Matematik og databehandling Eksamen, 7. november 2012, kl. 8.30 ...

0161412101086x 542Matematik og databehandlingt10 122 4 6 8Eksamen, 7. november 2012, kl. 8.30–12.30Alle hjælpemidler er tilladte, herunder brug af lommeregnere (NB! ikke computere). Det er dogikke nok, at opgaverne eller dele af dem er løst alene ved brug af lommeregner, og derfor skalmellemregninger angives i rimeligt omfang i besvarelsen.Der er 3 opgaver, som alle skal besvares.Opgave 1 (25 %)En virksomhed har fortjenesten (målt i enheder af 1000 kr)F(x,y) = −2x 2 −4xy +20x−3y 2 +24yved forarbejdning af x tons hvede og y tons havre.(a) Det oplyses, at forarbejdning af en vis mængde hvede og 3 tons havre giver en fortjeneste på51. Bestem de mulige værdier for mængden af hvede.(b) Vis, at ligningen for tangentplanen for F(x,y) i punktet (a,b) = (1,2) er givet vedz = 8(x−1)+8(y −2)+46.Benyt denne ligning til at beregne en tilnærmet værdi af F(1.2,1.9).(c) Bestem de mængder hvede og havre, der resulterer i den størst mulige fortjeneste for virksomheden.(d) Funktionen F(x,y) defineres i R ved indtastning af linjenF

Eksamen, 7. november 2012Matematik og databehandlingOpgave 2 (25 %)En virksomhed producerer to slags kosttilskud, kaldet α og β. Hver af disse indeholder to forskelligeOmega-3 fedtsyrer, DHA og EPA. Det oplyses, at• en α-kapsel indeholder k gram DHA (hvor k er en positiv parameter) og 0.3 gram EPA,• en β-kapsel indeholder 0.3 gram DHA og 0.4 gram EPA.Vi betragter et parti kosttilskud bestående af x 1 α-kapsler og x 2 β-kapsler. Lad y 1 være detsamlede indhold af DHA og lad y 2 være det samlede indhold af EPA i partiet (begge målt igram). Det oplyses, at sammenhængen mellem (x 1 ,x 2 ) og (y 1 ,y 2 ) er givet vedy 1 = kx 1 +0.3x 2y 2 = 0.3x 1 +0.4x 2 .(a) Bestem en matrix A, således at sammenhængen ovenfor kan angives på formen( ) ( )y1 x1= A .y 2 x 2Bestem indholdet af DHA og af EPA i et parti kosttilskud på 100 α-kapsler og 200 β-kapsler.(Parameteren k vil indgå i svaret.)(b) Lad k = 0.25. Bestem A −1 . Benyt A −1 til at bestemme det antal α-kapsler og det antalβ-kapsler, som tilsammen indeholder netop 4 gram DHA og 5 gram EPA.(c) Lav en R-funktion,beregn_indhold, som beregner indholdet af DHA og EPA ud fra parameterenk samt x 1 og x 2 (antallet af α-kapsler og β-kapsler). Funktionen skal have parametrenek, x1 og x2 og skal se ud som følger:beregn_indhold

Eksamen, 7. november 2012Matematik og databehandlingOpgave 3 (50%)De 10 spørgsmål i denne opgave løses uafhængigt af hinanden.(a) Betragt funktionenf(x) = x 2 −ax+1.Bestem, udtrykt ved parameteren a, den værdi af x hvori f(x) har minimum.(b) Om en funktion f(x) vides det, atM = max0≤x≤0.1 |f′′ (x)| = 8samt at f 1 (0.1) = 5.7, hvor f 1 (x) er Taylorpolynomiet af orden 1 med udviklingspunkt a = 0for f(x). Hvilke af tallene 5.4 og 5.9 er mulige værdier for f(0.1)?(c) Bestem den ligevægt( x∗y ∗ )for matricen ( ) 0.9 0.4,0.1 0.6som opfylder x ∗ +y ∗ = 10.(d) Bestem det tal, som står 1. række og 3. søjle i matrixproduktet⎛ ⎞⎛⎞1 2 3 1 0 −2⎝4 5 6⎠⎝0 −3 0⎠.7 8 9 −4 0 5(e) Bestem den løsning y = y(x) til differentialligningensom opfylder y(0) = 1.dydx = 3x2 y 2 ,(f) Bestem den fuldstændige løsning y = y(x) til differentialligningendy−y = 1−x.dx(g) Bestem dobbeltintegralet ∫∫hvor Ω = {(x,y)|0 ≤ x ≤ 1 og 0 ≤ y ≤ x}.Ω(3x+20y 3 )dxdy,3

Eksamen, 7. november 2012Matematik og databehandling(h) Ladf(x,y) = e x e y +e y −x 2 .Bestem niveaukurven for f(x,y) hørende til niveauet 1 ved at udtrykke y som en funktionaf x.(i) Skriv en eller flere linjer, der indtastet i R løser ligningenfor x ∈ [0,1].e −x = x 1/3(j) Betragt nedenstående linjer indtastet i R:x