Jordens radius, Keplers love og parallaksemåling

Jordens radius, Keplers
love og parallaksemåling
Allerede i oldtiden bestemte man Jordens radius. Omkring år 230 f.Kr. beregnede
Erastosthenes fra Kyrene en værdi for Jordens radius, der faktisk
stemmer godt overens med den rigtige værdi. Erastosthenes benyttede i sine
beregninger, at Solen er så langt væk, at strålerne kan anses for at være parallelle,
når de rammer Jorden. Det vil vi også gøre i det følgende.
I forbindelse med f.eks. en studierejse til Rom vil det være muligt at bestemme
en værdi for Jordens radius. Rom ligger på 12,5° østlig længde og
41,7° nordlig bredde. København ligger på samme længdegrad som Rom
(12,5°), men på 55,7° nordlig bredde. København ligger altså 14° mere nordligt
end Rom. Det betyder, at den skygge, som Solen kaster, har forskellig
længde i København og i Rom. Det kan vi udnytte ved bestemmelse Jordens
radius.
v 1 v 1
Solens
stråler
v’ v 2
v 2
B
R
A
v’
R
v’ + v 2 = v 1 ⇔ v’ = v 1 - v 2
Vi placerer en meterstok (eller lignende) lodret et sted i Danmark, og placerer
en meterstok lodret i Rom. Ved hjælp af skyggernes længde kan vi beregne
vinklerne v 1 og v 2 i de retvinklede trekanter. Heraf kan vi finde vinklen v’.
Hvis luftlinieafstanden (buestykket AB på tegningen) fra et sted i Danmark
til Rom er kendt, kan vi udnytte, at
∩
2 ⋅π
⋅R
AB = ⋅ v ′
360
Eneste ubekendt i ligningen er Jordens radius R, som vi kan bestemme.
Længden af meterstokkens skygge skal bestemmes på samme tidspunkt
(f.eks. kl 12) på to på hinanden følgende dage.
Orbit Projekt: Jordens radius, keplers love og parallakse side 1

Keplers love
Regneøvelse
Johannes Kepler blev født den 27. December 1571 i den lille by Weil i Württemberg
i Tyskland. Kepler studerede matematik og astronomi ved universitetet
i Tübingen, og han var bl.a. optaget af Solen og planeternes bevægelse.
Den polske astronom Nicolas Copernicus havde omkring år 1500 opstillet
en model af solsystemet med Solen i centrum og planeterne kredsende omkring
den i cirkulære baner. Den danske astronom Tycho Brahe, der i slutningen
af 1500-tallet havde udviklet sig til at være en af den tids førende astronomer,
havde den opfattelse, at Jorden var Universets centrum med Månen
og Solen kredsende omkring sig i cirkulære baner. Omkring Solen kredsede
de på den tid kendte planeter: Merkur, Venus, Mars, Jupiter og Saturn i cirkulære
baner.
Tycho Brahe Nicolaus Copernicus Johannes Kepler
Øvelse 1
Lav tegninger med både Copernicus’ og Tycho Brahes’ forestilling om solsystemet.
Kepler var tilhænger af den copernicanske model med Solen i centrum, så da
Kepler i slutningen af 1500-tallet blev Tycho Brahes assistent, måtte han
pænt indordne sig. Da Tycho Brahe døde i 1601 overtog Kepler alle Tycho
Brahes fremragende observationsdata, og nu begyndte Kepler at analysere
Mars’ bane ud fra Tycho Brahes målebøger. Kepler fandt ud af, at Marsbanen
var en ellipse med Solen i det ene brændpunkt. Ved at analysere de andre
planeters bevægelser fandt Kepler frem til, at de også bevægede sig i
ellipsebaner omkring Solen. Denne lov kaldes Keplers 1. lov:
Keplers 1. lov
Planeterne bevæger sig i ellipsebaner omkring Solen.
Øvelse 2
Tegn ellipsebaner ved hjælp af 2 tegnestifter, en snor, et papunderlag og en
blyant (se evt. CD 687)
På omstående tegning af en ellipse, er excentriciteten stærkt overdrevet. I
virkeligheden er de fleste planetbaner meget tæt på at være cirkelbaner.
Orbit Projekt: Jordens radius, keplers love og parallakse side 2

Kepler analyserede Tycho Brahes planetdata igen, og han fandt frem til endnu
en lov, som kaldes Keplers 2. lov:
Keplers 2. lov
Forbindelseslinien mellem Solen og en planet overstryger lige store arealer til
lige store tidsrum. Dette betyder også, at planeterne bevæger sig hurtigst, når
de er tættest på Solen, og langsomst, når de er længst væk fra Solen.
lige store arealer
I løbet af et bestemt tidsinterval (f.eks. en måned)
bevæger en planet sig så langt, at de skraverede
områder på figuren er lige store. Heraf
følger, at planeten bevæger sig hurtigst, når den
befinder sig nærmest Solen.
Kepler udsendte i 1609 en bog, der omhandlede de to love.
Øvelse 3
Brug fx Dymos eller FPRO til at undersøge planetbaner.
Der gik derefter nogle år før Kepler opdagede en sammenhæng mellem planeternes
middelafstande til Solen, og deres omløbstider omkring Solen. Indfører
vi den såkaldte astronomiske enhed (AE) som Jordens middelafstand
Orbit Projekt: Jordens radius, keplers love og parallakse side 3

fra Solen, kan middelafstandene fra planeterne og de tilsvarende omløbstider
opstilles i følgende tabel:
Middelafstand R 0,387 0,723 1,000 1,523 5,201 9,539
i AE
Planet Merkur Venus Jorden Mars Jupiter Saturn
Omløbstid
τ i år
0,241 0,615 1,000 1,881 11,862 29,458
I tabellen er benyttet, at 1 AE = 149,6 millioner km (Jordens middelafstand til
Solen).
På Keplers tid kendte man kun til tabellens 6 planeter. Senere blev Uranus,
Neptun og Pluto opdaget.
Øvelse 4
Middelafstanden fra Solen til Merkur er 57,9 millioner km, og til Saturn 1427
millioner km.
Omregn afstandene til astronomiske enheder og sammenlign med tabellen
ovenfor.
Øvelse 5
Afsæt i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem sammenhørende værdier af τ
og R, og bestem et regneudtryk for τ som funktion af R.
Kepler fremsatte i 1619 følgende lov for sammenhængen mellem planeternes
middelafstand fra Solen og deres omløbstid omkring Solen:
Keplers 3. lov
Der er følgende sammenhæng mellem planeternes middelafstand fra Solen
R og den tilhørende omløbstid τ :
τ 2 = k ⋅ R 3
hvor k er en konstant.
Øvelse 6
Vis, at af Keplers 3. lov følger, at τ er proportional med R 1,5 .
Øvelse 5 skulle også gerne vise, at τ er proportional med R 1,5 .
Øvelse 7
Find oplysninger om middelafstande og omløbstider for planeterne Uranus,
Neptun og Pluto (Databogen).
Undersøg om disse tre planeter også opfylder Keplers 3.lov.
Find evt. ud af hvornår de tre planeter blev opdaget (prøv internettet).
Øvelse 8
Halleys komet. Det viser sig, at Kepler 3. lov også gælder for kometer, der
kredser omkring Solen. Halleys komet har en omløbstid på 76 år.
Bestem middelafstanden fra Solen til kometen.
Find yderligere oplysninger om Halleys komet (søg fx på internettet).
Orbit Projekt: Jordens radius, keplers love og parallakse side 4

Parallaksemåling
Formålet er at benytte parallaksemetoden til at måle afstanden fra “Jorden” til
en “stjerne”. I dette eksperiment er “Jorden” lig med en blyantspids, og
“stjernen” er en elektrisk pære, som hænger under et højt loft.
Apparatur
En lavvoltpære og strømforsyning, så pærens lysstyrke kan reguleres til en
passende værdi, et stykke kvadratisk papir (ca 1 m 2 er passende) og en blyant,
der er spids i den ene ende, og som kan stå lodret på den anden endeflade.
Målingerne foregår bedst i et mørkelagt lokale. Pæren omtales i det
følgende som “stjernen”.
Forsøget
Anbring “stjernen” højt over gulvet, og klæb papiret fast på gulvet. Tegn på
papiret en stor cirkel med radius på f.eks. 40 cm eller mere. Stil blyanten i et
punkt på cirkelperiferien. Blyantens spids skal i dette modelforsøg være Jorden,
og Jordbanen ligger da i blyantshøjde over den tegnede cirkel.
Tegn omhyggeligt blyantens skygge på papiret. Mål blyantens højde og
skyggens længde. Beregn derefter vinklen v mellem baneplanet og sigtelinien
til “stjernen”. Denne vinkel kalder astronomerne for “stjernens” deklination.
Mål nu “stjernens” deklination i en række punkter rundt på jordbanen. Udfør
særligt omhyggelige målinger der, hvor deklinationen er størst, og der,
hvor den er mindst.
Bestem største deklination v max og mindste deklination v min .
Når banens diameter er kendt, kan vi beregne “stjernens” største og mindste
afstand til Jorden ved hjælp af sinusrelationerne.
p
parallaksevinkel
v min
v max
d
v min
v max
Orbit Projekt: Jordens radius, keplers love og parallakse side 5