Matematik og databehandling 2012 Miniprojekt B: Matrixmodeller

Miniprojekt B Matematik og databehandling 2012
(d) Bestem ligevægten for bestanden.
Benyt matematiske resultater fra Matematik for biovidenskab til at bevise, at bestanden i
det lange løb nærmer sig ligevægten uanset startbestandens størrelse og sammensætning.
Forklar endvidere hvordan man på graferne fra (c) kan aflæse ligevægten.
I spørgsmål (e)-(g) vil vi arbejde med en mere generel model, hvor (I) og (III) stadig antages,
men hvor (II) erstattes af følgende:
(II’) En vis del a, med 0 < a < 1, af de dårlige køer er gode køer året efter, 40% er
slagtet og resten er stadigvæk dårlige.
(e) Opstil en matematisk model på matrixform, der udtrykker antallene af gode og dårlige køer
i år t+1 ved antallene af gode og dårlige køer i år t. (Parameteren a indgår i modellen.)
(f) Ladavære vilkårlig. Det oplyses, at en bestand på 10 dårlige køer et givet år giver anledning
til en bestand det følgende år med 24 gode køer og 4 dårlige køer. Bestem a og antallet af
gode køer det givne år.
(g) Lad a være vilkårlig. Bestem ligevægtsbestanden udtrykt ved a.
[For at checke om I har regnet rigtigt, kan I sætte a = 0.2 og se om I får det samme svar
som i (d).]
Koavleren har følgende formodninger:
• “Jo større a er, desto flere gode køer er der i ligevægtsbestanden”.
• “Jo større a er, desto færre dårlige køer er der i ligevægtsbestanden”.
Hvilke af disse formodninger er korrekte?
Opgave 3 (10%)
Lad
⎛ ⎞
1 0 −1
M = ⎝0 2 0⎠.
0 0 1
(a) Udregn vha. R potenserne M t for t = 1,...,6. Gæt ud fra disse udregninger på et udtryk
for M t , dvs. et udtryk for hvert af de 9 elementer i matricen M t for en vilkårlig værdi af t.
(b) [Der gives IKKE vejledning til dette delspørgsmål, som højst tæller 5%]
Giv et matematisk bevis for det gættede udtryk forM t fra (a) ved at vise, at hvis det gættede
udtryk er korrekt for t, så er det også korrekt for t+1.
5