You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Matematik på Åbent VUC <strong>Eksempler</strong><br />
<strong>Lektion</strong> 9 – Statistik enkeltobservationer<br />
Middelværdi med mere<br />
Hyppigheds- og frekvens-tabeller<br />
Diagrammer<br />
Hvilket diagram er bedst?<br />
Boxplot<br />
<strong>Lektion</strong> 9 Side 1
Matematik på Åbent VUC <strong>Eksempler</strong><br />
Når man skal holde styr på mange oplysninger, f.eks. en masse tal, kan det være en fordel<br />
at samle dem i en tabel eller lave et diagram ud fra tallene. Dette kaldes for statistik.<br />
Man ser ofte tabeller og diagrammer i aviser og på TV.<br />
Du skal:<br />
- kunne forstå og aflæse tabeller og diagrammer.<br />
- selv kunne lave tabeller og diagrammer ud fra tal eller andre oplysninger.<br />
Du skal også vide, at man kan snyde med tal og statistik. Vidste du at:<br />
En statistiker er en person, som kan ligge med fødderne i<br />
en varm bageovn og hovedet i en kold dybfryser og sige:<br />
I gennemsnit er temperaturen meget behagelig.<br />
Middelværdi med mere<br />
Eksempel på opgave<br />
På et VUC-hold bliver kursister spurgt om, hvor mange fag de følger.<br />
Der er 18 kursister. Den første siger 3 fag, den næste siger 5 fag o.s.v<br />
Her er alle svarene:<br />
3, 5, 4, 2, 5, 4, 4, 4, 1, 3, 1, 5, 3, 4, 3, 1, 4, 1<br />
Find mindsteværdi, størsteværdi og variationsbredde.<br />
Find typetal og middelværdi.<br />
Mindsteværdien er det mindste af svarene. Man får 1 fag.<br />
Størsteværdi er det største af svarene. Man får 5 fag.<br />
Variationsbredde er forskellen på det største og det mindste svar: Man får 5 1 4 fag.<br />
Typetal er det svar, som gives flest gange. Man får 4 fag.<br />
Middelværdien findes ved at lægge alle svarene sammen og dele med antal svar. Man får:<br />
3 5 4<br />
18<br />
4 1 57<br />
18<br />
3,<br />
2 fag pr. kursist.<br />
Middelværdi kaldes også gennemsnit. De to ord betyder det samme.<br />
<strong>Lektion</strong> 9 Side 2
Matematik på Åbent VUC <strong>Eksempler</strong><br />
Hyppigheds- og frekvens-tabeller<br />
Eksempel på opgave (fortsat)<br />
På et VUC-hold bliver kursister spurgt om, hvor mange fag de følger. Der er 18 kursister.<br />
Svarene er:<br />
3, 5, 4, 2, 5, 4, 4, 4, 1, 3, 1, 5, 3, 4, 3, 1, 4, 1<br />
Lav en tabel over hyppighed og frekvens.<br />
Hyppighederne findes ved at tælle hvor mange der har svaret 1, hvor mange der har svaret 2 o.s.v.<br />
Man får:<br />
Antal fag 1 2 3 4 5 I alt<br />
Hyppighed 4 1 4 6 3 18<br />
I stedet for Hyppighed, kunne man i tabellen skrive Antal svar eller Antal kursister.<br />
Det ville man gøre, hvis det var en ”rigtig” tabel i en avis eller på TV.<br />
4 100<br />
Frekvenserne findes ved at udregne procent-tal. Frekvensen for 1 fag er 22%<br />
.<br />
18<br />
Tabellen udviddes og man får:<br />
Antal fag 1 2 3 4 5 I alt<br />
Hyppighed 4 1 4 6 3 18<br />
Frekvens 22% 6% 22% 33% 17% 100%<br />
I dette eksempel er procent-tallene afrundet til helt tal. Ofte tager man en decimal med,<br />
men lad være med at skrive hele rækken af decimaler.<br />
I stedet for Frekvens, kunne man i tabellen skrive Antal procent.<br />
Det ville man gøre, hvis det var en ”rigtig” tabel i en avis eller på TV.<br />
<strong>Lektion</strong> 9 Side 3
Matematik på Åbent VUC <strong>Eksempler</strong><br />
Diagrammer<br />
Herunder er vist hvorledes man laver et pindediagram, et cirkeldiagram og et kurvediagram.<br />
Men der findes mange flere diagrammer end disse. Kik i de matematik-bøger som er på dit VUC.<br />
Eksempel på opgave (fortsat)<br />
På et VUC-hold bliver kursister spurgt om, hvor mange fag de følger. Der er 18 kursister.<br />
Svarene er vist i tabellen:<br />
Antal fag 1 2 3 4 5 I alt<br />
Hyppighed 4 1 4 6 3 18<br />
Lav et pindediagram over hyppighederne.<br />
Pindediagrammet kan se således ud:<br />
Hyppighed<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
1 2 3 4 5<br />
Antal fag<br />
Man kan også lave et diagram over frekvenserne. De to diagrammer vil ligne hinanden.<br />
<strong>Lektion</strong> 9 Side 4
Matematik på Åbent VUC <strong>Eksempler</strong><br />
Eksempel på opgave<br />
Et hold med 18 nystartede VUC-kursister bliver<br />
spurgt om, hvorledes de kommer til VUC.<br />
Svarene er vist i tabellen.<br />
Lav et cirkeldiagram over tallene<br />
En hel cirkel er 360º (360 grader).<br />
Transport-<br />
middel<br />
Cirklen skal inddeles i 4 ”lagkagestykker”. En for hver transportform.<br />
Lagkagestykket for Til fods skal udgøre<br />
18<br />
4 360<br />
80º<br />
4 af 360º: Man får: 18<br />
De andre lagkagestykker bliver 120º, 60º og 100º. Regn selv efter.<br />
Du kan også beregne grad-tal ud fra procent-tal (frekvenser).<br />
Antal<br />
personer<br />
Til fods 4<br />
Cykel 6<br />
Bus 3<br />
Bil 5<br />
I alt 18<br />
Først laves en cirkel med en passer. Så laves lagkagestykkerne et af gangen med en vinkelmåler.<br />
Cykel<br />
33%<br />
Til fods<br />
Man beregner ofte procent-tal og skriver dem på som vist her over.<br />
Man kan også måle vinklerne i et diagram og regne baglæns og finde procent-tallene.<br />
Bus<br />
17%<br />
<strong>Lektion</strong> 9 Side 5<br />
22%<br />
Bil<br />
28%<br />
Til fods
Matematik på Åbent VUC <strong>Eksempler</strong><br />
Eksempel på opgave<br />
I august starter der 18 kursister på et VUC-hold.<br />
I årets løb er der både nye kursister, der kommer ind på holdet, og kursister, som må stoppe.<br />
Tabellen viser antal kursister måned for måned.<br />
Måned Aug. Sept. Okt. Nov. Dec. Jan. Feb. Marts April Maj<br />
Antal<br />
kursister<br />
Lav en kurve over tallene.<br />
18 21 20 17 16 22 18 17 16 14<br />
Kurven tegnes i et koordinatsystem og ser således ud:<br />
Antal kursister<br />
25<br />
20<br />
15<br />
10<br />
5<br />
0<br />
Aug.<br />
Hvilket diagram er bedst?<br />
Sept.<br />
Okt.<br />
Nov.<br />
Der findes ingen faste regler for, hvornår man skal bruge de forskellige diagrammer.<br />
Men her er et par tommelfinger-regler.<br />
Kurvediagrammer er gode, når man skal vise, noget der ændrer sig med tiden<br />
Pindediagrammer giver et godt billede af, hvor store en række tal er i forhold til hinanden.<br />
Cirkeldiagrammer giver et godt billede af, hvor stor en del hvert tal udgør af det hele.<br />
Dec.<br />
Måned<br />
<strong>Lektion</strong> 9 Side 6<br />
Jan.<br />
Feb.<br />
Marts<br />
April<br />
Maj
Matematik på Åbent VUC <strong>Eksempler</strong><br />
Median, kvartil og boksplot<br />
Medianen er det midterste af en række tal, der er skrevet op efter størrelse.<br />
Medianen angiver grænsen mellem den største og den mindste halvdel af tallene.<br />
<strong>Eksempler</strong> på opgaver<br />
På en arbejdsplads er der syv ansatte.<br />
De får disse lønninger (kr./time):<br />
98, 108, 119, 124, 129, 156 og 175.<br />
Hvad er median-lønnen?<br />
Når der er et ulige antal lønninger,<br />
er medianen det midterste tal.<br />
På en arbejdsplads er der seks ansatte.<br />
De får disse lønninger (kr./time):<br />
102, 117, 128, 132, 134 og 153.<br />
Hvad er median-lønnen?<br />
Når der er et lige antal lønninger, er medianen<br />
midt imellem de to midterste tal.<br />
98 108 119 124 129 156 175 102 117 128 132 134 153<br />
Median-lønnen bliver derfor 124 kr./time Tallet midt imellem 128 og 132 er 130.<br />
Median-lønnen bliver derfor 130 kr./time.<br />
128 132<br />
Tallet kan evt. beregnes: 130<br />
2<br />
I eksemplerne ovenfor er medianen løn-grænsen mellem den dårligst lønnede halvdel og den bedst<br />
lønnede halvdel af de ansatte.<br />
Kvartil betyder en kvart (en fjerdedel) eller 25%. Man taler om 1. kvartil, 2. kvartil og 3. kvartil.<br />
1. kvartil er det midterste af de tal, som ligger under medianen.<br />
3. kvartil er det midterste af de tal, som ligger over medianen.<br />
2. kvartil er det samme som medianen.<br />
Eksempel på opgave<br />
Ved en fartkontrol måler politiet disse hastigheder (km/time) på 11 biler:<br />
98, 80, 79, 82, 92, 85, 81, 78, 87, 105 og 78.<br />
Hvad er median-hastigheden for bilerne?<br />
Hvad er 1. kvartil og 3. kvartil?<br />
Tallene skrives først op efter størrelse:<br />
78 78 79 80 81 82 85 97 92 98 105<br />
Medianen findes som det midterste tal: 82 km/time<br />
<strong>Lektion</strong> 9 Side 7
Matematik på Åbent VUC <strong>Eksempler</strong><br />
1. kvartil findes på samme måde<br />
som medianen, men man kikker kun<br />
på de tal, som er under medianen.<br />
3. kvartil findes på samme måde<br />
som medianen, men man kikker kun<br />
på de tal, som er over medianen.<br />
78 78 79 80 81 82 85 97 92 98 105<br />
Man får, at 1. kvartil er 79 km/time, og 3. kvartil er 92 km/time<br />
Eksempel på opgave<br />
På et basketball-hold er der otte spillere. Deres højde (cm) er:<br />
205, 192, 188, 198, 210, 179, 207 og 201.<br />
Hvad er median-højden for spillerne?<br />
Hvad er 1. kvartil og 3. kvartil?<br />
Tallene skrives op efter størrelse, og median og kvartiler findes som midtpunkter som vist:<br />
179 188 192 198 201 205 207 210<br />
188 192<br />
2<br />
190<br />
198 201<br />
2<br />
Man får: 1. kvartil er 190 cm. Medianen er 199,5 cm. 3. kvartil er 206 cm<br />
Median og kvartiler kan defineres på flere måder<br />
199,<br />
5<br />
Ovenfor er median og kvartiler defineret som de midterste tal.<br />
205<br />
207<br />
2<br />
Der findes også en anden definition af median og kvartiler, som du kan støde ind i nogle steder:<br />
- Medianen er det største tal, som tilhører den mindste halvdel (50%) af tallene.<br />
- 1. kvartil er det største tal, som tilhører den mindste fjerdedel (25%) af tallene.<br />
- 3. kvartil er det største tal, som tilhører de mindste tre fjerdedele (75%) af tallene.<br />
Hvis man bruger denne definition på basketball-spillerne i eksemplet ovenfor, får man,<br />
at 1. kvartil er 188 cm, medianen er 198 cm og 3. kvartil er 205 cm. Tænk selv over hvorfor!<br />
I eksemplerne i dette hæfte indgår der kun ganske få tal (lønningerne for syv ansatte,<br />
højden på otte basketball-spillere osv.). Ellers ville det være uoverskueligt at regne på tallene.<br />
Men så kan de to definitioner desværre give forskellige resultater.<br />
I praksis (uden for matematik-bøger) bruger man næsten kun median og kvartiler,<br />
når man beskriver meget store mængder af tal. Fx lønningerne for alle lærere i Danmark<br />
eller højden på alle piger, der har en bestemt alder. Når tal-mængderne er så store,<br />
har det ingen praktisk betydning, hvilken definition, man bruger.<br />
<strong>Lektion</strong> 9 Side 8<br />
206
Matematik på Åbent VUC <strong>Eksempler</strong><br />
Man kan let tro, at median og middelværdi er det samme tal, men det er sjældent tilfældet.<br />
<strong>Eksempler</strong> på opgaver<br />
På en arbejdsplads er der<br />
fem ansatte, som får disse<br />
lønninger (kr./time):<br />
130, 140, 150, 160 og 170.<br />
Hvad er median-lønnen?<br />
Hvad er middelværdien?<br />
På en arbejdsplads er der<br />
fem ansatte, som får disse<br />
lønninger (kr./time):<br />
100, 140, 150, 160 og 170.<br />
Hvad er median-lønnen?<br />
Hvad er middelværdien?<br />
På en arbejdsplads er der<br />
fem ansatte, som får disse<br />
lønninger (kr./time):<br />
130, 140, 150, 160 og 200.<br />
Hvad er median-lønnen?<br />
Hvad er middelværdien?<br />
Median-lønnen er 150 kr. i alle tre opgaver. Det er det midterste tal, når tallene står efter størrelse.<br />
Middelværdien er forskellig i de tre opgaver. Man får:<br />
130<br />
140 150<br />
5<br />
160 170<br />
750<br />
5<br />
150 kr.<br />
100<br />
140 150<br />
5<br />
160 170<br />
720<br />
5<br />
144 kr.<br />
140 150<br />
5<br />
160<br />
780<br />
5<br />
156 kr.<br />
Forestil dig, at det er de samme fem personer, som opgaverne handler om.<br />
Hvis lønnen falder for en af de lavest lønnede, eller lønnen stiger for en af de højst lønnede,<br />
påvirker det ikke medianen, men det påvirker naturligvis middelværdien.<br />
Man kan vise medianen og kvartilerne sammen med mindste- og største-værdi i et boksplot.<br />
Eksempel på opgave<br />
Tabellen viser resultatet af en<br />
undersøgelse af prisen på en liter<br />
letmælk i en række butikker.<br />
Lav et boksplot ud fra tallene.<br />
Man laver et boksplot i et<br />
koordinatsystem som vist.<br />
Man markerer først medianen<br />
og de to kvartiler og tegner en ”boks”.<br />
Derefter markerer man<br />
mindste-værdi og største-værdi,<br />
og tegner to linje-stykker.<br />
Alle boksplottets fire vandrette<br />
dele svarer til 25% af mælkepriserne.<br />
Mindste-<br />
værdi<br />
<strong>Lektion</strong> 9 Side 9<br />
130<br />
200<br />
1. kvartil Median 2. kvartil Størsteværdi<br />
3,95 kr. 5,75 kr. 7,20 kr. 8, 25 kr. 9,95 kr.<br />
Mindste-værdi 1. kvartil median 3. kvartil Største-værdi<br />
3 4 5 6 7 8 9 10 11
Matematik på Åbent VUC <strong>Eksempler</strong><br />
Eksempel på opgave<br />
Boksplottet viser højdefordelingen<br />
i cm for en gruppe mænd.<br />
Aflæs mindste-værdi, største-værdi,<br />
median og kvartiler.<br />
Fortæl lidt om, hvad disse tal<br />
viser om mændenes højde.<br />
Mindste-værdien er 158 cm. Største-værdien er 211 cm.<br />
Median-højden er 181 cm. 1. kvartil er 175 cm, og 3. kvartil er 187 cm.<br />
Tallene viser (fx), at den midterste halvdel af mændenes højder ligger inden for et lille interval på<br />
187 – 175 = 12 cm, mens alle mændenes højder er fordelt på et stort interval på 211 – 158 = 53 cm.<br />
15<br />
15<br />
150 160 170 180 190 200 210 220<br />
Sådan findes kvartilerne, hvis der er et ulige antal observationer<br />
16 23 27 27 36 39 47 48 48 49 50 52 62 67 70 71<br />
Sådan findes kvartilerne, hvis der er et lige antal observationer<br />
16 23 27 27 36 39 47 48 48 49 50 52 62 67 70<br />
<strong>Lektion</strong> 9 Side 10