
1
0
1
: μ = 5
: μ ≠ 5
: μ ≥ 5
: μ < 5
: μ ≤ 5
: μ > 5

III:
Test størrelsen
Teststørrelsen beregnes fra stikprøve data og bruges til at vurdere
nul-hypotesen H 0.
Den indeholder typisk et punktestimat for den parameter, der indgår
i nul hypotesen – for eksempel stikprøve gennemsnittet som
punktestimat for middelværdien.
Oecon eksempel: Stikprøvegennemsnittet er
teststørrelsen til test af H0 hypotesen μ = 175.
Konkret x
= 172. 7 ≠ 175 , hvilket er ufavorabelt for
H0 , men er det bevis nok til at afvise H0 eller er det
bare tilfældighedernes spil?
x

IV:
p-værdi
p-værdien er et mål for troværdigheden af H 0 set i lyset
af den aktuelle stikprøve.
Formelt er p-værdien af en test, er sandsynligheden for
at observere en ny teststørrelse, der er mindst lige så
ufarvorabel for H0 som den observerede teststørrelse,
når nul hypotesen er sand.
Jo mindre p-værdi jo mere signifikant siger man testet er.
Bemærk: Selvom H0 er sand kan man godt få en lille pværdi
– og omvendt.

V:
Konklusion/beslutnings regel
En beslutningsregel for en hypotese test, er en regel for under hvilke
betingelse nul hypotesen kan forkastes.
Betragt H 0 : μ=175. Beslutnings reglen kan her være at forkaste H 0 , når
stikprøve gennemsnittet er under 170.
Typisk bruges dog p-værdien for testen. Så en beslutningsregel er for
eksempel at forkaste H 0 , når p-værdien er mindre end 0.05.
Vi accepterer/beviser aldrig, at nul hypotesen er sand. Hvis vi ikke kan
forkaste nul hypotesen, siger vi, at der ikke er nok beviser til at forkaste den.
Hvis vi forkaster nul hypotesen, kan vi konkludere, at der er beviser nok til
at sige, at den alternative hypotese er sand.

Signifikansniveau α
Signifikansniveauet α er et tal,
således at H 0 forkastes, hvis pværdien
er mindre end α.
α er normalvis 0.05 eller 0.01.
Vælges før analysen foretages.
Konklusion
p-værdi H 0 H 1
p
p
< α Forkast Accepter
> α Forkast
ikke
Accepter
ikke
Hvor lille et signifikans niveau man vælger, afhænger af hvilke
konsekvenser beslutningen om at forkaste H 0 har. Hvis det er et spørgsmål
om liv eller død, for eksempel i medicinske forsøg, vælges α meget lille.
Men hvis det ”bare” er at teste om et folketingsparti er større end et andet,
kan man godt α større.

Test af middelværdi
Antagelse: Test af μ, X kvantitativ variabel og n>30.
Hypoteser:
X
middelværdi μ0 og standard afvigelse σ
(to-sidet
test)
Stikprøvefordeling af når H 0 er sand er approksimativ normal med
Teststørrelse:
Z
H
H
0
1
=
: μ = μ
: μ ≠ μ
X − μ0 σ n
0
0
n
μ x
0 z
0
standardisering

Beregning af p-værdi
Når H 0 er sand, er fordelingen af Z approksimativt standard normal
fordelt (dvs. normal fordelt med middelværdi 0 og standard afvigelse 1).
p-værdien er sandsynligheden for at observere en teststørrelse mindst
så ufavorabel, som den observerede, givet at H 0 er sand.
I formler: P( |Z| > beregnet z værdi), svarende til sandsynligheden for at
observere et gennemsnit der er længere fra μ0 end , hvis H0 er sand.
Sansynligheden ovenfor bestemmes ved tabelopslag (det er derfor vi
standardiserer).
Meget nemmere at se ved hjælp af et eksempel…
x

Eksempel
Hypoteser:
H 0 : μ = 30
H 1 : μ 30
Stikprøve:
n = 50
x
= 31.5
σ = 5
Teststørrelse:
31.
5−
30
Z = = 2,
12
5 50
p-værdi:
p = p(|
Z | > 2,
12)
=
2×
p(
Z > 2,
12)
=
2×
0.
017 = 0.
034
Lille p-værdi, så H0 forkastes.
Fordeling:
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
.017 .017
− z = −2.
12 0 z
= 2.
12

Summe opgave
H0: μ = 30
H1: μ 30
Stikprøve:
n = 20
n = 100
x = 31.5
x
= 31.5
σ = 5
σ = 5
Beregn værdien af test
størrelsen og p-værdien.
H0: μ = 30
H1: μ 30
Stikprøve:
Beregn værdien af test
størrelsen og p-værdien

Relation til konfidens intervaller
95% konfidensinterval
σ
x±
1 . 96 = 31.
5±
1.
96
n
Middelværdi
under
H 0
μ 0
for μ, dvs. α = 0.05:
5
50
95% konfidensinterval
omkring observeret
middelværdi
= 30 32.88
30.11 x = 31.5
Da (1−α)100% konfidensintervallet ikke overlapper μ0 er p-værdien mindre
end α=0.05, dvs. vi forkaster H0.

Hvorfor = i nul hypotesen
H
H
:
som
følgende
det
i
skrives
H
H
H
0
1
0
1
0
0
0
0
0
:
:
:
:
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
>
=
•
>
≤
•
mindre.
er
evt.
den
meget
hvor
ikke
værdi,
givet
en
end
)
hvis
mindre,
eller
(
større
er
om
i,
et
interesser
kun
vi
er
Desuden
gode".
til
H
komme
tvivlen
lader
"
måde
denne
på
man
at
er,
dette
til
Grunden
0
<
μ

Højresidet
test
(et en-sidet
Antagelse: Test af μ, X kontinuert variabel og n>30.
Hypoteser:
H
H
test)
Stikprøve fordeling af når H 0 er sand er approksimativ normal
med middelværdi μ og standard afvigelse
Teststørrelse:
0
1
: μ = μ
: μ > μ
P-værdien: p( Z > observeret z værdi)
Z
0
0
X
X − μ0 =
σ n
σ
n

Eksempel højresidet
H0: μ = 30
H1: μ > 30
Stikprøve:
n = 50
x
= 31.5
σ = 5
Test størrelse:
Z
=
31.
5
5
−30
=
50
2,
12
test
P-værdi:
p = p(
z > 2,
21)
=
Lille p-værdi, så H0 forkastes.
0. 8
0. 7
0. 6
0. 5
0. 4
0. 3
0. 2
0. 1
0. 0
Fordeling:
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0.
017
0
μ0=30 Z=2,12
x=31.5
.017
.017

Venstresidet
test
Antagelse: Test af μ, X kvantitativ variabel og n>30.
Hypoteser:
Stikprøve fordeling af X når H0 er sand er approksimativ normal med
middelværdi μ og standard afvigelse σ
n
Teststørrelse:
H
H
0
1
: μ = μ
: μ < μ
P-værdien: p( Z < observeret z værdi)
Z
=
0
0
X − μ0 σ n

Eksempel venstresidet
H0: μ = 30
H1: μ < 30
Stikprøve:
n = 50
x
= 31.5
σ = 5
Test størrelse:
Z
=
31.
5
5
−30
=
50
2,
12
test
P-værdi:
Stor p-værdi, så H 0 forkastes ikke.
0. 8
1-.017 0. 7
0. 6
0. 5
0. 4
0. 3
0. 2
0. 1
0. 0
Fordeling:
0.8
0.7
0.6
1-.017
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
p = p(
z < 2,
12)
= 1−
0
μ0=30 Z=2,12
x=31.5
0.
017

Test af middelværdi for ukendt varians
Antagelse: Test af μ, X normalfordelt variabel og σ² ukendt (estimeret ved s²).
Hypoteser:
: μ ≠ μ
Teststørrelse t er t-fordelt med (n-1) frihedsgrader:
p-værdien: p( |t| > observeret t værdi) – kan ikke bestemmes ved tabel opslag,
men SPSS gør det!
Venstre og højre sidet test efter samme princip som før.
H
H
0
1
X − μ0
t =
s n
: μ = μ
0
0

Eksempel
H0: μ = 30
H1: μ 30
Stikprøve:
n = 50
x
= 31.5
s = 5
Test størrelse:
31.
5 − 30
t = =
5 50
2,
12
Svært at slå op i tabel. Ligger
mellem 0.025 og 0.01.
P-værdi:
p = p(|
t | > 2,
12)
=
2×
p(
t > 2,
12)
=
2×
0.
020 = 0.
040
Lille p-værdi, så H 0 forkastes.
Fordeling:
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
x=−31.5
.020 .020
μ0=30 x=31.5

Eksempel -
H 0 : μ = 30
H 1 : μ 30
Stikprøve:
n = 50
x
= 31.5
s = 5
Test størrelse:
31.
5 − 30
t = =
5 50
2,
12
fortsat
Svært at slå op i tabel. Ligger
mellem 0.025 og 0.01.
I stedet for p-værdi, vælges
signifikans niveau α, for eksempel
α=0,05.
Slå op i t-tabellen med 49
frihedsgrader under 0,025, da det
er en 2-sidet test.
t-værdien er cirka lig med 2.01. Da
2,12 er større end 2,01, forkastes
H0 .
Hvis t=-2,12 skulle vi have sagt,
da -2,12 er mindre end -2.01,
forkastes H0 .

Hypotesetest for middelværdi i SPSS
SPSS: Analyze
Højde
μ 0 i H 0
Typisk output af spss
One-Sample Statistics
> Compare
N Mean Std. Deviation
Std. Error
Mean
24 172,7292 18,86737 3,85129
n
hypotesen
x s s n
Means
Højde
> One
Sample T-Test
One-Sample Test
Test Value = 175
Angiver (1−α)100%
konfidensinterval
Mean
95% Confidence
Interval of the
Difference
t df Sig. (2-tailed) Difference Lower Upper
-,590 23 ,561 -2,27083 -10,2378 5,6962
p-værdi for to-sidet
(1−α)100% konfidensinterval
for μ −
μ 0
t-test, dvs. H1: μ ≠ μ0

Test af en andel
Antagelse: Test af populations andel p, når np>5 og n(1-p)>5.
Hypoteser:
Stikprøve fordeling af når H0 er sand er approksimativ normal med
middelværdi og standard afvigelse p 1 p ) / n −
p
Teststørrelse:
0
P-værdien: p( |Z| > beregnet z værdi)
Z
=
pˆ
p
0
Højresidet og venstresidet test efter samme princip som før.
H
H
0
1
pˆ
−
( 1−
:
:
p
p
p
p
0
0
=
≠
p
p
) / n
0
0
0(
0

Test af variansen
Antagelse: Test af populations variansen σ², X normal fordelt.
Hypoteser:
Teststørrelse:
H
H
0
1
2
: σ = σ
2
: σ ≠ σ
P-værdi: p(|Χ²|> beregnet Χ² værdi) – kan ikke beregnes ved tabel opslag.
Højresidet og venstresidet test efter samme princip som før.
2
0
2
0
2
2 ( n −1)
s
χ =
2
σ
2
( χ fordelt med(n
-1)
frihedsgrader)

Test af varians -
H 0 : σ 2 =1
H 1 : σ 2 χ1−α
( n −1)
kan vi ikke
forkaste H0 .
2
=
−1)
⋅0.
8659
=
1
20.
78
0
2
2
χ α ( n −1)
= χ
1 −
0.05
13.85 20.78
0.
95
( 24)
=
13.
85