G&T Kap. 5 - 6 slides pr. side - Ezben.dk
G&T Kap. 5 - 6 slides pr. side - Ezben.dk
G&T Kap. 5 - 6 slides pr. side - Ezben.dk
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Dagens forelæsning<br />
• Investeringsmulighedsområdet<br />
Grinblatt & Titman<br />
kap. 5<br />
• Sammenhængen mellem risiko og forventet afkast<br />
(security market line)<br />
• Capital Asset Pricing Model (CAPM)<br />
• Empiriske tests af CAPM<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
1<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
2<br />
G&T kap 4:<br />
Introduktion<br />
Porteføljeværktøjer (forventet afkast, varians, kovarians osv.)<br />
Diskonteringsrente<br />
Introduktion<br />
Bør tage hensyn til investeringens risiko!<br />
Mean-variance analyse<br />
Jo mere risikabel en investering<br />
Jo højere diskonteringsrente!<br />
Minimum varians portefølje<br />
Hvad skal vi bruge det til??<br />
1) Porteføljemanagement!<br />
Hvordan findes den risikojusterede diskonteringsrente?<br />
2) Den finder vi ved at bruge redskaberne fra kapitel 4!<br />
Men derudover noget endnu vigtigere – lidt motivation:<br />
Claus Munk Sikre betalinger skal tilbagediskonteres<br />
med nulkuponrenterne<br />
Værdi af obligation<br />
Per Madsen<br />
Usikre betalinger skal tilbagediskonteres<br />
med en konstant diskonteringsrente<br />
Værdi af <strong>pr</strong>ojekt/investering<br />
Men hvilken diskonteringsrente skal anvendes?<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
3<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
4<br />
Exhibit 5.1<br />
Investeringsmulighedsområdet<br />
Investeringsmulighedsområdet / the feasible set<br />
Antagelser i Mean-Variance analyse<br />
Hvor vil investorerne foretrække at være i<br />
figuren?<br />
Investorerne<br />
Foretrækker højt afkast<br />
Hader varians<br />
Nødvendigt med<br />
adfærdsmæssige<br />
antagelser!<br />
Markederne er friktionsløse<br />
(ingen kortsalgsrestriktioner, transaktionsomkostninger,<br />
skatter osv.)<br />
Nu ved vi hvor investorerne foretrækker at være i figuren!<br />
De foretrækker at få det højest mulige afkast ved en given varians.<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
5<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
6<br />
1
Exhibit 5.1<br />
Investeringsmulighedsområdet / the feasible set<br />
Investorerne vil placere sig på ’the efficient frontier’<br />
(placeringen afhænger af <strong>pr</strong>æferencer)<br />
Dominerede<br />
porteføjer/aktiver<br />
Efficient rand (efficient frontier)<br />
Hvordan identificeres den efficiente rand?<br />
Benyt two-fund seperation<br />
⇒<br />
1) Identificer 2 porteføljer på den efficiente rand<br />
2) Kombinationer af disse to porteføljer identificerer hele randen!<br />
Kun nødvendigt at kende 2 porteføljer på randen for at<br />
identificere den!<br />
Men hvilke porteføljer?<br />
1) Minimum varians porteføljen<br />
2) Mangler på nuværende tidspunkt… (senere: Tangensporteføljen)<br />
Identifikation af portefølje på efficient rand<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
Optimal investering!<br />
7<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
8<br />
Exhibit 5.2<br />
Two-fund separation og den efficiente rand + eksempel 5.1<br />
Tangensporteføljen<br />
Vi mangler altså én portefølje (på den efficient rand) for at finde<br />
hele den efficiente rand.<br />
Tangensporteføljen - Antag der findes et risikofrit aktiv<br />
⇒ Det risikofri aktiv = minimum varians porteføljen<br />
Risikofrit aktiv<br />
⇒ Investeringsmulighedsområdet = ret linie<br />
(husk G&T kap. 4)<br />
Muligt at tegne en ret linie fra det risikofri aktiv, der tangerer<br />
investeringsmulighedsområdet<br />
Tangenspunktet<br />
Tangensporteføljen!<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
9<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
10<br />
Exhibit 5.3<br />
Tangensporteføljen og the Capital Market Line (CML) – Der findes et<br />
risikofrit aktiv<br />
Capital Market Line<br />
Nu har vi identificeret to porteføljer på den efficiente rand!<br />
1) Minimum varians porteføljen (alt investeret i risikofri aktiv)<br />
2) Tangensporteføljen<br />
Kombinationer af disse to porteføljer<br />
Investeringsmulighedsområdet<br />
Risikofrit aktiv<br />
⇒ Investeringsmulighedsområdet = ret linie<br />
(husk G&T kap. 4)<br />
Den rette linie der kombinerer minimum varians porteføljen (det<br />
risikofri aktiv) og tangensporteføljen, kaldes Capital Market Line<br />
(CML)<br />
Alle investorer vil ligge et sted på CML (afhængigt af <strong>pr</strong>æferencer)<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
11<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
12<br />
2
Exhibit 5.3<br />
Tangensporteføljen og the Capital Market Line (CML) – Der findes et<br />
risikofrit aktiv<br />
Tangensporteføljen<br />
Hvordan findes tangentporteføljen i <strong>pr</strong>aksis?<br />
Placeringen på CML afhænger af investorernes<br />
<strong>pr</strong>æferencer!<br />
Nødvendigt med matematiske argumenter<br />
Dem tager vi fuldt<br />
ud på øvelserne<br />
Beviset fremgår af en ugeseddel som er lagt på hjemme<strong>side</strong>n!<br />
Kun kort skitsering af <strong>pr</strong>oblemet nu.<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
13<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
14<br />
G&T Eksempel 5.3<br />
Tag udgangspunkt i følgende kovariansmatrice:<br />
India Russia China E(r)<br />
India 0,002 0,001 0 0,15<br />
Russia 0,001 0,002 0,001 0,17<br />
China 0 0,001 0,002 0,17<br />
Risikofrit afkast: 6%<br />
Find tangensporteføljen!<br />
G&T Eksempel 5.3<br />
Tangensporteføljen findes<br />
således:<br />
Dvs:<br />
⎛ x1<br />
⎞ ⎛σ11<br />
σ12<br />
⎜ ⎟ ⎜<br />
⎜ x2<br />
⎟ = ⎜σ<br />
21<br />
σ<br />
22<br />
⎜ ⎟ ⎜<br />
⎝ x3<br />
⎠ ⎝σ<br />
31<br />
σ<br />
32<br />
⎛ x1<br />
⎞ ⎛0,002<br />
⎜ ⎟ ⎜<br />
⎜ x2<br />
⎟ = ⎜ 0,001<br />
⎜ ⎟ ⎜<br />
⎝ x3<br />
⎠ ⎝ 0<br />
0,001<br />
0,002<br />
0,001<br />
India<br />
Russia<br />
China<br />
−1<br />
India<br />
0,002<br />
0,001<br />
0<br />
σ13<br />
⎞ ⎛ r1<br />
− r ⎞<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
σ<br />
23 ⎟ ⎜r2<br />
− r ⎟<br />
σ ⎟ ⎜ ⎟<br />
33 ⎠ ⎝ r3<br />
− r ⎠<br />
−1<br />
Russia<br />
0,001<br />
0,002<br />
0,001<br />
China<br />
0<br />
0,001<br />
0,002<br />
0 ⎞ ⎛0,15<br />
− 0,06⎞<br />
⎛40⎞<br />
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
0,001⎟<br />
⎜0,17<br />
− 0,06⎟<br />
= ⎜10<br />
⎟<br />
0,002⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎠ ⎝0,17<br />
− 0,06⎠<br />
⎝50⎠<br />
3<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
E(r)<br />
0,15<br />
0,17<br />
0,17<br />
Risikofrit afkast: 6%<br />
x1 ≠ 1<br />
Men denne løsning er ikke en portefølje!<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
15<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
16<br />
G&T Eksempel 5.3<br />
Løsning: skalér porteføljevægtene så de summer til 1!<br />
⎛ x ⎞ ⎛40⎞<br />
⎛ x<br />
1<br />
1 ⎞ ⎛0,4⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ x2<br />
⎟ = ⎜10⎟<br />
⇒ ⎜ x2<br />
⎟ = ⎜ 0,1 ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ x3<br />
⎠ ⎝50⎠<br />
⎝ x3<br />
⎠ ⎝ 0,5 ⎠<br />
skaléring<br />
3<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
x1 = 1<br />
Exhibit 5.4<br />
Afkast, standardafvigelser og risiko<strong>pr</strong>æmier<br />
Portfolio Mean Return Risk Premium<br />
S&P 500<br />
Small Cap stocks<br />
Long-term corporate bonds<br />
Long-term government<br />
bonds<br />
15.3%<br />
17.6<br />
5.9<br />
5.5<br />
9.5%<br />
13.8<br />
2.1<br />
1.7<br />
Standard<br />
Deviation<br />
20.1%<br />
33.6<br />
8.7<br />
9.3<br />
Slope<br />
.47<br />
.41<br />
.24<br />
.18<br />
Dette er porteføljevægtene for tangensporteføljen!<br />
~<br />
E( R T<br />
) R = 16,2%<br />
= T<br />
2 = 0,00102<br />
σ T<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
17<br />
Ingen klar sammenhæng mellem standardafvigelse og afkast!<br />
⇒ Det kan godt betale sig at finde efficiente porteføljer, der<br />
maksimerer afkastet for en given standard afvigelse!<br />
Hvis standardafvigelsen på et aktiv ikke bestemmer afkastet – hvad<br />
gør så?<br />
Det kommer vi tilbage til senere…<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
18<br />
3
Tangensporteføljen<br />
På de forrige <strong>slides</strong> antog vi, at der eksisterede et risikofrit aktiv.<br />
⇒<br />
Alle investorer ville ligge på Capital Market Line (de ville investere<br />
noget i tangensporteføljen, og noget i det risikofri aktiv)<br />
Hvad gør vi, hvis der ikke eksisterer et risikofrit aktiv?<br />
G&T Eksempel 5.5<br />
Hvordan findes tangentporteføljen hvis der ikke eksisterer en<br />
risikofri rente?<br />
Vælg blot en hypotetisk risikofri rente og løs <strong>pr</strong>oblemet som før!<br />
Tag igen udgangspunkt i følgende kovariansmatrice:<br />
Tangensporteføljen - Antag der ikke findes et risikofrit aktiv<br />
Intet risikofrit aktiv ⇒ Investeringsmulighedsområdet = hyperbel<br />
(husk G&T kap. 4)<br />
Dermed løses <strong>pr</strong>oblemet således:<br />
1) Vælg en ”hypotetisk r f ” (skal være mindre end det forventede afkast<br />
på minimum varians porteføljen)<br />
2) Løs <strong>pr</strong>oblemet med den hypotetiske risikofri rente.<br />
India<br />
India 0,002<br />
Russia 0,001<br />
China 0<br />
Risikofrit afkast: ukendt<br />
Find tangensporteføljen!<br />
Russia<br />
0,001<br />
0,002<br />
0,001<br />
China<br />
0<br />
0,001<br />
0,002<br />
Antag r f = 4%<br />
E(r)<br />
0,15<br />
0,17<br />
0,17<br />
Skal blot være mindre end afkastet<br />
på minimumvariansporteføljen.<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
19<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
20<br />
G&T Eksempel 5.5<br />
G&T Eksempel 5.5<br />
Tangensporteføljen findes<br />
således:<br />
Dvs:<br />
⎛ x1<br />
⎞ ⎛σ11<br />
σ12<br />
⎜ ⎟ ⎜<br />
⎜ x2<br />
⎟ = ⎜σ<br />
21<br />
σ<br />
22<br />
⎜ ⎟ ⎜<br />
⎝ x3<br />
⎠ ⎝σ<br />
31<br />
σ<br />
32<br />
⎛ x1<br />
⎞ ⎛0,002<br />
⎜ ⎟ ⎜<br />
⎜ x2<br />
⎟ = ⎜ 0,001<br />
⎜ ⎟ ⎜<br />
⎝ x3<br />
⎠ ⎝ 0<br />
0,001<br />
0,002<br />
0,001<br />
India<br />
Russia<br />
China<br />
−1<br />
India<br />
0,002<br />
0,001<br />
0<br />
σ13<br />
⎞ ⎛ r1<br />
− r ⎞<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
σ<br />
23 ⎟ ⎜r2<br />
− r ⎟<br />
σ ⎟ ⎜ ⎟<br />
33 ⎠ ⎝ r3<br />
− r ⎠<br />
−1<br />
Russia<br />
0,001<br />
0,002<br />
0,001<br />
China<br />
0<br />
0,001<br />
0,002<br />
0 ⎞ ⎛0,15<br />
− 0,04⎞<br />
⎛50⎞<br />
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
0,001⎟<br />
⎜0,17<br />
− 0,04⎟<br />
= ⎜10<br />
⎟<br />
0,002⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎠ ⎝0,17<br />
− 0,04⎠<br />
⎝60⎠<br />
Men denne løsning er ikke en portefølje!<br />
3<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
E(r)<br />
0,15<br />
0,17<br />
0,17<br />
Risikofrit afkast: 4%<br />
x1 ≠ 1<br />
Løsning: skalér porteføljevægtene så de summer til 1!<br />
⎛ x1<br />
⎞ ⎛50⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ x2<br />
⎟ = ⎜10<br />
⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ x3<br />
⎠ ⎝60⎠<br />
⇒<br />
skaléring<br />
⎛ x1<br />
⎞ ⎛0,4167⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ x2<br />
⎟ = ⎜ 0,0833⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ x3<br />
⎠ ⎝ 0,5 ⎠<br />
Dette er porteføljevægtene for tangensporteføljen!<br />
~<br />
E( R T<br />
) R = 16,17%<br />
= T<br />
2 = 0,001014<br />
σ T<br />
3<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
x1 = 1<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
21<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
22<br />
G&T Eksempel 5.5<br />
Lad os nu finde the efficient frontier!<br />
G&T Eksempel 5.5<br />
Minimumvariansporteføljen fandt man ved at løse følgende system:<br />
Vi har fundet tangensporteføljen, og mangler derfor kun én anden<br />
portefølje for at genere hele the efficient frontier<br />
Minimumvariansporteføljen!<br />
⎛ x1<br />
⎞ ⎛σ11<br />
⎜ ⎟ ⎜<br />
⎜ x2<br />
⎟ = ⎜σ<br />
21<br />
⎜ ⎟ ⎜<br />
⎝ x3<br />
⎠ ⎝σ<br />
31<br />
σ<br />
σ<br />
σ<br />
12<br />
22<br />
32<br />
−1<br />
σ13<br />
⎞ ⎛1⎞<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
σ<br />
23 ⎟ ⎜1⎟<br />
σ ⎟ ⎜ ⎟<br />
33 ⎠ ⎝1⎠<br />
Når vi har identificeret minimumvariansporteføljen og<br />
tangensporteføljen kan vi vha. two-fund separation finde hele den<br />
kritiske rand (eller the efficient frontier)<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
23<br />
Dvs:<br />
⎛ x1<br />
⎞ ⎛0,002<br />
⎜ ⎟ ⎜<br />
⎜ x2<br />
⎟ = ⎜ 0,001<br />
⎜ ⎟ ⎜<br />
⎝ x3<br />
⎠ ⎝ 0<br />
skaléring<br />
⇒<br />
0,001<br />
0,002<br />
0,001<br />
⎛ x1<br />
⎞ ⎛0,5⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ x2<br />
⎟ = ⎜ 0 ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ x3<br />
⎠ ⎝0,5⎠<br />
−1<br />
0 ⎞ ⎛1⎞<br />
⎛500⎞<br />
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
0,001⎟<br />
⎜1⎟<br />
= ⎜ 0 ⎟<br />
0,002⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎠ ⎝1⎠<br />
⎝500⎠<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
24<br />
4
Tangensporteføljen:<br />
⎛ x1<br />
⎞ ⎛0,4167⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ x2<br />
⎟ = ⎜ 0,0833⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ x3<br />
⎠ ⎝ 0,5 ⎠<br />
G&T Eksempel 5.5<br />
Minimumvariansporteføljen:<br />
⎛ x1<br />
⎞ ⎛0,5⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ x2<br />
⎟ = ⎜ 0 ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ x3<br />
⎠ ⎝0,5⎠<br />
The efficient frontier (vha. two-fund seperation):<br />
⎛ x1<br />
⎞ ⎛0,4167w<br />
+ 0,5×<br />
(1 − w)<br />
⎞ ⎛ − 0,0833w<br />
+ 0,5⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎟<br />
⎜ x2<br />
⎟ = ⎜ 0,0833w<br />
+ 0×<br />
(1 − w)<br />
⎟ = ⎜ 0,0833w<br />
⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎟<br />
⎝ x3<br />
⎠ ⎝ 0,5w<br />
+ 0,5×<br />
(1 − w)<br />
⎠ ⎝ 0,5 ⎠<br />
0,1640<br />
0,1630<br />
0,1620<br />
0,1610<br />
0,1600<br />
0,1590<br />
0,1580<br />
0,1570<br />
G&T Eksempel 5.5<br />
Mean Variance Diagram<br />
The efficient frontier<br />
Tangensportefølje<br />
Minimumvariansporteføljen<br />
(Der kommer et regneark på nettet, hvor jeg viser<br />
hvordan den efficiente rand konstrueres)<br />
0,1560<br />
0,0315 0,0317 0,0319 0,0321 0,0323 0,0325 0,0327<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
25<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
26<br />
Dagens forelæsning<br />
• Investeringsmulighedsområdet<br />
• Sammenhængen mellem risiko og forventet<br />
afkast (security market line)<br />
• Capital Asset Pricing Model (CAPM)<br />
• Empiriske tests af CAPM<br />
Sammenhæng mellem risiko og<br />
afkast<br />
Identifikation af minimum varians portefølje og tangensportefølje<br />
Muligt at identificere the efficient frontier og finde optimale<br />
investeringer.<br />
Men derudover kan tangensporteføljen også anvendes til noget andet:<br />
Vha. diverse omskrivninger kan den give os et mål for et aktivs<br />
forventede afkast!!<br />
Hvorfor er det interessant? – Lidt motivation (eksempel fra G&T)<br />
Dell<br />
Opføre fabrikker i fjernøsten<br />
Hvilken diskonteringsrente skal anvendes til at vurdere denne<br />
investering?<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
27<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
28<br />
Sammenhæng mellem risiko og<br />
afkast<br />
Forslag nr. 1:<br />
Anvend den risikofri rente<br />
NEJ! Risikabel investering.<br />
Sammenhæng mellem risiko og<br />
afkast<br />
Med udgangspunkt i resultatet for tangensporteføljen kan man opstille<br />
den meget vigtige risiko-afkast-formel!<br />
Forslag nr. 2:<br />
Anvend det historiske afkast på Dells aktie<br />
NEJ! Dells aktie er mere end 200 gange mere værd, end<br />
da virksomheden blev børsnoteret.<br />
Umuligt/urealistisk at Dells fabrikker kan give dette<br />
afkast igen.<br />
Hvilken diskonteringsrente skal vi SÅ benytte?<br />
Dejligt hvis man havde et udtryk for, hvordan et aktivs forventede<br />
afkast bestemmes.<br />
Kaldes også Security Market Line<br />
På øvelserne gennemgår vi matematikken bag resultatet.<br />
På forelæsningerne bruger vi mere tid på intuitionen.<br />
Kort matematisk skitsering af <strong>pr</strong>oblemet på tavlen.<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
29<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
30<br />
5
Sammenhæng mellem risiko og<br />
afkast<br />
Security Market Line (risiko-afkast-formel)<br />
Dvs:<br />
cov( rk<br />
, RT<br />
)<br />
rk<br />
= r + ( RT<br />
var( RT<br />
)<br />
14243<br />
βk<br />
r = r + β ( R − r)<br />
k<br />
k<br />
T<br />
− r)<br />
hvor<br />
k = 1,2,.....N<br />
Hældningskoefficient i regressionsligning!<br />
cov( rk<br />
, RT<br />
)<br />
β<br />
k<br />
=<br />
var( R )<br />
T<br />
Sammenhæng mellem risiko og<br />
afkast<br />
Hvad siger formlen med ord?<br />
Security Market Line (risiko-afkast-formel)<br />
r = r + β ( R − r)<br />
k<br />
k<br />
T<br />
hvor<br />
cov( rk<br />
, RT<br />
)<br />
β<br />
k<br />
=<br />
var( R )<br />
SML viser hvilket forventet afkast et aktiv skal/bør have!<br />
Det er ikke aktivets egen varians der er afgørende. Det er<br />
aktivets kovarians med tangensporteføljen, der<br />
bestemmer aktivets forventede afkast!<br />
T<br />
Ganske almindelig regression af r k på tangensporteføljens afkast!<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
31<br />
Jo mere aktivets afkast kovarierer med tangensporteføljen<br />
⇒ Jo højere afkast bør aktivet have!<br />
(og omvendt)<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
32<br />
Exhibit 5.5<br />
Sammenhængen mellem CML og SML<br />
SML – Risiko-afkast-formlen<br />
Konklusion på SML:<br />
Det der afgør en given investerings forventede afkast, er<br />
investeringens kovarians med tangensporteføljen.<br />
Nu har vi et mål for risiko!<br />
Stor cov(r k , R T ) ⇒ Højt forventet afkast på aktiv k<br />
Lille cov(r k , R T ) ⇒ Lavt forventet afkast på aktiv k<br />
Kun ”systematisk risiko” belønnes (mere om det i G&T kap. 6)<br />
cov(r k , R T )<br />
Forskellige aktiver med samme afkast kan have forskellige standard<br />
afvigelser, men de er nødt til at have samme beta! (jfv. SML)<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
33<br />
”Usystematisk risiko” (som er virksomhedsspeficik og ikke påvirker<br />
markedet) belønnes ikke<br />
Som sagt: meget mere om det i kap. 6<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
34<br />
SML – Risiko-afkast-formlen<br />
Dell-eksemplet<br />
Dell<br />
Opføre fabrikker i fjernøsten<br />
Hvilken diskonteringsrente skal anvendes til at vurdere denne<br />
investering?<br />
Find β Dell ved at regressere Dells afkast på tangensporteføljens<br />
afkast, og beregn afkastkravet vha. SML-formlen.<br />
SML – Risiko-afkast-formlen<br />
For 120 gang:<br />
Det forventede afkast på et aktiv bestemmes af SML og kovariationen<br />
mellem aktivets afkast og tangensporteføljens afkast.<br />
Problem:<br />
Nødvendigt at beregne<br />
Konstruktion af tangensporteføljen kovarianser mellem samtlige<br />
aktiver (huse, aktier, obligation<br />
osv.) i verden.<br />
Man har en risikojusteret diskonteringsrente, som man kan<br />
benytte til at evaluere <strong>pr</strong>ojektet i fjernøsten med!<br />
Husk:<br />
⎛ x1<br />
⎞⎛<br />
σ11<br />
⎜ ⎟⎜<br />
⎜ x2<br />
⎟⎜<br />
σ 21<br />
⎜ ... ⎟⎜<br />
...<br />
⎜ ⎟⎜<br />
⎝ xN<br />
⎠⎝σ<br />
N1<br />
σ12<br />
σ 22<br />
...<br />
σ<br />
N 2<br />
...<br />
...<br />
...<br />
...<br />
σ1N<br />
⎞ ⎛ r1<br />
− r ⎞<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
σ 2N<br />
⎟ ⎜ r2<br />
− r ⎟<br />
⎟ =<br />
...<br />
⎜<br />
...<br />
⎟<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
σ<br />
NN ⎠ ⎝rN<br />
− r ⎠<br />
Og disse estimerede kovarianser adskiller sig helt sikkert fra de<br />
”ægte” kovarianser.<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
35<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
36<br />
6
SML – Risiko-afkast-formlen<br />
Umiddelbart ubrugeligt med mean-variance-analyse, når det er<br />
umuligt at identificere tangensporteføljen i <strong>pr</strong>aksis.<br />
Dejligt med en teori der identificerer tangensporteføljen, så den ikke<br />
skal beregnes!<br />
Dagens forelæsning<br />
• Investeringsmulighedsområdet<br />
• Sammenhængen mellem risiko og forventet afkast<br />
(security market line)<br />
• Capital Asset Pricing Model (CAPM)<br />
Capital Asset Pricing Model (CAPM)<br />
• Empiriske tests af CAPM<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
37<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
38<br />
CAPM<br />
CAPM:<br />
CAPM teorien tilføjer en ekstra antagelse til mean-variance<br />
analyse, og herefter opstilles en teori der identificerer<br />
tangensporteføljen!<br />
Mean-variance-Analysis - Antagelser<br />
1) Investorerne hader varians og elsker afkast<br />
2) Markederne er friktionsløse<br />
Ekstra antagelse i CAPM:<br />
3) Investorerne har homogene forventninger<br />
(når investorerne udregner afkast og<br />
standardafvigelse på porteføljer, kommer de<br />
alle til samme resultat)<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
39<br />
Dermed kan man vise følgende:<br />
CAPM konklusion:<br />
CAPM<br />
Tangensporteføljen = Markedsporteføljen<br />
Alle aktiver i verden indgår i denne portefølje med<br />
deres relative markedsværdi<br />
Dermed bliver SML (risiko-afkast-formlen) til følgende:<br />
r = r + β ( R − r)<br />
k<br />
k<br />
Markedsporteføljen<br />
M<br />
hvor<br />
cov( rk<br />
, RM<br />
)<br />
βk<br />
=<br />
var( RM<br />
)<br />
(CAPM formlen – den kommer i til at bruge mange gange senere på<br />
studiet!)<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
40<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
G&T Eksempel 5.7<br />
Hypotetisk økonomi<br />
3 aktiver (aktier)<br />
Compaq Aktiekurs = 20,25<br />
Market cap. = 35 mia.<br />
Antal aktier = 1,7 mia<br />
CAPM<br />
CAPM identificerer altså tangensporteføljen, og dermed behøver man<br />
ikke selv estimere den!<br />
⇒ Mean-variance-analysis og SML giver mening, og kan anvendes<br />
i <strong>pr</strong>aksis (og det gør man i HØJ grad).<br />
IBM Aktiekurs = 95<br />
Antal aktier = 1,758 mia<br />
Market cap. = 167 mia.<br />
Markedsporteføljen<br />
Indeholder alle aktiver i<br />
verden (huse, obligation,<br />
aktiver osv.)<br />
HP Aktiekurs = 33<br />
Antal aktier = 2 mia<br />
Market cap. = 66 mia.<br />
I <strong>pr</strong>aksis: nødvendigt med en <strong>pr</strong>oxy for markedsporteføljen.<br />
USA: fx S&P 500<br />
(value-weighted portfolio)<br />
Total market cap. = 268 mia.<br />
Markedsporteføljen har følgende vægte:<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
Compaq = 0,13<br />
IBM = 0,62<br />
HP = 0,25<br />
41<br />
DK: fx KFX (de 20 mest omsatte aktier –<br />
value-weighted)<br />
eller KAX (CSEs totalindex der inkluderer alle aktier –<br />
value-weighted)<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
42<br />
7
CAPM<br />
Når der eksisterer et risikofrit aktiv, argumenterede vi tidligere for, at<br />
alle investorer ville placere en andel i det risikofri aktiv, og en andel<br />
i tangensporteføljen.<br />
(De ville med andre ord ligge på Capital Market Line (CML))<br />
⇒ Optimal investering (højest muligt afkast for en given varians).<br />
Det gælder stadig!<br />
Men: Tangensporteføljen = Markedsporteføljen (CAPM)<br />
⇒<br />
Optimal investering: kombination af risikofrit aktiv og<br />
markedsporteføljen.<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
43<br />
Samlet konklusion for CAPM:<br />
CAPM<br />
Det der afgør et aktivs forventede afkast, er aktivets kovarians<br />
med markedsporteføljen<br />
~ ~<br />
cov( r , R<br />
k<br />
M<br />
)<br />
Regresser et aktivs afkast på markedsporteføljens afkast<br />
⇒ Man har et mål for hvilket afkast aktivet bør/skal give!<br />
Resultatet er en risikojusteret rente, der kan anvendes til mange<br />
forskellige formål:<br />
Vurdering af en investerings attraktivitet<br />
Vurdering af en virksomheds værdi<br />
…og meget andet.<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
44<br />
Problem ved CAPM:<br />
CAPM<br />
Når man anvender CAPM i <strong>pr</strong>aksis, benytter man som tidligere<br />
nævnt en <strong>pr</strong>oxy for markedsportefløjen.<br />
KFX<br />
⇒<br />
Fx KFX<br />
Ringe <strong>pr</strong>oxy for markedsporteføljen!<br />
Indeholder jo kun 20 danske aktier, hvorimod<br />
markedsporteføljen indeholder samtlige aktiver i hele<br />
verden!<br />
Resultaterne fra CAPM afhænger i høj grad af, om den <strong>pr</strong>oxy<br />
man vælger er en god <strong>pr</strong>oxy!<br />
Dagens forelæsning<br />
• Investeringsmulighedsområdet<br />
• Sammenhængen mellem risiko og forventet afkast<br />
(security market line)<br />
• Capital Asset Pricing Model (CAPM)<br />
• Empiriske tests af CAPM<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
45<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
46<br />
Empiriske tests af CAPM<br />
Empiriske tests:<br />
Hvordan fungerer CAPM-modellen i <strong>pr</strong>aksis?<br />
”Fitter” den virkeligheden, eller skyder den langt fra?<br />
Vigtigt at vide om det er en god model, før man anvender den.<br />
Problem ved de empiriske tests:<br />
KAN CAPM overhovedet testes?<br />
Så længe man ikke anvender den ”korrekte” markedsportefølje,<br />
men kun en <strong>pr</strong>oxy for markedsporteføljen<br />
⇒<br />
CAPM kan hverken be- eller afkræftes.<br />
Første skridt i test af CAPM<br />
Fx afkast på AP Møller<br />
over tid<br />
⇒<br />
Test af CAPM<br />
r<br />
jt<br />
= α + β R + ε<br />
Man får et estimat på β AP-Møller<br />
Andet skridt i test af CAPM<br />
r<br />
j<br />
j<br />
Tidsserie-regression<br />
Mt<br />
jt<br />
Fx afkast på KFX over<br />
tid<br />
γ ˆ CHAR + δ<br />
j = 0 + γ1β<br />
j + γ 2<br />
Cross-sectional regression<br />
β AP-Møller (fra tidsserie-regressionen ovenfor)<br />
j<br />
j<br />
OK, vi erkender <strong>pr</strong>oblemerne omkring test af CAPM, men vi <strong>pr</strong>øver<br />
alligevel…<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
47<br />
Fx gennemsnitligt<br />
afkast på AP Møller<br />
Fx virksomhedsstørrelse<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
48<br />
8
Andet skridt i test af CAPM<br />
Test af CAPM<br />
Cross-sectional regression<br />
Data der er konsistent med CAPM<br />
Exhibit 5.8<br />
β AP-Møller<br />
r<br />
γ ˆ CHAR + δ<br />
j = 0 + γ1β<br />
j + γ 2<br />
j<br />
j<br />
Fx gennemsnitligt<br />
afkast på AP Møller<br />
Fx virksomhedsstørrelse<br />
Rigtigt intercept<br />
(r f )<br />
Hvis CAPM true: r f<br />
λ (Markedsrisiko<strong>pr</strong>æmien) R M − r f<br />
Rigtig hældning (λ)<br />
0<br />
Der bør ikke være andre faktorer, der kan forklare aktivets forventede<br />
afkast, når man har taget hensyn til β!!<br />
(antaget ingen multikollinearitet)<br />
Det viser sig, at γ 2 er forskellig fra 0. Mere om det senere…<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
49<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
50<br />
Exhibit 5.9<br />
Test af CAPM<br />
Data der er inkonsistent med CAMP<br />
For at gøre en lang historie kort…<br />
Forkert<br />
intercept<br />
Forkert<br />
hældning<br />
Det viser sig, at en række forskelle faktorer forklarer historiske afkast<br />
bedre end CAPM!<br />
r = γ<br />
j<br />
ME<br />
j<br />
0 + γ1MV<br />
j + γ 2 +<br />
BE j<br />
...<br />
Aktivernes afkast<br />
ligger på en kurve<br />
og ikke en ret linie<br />
Tydelig sammenhæng<br />
mellem afkast og firm<br />
size efter der er taget<br />
højde for β!!<br />
γ 1 negativ<br />
γ 2 negativ<br />
Negativ<br />
Markedsværdi<br />
Negativ<br />
Market-to-book value<br />
Små virksomheder har højere afkast end store virksomheder<br />
Virksomheder med lav market-to-book value (fx industri) har<br />
højere afkast end glamour virksomheder (fx IT)<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse,<br />
Det tyder på<br />
Aarhus<br />
CAPM<br />
Universitet<br />
ikke har forklaret det hele! 51<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
52<br />
Alt i alt:<br />
Test af CAPM<br />
Det lader til, at der skal inkluderes flere/andre faktorer end blot<br />
markedsporteføljen, når forventede afkast skal forklares!!<br />
G&T <strong>Kap</strong>. 6:<br />
Arbitrage Pricing Theory og flerfaktormodeller!<br />
Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet<br />
Esben Kolind Laustrup ©<br />
53<br />
9