Matematik og databehandling 2012 Miniprojekt A: Matematiske ...

0161412101086x 542Matematik og databehandling 2012t10 122 4 6 8Miniprojekt A:Matematiske modeller med funktioneronsdag 12/9Lokaler og vejledningFølgende lokaler er til rådighed kl. 10–17 for gruppearbejde:3-11 (A2-70.01), 3-12 (A2-70.02), vandrehallen samt grupperum:Thorvaldsensvej 40: 16–29 ogThorvaldsensvej 57, 2. sal: D302, D304, E302, E304, G304, I304, K304, A306, L306.Der er adgang til vejledning i marmorhallen onsdag 12/9 kl. 11–17 samt fredag 14/9 kl. 13–14.Aflevering af besvarelsen Besvarelsen afleveres på papir mandag 17/9 kl. 12.00–12.30i marmorhallen. Sammen med besvarelsen skal I aflevere to identisk udfyldte eksemplarer afforsiden, som udleveres sammen med Miniprojektet. I får det ene eksemplar tilbage som kvitteringfor at I har afleveret.Besvarelsens form Skriv gerne besvarelsen i hånden, da det er besværligt at skrive matematiskesymboler i tekstbehandling. Besvarelsen skal bestå af:• Besvarelsen af de enkelte opgaver. Angiv præcise mellemregninger samt forklaringer på,hvad I har gjort. Det gælder også de resultater, I har opnået ved brug af R (beregninger,grafer mm.).• Vedlæg udskrifter af– de vigtigste R-kommandoer, I har benyttet,– relevant output fra R inklusiv de grafer I har tegnet for at løse opgaverne.Dette kan gøres ved at kopiere grafer og andet output over i Word. Udskrifterne skalplaceres sammen med jeres håndskrevne løsninger af de pågældende delspørgsmål og ikkesom separate bilag. Besvarelsen skal være sammenhængende og skal kunne læses uden atman skal blade frem og tilbage i den.Ved bedømmelsen af besvarelsen lægges der vægt på ovenstående.Eksamenssnyd Gruppen skal selv løse opgaverne. Samarbejd gerne med andre grupper,men afskrift er eksamenssnyd. Bemærk at alle gruppens medlemmer skriver under på, at de hararbejdet med på hele projektet og har forstået og godkendt den samlede rapport.Godkendelse og evt. genaflevering af besvarelsen Hver besvarelse bedømmes entensom “godkendt” eller “ikke godkendt”, og der kræves 75 point ud af 100 for at en besvarelse blivergodkendt. I får de rettede og kommenterede besvarelser tilbage fra jeres øvelseslærer. Der vilvære mulighed for at genaflevere ikke-godkendte besvarelser. De praktiske detaljer vedrørendegenaflevering vil blive udsendt pr. email.1

Miniprojekt A Matematik og databehandling 2012Dette miniprojekt består af 3 opgaver, der kan løses uafhængigt af hinandenOpgave 1 (25%)For en række pattedyr har man målt kropsvægten (målt i kg) og pulsen (målt i hjerteslag pr.minut). Disse data er i filen a_data_1.txt, som findes påEt uddrag af datafilen:http://matdat.life.ku.dk/mat-dat/miniprojekterDyr Kropsvaegt PulsMus 0.025 750Rotte 0.2 400Hamster 0.3 320(a) Gem filen a_data_1.txt på din computer og indlæs den i R som et datasæt ved brug affunktionen read.table.Tegn vha. R datapunkterne med pulsen P som funktion af kropsvægten K.I det følgende vil vi undersøge, hvilken af følgende 3 modeller der bedst kan benyttes til atbeskrive sammenhængen mellem K og P:(I) Lineær model: P = aK +b(II) Eksponentiel model: P = be rK dvs. lnP = lnb+rK(III) Potens model: P = bK a dvs. lnP = lnb+alnKhvor a, b og r er parametre.(b)(i) Bestem vha. lineær regression i R den rette linie P = aK + b, som bedst beskriversammenhængen mellem K og P.Tegn vha. R denne linie sammen med datapunkterne.(ii) Tegn vha. R de transformerede datapunkter (K,lnP).Bestem vha. lineær regression i R den rette linie, som bedst beskriver sammenhængenmellem K og lnP.Tegn vha. R denne linie sammen med de transformerede datapunkter (K,lnP).(iii) Tegn vha. R de transformerede datapunkter (lnK,lnP).Bestem vha. lineær regression i R den rette linie, som bedst beskriver sammenhængenmellem lnK og lnP.Tegn vha. R denne linie sammen med de transformerede datapunkter (lnK,lnP).2

Miniprojekt A Matematik og databehandling 2012(c) Benyt graferne lavet i (b) til at vurdere, hvilken af modellerne(I): P = aK +b, (II): P = be rK og (III): P = bK a ,der bedst beskriver sammenhængen mellem datapunkterne (K,P).Opskriv for den bedste model sammenhængen mellem K og P, dvs. opskriv P som funktionaf K.Tegn vha. R grafen for denne funktion for 0.02 ≤ K ≤ 70 sammen med datapunkterne.(d) Benyt den bedste model bestemt i (d) til at besvare følgende:(i) Hvilken puls vil man forvente for en elefant på 7 tons?(ii) Hvilken kropsvægt vil man forvente for en kat med en puls på 165?(iii) Hvis et dyr er fem gange så tungt som et andet, hvilken sammenhæng vil man såforvente mellem de to dyrs puls?Opgave 2 (45%)En mark tilføres gødning. Udbyttet af en vis afgrøde (målt i tons pr. ha.) ved tilførsel af t ≥ 0enheder gødning pr. ha. betegnes U(t). Som modeller for funktionen U(t) overvejes følgende tremuligheder:(I) U(t) = Ae Bt2 +C((II) U(t) = A 1−e −Bt2) +C(III) U(t) =A1+e Bt2 +C,hvor A,B og C i alle tre tilfælde er positive parametre.(a)(i) Afgør for hver af de tre modeller, om U(t) er en voksende eller en aftagende funktionaf t ≥ 0.(ii) Afgør for hver af de tre modeller, om U(t) har en endelig grænseværdi for t → ∞, ogbestem i bekræftende fald denne grænseværdi.I resten af opgaven antages det, at model (II) gælder.(b) Sæt A = 30 og B = 0.01. Det oplyses, at udbyttet er 40 tons pr. ha., hvis der ikke gødes.Hvor mange enheder gødning skal tilføres pr. ha. for at opnå et udbytte på 60 tons pr. ha.?(c) Sæt A = 25 og C = 35. Tegn vha. R graferne for U(t) for flere forskellige værdier af B isamme koordinatsystem.Hvilke fælles egenskaber har disse grafer?3

Miniprojekt A Matematik og databehandling 2012(d) På en mark har man målt udbyttet for en række forskellige gødningsmængder. Dissemålinger er i filen a_data_2.txt, som findes påhttp://matdat.life.ku.dk/mat-dat/miniprojekterEt uddrag af filens indhold:Goedning,Udbytte0,39.130.1,39.850.2,40.170.3,39.660.4,40.09Hver linie efter overskrifterne indeholder gødningsmængden t efterfulgt af udbyttet U.Gem filen a_data_2.txt på din computer og indlæs den i R som et datasæt ved brug affunktionen read.table.Tegn vha. R målingerne med udbyttet U som funktion af gødningsmængden t.Benyt plottet til at bestemme de værdier afAogC, som ser ud til at få grafen for funktionenU(t) til at passe bedst muligt med målingerne.[Vink: Søg evt. inspiration i jeres svar til (c).]Tegn for disse værdier af A og C grafen for U(t) for forskellige værdier af B sammen meddatapunkterne. Bestem herved den værdi af B (med 3 decimaler), som ser ud til at fågrafen for funktionen U(t) til at passe bedst muligt med målingerne.Vi lader q betegne salgsprisen i kr. pr. tons udbytte og p betegne prisen i kr. pr. enhed gødning.(e) Opskriv fortjenesten F(t) pr. ha. (dvs. indtægter minus udgifter) som funktion af t.(Parametrene A,B,C,p og q vil indgå i udtrykket.)(f) Sæt B = 0.02, C = 40 og q = 3000. Det oplyses, at den økonomisk optimale gødningsmængdeer 12 enheder pr. ha. samt at dette resulterer i en fortjeneste på 170000kr. pr. ha. Bestem A og p, begge med 2 decimaler.(g) Sæt A = 20, B = 0.02, C = 40, p = 2500 og q = 3000. Tegn vha. R grafen for F(t) meddisse parameterværdier.Foretag endvidere en funktionsundersøgelse af F(t) for t ≥ 0 og bestem samtlige lokaleekstrema (med 2 decimaler).[Vink: I får brug for R-funktionen uniroot.]Er disse lokale ekstrema også globale ekstrema?4

Miniprojekt A Matematik og databehandling 2012Opgave 3 (30%)Vi betragter funktionenf(t) = 2tlnt for t > 0.(a) Find Taylorpolynomierne f 1 (t) og f 2 (t) af orden hhv. 1 og 2 med udviklingspunkt a = 1for funktionen f(t).(b) Tegn vha. R graferne for f(t), f 1 (t) og f 2 (t) i samme koordinatsystem med et passendevalg af t-interval.(c) Tegn vha. R grafen for |f(t)−f 2 (t)| (afvigelsen mellem f(t) og f 2 (t)) for 1 ≤ t ≤ 2.Tegn derefter vha. R grafen for |f(t) − f 2 (t)| for passende valgte t-intervaller og benytdisse grafer til at aflæse de værdier af t (med 2 decimaler) i intervallet [1,2] for hvilke|f(t)−f 2 (t)| ≤ 0.04.(d) Bestem konstanter A og B således atF(t) = At 2 lnt+Bt 2er en stamfunktion til f(t).[Vink: Bestem F ′ (t) og bestem A og B således at F ′ (t) = f(t).]Benyt F(t) til at bestemme integralet ∫ 1.31f(t)dt med 4 decimaler.Kontrollér, at der er regnet rigtigt ved at foretage numerisk integration i R.Vi ved, at en (vilkårlig) funktion g(t) tilnærmes af g 1 (t) (Taylorpolynomiet af orden 1 medudviklingspunkt a = 1) for t i nærheden af a = 1. Den følgende sætning viser, at integralet afg(t) over et interval i nærheden af a = 1 ligeledes tilnærmes af integralet af g 1 (t) over intervallet.Sætning AA Lad M være en konstant, som opfylder|g ′′ (t)| ≤ M for 1 ≤ t ≤ 1.3.Så gælder∫ 1.3 ∫ 1.3∣ g(t)dt− g 1 (t)dt∣ ≤ 0.0045M.11(e) Aflæs ud fra en graf for f ′′ (t) en konstant M, gerne så lille som muligt, som opfylder|f ′′ (t)| ≤ M for 1 ≤ t ≤ 1.3.Brug dette til at kontrollere, at Sætning AA gælder i tilfældet g(t) = f(t).(f) [Der gives IKKE vejledning til dette delspørgsmål, som højst tæller 5%]Vis Sætning AA ved brug af Sætning A.6.1.5