Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning 

Mogens Bladt 

www2.imm.dtu.dk/courses/02405 

21. September, 2007 

Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 

Sandsynlighedsregning

Lidt om binomialkoefficienter 

n størrelsen af en mængde/population. 

Vi ønsker at udtage en sub–population af størrelse r. 

To sub–populationer er forskellige hvis en af populationerne 

indeholder et element forskellig fra elementerne i den anden. 

På hvor mange måder kan udtage en sub–population af 

størrelse r? 

En sub–population på størrelse r kan arrangeres på 

r! = r(r − 1)(r − 2) · · · 2 · 1 måder. 

Vi kan udtage r elementer af de n på 

(n) r = n(n − 1) · · · (n − r + 1) måder. 

Hvis x er antallet af måder vi kan udtage en sub–population 

af størrelse r på, så er x · r! = (n) r . D.v.s 

( n 

x = 

r 

) 

= (n) r 

r! 

= 

n! 

r!(n − r)! . 




( ) ( ) 

n n 

= . 

r n − r 

At udvælge r elementer kan gøres på lige så mange måder 

som at fravælge n − r. 

( ) ( ) ( ) 

n n n + 1 

+ = . 

r − 1 r r 

Udvælg et element, i, fra populationen af størrelse n + 1. Hvis 

vi udvælger r elementer af n + 1 så er i enten med eller ikke. 

Hvis den er med skal vi blot vælge r − 1 andre; hvis den ikke 

er med skal vi vælge r af de n tilbageværende. 

( ) ( ) ( ) 

n n n 

+ + ... + = 2 

0 1 

n 

n 

Vi kan del populationen n i to dele på det antal måder som er 

angivet på h.s. højresiden er at vi til hvert element beslutter 

om dette skal være i den ene eller den anden mængde. 




Binomialkoefficienter forekommer naturligt på følgende måde: 

n∑ 

( ) 

(a + b) n n 

= a i b n−i . 

i 

i=0 

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 . 

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 

Hvis nu a og b = 1 − a er sandsynligheder, så står der, at 

n∑ 

( ) n 

1 = a i b n−i . 

i 

i=0 

( ) n 

D.v.s. med p i = p 

i 

i (1 − p) n−i har vi en følge der 

opfylder, at 

p i ≥ 0, ∑ p i = 1 og p i ≤ 1 

i 



Fordelinger 

Hvis p i ∈ [0, 1] og ∑ i p i = 1 så kaldes {p i } en fordeling. 

Hvis p 0 = p, p 1 = 1 − p kaldes fordelingen en Bernoulli 

fordeling. 

( ) n 

Hvis p i = p 

i 

i (1 − p) n−i , i = 0, 1, ..., n kaldes 

fordelingen en Binomial fordeling. Vi skriver også 

p i = b(i; n, p) for at specificere n, p. 

Hvis p i = p i−1 (1 − p), i = 0, 1, 2, ... kaldes fordelingen for en 

geometrisk fordeling. 

Hvis p i = λi 

i! e−λ , i = 0, 1, ... kaldes fordelingen for en Poisson 

fordeling. 



Binomialfordelingen 

Hvad er sandsynligheden for at slå 2 plat i 3 kast med en 

terning? 

Udfaldsrummet er 

Ω = {(a, b, c)|a ∈ {p, k}, b ∈ {p, k}, c ∈ {p, k}}. 

D.v.s. der er 2 · 2 · 2 = 8 muligheder. Disse er 

ω 1 = (p, p, p) 

ω 2 = (p, p, k) 

ω 3 = (p, k, p) 

ω 4 = (p, k, k) 

ω 5 = (k, p, p) 

ω 6 = (k, p, k) 

ω 7 = (k, k, p) 

ω 8 = (k, k, k) 




Der er 3 af disse ω’er der har 2 plat. D.v.s. Sandsynligheden 

er 3/8. 

Dette kunne vi også have regnet ud på følgende måde: 

p =sandsynligheden 

( ) 

for plat (succes). Vi kan udtage 2 platter 

3 

i 3 kast på = 3! 

2 (3−2)!2! 

= 3 måder. Dvs. 

sandsynligheden for 2 plat er lig med 

p 2 = b(2; 3, 1 2 ) = ( 3 

2 

) ( 1 2 ( 

1 − 

2) 1 ) 3−2 

= 3 · 1 

2 4 · 1 

2 = 3 8 . 




r bolde fyldes på en tilfældig måde i n kasser. Hvad er 

sandsynligheden p k for at k bolde findes i en speciel kasse 

(den første f.eks.)? 

Sandsynligheden for at en bold havner i den specielle kasse er 

1/n (succes), sandsynligheden for at den havner udenfor er 

1 − 1/n (fiasko). 

Derfor er p k = b(k; r, 1/n), så 

( r 

p k = 

k 

) ( 1 

n 

) k ( 

1 − 1 n 

) r−k 

. 



Hypergeometrisk fordeling 

Antag, at en kasse med n = n 1 + n 2 bold indeholder n 1 røde 

og n 2 sorte bolde. 

r elementer udtages tilfældigt. 

Lad q k = hp(k; r, n1, n2) være sandsynligheden for, at 

stikprøven indeholder præcis k røde elementer. 

Så er 

q k = 

( 

n1 

k 

) ( ) 

n2 

r − k 

( ) . n 

r 



Hjortene 

Antallet af hjorte er n = n 1 + n 2 . 

De “røde” bolde er nu de mærkede dyr, n 1 = 100. 

170 dyr blev skudt, dette er stikprøven på størrelse r = 170. 

Heraf var de k = 25 dyr mærkede. 

Vi ønsker at estimere n (eller n 2 ) som er den eneste 

ubekendte. 



Hjortene 

Sandsynligheden for at stikpøven indeholder 25 mærkede dyr 

er 

( ) ( 100 n − 100 

) 

q 25 = 

25 170 − 25 

( ) n 

. 

170 

Vi estimerer nu n ved at finde den værdi som maximerer q 25 

(maximum likelihood estimation). 

I hjorte–eksemplet er n = 680. 



DeMoivre–Laplace grænseværdisætning. 

Lad A α,β være hændelsen, at antal successer i et binomial 

experiment ligger mellem α og β, hvor α < β. 

Hvis α og β er heltallige har vi, at 

IP(A α,β ) = b(α; n, p)+b(α+1; n, p)+...+b(β−1; n, p)+b(β; n, p). 

Lad Φ(x) være følgende funktion 

Så gælder, at 

Φ(x) = 

∫ x 

−∞ 

1 

√ 

2π 

e − t2 2 dt.. 

IP(A α,β ) ≈ Φ( β − np + 1 2 

√ ) − Φ( α − np − 1 2 

√ ). 

np(1 − p) np(1 − p) 

Tallene 1 2 

i ovenstående formler kaldes 

“kontinuitetskorrektioner”. 



DeMoivre–Laplace grænseværdisætning. 

Grænseværdisætningen siger løst sagt, at en binomialfordeling 

kan approximeres med en normal fordeling der har samme 

middelværdi og varians som binomialfordelingen. 

Hvad er sandsynligheden for at slå plat mellem 190 og 210 

gange i 400 kast med en mønt? 

Den præcise sandsynlighed er 

∑210 

i=190 

b(i; 400, 1 2 ) = .7062918818. 

Med normalapproximationen fås 

⎛ 

⎞ ⎛ 

1 

210 − 400 · 

Φ ⎝ 2 + 1 1 

2 

190 − 400 · 

√ 

⎠−Φ ⎝ √ 

400 · 1 

2 · 1 

2 

400 · 1 

2 · 1 

2 

2 − 1 2 

⎞ 

⎠ . = .7062818872. 



Vedrørende normalfordelingen 

f (x) = 1 √ 

2π 

e −x2 /2 kaldes for tætheden af standard normal 

fordelingen. 

Dette er en situation med udfaldsrum Ω = (−∞, ∞). 

Hvis A ⊂ Ω så er 

∫ 

IP(A) = 

Specielt, hvis A = [a, b], så er 

IP(A) = 

A 

∫ b 

a 

f (x)dx. 

f (x)dx. 

Standard normal fordelingen er symmetrisk omkring 0. 

Bemærk, at ∫ ∞ 

−∞ 

f (x)dx = 1. 




Foretager vi et variabel skift y = x + µ (eller x = y − µ) så er 

∫ ∞ 

−∞ 

1 

√ 

2π 

e −(y−µ)2 /2 dy = 1. 

1 √ 

2π 

e −(y−µ)2 /2 er symmetrisk omkring µ. 

Fortager vi endnu et variabel skift, x = y−µ 

σ 

, så er 

f (y; µ, σ) = 1 √ 

2πσ 

e −(y−µ)2 /(2σ 2 ) 

stadig symmetrisk omkring µ, og 

∫ ∞ 

−∞ 

f (y; µ, σ) = 1. 

f (x; µ, σ) kaldes for tætheden for normalfordelingen med 

middelværdi µ og standardafvigelse σ, og det skrives N(µ, σ 2 ). 




Ved symmetri, 

Φ(−x) = 

= 

∫ −x 

−∞ 

∫ ∞ 

x 

= 1 − 

1 

√ 

2π 

e −s2 /2 ds 

1 

√ 

2π 

e −s2 /2 ds 

∫ x 

−∞ 

= 1 − Φ(x) 

Definér, Φ(a, b) = Φ(b) − Φ(a). 

1 

√ 

2π 

e −s2 /2 ds 

Så er Φ(a, b) sandsynligheden for hændelsen (a, b) 

(intervallet). 




så er 

Φ(−x, x) = Φ(x) − Φ(−x) 

= Φ(x) − (1 − Φ(x)) 

= 2Φ(x) − 1 

Den centrale grænseværdisætning siger løst sagt, at 

gennemsnittet af et stort antal uafhængige målinger er ca. 

normalfordelt. 

Dette har betydning i forhold til konfidensintervaller. 




Lad os betragte 400 kast med mønt 

210 landede på krone. Er mønten fair? 

Hvor meget kan antal krone fluktuere omkring sin 

middelværdi på 200? 

Find c således, at 

IP(antal krone ligger mellem 200 − c og 200 + c) = 0.95. 

Vi finder numerisk, at c = 19, 1 ≈ 19. 

D.v.s. med 95 % sandsynlighed ligger antal krone i et område 

på 200 ± 19 ved 400 kast med en ægte mønt. Da 210, vores 

resultat, ligger i dette interval er der ingen grund til at betivle 

ægtheden af vores mønt.

Sandsynlighedsregning

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?