københavns universitet naturvidenskabelig bacheloruddannelse

KØBENHAVNS UNIVERSITET
NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE
Skriftlig prøve i Fysik 4 (Elektromagnetisme)
27. juni 2008
Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner.
Der må besvares med blyant, men hvad der ikke kan læses, kan ikke bedømmes.
Opgavesættet består af 5 opgaver af stigende sværhedsgrad.
Hvert underspørgsmål giver 5 points, bortset fra opgave 1
Der kan i alt opnås 100 point i sættet.
Opgave 1 (20 point)
Vælg et af svarene til hvert af de følgende fem spørgsmål. Et rigtigt svar giver 4 point, et forkert 0 point. Det er tilladt,
men ikke påkrævet, at begrunde svaret.
(a) Hvilket af disse udtryk er enhed for det elektriske E-felt
1. Joule/Coulomb
2. Newton/Coulomb
3. Newton/Ampere
(b) Den totale bundne ladning i et legeme er altid
1. mindre end den fri ladning
2. større end den fri ladning
3. nul
(c) Når en stikprop til en tændt støvsuger trækkes ud af stikkontakten, ses ofte en gnist. Årsagen skal findes i
støvsugerens
1. kapacitans
2. induktans
3. resistans
(d) En positiv ladning anbringes i et hulrum i et jordet ledende legeme. Der er ingen ladninger uden for legemet.
Det elektrostatiske felt uden for legemet er
1. nul
2. rettet bort fra legemets overflade
3. rettet ind mod legemets overflade
(e) En ledende cirkulær ring falder ind mod en magnets nordpol. Sammenlignet med et frit fald, vil ringen faldhastigheden
blive
1. langsommere
2. hurtigere
3. uændret
Side 1 Opgavesættet fortsætter på næste side

Opgave 2 (25 point)
En massiv kugle har radius R. Den er fremstillet af et isotropt og homogent materiale, som dog ikke er et standard
lineært dielektrikum. På kuglens overflade findes der en konstant fri overfladeladningstæthed σf . Der er ingen fri
rumladninger. Kuglesymmetri kan antages overalt i opgaven.
Det elektriske felt inden i kuglen er i sfæriske koordinater bestemt til at være
hvor k er en konstant.
(a) Bestem D-feltet overalt i rummet.
(b) Bestem polarisationen P . Hvad er kuglens totale dipolmoment?
(c) Bestem alle bundne ladningsfordelinger.
(d) Verificer eksplicit, at den totale bundne ladning inden i kuglen er nul.
(e) Hvad er det elektriske felt uden for kuglen?
Opgave 3 (15 point)
L1
L2
E = k r(R − r) r (1)
L1
L2
(a) (b) (c)
To induktorer (kredsløbselementer) har selv-induktanserne L1 og L2, men ingen gensidig induktans.
(a) Seriel forbindelse. Vis, at den totale induktans bliver summen af induktanserne,
L = L1 + L2
Vink: Antag at en tidsvarierende strøm I(t) sendes igennem ovenstående kredsløb og beregn den samlede
elektromotoriske kraft.
(b) Parallel forbindelse. Vis, at den totale induktans bliver den reciprokke sum
Vink: som ovenfor.
1 1
= +
L L1
1
L2
(c) Beregn den totale induktans af de parallelt forbundne induktorer, L1 og L2, i serie med de parallelt forbundne
induktorer, L3 og L4.
Side 2 Opgavesættet fortsætter på næste side
L1
L2
L3
L4
(2)
(3)

Opgave 4 (15 point)
En uendelig lang ledning er formet som en perfekt cylindrisk spiral med radius R og vindingstæthed n (antal vindinger
per længdeenhed langs aksen). Ledningen befinder sig i vakuum og bærer strømmen I. Vindingerne ligger så tæt og
er så tynde i forhold til R, at strømmen kan tilnærmes ved en ensartet overfladestrømtæthed K = Kφ φ + Kzz på
cylinderen.
(a) Beregn overfladestrømtæthedens komponenter, Kφ og Kz.
(b) Beregn magnetfeltet inden i cylinderen og udenfor.
(c) Beregn det magnetiske vektorpotential inden i cylinderen og udenfor. Vink: A-feltet skal være divergensfrit og
kontinuert.
Opgave 5 (25 point)
V = V0
z
✻
V = 0
b
a
V = 0
V = V0
✲ x
De ledende elektroder i den berømte “Penning trap” er udformet som to omdrejningshyperboloider, givet ved ligningerne
x 2 + y 2 − 2z 2 = a 2 , x 2 + y 2 − 2z 2 = −2b 2
hvor a og b er konstanter. I figuren til venstre ses et snit gennem xz-planen, som skal roteres omkring z-aksen for at
opnå den tre-dimensionale form, der ses til højre. De to adskilte dele af b-elektroden er begge jordede, så at de har
potentiale V = 0 og kan ses som en samlet leder. Den sammenhængende ring-formede a-elektrode gives et positivt
potentiale V = V0. Cylinder symmetri kan antages overalt og elektroderne kan betragtes som uendelig udstrakte.
(a) Vis, at potentialet i rummet mellem elektroderne er
(b) Beregn det elektriske felt E i rummet mellem elektroderne.
x
V = V0
2 + y2 − 2z2 + 2b2 a2 + 2b2 . (5)
(c) Beregn overfladeladningstætheden σ(z) på hver af elektroderne som funktion af z.
(d) Arealelementet på a-elektroden kan i cylindriske koordinater skrives dA = √ 6z 2 + a 2 dzdφ. Beregn den totale
ladning på a-elektroden i området, −c ≤ z ≤ c.
(e) Hvad bliver kapacitansen af dette område?
Side 3 Opgavesættet slut
(4)
Benny Lautrup
Niels Bohr Institutet

Svar 1
a2 b3 c2 d1 e1
Svar 2
(a) På grund af kuglesymmetrien må alle felterne være radiale. Da der ikke er frie ladninger inden i kuglen, følger
det af symmetrien og Gauss lov, at
0 (r < R)
D =
(6)
(b) Derfor bliver
Det totale dipolmoment, p =
(c) Den bundne rumladning er
medens overfladeladningen er
r≤R
P =
σf R2
r 2 r (r > R)
−ɛ0E (r < R)
0 (r > R)
P dτ = 0, på grund af kuglesymmetrien.
1
ρb = −∇ · P = ∇ · (ɛ0E) = ɛ0
r2 (d) Kuglens totale bundne rumladning er
ρb dτ =
r R, hvor D er givet i (a).
Svar 3
0
d(r 2 kr(R − r))
dr
(7)
= kɛ0(3R − 4r). (8)
σb = P · r| r=R = 0 (9)
ρb4πr 2 dr =
R
0
kɛ0(3R − 4r)4πr 2 dr = 0 (10)
(a) Da der går samme strøm gennem de to induktorer, vil den totale inducerede emf simpelthen være summen af
bidragene fra hver af induktorerne
hvoraf svaret aflæses.
dI
E = E1 + E2 = −L1
dt
dI
− L2
dt = −(L1 + L2) dI
dt
(b) I dette tilfælde splittes strømmen i to dele, I = I1 + I2. Hver af disse giver en induceret emf
dI1
E1 = −L1
dt , E2
dI2
= −L2 . (12)
dt
Da de forbindes til samme endepunkter må strømmene tilpasse sig så, at emf’erne er ens, E1 = E2 = E, hvilket
formelt følger af at 0 = E · dℓ = E1 − E2. Heraf fås
dI dI1 dI2 E
= + = − −
dt dt dt L1
E
L2
1
= −E +
L1
1
,
L2
(13)
hvoraf svaret aflæses
(11)

(c) Kombineres de to regler fås
Svar 4
L =
1
L1
1
+ 1
L2
+
1
L3
1
+ 1
L4
= L1L2
+
L1 + L2
L3L4
. (14)
L3 + L4
(a) I en længde L af spolen er der nL vindinger og derfor en samlet azimutal strøm nLI, således at strømtætheden
bliver Kφ = nI. Der løber en samlet strøm I langs aksen, således at strømtætheden bliver Kz = I/2πR.
(b) Benyttes cylindersymmetrien vil Kφ skabe et longitudinalt magnetfelt Bz og og Kz et azimutalt magnetfelt Bφ,
⎧
⎨µ0nI
Bz =
⎩0
(s < R)
,
(s > R)
⎧
⎪⎨ 0
Bφ =
⎪⎩
µ0I
2πs
(s < R)
(s > R)
(15)
(c) Symmetrien og betingelsen ∇ · A = 0 forlanger, at A = Aφ φ + Azz, hvor Aφ og Az kun kan afhænge af s. I
cylindriske koordinater har vi
Svar 5
hvoraf vi finder
Aφ =
⎧
⎪⎨
1
2 µ0nIs (s < R)
⎪⎩
µ0nIR2 2s
B ≡ ∇ × A = − dAz
ds φ + 1
s
(s > R)
d(sAφ)
z (16)
ds
Az =
⎧
⎪⎨ 0 (s < R)
⎪⎩
µ0I
2π
log R
s
(s > R)
(a) Potentialet opfylder Laplace’s ligning og antager de givne konstante værdier på lederne. Ifølge entydighedssætningen
er dette potential derfor det rigtige.
(b) Det elektriske felt bliver
(c) Det elektriske felt er altid vinkelret på en leder, med
σ = ±ɛ0 |E| = ±ɛ0
(17)
E = −∇V = − 2V0
a2 (x, y, −2z) (18)
+ 2b2 2V0
a 2 + 2b 2
x 2 + y 2 + 4z 2 = ɛ0
med det positive fortegn for lederen med positivt potential.
2V0
a2 ·
+ 2b2
+ √ 6z 2 + a 2
− √ 6z 2 − 2b 2
(d) Der er ikke spurgt om arealelementet, men her er beregningen. Vi har dA = sdφ √ ds 2 + dz 2 , hvor s 2 = x 2 +
y 2 = a 2 +2z 2 på a-elektroden. Heraf følger sds = 2zdz, så at dA = dφ √ s 2 ds 2 + s 2 dz 2 = dφ √ 4z 2 + s 2 dz =
√ 6z 2 + a 2 dzdφ.
Totalladningen på a-elektroden bliver
Q = σ(z) dA =
(e) Kapacitansen bliver
|z|≤c
c
2V0
ɛ0
−c a2 + 2b2 2π(6z2 + a 2 ) dz = 8πɛ0V0c a2 + 2c2 a2 + 2b2 C = Q
V0
= 8πɛ0c a2 + 2c 2
a 2 + 2b 2
(19)
(20)
(21)