Rapport uge 51: Oscillator

Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator
Esben Bork Hansen, Amanda Larssen, Martin Qvistgaard Christensen, Maria Cavallius
5. januar 2009
Indhold
1 Formål 1
2 Forsøget 2
3 Resultater 3
4 Teori 4
4.1 simpel harmonisk svingning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.2 Fjederkonstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.3 Dæmpet harmonisk svingning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5 Bearbejdning af Resultater 6
5.1 beregning af frekvens for den SHB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5.2 beregning af dæmpning og frekvens på en SDHB . . . . . . . . . . . 6
5.2.1 lod med skive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5.2.2 lod mod plade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
6 Usikkerhedsberegninger 8
7 Vurdering 9
8 Konklusion 10
9 Bilag 11
9.1 30g - simpel harmonisk svingning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
9.2 47g - simpel harmonisk svingning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
9.3 47g simpel harmonisk svinging med dæmpning ved skive . . . . . . . 15
9.4 47g - simpel harmonisk svingning med dæmpning ved plade . . . . . 17
1 Formål
At undersøge en harmonisk oscillator, bestående af en fjeder og et lod og påvirkninger
af ydre kræfter. Herunder sammenligne teori og praksis og regne på usikkerhederne.
1

2 FORSØGET 2
2 Forsøget
Som det aller første måler vi masserne af de lodder vi bruger til forsøget, samt massen
af fjederen og den papskive vi skal bruge til at lave en dæmpet svingning. Selve
opstillingen er en fjeder ophængt i en strain-gauge som måler kraften i fjederen, som
er koblet til en computer der indsamler vores data. Computeren spytter en position
til et bestemt tidspunkt ud til os.
For at få den rigtige tidsskala på vores målinger, har vi med et stopur taget tid på
et antal målinger, hvorved vi kan finde hvor mange målinger der går på et sekund.
Som det første vil vi gerne bestemme fjederkonstanten k. Vi måler længden af fjederen
i ligevægtstilstand uden belastning, og derefter i ligevægtstilstanden med en
masse ophængt i fjederen. Dette gøres med to forskellige masser
Det første forsøg går ud på at eftervise teorien for en simpel harmonisk svingning,
hvor hvis vi kender fjederkonstanten og massen som er ophængt i fjederen. Ud fra
dette bestemmes svingningens frekvens, som så efterprøves eksperimentelt.
Herefter vil vi undersøge dæmpede harmoniske svinginger. For at måle på en svingning
dæmpet af en kraft, som er afhængig af loddets hastighed, monteres en papskive
på loddet.
For at måle svingninger dæmpet med en kraft uafhængig af loddets hastighed, sættes
en lodret plade op ved siden af loddet. Der skal være kontakt mellem loddet og
pladen hele tiden. Der foretages så igen tre målinger for hver af de to masser. Det
er vigtigt at massen svinger så lodret op og ned som muligt ved alle målinger.
Databehandling foretages i Gnuplot.

3 RESULTATER 3
3 Resultater
Vi benyttede to lodder af masserne hhv. 0,030kg og 0,047kg begge med en usikkerhed
på ∆0, 001kg.
Fjederens masse blev målt til 0,005kg med samme usikkerhed.
Til bestemmelse af fjederkonstanten blev lodderne ophængt i fjederen, en af gangen,
og fjederens udstrækning blev målt. 0,030kg gav en udstrækning på 0,058m og
0,047kg gav en udstrækning på 0,096m, begge med en usikkerhed på ∆0, 002m.
Resultaterne for svingingerne er vedlagt i bilagene, for ikke at fylde for meget i selve
rapporten. De fitede funktioner er plottet i samme diagram som resultaterne.

4 TEORI 4
4 Teori
4.1 simpel harmonisk svingning
Bevægelsesligningen for frie harmoniske svingninger skrives
mẍ = −kx (1)
m er massen af det legeme der er sat i svingninger, og ẍ er den dobbelte afledte
af positionen x, også kaldet accelerationen. Masse gange acceleration er det samme
som kraft, så ligningen kan også skrives F = −kx.
k er en fjederkonstant med enheden N/m. Når man ganger fjederkonstanten
med afstanden til ligevægtstilstanden x finder man den kraft fjederen udøver på
legemet. Minustegnet skyldes at kraften altid er modsat rettet forskydningen fra
ligevægt. Når kraften er direkte proportional med forskydningen fra ligevægt kaldes
svingningen også for en simpel harmonisk bevægelse (SHB).
Bevægelsesligningen ovenfor er en andenordens differentialligning med den generelle
løsning
x = x 0 cos(ω 0 t + φ) (2)
SHB kan sammenlignes med jævn cirkelbevægelse set fra siden. I jævn cirkelbevægelse
er forskydningen i x-aksens retning til tiden t givet ved x = rcosθ. r er i
jævn cirkelbevægelse radius, mens det i SHB kaldes amplituden og kan betegnes A
eller x 0 . Skal vi finde x som funktion af tiden må vi kende θ som funktion heraf.
Vinklen θ i jævn cirkelbevægelse som funktion af t er vinkelhastighed gange tid
plus startvinkel, og kalder vi vinkelhastigheden for ω og startvinklen for φ, må θ se
således ud: θ = ωt + φ. For SHB kaldes vinkelhastigheden for vinkelfrekvens, så den
kalder vi ω 0 .
Erstattes r med x 0 og θ med ω 0 t + φ i ligningen x = rcosθ fås præcis (2).
Vi vil også gerne kende sammenhængen mellem vinkelfrekvens ω 0 , masse m og
fjederkonstant k. Ser vi igen lidt på jævn cirkelbevægelse er centripetalaccelerationen
givet ved a c = ω 2 r. Accelerationen i x-aksens retning er så
a x = −a c cosθ = −ω 2 rcosθ = −ω 2 x
a x er det samme som ẍ i ligning (1). Isoleres ẍ i denne ligning og erstattes med a x
får man et udtryk der ser således ud:
−ω 2 x = − kx m
ω 2 = k m
ω =
√
k
m
(3)
Som en sidste ting ville det også være rart at kende perioden T udtrykt ved ω 0 .
Det vides at T = 1 ω0
f
hvor f er bevægelsens frekvens, og f =
2π
. Sættes disse to
ligninger sammen får man:
T = 2π
(4)
ω 0

4 TEORI 5
4.2 Fjederkonstanten
For at bestemme svingningstiden T benytter vi udtrykket
T = 2π ω = √
2π √ m
= 2π
k k
m
Massen m har vi målt, og vi bestemmer så fjederkonstanten k eksperimentelt:
Vi har ophængt et lod i fjederen, og målt dennes udstrækning i forhold til udstrækningen
uden lod. Ved at udnytte, at systemet er i hvile, kan vi opskrive ligningen:
F grav = F fjeder
−mg = −kx
k = mg
x
Her har vi den positive x-akse opad. Symbolet x angiver udstrækningen i forhold
til ligevægt. Massen m er loddets masse.
Uden lod er fjederens udstrækning 9,0 cm (og fjederens masse er 0,005 kg).
Lod nr. Masse Udstrækning i alt x k
1 0,047 kg 0,186 m 0,096 m 4,798 kg
s 2
2 0,030 kg 0,148 m 0,058 m 5,069 kg
s 2
Den gennemsnitlige k-værdi er altså 4,933 kg
s
. Der en er måleusikkerhed på ±0,001
2
kg på masserne ±0,002 m på udstrækningerne.
4.3 Dæmpet harmonisk svingning
Udover at se på den udæmpede harmoniske oscillator, vil vi også eksperimentere
med to former for dæmpning:
• Dæmpning vha. luftmodstand fra en papskive monteret på loddet. Denne
dæmpning afhænger af loddet og skivens hastighed, og bevægelsesligningen
er:
mẍ = −kx − bẋ
Hvis friktion er så lille, at loddet svinger flere gange, er løsningen
x = x 0 e −γt
2 cos(ω d t + φ)
hvor friktionskonstanten er γ =
√
ω d = ω 0 1 − γ 2
2ω 0
b m
, og hvor vinkelfrekvensen er givet ved
• Dæmpning fra en fast flade, som loddet glider imod. Her kommer dæmpningen
fra en konstant normalkraft fra fladen, og bevægelsesligningen er:
mẍ = −kx −
ẋ
|ẋ| f
Hvis man i stedet for x indsætter størrelsen x ′ = x + ẋ f
|ẋ| k
mẍ ′ = −kx ′ , hvilket som sædvanligt giver løsningen
x ′ = A cos(ω 0 t + φ)
står der tilbage, at

5 BEARBEJDNING AF RESULTATER 6
5 Bearbejdning af Resultater
5.1 beregning af frekvens for den SHB
I teorien ses hvordan svingingstiden for en simpel harmonisk bevægelse bestemmes.
Frekvensen findes så ved
f = 1 T = 1
2π √ m
k
= 1
2π
√
k
m
For vores to forsøgsopstillinger med henholdsvis et 30g lod og et 47g lod, og den
kendte fjederkonstant fra teoriafsnittet, kan frekvensen beregnes.
masse(lod)
30g
47g
√
√
4,933 kg
s 2
0,030kg
4,933 kg
s 2
0,047kg
frekvens
1
2π
= 2, 041s−1
1
2π
= 1, 631s−1
For at beregne frekvensen ud fra vores data, er det nødvendigt at se på bevægelsesligningen
for den SHB.
x(t) = A · cos(ωt + φ) + h
konstanten h er tilføjet, da oscillatoren ikke svinger omkring 0. Vi fitter så vores
resultater, som kan ses i bilagene, med en funktion af denne type og bestemmer
herefter middelværdien for vinkelhastigheden. Frekvensen kan herefter bestemmes
ved f = 1
2π ω. masse(lod) frekvens usikkerhed
Resultaterne af vores fit kan ses her
30g f = 0, 9s −1 ±1, 6 · 10 −4 s −1
47g f = 0, 73s −1 ±1, 3 · 10 −4 s −1
m lod + fit-nr vinkelhastighed usikkerhed
30g - 1 5.64873s −1 ±9.418 · 10 −4 s −1
30g - 2 5.64739s −1 ±12.59 · 10 −4 s −1
30g - 3 5.65097s −1 ±8.674 · 10 −4 s −1
34g - 1 4.59317s −1 ±3.541 · 10 −4 s −1
47g - 2 4.58984s −1 ±4.11 · 10 −4 s −1
47g - 3 4.59211s −1 ±2.467 · 10 −4 s −1
5.2 beregning af dæmpning og frekvens på en SDHB
5.2.1 lod med skive
Hvis man først ser på en simpel dæmpet harmonisk bevægelse, hvor dæmpning er
afhængig af bevægelsesligningens første afledte.
mẍ = −kx − bẋ
da vil dens vinkelhastighed være givet ved
√
√
k
ω =
m −
b2
4m 2 = ω0 2 − γ2
hvor ω 0 er vinkelhastigheden for en SHB. Frekvensen findes så ved f = 1
2π ω.
Vi kalder γ for dæmpningsfaktoren, da bevægelsesligningen ser således ud
x(t) = x 0 e − b
2m t · cos
(√
k
m − b2
4m
t + φ
2
)
+ h = x 0 e −γt · cos
(√
ω 2 0 − γ2 t + φ
)
+ h

5 BEARBEJDNING AF RESULTATER 7
faktoren γ afgør nemlig hvor hurtigt svingingerne aftager. Vi bestemmer nu frekvens
og dæmpning ud fra vores fit
frekvens
f = √ 18.417s −4 − (0.00325482s −2 ) 2 1
2π = 0.683s−1
dæmpning
γ = 3.25 · 10 −3
Her kan ses vores estimater af γ og ω 2 0
fit-nr γ usikkerhed ω0 2 usikkerhed
1 3.31 · 10 −3 s −1 ±2.981 · 10 −4 s −1 18.4s −4 ±2.584 · 10 −3 s −4
2 3.04 · 10 −3 s −1 ±3.621 · 10 −4 s −1 18.4s −4 ±3.123 · 10 −3 s −4
3 3.38 · 10 −3 s −1 ±3.565 · 10 −4 s −1 18.4s −4 ±3.082 · 10 −3 s −4
5.2.2 lod mod plade
Hvis vi se ser på det tilfælde hvor loddet gnider mod en plade, mens det svinger. Så
vi der altså være en konstant kraft modsatrettet bevægelsesretningen. Bevægelsen
kan så beskrives ved en funktion af formen
x(t) = (x 0 − at) cos(ωt + φ) + h
hvor x 0 er startposition for loddet, a = f k
er hældningen på den linie, som svingingerne
aftager med og ω = √ km er vinkelhastigheden.
Vi har så estimeret vinkelhastigheden(frekvensen) og hældningen på dæmpningen.
frekvens usikkerhed dæmpning usikkerhed
f = 4.58331s−1
2π
= 0.729s −1 ±2.45 · 10 −5 0.442 ±3.566 · 10 −4
De fit som vi har estimeret vinkelhastigheden og dæmpningen fra er her.
fit-nr vinkelhastighed usikkerhed dæmpning usikkerhed
1 ω = 4.58s −1 ±8.409 · 10 −5 0.447 ±2.209 · 10 −4
2 ω = 4.58s −1 ±8.255 · 10 −5 0.442 ±2.2 · 10 −4
3 ω = 4.58s −1 ±9.375 · 10 −5 0.435 ±2.342 · 10 −4

6 USIKKERHEDSBEREGNINGER 8
6 Usikkerhedsberegninger
Først beregner vi usikkerheden på fjederkonstanten, for at vi derefter kan bestemme
usikkerheden på vinkelhastigheden(frekvensen). Udtrykket for fjederkonstanten er
|k| = | gm x |
Da vi kun regner i positive værdier under bestemmelse af k, kan de nummeriske
tegn fjernes. Usikkerheden på k findes da ved.
( ) 2 ( ) 2
∂k
∂k
(∆k) 2 =
∂x · ∆x +
∂m · ∆m
( ) 2 ( ) 2
∂ gm
∂
=
∂x x · ∆x gm
+
∂m x · ∆m ( ( m
) ( ) )
2
2
1
= g 2 x 2 · ∆x +
x · ∆m
⇕
∆k = g√ ( m
x 2 · ∆x ) 2
+
( 1
x · ∆m ) 2
(5)
Vi bestemmer så usikkerheden på fjederkonstanten. Da vi har to målinger af fjederkonstanten,
tager vi det simple gennemsnit af usikkerheden på målingen.
∆k = ∆k 1 + ∆k 2
2
=
=
9.82 m s 2 √ (
0.047kg
(0.096m) 2 · 0.002m
0.143N · m + 0.244N · m
2
) 2
+
(
0.001kg
0.096m
)
√
2 ( ) 2 (
+ 9.82
m 0.030kg
s 2 (0.058m)
· 0.002m + 0.001kg
2 0.058m
2
= 0.19N · m (6)
√
Vi kan så bestemme usikkerheden på vinkelhastigheden ω =
∆ω =
√ (∂ω
∂k · ∆k ) 2
+
( ∂k
∂m · ∆m ) 2
og på frekvensen ved f = ω 2π .
Vi bestemmer så usikkherheden på frekvensen for vores simple harmoniske oscillator,
med to forskellige masser.
masse frekvens usikkerhed
30g 2.041s −1 ±0.05s −1
47g 1.631s −1 ±0.04s −1
k
m .
) 2

7 VURDERING 9
7 Vurdering
Vores teoretiske værdi af frekvensen og vores målte værdi af frekvensen passer ikke
sammen. Vi har en forskel på over en faktor 2 hvilket på ingen måde kan forklares
af usikkerheden på de respektive målinger. Dette tyder på en systematisk fejl der
er lavet undervejs i forsøget.
En ting vi kan have gjort galt er at have lavet en fejlmåling, da vi skulle finde ud
af hvor mange målinger computeren lavede pr. tidsenhed, dette målte vi med et
stopur. Skulle vi have lavet en systematisk fejl i dette forsøg, vil det give en fejl
på vores målte frekvens, vel at mærke en fejl der vil være lineær 1 , dvs at faktoren
mellem de målte værdier, og de teoretiske værdier skal afvige med samme faktor.
Hvis vi kigger på den procentvise afvigelse mellem vores teoretiske og praktiske
resultater fås.
0.9 ± 1.6 · 10 −4
· 100% = (44.1 ± 0.32)%
2.041 ± 0.05
0.73 ± 1.3 · 10 −4
· 100% = (44.8 ± 0.41)%
1.631 ± 0.04
Det ses at hvis dette er vores fejl, vil det faktisk kunne forklare vores afvigelser med
hensyn til usikkerheden, hvis vi skulle lave forsøget igen ville vi altså skulle være
ekstra grundige her. Det problematiske i dette er at vi vil skulle har lavet målingen
en faktor 2 forkert, og man er altså selv uden stopur ikke i tvivl om der er gået 10
eller 20 sekunder, så det er forholdsvist usandsynligt at vi skulle have lavet denne
fejl, selvom det selvfølgelig ikke er et fysisk argument.
Vi har i vores udregninger ikke taget højde for fjederens egen vægt, da denne er
væsentligt mindre end loddets. Dette vil give en fejl i vores værdier, men kan dog på
ingen måde give en fejl på 100 procent afvigelse, da vores tilnærmelse og forholdsvis
god.
1 Dette ses let. Hvis vi har lavet denne fejl vil der være en givet faktor imellem det antal målinger
vi tror computeren har lavet pr. tidsenhed, og det den rent faktisk har. Dette medføre at dette
også er gældende for den målte frekvens.

8 KONKLUSION 10
8 Konklusion
Vi har i vores forsøg lavet en systematisk fejl, som givetvis skyldes at der sket en
fejlmåling således at det går igen i resten af resultaterne. Vi har dog på ingen måde
kunne vurdere præcist hvor denne er og konklusionen bliver derfor at det er en
OM’er. Vi kan ikke konkluderer noget fysisk ud fra forsøget andet end at en fjeder
med lod udfører en harmonisk svingning 2 , men ikke nogle fysiske årsager hertil.
2 Ses tydeligt på bilag og fit.

9 BILAG 11
9 Bilag
9.1 30g - simpel harmonisk svingning

9 BILAG 12

9 BILAG 13
9.2 47g - simpel harmonisk svingning

9 BILAG 14

9 BILAG 15
9.3 47g simpel harmonisk svinging med dæmpning ved skive

9 BILAG 16

9 BILAG 17
9.4 47g - simpel harmonisk svingning med dæmpning ved
plade

9 BILAG 18