på à bent VUC Trin 2 Xtra eksempler - VUC Aarhus

Matematik
på Åbent VUC
Trin 2
Xtra eksempler
Trigonometri, boksplot, potensfunktioner,
to ligninger med to ubekendte

Trigonometri
Sinus og cosinus
Til alle vinkler hører der to tal,
som kaldes cosinus og sinus.
1
Man finder sinus og cosinus
til en vinkel ved at tegne vinklen
midt i et koordinat-system
som vist her.
60º
-1
1
Man skal også tegne en cirkel
med radius en (r = 1) og med centrum midt i koordinat-systemet.
Cirklen kaldes en enheds-cirkel.
-1
Cosinus til en vinkel er første-koordinaten
til skæringspunktet mellem
vinklens venstre ben og enheds-cirklen.
Sinus til en vinkel er anden-koordinaten
til skæringspunktet mellem
vinklens venstre ben og enheds-cirklen.
Her vil vi kun arbejde med vinkler mellem 0º og 90º.
Cosinus og sinus vil være mellem 0 og 1. Altså i intervallet [0;1].
I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).
På regnemaskinen finder man cos(60º) ved
at trykke cos 60 = . Man får præcis 0,5.
Man finder sin(60º) ved at trykke sin 60 = .
Man får et decimaltal, som starter med 0,886.
På nogle regnemaskiner skal man taste
i modsat rækkefølge. Fx 60 sin = .
1
(cos(60º), sin(60º))
Hvis man kender cosinus eller sinus
til en vinkel, kan man finde vinklen
ved at trykke Inv cos eller Inv sin .
På mange regnemaskiner skal man taste 2nd
i stedet for Inv .
Sinus og cosinus kaldes trigonometriske funktioner.
sin(60º)
60º
cos(60º)
1
Eksempler på opgaver
Find cosinus til 35º Hvilken vinkel har sinus-værdien 0,94
På regnemaskinen trykkes cos 35 = .
Man får cos(35º) = 0,819
På regnemaskinen trykkes Inv sin 0,94 = .
Man får 70º.
Side 2
2

Trigonometri
Vi skal især arbejde med vinkler i retvinklede trekanter.
B
Ved siden af er tegnet en retvinklet trekant ABC,
hvor c (hypotenusen) har længden en.
Nedenfor er trekanten placeret i en enhedscirkel.
Hypotenusen er radius i cirklen.
Trekantens to andre sider a og b (kateterne)
har længderne sin(∠A) og cos(∠A).
A
c = 1
b
a
C
Herunder er tegnet to andre trekanter
med de samme vinkler som trekant ABC.
Trekanterne har præcis samme form som ABC,
men den ene er formindsket og den anden forstørret.
Man siger, at de tre trekanter er ligedannede.
c = 1
b = cos(∠A)
a = sin(∠A)
Siderne i den lille trekant er halvt så lange som i ABC.
Siderne i den store trekant er tre gange så lange sider som i ABC.
3
3·sin(∠A)
0,5
0,5·sin(∠A)
0,5·cos(∠A)
3·cos(∠A)
Man kan finde kateterne i retvinklede trekanter med disse formler:
Længden af en katete = længden af hypotenusen · cosinus til den hosliggende vinkel
Længden af en katete = længden af hypotenusen · sinus til den modstående vinkel
Hosliggende
vinkel
Hypotenuse
Katete
Modstående
vinkel
Modstående
vinkel
Hypotenuse
Hosliggende
vinkel
Katete
Formlerne gælder for begge kateter, men det er svært at huske, hvilken vinkel der er hosliggende,
og hvilken vinkel der er modstående. Tænk dig godt om!
Side 3
3

Trigonometri
Eksempel på opgave
B
I en retvinklet trekant ABC er hypotenusen 5 cm og ∠B er 53º.
Hvor stor er ∠A
Hvor lange er kateterne
c = 5 cm
53º
a
Vinkelsummen i en trekant er 180º, og den rette vinkel C er 90º.
Derfor får man: ∠A = 180º – 90º – 53º = 37º
A
b
C
Længden af kateterne kan findes med en af formlerne på forrige side.
c er hypotenusen. ∠A er modstående til kateten a. ∠B er modstående til kateten b.
Man får: a = c · sinus til den modstående vinkel = c · sin(∠A) = 5· sin(37º) = 3,009 ≈ 3 cm.
b = c · sinus til den modstående vinkel = c · sin(∠B) = 5· sin(53º) = 3,993 ≈ 4 cm.
Man kan også bruge formlen med cosinus til den hosliggende vinkel. Prøv selv!
Eksempel på opgave
Skrå side
Tegningen viser en gavl på et hus.
Husets bredde er 8 m, muren er 2,5 m høj,
og tagets hældning er 30º.
Hvor lang er gavlens skrå side
Hvor højt er huset
30º
8 m
2,5 m
Husets højde
Den øverste del af gavlen kan opdeles i to retvinklede trekanter.
Den skrå side er hypotenusen c.
c
∠A er hosliggende til kateten b.
Man får:
b = c · cosinus til den hosliggende vinkel
b = c · cos(∠A)
4 = c · cos(30º)
Ved ligningsløsning fås: c 4
= 4,62 m
cos(30°
)
=
For at finde huset højde skal man først finde kateten a, som er tagets højde. Man får:
a = c · sinus til den modstående vinkel = c · sin(∠A) = 4,62· sin(30º) = 2,31 m
Husets højde bliver murens højde + tagets højde: 2,5 m + 2,31 m = 4,81 m.
A
30º
b = 4 m
B
a
C
Side 4
4

Trigonometri
Man kan finde de ikke-rette vinkler i retvinklede trekanter med disse formler:
Cosinus til en vinkel =
Den hosliggende katete
Hypotenusen
Sinus til en vinkel =
Den modstående katete
Hypotenusen
Hypotenuse
Modstående katete
Vinkel
Hosliggende
katete
Vinkel
Hypotenuse
Hosliggende katete
Modstående
katete
Formlerne gælder for begge de ikke-rette vinkler, men det er svært at huske, hvilken katete der er
hosliggende, og hvilken katete der er modstående. Tænk dig godt om!
Eksempel på opgave
I en retvinklet trekant ABC er hypotenusen 8,5 cm,
og kateten a er 4 cm.
c = 8,5 cm
B
a = 4 cm
Hvor stor er ∠A
Hvor lang er kateten b
A
b
C
Kateten a er modstående til ∠A.
Man får først:
Den modstående katete a 4
sin( ∠ A) =
= = = 0,471
Hypotenusen
c 8,5
Derefter tastes: Inv sin 0,471 = , og man får ∠A = 28º
Men man kan også få resultatet i en beregning ved at taste: Inv sin ( 4 ÷ 8,5 ) = .
Man kan finde kateten b på flere måder. Man kan fx bruge, at ∠A er hosliggende til b.
Man får: b = c · cosinus til den hosliggende vinkel = c · cos(∠A) = 8,5 · cos(∠28º) = 7,5 cm
Man kan også bruge Pythagoras’ formel for sidelængderne i en retvinklet trekant: a 2 + b 2 = c 2 .
Prøv selv!
Side 5
5

Trigonometri
Tangens
Du skal lære endnu en trigonometrisk funktion at kende. Det er tangens.
Man kan finde tangens til en vinkel ved at tegne en lodret linje gennem punktet (1,0).
Tangens er anden-koordinaten til det sted,
hvor vinklens venstre ben skærer denne linje.
Tegningen viser tangens til 40º.
Man skriver blot tan(40º).
På regnemaskinen finder man tan(40º)
ved at trykke tan 40 = .
Man får et decimaltal, der starten med 0,839.
Man kan se, at tan(0º) = 0.
Når vinklen vokser bliver tangens større,
og der er ingen øvre grænse.
Man kan ikke finde tan(90º), da vinklens
venstre ben går lodret op og aldrig skærer linjen.
Når vinklen bliver større end 90º, bliver tangens negativ.
Men her vil vi kun kikke på tangens til vinkler mellem 0º og 90º.
1
40º
1
1, tan(40º))
tan(40º)
Eksempler på opgaver
Find tangens til 60º Hvilken vinkel har tangens-værdien 1
På regnemaskinen tastes tan 60 = .
Man får tan(60º) = 1,732
På regnemaskinen tastes Inv tan 1 = .
Man får 45º.
Til højre er tegnet en retvinklet trekant ABC, hvor kateten b har længden en.
Nederst til højre er trekanten placeret i en enhedscirkel.
Siden a må have længden tan(∠A).
c
B
a
Nedenfor er tegnet to trekanter, som er ligedannede med trekant ABC.
I den ene er siderne halvt så lange. I den anden er tre gange så lange.
A
b = 1
C
0,5·tan(∠A)
0,5
3·tan(∠A)
c
a = tan(∠A)
3
b = 1
Side 6
6

Trigonometri
Man kan finde længden af en katete i en retvinklet trekant med denne formel:
Længden af en katete = længden af den anden katete · tangens til den modstående vinkel
Modstående vinkel
Katete
Den anden
katete
Modstående
vinkel
Den anden katete
Katete
Formlerne gælder for begge kateter, men tænk dig godt om, når du bruger dem!
Eksempel på opgave
Tegningen viser en stige, der står op ad en mur.
Stigen står 1,20 m fra muren, og vinklen er 75º.
Hvor højt når stigen op på muren
Hvor lang er stigen
c
B
a
Stigen, jorden og muren
danner en retvinklet trekant.
∠A er modstående til kateten a.
Man kan beregne, hvor langt stigen når op,
således:
a = b ⋅ tan( ∠A)
a = 1,20 ⋅ tan(75°
) = 4,48 m
75º
1,20 m
A
75º
C
b = 1,20
Stigens længde kan findes således:
a = c ⋅sin(
∠A)
4,48 = c ⋅sin(75°
)
Ved ligningsløsning fås: c 4,48
= 4,64 m
sin(75°
)
=
Man kan også finde stigens længde med en af de andre formler med cosinus og sinus
eller ved at bruge Pythagoras’ formel for sidelængderne i en retvinklet trekant: a 2 + b 2 = c 2 .
Prøv selv!
Side 7
7

Trigonometri
Man kan finde de ikke-rette vinkler
i en retvinklet trekant med denne formel:
Den modstående katete
Tangens til en vinkel = Den hosliggende katete
Vinkel
Hosliggende
katete
Modstående
katete
Modstående katete
Vinkel
Hosliggende katete
Formlerne gælder for begge ikke-rette vinkler, men tænk dig godt om, når du bruger dem!
Eksempel på opgave
B
I en retvinklet trekant ABC er kateten b = 8,5 cm
og kateten a = 5,3 cm.
c
a = 5,3 cm
Hvor stor er ∠A
Hvor lang er hypotenusen
A
b = 8,5 cm
C
Den modstående katete a 5,3
Man får først: tan( ∠ A) =
= = = 0, 623
Den hosliggende
katete b 8,5
Derefter tastes Inv sin 0,623 = , og man får ∠A = 32º
Man kan også på en gang taste Inv tan ( 5,3 ÷ 8,5 ) = .
Hypotenusen c kan findes på flere måder. Man kan fx gøre således:
b = c ⋅ cos( ∠A)
8,5 = c ⋅ cos(32°
)
Ved ligningsløsning fås:
c 8,5
= 10,0 cm
cos(32°
)
=
I starten af dette afsnit blev tangens beskrevet
som anden-koordinaten til et punkt
som vist på tegningen.
sin(v)
Den helt rigtige definition er tan(v) = .
cos(v)
De to metoder giver det samme resultat,
men den geometriske beskrivelse er lettere at bruge,
når man arbejder med retvinklede trekanter.
-1
1
-1
v
1
(1, tan(v))
Side 8
8

xxx xxx xxx
Median, kvartil, boksplot og sumkurver
Medianen er det midterste af en række tal, der er skrevet op efter størrelse.
Medianen angiver grænsen mellem den største og den mindste halvdel af tallene.
Eksempler på opgaver
På en arbejdsplads er der syv ansatte.
De får disse lønninger (kr./time):
98, 108, 119, 124, 129, 156 og 175.
Hvad er median-lønnen
På en arbejdsplads er der seks ansatte.
De får disse lønninger (kr./time):
102, 117, 128, 132, 134 og 153.
Hvad er median-lønnen
Når der er et ulige antal lønninger,
er medianen det midterste tal.
Når der er et lige antal lønninger, er medianen
midt imellem de to midterste tal.
98 108 119 124 129 156 175 102 117 128 132 134 153
Median-lønnen bliver derfor 124 kr./time Tallet midt imellem 128 og 132 er 130.
Median-lønnen bliver derfor 130 kr./time.
128 + 132
Tallet kan evt. beregnes: = 130
2
I eksemplerne ovenfor er medianen løn-grænsen mellem den dårligst lønnede halvdel og den bedst
lønnede halvdel af de ansatte.
Kvartil betyder en kvart (en fjerdedel) eller 25%. Man taler om 1. kvartil, 2. kvartil og 3. kvartil.
1. kvartil er det midterste af de tal, som ligger under medianen.
3. kvartil er det midterste af de tal, som ligger over medianen.
2. kvartil er det samme som medianen.
Eksempel på opgave
Ved en fartkontrol måler politiet disse hastigheder (km/time) på 11 biler:
98, 80, 79, 82, 92, 85, 81, 78, 87, 105 og 78.
Hvad er median-hastigheden for bilerne
Hvad er 1. kvartil og 3. kvartil
Tallene skrives først op efter størrelse:
78 78 79 80 81 82 85 97 92 98 105
Medianen findes som det midterste tal: 82 km/time
Side 2
9

xxx xxx xxx
1. kvartil findes på samme måde
som medianen, men man kikker kun
på de tal, som er under medianen.
3. kvartil findes på samme måde
som medianen, men man kikker kun
på de tal, som er over medianen.
78 78 79 80 81 82 85 97 92 98 105
Man får, at 1. kvartil er 79 km/time, og 3. kvartil er 92 km/time
Eksempel på opgave
På et basketball-hold er der otte spillere. Deres højde (cm) er:
205, 192, 188, 198, 210, 179, 207 og 201.
Hvad er median-højden for spillerne
Hvad er 1. kvartil og 3. kvartil
Tallene skrives op efter størrelse, og median og kvartiler findes som midtpunkter som vist:
179 188 192 198 201 205 207 210
188 + 192
2
= 190
198 + 201
= 199,5
2
205 + 207
2
= 206
Man får: 1. kvartil er 190 cm. Medianen er 199,5 cm. 3. kvartil er 206 cm
Median og kvartiler kan defineres på flere måder
Ovenfor er median og kvartiler defineret som de midterste tal.
Der findes også en anden definition af median og kvartiler, som du kan støde ind i nogle steder:
- Medianen er det største tal, som tilhører den mindste halvdel (50%) af tallene.
- 1. kvartil er det største tal, som tilhører den mindste fjerdedel (25%) af tallene.
- 3. kvartil er det største tal, som tilhører de mindste tre fjerdedele (75%) af tallene.
Hvis man bruger denne definition på basketball-spillerne i eksemplet ovenfor, får man,
at 1. kvartil er 188 cm, medianen er 198 cm og 3. kvartil er 205 cm. Tænk selv over hvorfor!
I eksemplerne i dette hæfte indgår der kun ganske få tal (lønningerne for syv ansatte,
højden på otte basketball-spillere osv.). Ellers ville det være uoverskueligt at regne på tallene.
Men så kan de to definitioner desværre give forskellige resultater.
I praksis (uden for matematik-bøger) bruger man næsten kun median og kvartiler,
når man beskriver meget store mængder af tal. Fx lønningerne for alle lærere i Danmark
eller højden på alle piger, der har en bestemt alder. Når tal-mængderne er så store,
har det ingen praktisk betydning, hvilken definition, man bruger.
Side 3
10

xxx xxx xxx
Man kan let tro, at median og middelværdi er det samme tal, men det er sjældent tilfældet.
Eksempler på opgaver
På en arbejdsplads er der
fem ansatte, som får disse
lønninger (kr./time):
130, 140, 150, 160 og 170.
Hvad er median-lønnen
Hvad er middelværdien
På en arbejdsplads er der
fem ansatte, som får disse
lønninger (kr./time):
100, 140, 150, 160 og 170.
Hvad er median-lønnen
Hvad er middelværdien
På en arbejdsplads er der
fem ansatte, som får disse
lønninger (kr./time):
130, 140, 150, 160 og 200.
Hvad er median-lønnen
Hvad er middelværdien
Median-lønnen er 150 kr. i alle tre opgaver. Det er det midterste tal, når tallene står efter størrelse.
Middelværdien er forskellig i de tre opgaver. Man får:
130 + 140 + 150 + 160 + 170
=
5
750
= 150 kr.
5
100 + 140 + 150 + 160 + 170
=
5
720
= 144 kr.
5
130 +
140 + 150 + 160 +
5
780
= 156 kr.
5
200
=
Forestil dig, at det er de samme fem personer, som opgaverne handler om.
Hvis lønnen falder for en af de lavest lønnede, eller lønnen stiger for en af de højst lønnede,
påvirker det ikke medianen, men det påvirker naturligvis middelværdien.
Man kan vise medianen og kvartilerne sammen med mindste- og største-værdi i et boksplot.
Eksempel på opgave
Tabellen viser resultatet af en
undersøgelse af prisen på en liter
letmælk i en række butikker.
Lav et boksplot ud fra tallene.
Mindsteværdværdi
Største-
1. kvartil Median 2. kvartil
3,95 kr. 5,75 kr. 7,20 kr. 8, 25 kr. 9,95 kr.
Man laver et boksplot i et
koordinatsystem som vist.
Mindste-værdi 1. kvartil median 3. kvartil Største-værdi
Man markerer først medianen
og de to kvartiler og tegner en ”boks”.
Derefter markerer man
mindste-værdi og største-værdi,
og tegner to linje-stykker.
Alle boksplottets fire vandrette
dele svarer til 25% af mælkepriserne.
3 4 5 6 7 8 9 10 11
Side 4
11

xxx xxx xxx
Eksempel på opgave
Boksplottet viser højdefordelingen
i cm for en gruppe mænd.
Aflæs mindste-værdi, største-værdi,
median og kvartiler.
Fortæl lidt om, hvad disse tal
viser om mændenes højde.
150 160 170 180 190 200 210 220
Mindste-værdien er 158 cm. Største-værdien er 211 cm.
Median-højden er 181 cm. 1. kvartil er 175 cm, og 3. kvartil er 187 cm.
Tallene viser (fx), at den midterste halvdel af mændenes højder ligger inden for et lille interval på
187 – 175 = 12 cm, mens alle mændenes højder er fordelt på et stort interval på 211 – 158 = 53 cm.
Hvis man kender frekvens-tallene for en grupperet fordeling, kan man finde median og kvartiler
ved først at beregne de summerede frekvenser og derefter tegne en sumkurve.
Det er lidt kompliceret, men jeg vil prøve at vise det i det næste eksempel.
Eksempel på opgave
Tabellen viser frekvens-fordelingen for højden på
en gruppe kvinder.
Lav en tabel med summerede frekvenser.
Lav et histogram.
Lav en sumkurve.
Find median og kvartiler vha. sumkurven.
Tabellen kommer til at se ud som vist til højre.
De summerede frekvenser findes ved
at lægge frekvenser sammen.
Fx er den summerede frekvens for
intervallet [160 ; 170[ på 58%.
Tallet er fundet som 3% + 18% + 37%.
Den summerede frekvens for [160 ; 170[
er altså frekvensen af alle dem, som har
en højde på op til lige under 170 cm.
Det betyder; at 58% af kvinderne er
under 170 cm.
Højde i cm Frekvens
[140 ; 150[ 3%
[150 ; 160[ 18%
[160 ; 170[ 37%
[170 ; 180[ 28%
[180 ; 190[ 12%
[190 ; 200[ 2%
Ialt 100%
Højde i cm Frekvens Sum. frekv.
[140 ; 150[ 3% 3%
[150 ; 160[ 18% 21%
[160 ; 170[ 37% 58%
[170 ; 180[ 28% 86%
[180 ; 190[ 12% 98%
[190 ; 200[ 2% 100%
Ialt 100%
Side 5
12

xxx xxx xxx
På det øverste diagram er der både
tegnet et histogram og en sumkurve.
Man kan sagtens lave en sumkurve uden
at tegne et histogram, men det giver et
fint billede, når man tegner dem sammen.
Sumkurven viser de summerede frekvenser
fra tabellen.
Man starter med at afsætte punktet
(Første intervals start-punkt , 0).
Altså (140 , 0).
Derefter afsætter man punkter af typen
(Interval-endepunkt , summeret frekvens).
Altså (150 , 3), (160 , 21) osv.
Man kan se at sumkurven er mest stejl
i de intervaller, hvor histogrammet er højt,
og der derfor er mange personer.
Kurven viser, hvor mange af pigerne,
der er op til en bestemt højde.
Fx kan man se, at ca. 72% er op til 175 cm.
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
140 150 160 170 180 190 200
På det nederste diagram er histogrammet
fjernet for ikke at få for mange streger med.
I stedet er der lavet vandrette markeringer
ud for 25%, 50% og 75%.
Vha. disse markeringer kan man aflæse, at:
1. kvartil er ca. 161 cm
median-højden er ca. 168 cm
3. kvartil er ca. 176 cm
Brugen af sumkurver forudsætter, at
fordelingen inden for de enkelte intervaller
er nogenlunde jævn. Fx at de 37% af
kvinderne, som er i intervallet [160 ; 170[,
er nogenlunde jævnt fordelt på højderne
imellem 160 cm og 170 cm.
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
140 150 160 170 180 190 200
Side 6
13

xxx xxx xxx
Potensfunktioner
Funktioner der kan skrives på formen
y
a
= b ⋅ x kaldes potensfunktioner.
Her er nogle eksempler på potensfunktioner:
y = 3⋅
x
2
3
y = x
y = 2 ⋅ x
0,5
-2
y = x
a = 2 og b = 3
a = 3 og b = 1
a = 0,5 og b = 2
a = 1 og b = –2
Bemærk: Hvis b = 1 bliver b ”usynlig”. Man skriver fx sjældent
Tallet a (potens-tallet) kaldes for eksponenten.
y
3
= 1⋅
x men kun
3
y = x .
Eksempel på opgave
Lav for x ≥ 0 tabeller og grafer for potensfunktionerne
f(x) = 0,5 ⋅ x og
2
2
g(x) = 2 ⋅ x .
Tabellen kan se således ud:
g(x)
g(x)
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2
= 0,5 ⋅ x 0 0,5 2 4,5 8 12,5 18 24,5 32 40,5 50
2
= 2 ⋅ x 0 2 8 18 32 50 72 98 128 162 200
Graferne ser ud som vist til højre.
Da nogle af y-værdierne er ret store,
er hele tabellen ikke vist på graferne.
Man kan se på både tabellen og graferne:
- at begge grafer starter i (0,0)
- at begge grafer vokser
hurtigere og hurtigere
- at 2 · x 2 vokser hurtigst
og hele tiden ligger over 0,5 · x 2 .
Når a (eksponenten) er større end en (a > 1),
gælder der:
Funktionen vokser hurtigere og hurtigere.
Jo større b (tallet man ganger med) er,
jo mere vokser funktionen.
50
40
30
20
10
0
g(x) = 2 ⋅ x
0 1 2 3 4 5 6 7
3
f(x) = 0,5 ⋅ x
3
Side 2
14

xxx xxx xxx
Eksempel på opgave
Lav for x ≥ 0 tabeller og grafer for potensfunktionerne
Tabellen kan se således ud:
2
f(x) = x og
3
g(x) = x .
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2
f(x) = x 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
g(x)
3
= 0,5 ⋅ x 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1.000
Husk at man kan finder potenser ved at
trykke ^ på regnemaskinen. Eller evt. y x .
Graferne ser ud som vist til højre.
Da nogle af y-værdierne er meget store,
er hele tabellen ikke vist på graferne.
Man kan se på både tabellen og graferne:
- at begge grafer starter i (0,0)
- at begge grafer vokser
hurtigere og hurtigere
- at x 3 vokser hurtigere end x 2 .
Når a (eksponenten) er større end en (a > 1),
gælder der:
Funktionen vokser hurtigere og hurtigere.
Jo større a er, jo hurtigere vokser funktionen.
70
60
50
40
30
3
g(x) = x
Hvis man forstørrer den nederste venstre del
af graferne op, ser de således ud:
2
20
10
2
f(x) = x
1
0
2
f(x) = x
3
g(x) = x
0 1 2
3
2
Man kan se, at g(x) = x er mindre end f(x) = x i intervallet mellem 0 og 1.
Tænk selv over hvorfor. Du kan evt. lave en tabel med mange små x-værdier mellem 0 og 1.
0
0 1 2 3 4 5 6 7
Side 3
15

xxx xxx xxx
Eksempel på opgave
3
Rumfanget af en kugle kan beregnes med formlen V = ⋅ π ⋅ r .
V er rumfanget og r er radius.
Vis at rumfanget er en potensfunktion af radius.
Lav en tabel og en graf for funktionen.
Hvad skal radius være, hvis kuglens rumfang skal være 1 liter (1.000 cm 3 )
Formlen
3
Altså: V = 4,18879 ⋅ r svarende til
V
3
4
3
= ⋅ π ⋅ r svarer til en potensfunktion, hvor b ⋅ π ≈ 4,18879...
y = 4,18879 ⋅ x
3
4
= og a = 3.
Tabellen kan se således ud. Tallene er afrundede.
r (cm) 0 1 2 3 4 5 6 7 8
V (cm 3 ) 0 4,19 33,51 113,1 268,1 523,6 904,8 1437 2145
4
3
3
Grafen ser ud som vist til højre.
Man kan finde den radius,
der giver et rumfang
på 1.000 cm 3 på flere måder.
- Man kan aflæse på grafen, hvis man
laver en pæn graf på mm-papir.
- Hvis man tegner grafen vha. et
computer-program, har programmet
måske en ”aflæse-funktion”.
- Man kan prøve sig frem (simulering).
Man kan se ud fra tabellen,
at den rigtige radius må være
mellem 6 cm og 7 cm og sikkert
nærmest på 6 cm.
- Man kan få det helt præcise svar
ved at løse ligningen
3
1.000
= 4,18879 ⋅ r
Man får:
3
4,18879 ⋅ r =
3 1.000
r =
4,18879
1.000
r = 3
4,18879
1.000
=
3
238,73.. = 6,2 cm
2000
1500
1000
500
0
V = 4,18879 ⋅ r
0 1 2 3 4 5 6 7 8
3
Side 4
16

xxx xxx xxx
Hvad betyder eksponenten
Det lille tal kaldes eksponenten.
Men hvad betyder de forskellige slags eksponenter
4 3 Eksponent
Eksponenten er et helt tal og større end nul:
2
x betyder
Bemærk:
x ⋅ x ,
3
x betyder
x ⋅ x ⋅ x ,
4
x betyder
1
x betyder x . Men man skriver næsten aldrig
Eksponenten er en brøk eller et decimal-tal:
Du skal huske, at
1
2 0,5
x = x betyder x ,
x ⋅ x ⋅ x ⋅ x osv.
1
x.
1
3 0,3333.....
x = x betyder 3 x osv.
Men det er meget svært at forklare, hvad potenser, der ikke er hele tal (fx
Du kan roligt trykke på ^ (eller evt. y x
) uden at tænke over betydningen.
2,47
x ), generelt betyder.
Eksponenten er negativ:
-1 1 1
x betyder
x
= 1
x
, -2 1
x betyder
2 ,
-3 1
x betyder
3 ,
-1,25 1
x betyder
1,25
x
x
x
osv.
Eksempel på opgave
Lav for x ≥ 0 tabeller og grafer for potensfunktionerne
Tabellen kan se således ud. De fleste tal er afrundede.
0,5
f(x) = x og
1,25
g(x) = 0,5 ⋅ x .
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0,5
f(x) = x 0 1 1,41 1,73 2 2,24 2,45 2,65 2,83 3 3,16
1,25
g(x) = 0,5 ⋅ x 0 0,5 1,19 1,97 2,83 3,74 4,70 5,69 6,73 7,79 8,89
Graferne ser således ud.
1,25
Grafen for g(x) = 0,5 ⋅ x buer
kun ganske svagt opad.
Grafen ligner næsten en ret linje,
men den vokser faktisk mere og mere.
0,5
Grafen for f(x) = x buer den anden vej.
Funktionsværdien vokser mindre og mindre.
Men den kan vokse i det uendelige.
Husk på at x 0,5 = x , og når x er
et stort tal, bliver x også stor. 0
8
6
4
2
g(x) = 0,5 ⋅ x
1,25
0,5
f(x) = x
0 2 4 6 8 10
Side 5
17

xxx xxx xxx
Eksempel på opgave
Lav tabel og graf for potensfunktionerne
-2
f(x) = 2 ⋅ x .
-2
1
2
Husk at 2 ⋅ x betyder 2 ⋅ eller blot
2
2 .
x
x
-2
På regnemaskinen finder man fx 2 ⋅ 5 ved at trykke 2 x 5 ^ (-) 2 = .
0 kan ikke bruges som x-værdi, men vi tager nogle små decimaltal med i tabellen.
Tabellen kan se således. De fleste tal er afrundede.
f(x)
x 0,25 0,5 0,75 1 1,5 2 3 4 5 7 10
-2
= 2⋅
x 32 8 3,556 2 0,889 0,5 0,222 0,125 0,08 0,041 0,02
Grafen ser ud som vist til højre.
Når x vokser bliver f(x) mindre,
men f(x) kan aldrig blive 0.
Alle grafer for potensfunktioner
med negativ eksponent vil ligne
grafen til højre.
Jo mere negativ eksponenten er,
jo hurtigere falder funktionsværdien.
Tænk på at omvendt proportionale
funktioner også er potensfunktioner.
4
−1
y = kan jo fx skrives som y = 4 ⋅ x .
x
Grafen til højre ligner også graferne
for omvendt proportionale funktioner,
men grafen er ikke symmetrisk på
samme måde som en rigtig hyperbel.
5
4
3
2
1
0
0 2 4 6 8 10
Eksemplerne i dette afsnit viser, at potensfunktioner og deres grafer er meget forskellige.
Der findes regler for, hvorledes grafernes form afhænger af eksponenten a,
men de er indviklede. Du kan evt. læse mere andre steder.
I eksemplerne med positiv eksponent blev der brugt både nul og positive tal som x-værdier.
I eksemplet på denne side kunne man ikke bruge nul som x-værdi, fordi eksponenten er negativ.
2
4
Men hvis eksponenten er et helt positivt tal (fx y = 0,3⋅
x eller y = 117 ⋅ x ),
kan man sagtens sætte negative tal ind som x-værdier.
Side 6
18

xxx xxx xxx
Eksempel på opgave
Lav tabel og graf for funktionen
2
f(x) = x .
Vi tager både negative og positive x-værdier med. Vi får:
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
2
f(x) = x 16 9 4 1 0 1 4 9 16
Grafen ser ud som vist til højre.
Den er symmetrisk og kaldes en parabel.
(0,0) er toppunkt, og y-aksen er symmetriakse.
Herunder er tegnet graferne for
disse to funktioner:
2
g(x) = 0,5 ⋅ x − x −1,5
h(x) = −2
⋅ x
2
− 4 ⋅ x + 2
Funktionere er ikke rigtige potensfunktioner
pga. forskrifternes form, men begge grafer
er symmetriske buer ligesom grafen for y =
Alle funktioner, der kan skrives på formen
2
y = a ⋅ x + b ⋅ x + c , hvor a ≠ 0,
har den slags symmetriske grafer.
5
4
3
2
1
0
-4 -3 -2 -1 0
-1
1 2 3 4 5
-2
-3
-4
-5
g(x) = 0,5⋅
x
2
h(x) = −2
⋅ x
− x −1,5
2
2
x
− 4 ⋅ x + 2
10
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
2
Funktioner på formen y = a ⋅ x + b ⋅ x + c ,
hvor a ≠ 0, kaldes andengrads-funktioner
eller andengrads-polynomier.
Graferne kaldes parabler.
Hvis a > 0 vender parablen ”benene opad”.
Hvis a < 0 vender parablen ”benene nedad”.
Hvis (og kun hvis) b = 0 og c = 0, er funktionen
2
også en potensfunktion. Fx y = 3⋅
x
Men man bruger bogstaverne a og b forskelligt.
Potensfunktionen med eksponenten 2
2
skrives normalt y = b ⋅ x
2
Andengrads-funktionen skrives y = a ⋅ x
9
8
7
6
5
4
3
2
1
2
y = x
Side 7
19

xxx xxx xxx
To lineære ligninger med to ubekendte
Ligningen − 2x + y = 4 har to ubekendte: x og y.
Ligningens løsninger er de talpar (x , y), som får lighedstegnet til at passe. Fx er (1 , 6) en løsning.
Hvis man sætter x = 1 og y = 6 ind, så passer lighedstegnet. Man får nemlig:
− 2x + y = 4
− 2 ⋅1+
6 = 4
− 2 + 6 = 4
4 = 4
Men ligningen har mange andre løsninger. Kontroller selv at (0 , 4) og (2 , 8) fx også er løsninger.
Eksempel på opgave
Omskriv ligningen − 2x + y = 4 til en forskrift for en lineær funktion.
Tegn også grafen for funktionen og beskriv løsningerne til ligningen
Ved at bruge metoderne fra ligningsløsning
kan ligningen omskrives til en funktionsforskrift:
− 2x + y = 4
− 2x + y + 2x = 4 + 2x
y = 2x + 4
Ligningen betyder altså det samme som forskriften
for den lineære funktion y = 2x + 4 .
Ud fra funktionsforskriften kan man lave en tabel:
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y -2 0 2 4 6 8 10
Alle talpar i tabellen er løsning til ligningen.
Ud fra tabellen kan man tegne grafen til højre.
Alle punkter på linjen svarer til et talpar, som er løsning,
så der er faktisk uendelig mange løsninger!!
10
8
6
4
2
0
-4 -2 0 2 4
-2
-4
Ligninger med to ubekendte, der kan omskrives til en lineær funktion, kaldes lineære ligninger.
Side 1
20

xxx xxx xxx
Hvis man har to lineære ligninger med to ubekendte,
kan man:
- omskrive hver ligning til en lineær funktion
- tegne graferne for funktionerne i et koordinatsystem
- aflæse linjernes skæringspunkt
Skæringspunktet er løsning til begge ligninger
To ligninger med to ubekendte kaldes ofte et ligningssystem.
Eksempel på opgave
Find løsningen til ligningssystemet
2y − 4x = −6
og x + 2y = 4
De to ligninger omskrives hver for sig til lineære funktioner. Man får:
2y − 4x = −6
x + 2y = 4
2y − 4x + 4x = −6
+ 4x
2y = 4x − 6
2y 4x − 6
=
2 2
y = 2x − 3
x + 2y − x = 4 − x
2y = −x
+ 4
2y − x + 4
=
2 2
y = −0,5x
+ 2
Der laves en tabel for begge funktioner. Man får fx:
x -4 -2 0 2 4
y = 2x − 3 -12 -7 -3 1 5
y = −0,5x
+ 2 4 3 2 1 0
Ud fra tabellen kan man tegne graferne til højre.
Ud fra både tabel og grafer kan man se,
at skæringspunktet er (2 , 1).
Løsningen til ligningssystemet er x = 2 og y = 1
6
4
2
0
-4 -2 0 2 4
-2
Hvis to ligninger med to ubekendte kan omskrives til
-4
den samme lineære funktion (linjerne ligger oven i
hinanden), så er alle talpar på linjen løsninger.
-6
Hvis to ligninger med to ubekendte kan omskrives til
forskrifterne for to parallelle linjer, som ikke skærer hinanden,
så er der ingen løsninger. -8
Side 2
21

xxx xxx xxx
Man kan godt løse to ligninger med to ubekendte uden at tegne grafer. Her er vist to metoder:
Eksempel på opgave
Find løsningen til ligningssystemet
3x + y = 2 og 2x + 4y = 4
De to ligninger omskrives først således, at enten x eller y står alene til venstre i begge ligninger.
Her er valgt y:
3x + y = 2
3x + y − 3x = 2 − 3x
y = −3x
+ 2
2x + 4y = 4
2x + 4y − 2x = 4 − 2x
4y = −2x
+ 4
4y − 2x + 4
=
4 4
y = −0,5x
+ 1
Det er lige meget,
om man får x eller y
til at stå alene i
begge ligninger.
Gør det, som ser ud
til at være lettest.
Derefter kan man sætte højresiderne lig med hinanden for at finde x. Man får:
− 3x + 2 = −0,5x
+ 1
− 3x + 2 + 3x −1
= −0,5x
+ 1+
3x −1
1
2,5
1 = 2,5x
=
2,5x
2,5
0,4 = x
eller x = 0,4
Til sidst findes y ved at sætte x = 0,4 ind i en af de oprindelige ligninger:
3x + y = 2
3⋅
0,4 + y = 2
1,2 + y = 2
1,2 + y −1,2
= 2 −1,2
Det er lige meget, hvilken
ligning man bruger.
Tag den, som ser ud til at
være lettest at løse.
Løsningen er altså x = 0,4 og y = 0,8
y = 0,8
Man kan let lave fejl, så det er en god ide at kontrollere sine udregninger ved at sætte løsningen
ind i de oprindelige ligninger. Det kan gøres således:
3 ⋅ 0,4 + 0,8 = 1,2 + 0,8 = 2
2 ⋅ 0,4 + 4 ⋅ 0,8 = 0,8 + 3,2 = 4
Side 3
22

xxx xxx xxx
Ligningssystemet kan også løses således:
Man ganger først en af ligningerne med et tal, således at der er enten det samme antal x
eller det samme antal y i begge ligninger.
Her ganges den første ligning med 4 for at få 4y begge steder:
( 3x + y)
⋅ 4 = 2 ⋅ 4
12x + 4y = 8
Derefter trækkes ligningerne fra hinanden.
Venstre side fra venstre side. Højre side fra højre side.
Man få en ny ligning med kun en ubekendt. Her er det x:
12x + 4y = 8
2x + 4y = 4
10x
Derefter løses den nye ligning for at finde x:
10x = 4
10x
10
=
= 4
4
10
x = 0,4
Nogle gange kan det
være nødvendigt at
gange begge ligninger
med hvert sit tal
for at få enten det
samme antal x eller
det samme antal y.
Resultatet bruges til sidst til at finde y på samme måde som på forrige side. Prøv selv!
Lineære ligninger skrives ofte på formen ax + by = c.
I eksemplet 3x + y = 2 er a = 3, b = 1 og c = 2.
Men lineære ligninger kan godt se anderledes ud. Her er et par eksempler:
2x − y
2y = 4 − x
= y − 6x + 12
3
Begge ligninger kan omskrives til både formen ax + by = c og til funktionsforskriften for en lineær
funktion. Prøv selv.
Det er ikke alle ligninger med to ubekendte, der lineære. Her er et par eksempler:
Ligningen 2x 2 2
− 5 = y + 4x kan omskrives til funktionsforskriften y = 2x − 4x − 5.
Det er en andengradsfunktion. Grafen kaldes en parabel og har form som en bue.
Ligningens løsninger er alle de talpar, som er punkter på grafen.
Ligningen x ⋅ y = 4 kan omskrives til funktionsforskriften
4
y = .
x
Det er en omvendt proportional funktion. Grafen kaldes en hyperbel og består af to buer.
Ligningens løsninger er alle de talpar, som er punkter på grafen.
Side 4
23