Matematik og databehandling 2012 Miniprojekt A: Matematiske ...

More documents

Recommendations

Info

Miniprojekt A Matematik og databehandling 2012(d) På en mark har man målt udbyttet for en række forskellige gødningsmængder. Dissemålinger er i filen a_data_2.txt, som findes påhttp://matdat.life.ku.dk/mat-dat/miniprojekterEt uddrag af filens indhold:Goedning,Udbytte0,39.130.1,39.850.2,40.170.3,39.660.4,40.09Hver linie efter overskrifterne indeholder gødningsmængden t efterfulgt af udbyttet U.Gem filen a_data_2.txt på din computer og indlæs den i R som et datasæt ved brug affunktionen read.table.Tegn vha. R målingerne med udbyttet U som funktion af gødningsmængden t.Benyt plottet til at bestemme de værdier afAogC, som ser ud til at få grafen for funktionenU(t) til at passe bedst muligt med målingerne.[Vink: Søg evt. inspiration i jeres svar til (c).]Tegn for disse værdier af A og C grafen for U(t) for forskellige værdier af B sammen meddatapunkterne. Bestem herved den værdi af B (med 3 decimaler), som ser ud til at fågrafen for funktionen U(t) til at passe bedst muligt med målingerne.Vi lader q betegne salgsprisen i kr. pr. tons udbytte og p betegne prisen i kr. pr. enhed gødning.(e) Opskriv fortjenesten F(t) pr. ha. (dvs. indtægter minus udgifter) som funktion af t.(Parametrene A,B,C,p og q vil indgå i udtrykket.)(f) Sæt B = 0.02, C = 40 og q = 3000. Det oplyses, at den økonomisk optimale gødningsmængdeer 12 enheder pr. ha. samt at dette resulterer i en fortjeneste på 170000kr. pr. ha. Bestem A og p, begge med 2 decimaler.(g) Sæt A = 20, B = 0.02, C = 40, p = 2500 og q = 3000. Tegn vha. R grafen for F(t) meddisse parameterværdier.Foretag endvidere en funktionsundersøgelse af F(t) for t ≥ 0 og bestem samtlige lokaleekstrema (med 2 decimaler).[Vink: I får brug for R-funktionen uniroot.]Er disse lokale ekstrema også globale ekstrema?4
Miniprojekt A Matematik og databehandling 2012Opgave 3 (30%)Vi betragter funktionenf(t) = 2tlnt for t > 0.(a) Find Taylorpolynomierne f 1 (t) og f 2 (t) af orden hhv. 1 og 2 med udviklingspunkt a = 1for funktionen f(t).(b) Tegn vha. R graferne for f(t), f 1 (t) og f 2 (t) i samme koordinatsystem med et passendevalg af t-interval.(c) Tegn vha. R grafen for |f(t)−f 2 (t)| (afvigelsen mellem f(t) og f 2 (t)) for 1 ≤ t ≤ 2.Tegn derefter vha. R grafen for |f(t) − f 2 (t)| for passende valgte t-intervaller og benytdisse grafer til at aflæse de værdier af t (med 2 decimaler) i intervallet [1,2] for hvilke|f(t)−f 2 (t)| ≤ 0.04.(d) Bestem konstanter A og B således atF(t) = At 2 lnt+Bt 2er en stamfunktion til f(t).[Vink: Bestem F ′ (t) og bestem A og B således at F ′ (t) = f(t).]Benyt F(t) til at bestemme integralet ∫ 1.31f(t)dt med 4 decimaler.Kontrollér, at der er regnet rigtigt ved at foretage numerisk integration i R.Vi ved, at en (vilkårlig) funktion g(t) tilnærmes af g 1 (t) (Taylorpolynomiet af orden 1 medudviklingspunkt a = 1) for t i nærheden af a = 1. Den følgende sætning viser, at integralet afg(t) over et interval i nærheden af a = 1 ligeledes tilnærmes af integralet af g 1 (t) over intervallet.Sætning AA Lad M være en konstant, som opfylder|g ′′ (t)| ≤ M for 1 ≤ t ≤ 1.3.Så gælder∫ 1.3 ∫ 1.3∣ g(t)dt− g 1 (t)dt∣ ≤ 0.0045M.11(e) Aflæs ud fra en graf for f ′′ (t) en konstant M, gerne så lille som muligt, som opfylder|f ′′ (t)| ≤ M for 1 ≤ t ≤ 1.3.Brug dette til at kontrollere, at Sætning AA gælder i tilfældet g(t) = f(t).(f) [Der gives IKKE vejledning til dette delspørgsmål, som højst tæller 5%]Vis Sætning AA ved brug af Sætning A.6.1.5
Page 1 and 2: 0161412101086x 542Matematik og data
Page 3: Miniprojekt A Matematik og databeha

Matematik og databehandling 2012 Miniprojekt A: Matematiske ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?