Faldtid fra stor højde - LMFK

Faldtid fra stor højde
Poul R ose, Vordingborg Gymnasium
For små faldhøjder betyder luftmodstanden ikke så meget, og
man har den velkendte formel
T
fald
2 h
=
g
For faldhøjder i de øvre luftlag kommer numerisk integration
ind i billedet. Tyngdekraften aftager opefter og der skal tages
hensyn til luftmodstand, der blandt andet afhænger af luftens
massefylde, der også aftager opefter. Det er kompliceret. Men
meget højt over atmosfæren er der et interval, hvor man igen
kan bruge en eksplicit formel, såfremt man er tilfreds med
2 – 3 betydende cifre i faldtiden.
I første omgang går jeg efter faldtiden i modelsituationen herunder.
Den betegnes med T model .
Modelsituation
Sten og Jord betragtes som 2 punktmasser med den indbyr-
des afstand d. Der regnes som om Månen ikke eksisterer.
Slipper man stenen med starthastigheden 0, vil den ryge ind i
en singularitet og sådanne bør man styre uden om. Det gør jeg
også, endda i bogstavelig forstand. Jeg tildeler stenen en ganske
lille tangentialhastighed. Så vil den som en lille komet gå
ind i en langstrakt elliptisk bane med den punktformede Jord
i det ene brændpunkt. Aphel ligger i stenens startsted, så aphelafstanden
er d.
På figuren ligger perihel lidt under den punktformede Jord.
Også i mindre afstand end r jord . Principielt kan perihelafstanden
blive vilkårlig lille. Man skal blot vælge en passende
lille starthastighed. Så vil aphelafstanden ligne storaksen.
Med Newton–fysik har man for omløbstiden følgende udtryk:
T
= 2p
⋅
3
a
G ⋅ M
hvor a er ellipsens halve storakse og M er Jordens masse. Da
a med god tilnærmelse er det halve af aphelafstanden, har man
Cirklen er Jorden. I de indledende overvejelser betragtes
Jorden som en punktmasse, der her er markeret med en prik.
A: aphel, P: perihel, H: horizontplan. Ellipsen er tegnet
overdrevent bred.
T
≅ 2p
⋅
3
d
8⋅G
⋅ M
½T er tiden for bevægelsen i ellipsebanen fra aphel til perihel.
Da denne bane kan komme arbitrært nær en ret linie, vil
jeg sætte lighedstegn mellem ½T og T model .
T
model
= p⋅
3
d
8⋅G
⋅ M
A
P
H
(1)
LMFK-bladet 2/2011 37
Matematik
Fysik

Matematik
Fysik
Nedre grænse for d
I den virkelige verden bliver faldet afbrudt af den kugleformede
klode, så man skal trække noget fra T model . For meget store
værdier af d er det ganske lidt, thi den tid, en komet opholder
sig nær perihel, er meget mindre end den tid, kometen opholder
sig nær aphel. En serie numeriske integrationer viser da
også, at tiden ned til afbrydelsen har de første 2 – 3 betydende
cifre fælles med T model , når d > 40 r jord .
På den anden side skal der også lægges noget til, thi atmosfæren
forsinker bevægelsen. Uanset hvordan bevægelsen gennem
atmosfæren end måtte forløbe, vil forsinkelsen næppe
overstige en eller anden brøkdel af en time, hvilket ikke er så
meget i forhold til de tider, der her er på tale. Der er tale om
2 korrektioner, der går i hver sin retning. Med hæderlig tilnærmelse
har man
T
fald
≅ p⋅
3
d
8⋅G
⋅ M
38 LMFK-bladet 2/2011
hvor d > 40·r jord (2)
For d = 40 jordradier giver formlen faldtiden 63 timer (2 – 3
dage). I alle eksempler regnes med værdien r jord = 6,378·10 6 m.
G og M er hentet fra den blå databog.
Definition
Ordet ”horizont” står ikke i retskrivningsordbogen. Så kan
man selv tildele ordet en betydning. Ved ”horizontplanen”
forstås den lokale horisontplan, som den var i det øjeblik,
faldet startede. Det betyder ikke noget for stenens fald, om
Jorden roterer eller ej, så lad os antage, at det gør den ikke.
Så ligger begrebet ”horizontplan” fast. Uanset navn er det
nødvendigt at pege på denne plan. Den er i ro i det anvendte
inertialsystem. Den lokale horisontplan roterer 7 gange
på en uge.
I det følgende tales om en Jord, der ikke roterer.
Månen
Månens afstand fra Jordens centrum er 60 jordradier.
Sammenligner man med den nedre grænse for d, er det klart,
at det ikke er nogen god idé at starte stenens fald, når Månen
står højt på himlen. Afstanden sten–måne skal helst være større
end afstanden sten–jord.
Det er bedre at starte, når Månen står under horizonten. Bedst,
når Månen er under nedgang i horizonten. Så er Månen i ca.
2 uger gemt af vejen. Det betyder, at der er fri bane for sten
med faldtider under 2 uger. For d = 122 jordradier giver formel
(2) faldtiden 336 timer (netop 14 dage).
Under Månens nedgang i horizontplanen kan man give slip
på sten med d–værdier, der opfylder: 40·r jord < d < 122·r jord .
For disse kan formel (2) bruges. (3)
Øvre grænse er ikke ”skarp”. Det gør ikke så meget, om
Månen kommer lidt over horizonten hen imod faldets afslutning.
Næsten sideværts kræfter mellem sten og måne betyder
ikke så meget for faldtiden.
Dette fører til den tanke, at for d = 40 r jord kunne man godt
lade faldet starte, når Månen er under opgang i horizonten.
Månen kommer op på himlen, men afstanden sten–måne er
stedse større end afstanden sten–jord. Spørgsmålet er, om der
er andre d–værdier, hvor noget lignende kan siges. Hvor går
grænsen? Her kommer d–værdien 60 r jord ind i billedet.
Intervallet 40·r jord < d < 60·r jord
For d = 60 r jord giver formel (2) faldtiden 116 timer, lidt under
5 dage. Månen bruger ca. 7 dage for at komme fra opgang
til kulmination – set fra horizontplanen. Faldet er færdigt før
Månen kommer i kulmination. Ved start er afstanden sten–jord
og afstanden måne–jord vinkelrette på hinanden og begge lig
60 r jord , medens afstanden sten–måne ved start er væsentlig
større og vil vedblive med at være større end afstanden sten–
jord, der hastigt svinder ind.
Konklusion
Under Månens opgang i horizontplanen kan man give slip på
sten med d–værdier, der opfylder betingelsen 40·r jord < d <
60·r jord . For disse kan formel (2) bruges.
Dette gælder selvfølgelig også, når Månen er ude af syne under
horizonten.
Sammenholdes dette med sætning (3), ser man noget væsentligt:
Man behøver ikke at skelne mellem nedgang og opgang.
For sten med d–værdier, der opfylder: 40·r jord < d < 60·r jord
kan formel (2) bruges, blot faldet starter på et tidspunkt,
hvor Månen er ude af syne under horizonten. (4)
Der står noget om horizonten ved faldets start. Horizont eller
horisont? Det er det samme klokken 0. En detalje, der er
værd at nævne for elever, der befinder sig på en roterende Jord.
For dem er Månen ude af syne i ca. ½ døgn, hvorimod sætning
(3) blot kan bruges en stakket stund.
Endvidere
Sætning (3) indeholder noget om nedgang set fra horizontplanen.
Udtrykket ”nedgående set fra horizontplanen” er aldeles
ikke det samme som udtrykket ”nedgående set fra den lokale
horisontplan”. Snarere det modsatte. For beboere af den karrusel,
der hedder Jorden, skal ordene ”Under Månens nedgang
i horizontplanen” erstattes med ordene ”Under Månens
opgang i horisontplanen”.
Over for elever er det nok bedst at holde sig til sætning (4)
og blot sige, at der kan komme problemer, når d er større end
Månens afstand. Hvilket lyder tilforladeligt.
Bemærkning
Jeg har med vilje undladt at nævne, at faldlinien danner en vinkel
med månebanens plan. Det ville komplicere teksten uden
at rokke ved konklusionerne. Man kan vise, at øvre grænse i
sætning (4) kan sættes til 77·r jord i stedet for 60·r jord , men det
ville forøge artiklens omfang betragteligt.