Projektopgave 1 - itslearning

DiMS 2009
Projektopgave 1: Induktion
Projektet afleveres individuelt og skal besvares af hver deltager for sig. Det er
imidlertid b˚ade tilladt og tilr˚adeligt at diskutere opgaven med medstuderende
undervejs. Delspørgsm˚al (A), der skal besvares i Maple, kan udføres af op til
3 deltagere i samarbejde. Den relevante Maple-session skal skrives ud og
vedlægges som appendiks. Den øvrige del af besvarelsen m˚a ikke indskrives
i Maple.
Projektet afleveres til instruktoren mandag den 14. september 2009; der skal
benyttes en særlig forside ved aflevering. Ud over nedenst˚aende oplæg baserer
projektet sig p˚a materiale fra KBR afsnit 1.3 og 2.4.
Oplæg
Vi ønsker at bevise at der for hvert n ∈ N gælder
1 2 + 2 2 + 3 2 + · · · + n 2 n(n + 1)(2n + 1)
= , (1)
6
og derved bestemme en formel for summen af de første n kvadrattal.
En oplagt, men som vi skal se, lidt for naiv, metode er at begynde forfra. Vi
ser jo fx ved direkte udregning at
1 2 = 1 = 6
6
1 2 + 2 2 = 5 = 30
6
1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 = 84
6
1(1 + 1)(2 + 1)
= ,
6
2(2 + 1)(4 + 1)
= ,
6
3(3 + 1)(6 + 1)
= ,
6
Det er fristende at regne et par udsagn mere efter, sætte
.
osv.
under, og erklære sig færdig med opgaven. Dette er imidlertid næsten p˚a
grænsen til det løgnagtige! For selv om vi brugte Maple og fandt at formlen
gjaldt for alle n mellem 1 og 100000 var vi ikke blevet meget klogere p˚a de
to spørgsm˚al
1

(i) Gælder formlen for alle n ∈ N?
(ii) Hvorfor?
der er s˚a tæt bundet sammen, at det er svært at besvare (i) uden at besvare
(ii).
Vi prøver derfor en anden metode. Vi definerer en følge (fn) ved
fn =
n(n + 1)(2n + 1)
6
(alts˚a formlens højreside) og f˚ar den idé at forsøge at bevise udsagnet
fn + (n + 1) 2 = fn+1
i stedet. Det viser sig at være relativt nemt at checke da vi ved at gange helt
ud f˚ar
og
fn + (n + 1) 2 = 1 2
n(n + 1)(2n + 1) + 6(n + 1)
6
= 1
3 2
2n + 9n + 13n + 6
6
fn+1 = 1
((n + 1)(n + 1 + 1)(2(n + 1) + 1))
6
= 1
3 2
2n + 9n + 13n + 6
6
Formlen (2) betyder, at hvis vi ved at (1) gælder for en eller anden bestemt
værdi af n, s˚a kan vi slutte at den ogs˚a gælder for n + 1, idet
1 2 + · · · + n 2 + (n + 1) 2 = fn + (n + 1) 2
= fn+1
= [n + 1]([n + 1] + 1)(2[n + 1] + 1)
6
[Formel (1) gælder for n]
[Formel (2)]
(2)
[Def. af f]
Vi har allerede vist at formlen gælder for n = 3. Men s˚a gælder den ogs˚a
for n = 4 pga. argumentet herover. Men s˚a gælder den ogs˚a for n = 5 pga.
argumentet herover. Men s˚a gælder den ogs˚a for n = 6 pga. argumentet
herover. Men s˚a gælder den ogs˚a for n = 7 pga. argumentet herover. Men s˚a
gælder den ogs˚a for n = 8 pga. argumentet herover. . . osv.
2

Vi er betydeligt tættere p˚a et troværdigt svar p˚a (i) og (ii) nu. Men som
det fremg˚ar er vi stadigvæk nødt til at arbejde med tre prikker og sige “og
s˚a videre” eller lignende. Induktionsprincippet, som det st˚ar i BKRs afsnit
2.4, er den vedtagne metode til at h˚andtere s˚adanne “. . . osv.”, og form˚alet
med dette projekt er at give erfaring og fortrolighed med hvordan dette
matematiske virkemiddel benyttes.
Observer hvordan udsagnet (2) viste sig at være en nøgle til at finde et bevis.
Det er værd at bemærke hvordan man kan f˚a ideen til at opstille denne ligning
ud fra en analyse af problemstillingen. For hvis (1) var sandt, s˚a m˚atte der
ogs˚a gælde
fn+1 = 1 2 + 2 2 + · · · + n 2 + (n + 1) 2 = fn + (n + 1) 2 .
I de mere avancerede opgaver herunder er det en væsentlig del af opgaven at
ved hjælp af en s˚adan analyse forsøge at finde udsagn der p˚a samme m˚ade
som (2) kan tjene som springbræt til en løsning af opgaven.
3

Opgavetekst
(A) Benyt Maple til at beregne de 15 første led af hver af følgerne
ak = 6 k − 5k + 4 (3)
bk = 1 + 3 + 5 + · · · + (2k − 1) (4)
ck = 1 + 2 + 4 + 8 + · · · + 2 k
(5)
dk = 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · · + k(k + 1) (6)
bk er alts˚a summen af de k første ulige tal, ck er summen af de k første
potenser af 2, og dk er summen af de første k produkter af et helt tal
og dets efterfølger. Find ogs˚a Maples bud p˚a en formel for bk, ck og dk.
Vedlæg en udskrift til besvarelsen.
(B) Benyt følgende opskrift til at give et induktionsbevis for at 6 k − 5k + 4
er deleligt med 5 for ethvert naturligt tal k.
(a) Bestem det relevante udsagn P (k), jf. KBR s. 68.
(b) Kontroller at P (k) er et sandt udsagn for alle k mellem 1 og 15.
(c) Indfør en følge gk = 6 k −5k+4, og lav en formel der sammenknytter
gk+1 og gk
(d) Antag nu at P (k) er sand for en eller anden bestemt værdi af k.
Gør rede for at s˚a er P (k + 1) ogs˚a sand
(e) Opstil en konklusion.
(C) Benyt resultaterne i (A) til at opstille udsagn om formler for bk, ck og dk.
Opstil et induktionsbevis for et af disse udsagn efter eget valg. Metode
og notation fra BKR afsnit 2.4 skal benyttes – vær omhyggelig med at
specificere det relevante udsagn P (k) og med at vise P (1) s˚avel som at
P (k) medfører P (k + 1).
4